地震波動(dòng)方程

地震波動(dòng)方程地震波動(dòng)方程/地震波動(dòng)方程第三章地震波動(dòng)方程現(xiàn)在，我們用前一章提出的應(yīng)力和應(yīng)變理論來建立和解在均勻全空間里彈性波傳播的地震波動(dòng)方程。這章涉與矢量運(yùn)算和復(fù)數(shù)，附錄2對(duì)一些數(shù)學(xué)問題進(jìn)行了復(fù)習(xí)。3.1運(yùn)動(dòng)方程（EquationofMotion）前一章考慮了在靜力平衡和不隨時(shí)間變化情況下的應(yīng)力、應(yīng)變和位移場(chǎng)。然而，因?yàn)榈卣鸩▌?dòng)是速度和加速度隨時(shí)間變化的現(xiàn)象，因此，我們必須考慮動(dòng)力學(xué)效應(yīng)，為此，我們把牛頓定律（）用于連續(xù)介質(zhì)。3.1.1一維空間之振動(dòng)方程式質(zhì)點(diǎn)面上由于應(yīng)力差的存在而使質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生振動(dòng)。如圖1-3所示，考慮一薄棒向x軸延伸，其位移量為u： Fig3-1則其作用力為“應(yīng)力”X“其所在的質(zhì)點(diǎn)面積”，所以其兩邊的作用力差為慣量﹙inertia﹚為所以得出 ……………………...（3-1）其中ρ為密度﹙density﹚，σ為應(yīng)力﹙stress﹚=。3-1式表示，物體因介質(zhì)中的應(yīng)力梯度﹙stressgradient﹚而得到加速度。如果ρ與E為常數(shù)，則3-1式可寫為 ……………………（3-2）其中運(yùn)用分離變量法求解（3-2）式，設(shè)u=F(x)T(t),(3-2)式可以變?yōu)樵O(shè)則可得：考慮歐拉公式：（3-3）其中A,B,C,D為根據(jù)初始條件和邊界條件確定的常數(shù)?？紤]到可正可負(fù)，方程式的解具有的形式，其中f與g為波的函數(shù)，以c的波行速度向+x與-x方向傳遞。我們可以采用如下程序模擬地震波的傳播。平面波在均勻介質(zhì)里沿方向傳播，剪切波的齊次微分方程可表達(dá)為：這里是位移。對(duì)100公里的波長(zhǎng)和假定的情況，我們寫出用有限差分法解這方程的計(jì)算機(jī)程序。用長(zhǎng)度間距，時(shí)間間距秒。假定在（50公里）震源時(shí)間函數(shù)的形式為：0＜＜5秒用（0公里）的應(yīng)力自由邊界條件和（100公里）的固定邊界條件。用有限差分圖解來近似二次導(dǎo)數(shù)：以4秒的間隔畫出1-33秒的圖。M=moviein(101);dx=1;dt=0.1;tlen=3;beta=4;%初始化變量,tlen為震源持續(xù)時(shí)間，beta為波傳播的速度u1=zeros(101,1);u2=u1;u3=u1;%u1為前一個(gè)時(shí)刻的各點(diǎn)的位移，u2為當(dāng)前時(shí)刻的位移，u3為下一個(gè)時(shí)刻的位移值，開始均假定為零t=0;jj=0;while(t<=33)%模擬的最長(zhǎng)時(shí)間為33秒forii=2:100rhs=beta^2*(u2(ii+1)-2*u2(ii)+u2(ii-1))/dx^2;%方程的解u3(ii)=dt^2*rhs+2*u2(ii)-u1(ii);%對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)end%左邊為自由邊界條件，右邊為固定邊界條件u3(1)=u3(2);%左邊為自由邊界條件u3(101)=0.0;%右邊為固定邊界條件%左右兩邊為自由邊界條件%u3(1)=u3(2);%左邊為自由邊界條件%u3(101)=u3(100);%右邊為自由邊界條件%左右兩邊為固定邊界條件%u3(1)=0.0;%左邊為固定邊界條件%u3(101)=0.0;%右邊為固定邊界條件if(t<=tlen)u3(51)=(sin(pi*t/tlen)).^2;%地震震源時(shí)間函數(shù)endforii=1:101u1(ii)=u2(ii);u2(ii)=u3(ii);%時(shí)刻的更新endplot(u2);%繪制目前的波形圖ylim([-1.21.2]);M(:,jj+1)=getframe;%獲得當(dāng)前的圖像t=t+dt;%時(shí)間延長(zhǎng)endmovie(M)%演示波形傳播

3.1.2三維空間之振動(dòng)方程式推導(dǎo)三維空間之振動(dòng)方程式的過程，與上節(jié)中所采用的一維空間討論方式類似，如圖3-2所表示，先探討在x方向之位移量u：Fig3-2在y-z面上的作用力差為：在x-z面上的作用力差為：在x-y面上的作用力差為：慣量為：得出 …………………..﹙3-4﹚其中σxx、σyx與σzx分別為stresstensor在xx﹙x面方向、x力方向﹚，yx﹙y面方向、x力方向﹚與zx﹙z面方向、x力方向﹚方向的分量。注意，在本講義中有關(guān)stresstensor的兩個(gè)下標(biāo)﹙indexes﹚之定義，依序?yàn)槊娴姆较蚺c力的方向。將σxx、σyx與σzx與其對(duì)應(yīng)的應(yīng)變之關(guān)系代入3-4式可推導(dǎo)得出三維空間之振動(dòng)方程式如下： ………………….﹙3-5a﹚其中λ與μ為常數(shù)，而為L(zhǎng)aplacianoperator，代表。以相同的方法，可以得出在y與z方向的振動(dòng)方程式，若其位移量分別為v與w，則其相對(duì)應(yīng)之振動(dòng)方程式可分別表示如下： ………..…………﹙3-5b﹚ ………………….﹙3-5c﹚若以向量形式來統(tǒng)一表示3-5a、b、c式，可改寫如下： …………...﹙3-6﹚其中為位移向量，在x、y與z方向的位移分量分別為u、v與w。其中為體力，只有在研究震源時(shí)，才考慮該體力。這是構(gòu)成許多地震學(xué)理論基礎(chǔ)的基本方程，稱之為連續(xù)介質(zhì)方程或運(yùn)動(dòng)方程。體力通常包括重力項(xiàng)和震源項(xiàng)。在正常模型地震學(xué)中，重力項(xiàng)是頻率很低時(shí)的一個(gè)重要因子，但對(duì)所觀測(cè)到的典型波長(zhǎng)范圍，即在體波和面波的計(jì)算中，通常可被忽略。在這本書后面我們將考慮震源項(xiàng)。在沒有體力的情況下，有齊次運(yùn)動(dòng)方程：（3-7）在場(chǎng)論中考慮到：（3.8）將其變?yōu)楦Ｓ玫男问?，即：?.8）將這個(gè)式子代入（3.12）得到：上式?jīng)Q定了在震源區(qū)以外，地震波的傳播。解真實(shí)地球模型的上述方程是地震學(xué)的重要部分，這樣的解給出了離震源某一距離的特定地點(diǎn)預(yù)期的地面運(yùn)動(dòng)，通常稱為合成地震圖。3.1.3體波﹙縱波與橫波﹚之振動(dòng)方程式首先，我們考慮由介質(zhì)伸縮所衍生的質(zhì)點(diǎn)體積應(yīng)變之振動(dòng)方程式。從上節(jié)所描述的單一方向﹙x、y、z﹚上之位移量﹙u、v、w﹚所導(dǎo)出的振動(dòng)方程式，可以進(jìn)一步地推求體積應(yīng)變所引發(fā)的振動(dòng)方程式，由的基本定義可以很自然的聯(lián)想到分別將3-4a、3-4b以與3-4c三式分別對(duì)x、y與z微分之后再相加，忽略體力，即可得到下式： ………………﹙3-7﹚另外，考慮剪切應(yīng)變可能產(chǎn)生的振動(dòng)方程式。若將3-5c式對(duì)y微分、3-5b式對(duì)z微分，然后相減，忽略體力可得到下式： …………….﹙3-7﹚其中括弧內(nèi)的項(xiàng)就是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)繞x軸的扭轉(zhuǎn)角度。yyFig3-3參考圖3-3，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P﹙y、z﹚向逆時(shí)針方向扭轉(zhuǎn)到P’﹙y、z﹚，扭轉(zhuǎn)角度為ωx，若其扭轉(zhuǎn)半徑為r，根據(jù)幾何關(guān)系可得到：，其位移形變?yōu)閷⑵浞謩e對(duì)y與z微分且相加，得出同理得到和，所以質(zhì)點(diǎn)扭轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)方程式可寫為： …………………﹙3-8﹚3-6式與3-8式可用通式描述如下： …………………….﹙3-9﹚其為典型之波動(dòng)方程式。根據(jù)對(duì)3-8式而言，，可得出 ………….﹙3-10﹚對(duì)3-6式而言，，可得出 ……………….﹙3-11﹚3-10可視為縱波﹙亦稱為P波﹚，因其質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向與波的傳播方向相同﹙如圖3-4﹚。 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向波傳方向Fig3-41-24視為橫波﹙亦稱為S波﹚，因ω為扭轉(zhuǎn)應(yīng)變，其質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)方向與波的傳播方向成正交。S波依其質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向的不同可分為SV與SH，如圖3-5所示。波傳方向Fig3-5綜合以上所得，在完全彈性介質(zhì)中，當(dāng)其受外力作用時(shí)，產(chǎn)生兩種波相：縱波與橫波。由前節(jié)所述之各彈性系數(shù)的關(guān)系，我們可將3-10式以與3-11式寫為：； ﹙﹚其他彈性系數(shù)與速度的關(guān)系如下： ……………….﹙3-12﹚ ……………﹙3-13﹚ …………………﹙3-14﹚ ……………﹙3-15﹚其中3-13式可化為 ……………...﹙3-16﹚在地函內(nèi)部，大部分的泊松比σ接近于1/4。若σ=1/4，則，而且若σ=1/2，即介質(zhì)為純液體，則、與皆為零地震所產(chǎn)生之彈性波，穿過地球內(nèi)部，藉由彈性波傳播所產(chǎn)生的速度變化，參考彈性理論以與彈性系數(shù)關(guān)系，我們可以探索地球內(nèi)部的情況。3.1.4地震波的勢(shì)位移往往可以根據(jù)P波的標(biāo)量勢(shì)和S波的矢量：（3.25）那么有：（3.26）將其代入，得到：：（3.27）將（3.27）代入可得：（3.29）P波的解由的標(biāo)量波動(dòng)方程給出，S波的解由的矢量波動(dòng)方程給出。平面波式（3.28）和（3.29）具有相同的形式，它們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系可以表示為：我們用分離變量法來尋找形式的解。每個(gè)因子是僅僅一個(gè)變量的函數(shù)。由上式可得：這意味著是常數(shù)，令其為可得：同理，對(duì)于某常數(shù),有應(yīng)注意，，因此解可由三個(gè)量，而不是四個(gè)量來表示。類似于一維形式的推導(dǎo)。該方程可以有如下形式的通解：其中，，令下面我們看看的物理意義。令當(dāng)t=t1時(shí)，當(dāng)t=t2時(shí)，由平面解析幾何知識(shí)可知第一式為離原點(diǎn)距離為的平面，第二式為離原點(diǎn)距離為的平面，并且兩平面的法線方向都為。因此兩平面之間的距離為，為波從t1時(shí)刻傳播到t2時(shí)刻所傳播的距離，傳播的速度恰為c，這也是為什么我們?cè)诓▌?dòng)方程中將其稱之為速度的原因。類似地，表示以速度c向-n方向傳播的平面波。任意函數(shù)都可以寫成簡(jiǎn)諧平面波疊加的形式根據(jù)Fourier疊加原理，可以把屋里上實(shí)際存在的平面波動(dòng)，以數(shù)學(xué)形式分解成抽象的、覆蓋整個(gè)頻率范圍的平面波的積分來表示：實(shí)際問題不考慮。因此通常取為方程的基本解。而為波傳播的方向，由于c為波的傳播速度，通常稱為慢度矢量。對(duì)不同的做Fourier疊加即可得到任意函數(shù)形式的平面波。引進(jìn)平面波的概念很有幫助。平面波是一個(gè)位移只在波的傳播方向上變化，在與波傳播方向相互垂直的方向上，位移為常數(shù)的波動(dòng)方程的解。例如，沿軸傳播的波，位移可表達(dá)為：（3.30）這里是波的速度，是任意函數(shù)（矢量函數(shù)需表達(dá)出波的偏振），這波沿方向傳播。位移不隨變化。在方向上，波無限擴(kuò)展。如果是離散的脈沖，那么假定有以平面波陣面?zhèn)鞑サ奈灰泼}沖形式。更普遍地說，在位置矢量處，平面波在單位矢量方向傳播的位移可表達(dá)為：（3.31）（3.32）這里是慢度矢量，它的值是速度的倒數(shù)。由于地震能量通常由局部的震源輻射出來，地震波陣面總有某種程度的彎曲。然而，在離震源足夠大的距離，波陣面平坦到足以使平面波的近似在局部上是正確的。因此，許多解地震波動(dòng)方程的方法總是把整個(gè)解表達(dá)為不同傳播角度的平面波的和。往往通過變換到頻率域，從方程中去掉與時(shí)間的依賴關(guān)系。在這種情況下，可以把特定角頻率的位移表達(dá)為：（3.33）（3.34）這里叫做波數(shù)矢量。在這本書中，我們將用復(fù)數(shù)來表示諧波。其詳細(xì)情況在附錄2中作了復(fù)習(xí)。把諧波稱為單色的平面波，有時(shí)也把它叫做調(diào)和的或穩(wěn)態(tài)平面波解。用來描述這樣的波的其他參數(shù)是波數(shù)，頻率，周期和波長(zhǎng)。波數(shù)為單位長(zhǎng)度內(nèi)波的震動(dòng)次數(shù)。在波的傳播過程中，某一振動(dòng)狀態(tài)(周相)在單位時(shí)間內(nèi)傳播的距離為波速c，因此波速又叫做相速。應(yīng)注意介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度和波的傳播速度c是兩個(gè)完全不同的概念。振動(dòng)速度由震源確定，它是周期性變化的，而波速的大小只與介質(zhì)性質(zhì)有關(guān)。將不同的諧波參數(shù)歸納于表3.1。表3.1諧波參數(shù)角頻率頻率周期速度波長(zhǎng)波數(shù)3.4P波和S波的偏振考慮沿方向傳播的P波，根據(jù)（3.28）式有：（3.35）可以把（3.35）式的解寫成：（3.36）這里減號(hào)相應(yīng)于沿方向傳播，加號(hào)相應(yīng)于沿方向傳播。因?yàn)?，故有：?.37）注意對(duì)沿方向傳播的平面波，在和方向沒有變化，所以空間導(dǎo)數(shù)和為零。對(duì)P波僅在沿軸波的傳播方向上有位移。這樣的波叫做縱波。而且因?yàn)椋\(yùn)動(dòng)是不旋轉(zhuǎn)的，或“無旋”的。由于P波使介質(zhì)體積發(fā)生變化，所以P波也叫“壓縮”波或“膨脹”波。然而，要注意的是P波包括剪切和壓縮，這是為什么P波速度對(duì)體積模量和剪切模量反應(yīng)都靈敏的原因。實(shí)際的P波諧振運(yùn)動(dòng)可以用圖3.2來說明。圖3.2沿頁面水平傳播的諧振平面P波（上面）和S波（下面）的位移。S波純剪切，沒有體積變化。而P波包括材料體積的變化和剪切（形狀變化）。相對(duì)于地球?qū)嶋H的應(yīng)變，這里應(yīng)變被放大?，F(xiàn)在考慮沿正方向傳播的S波，矢量勢(shì)為：（3.38）位移為：（3.39）這里我們?cè)儆茫唇o出：（3.40）運(yùn)動(dòng)在和方向，垂直于傳播方向。S波的實(shí)際運(yùn)動(dòng)往往可以分成兩個(gè)分量：在含傳播矢量的垂直面里的運(yùn)動(dòng)（波）和取向與這個(gè)面垂直的水平運(yùn)動(dòng)（SH波）。因?yàn)?，運(yùn)動(dòng)是純剪切的，沒有任何的體積變化（因此叫做剪切波）。在垂直方向偏振的剪切諧波（波）的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)如圖3.2所示。3.5球面波如果我們假定球?qū)ΨQ，P波勢(shì)中的標(biāo)量波動(dòng)方程（3.28）就可能有另外的解。在球坐標(biāo)系里，拉普拉斯方程為：（3.41）因?yàn)榍驅(qū)ΨQ，這里去掉角的偏導(dǎo)數(shù)，由表達(dá)式（3.28），即得到：（3.42）在點(diǎn)以外，方程的解可表達(dá)為：（3.43）注意到除了因子外，這與平面波方程（3.30）是相同的。分別用+和-號(hào)表示向內(nèi)和向外傳播的波。因?yàn)檫@個(gè)表達(dá)式通常用來模擬從點(diǎn)源輻射的波，所以在正常情況下，項(xiàng)表示波的振幅隨距離衰減的幾何擴(kuò)散因子，在第6章將進(jìn)一步的探討。在時(shí)，（3.43）不是方程（3.42）的正確的解。然而，這表明（例如Aki和Richards,4.1節(jié)），（3.43）可能是以下非齊次方程的解：（3.44）這里函數(shù)在以外的任何地方都為零，它的體積積分為1。因子表示在震源時(shí)間函數(shù)。在第9章討論震源理論時(shí)，我們將回到這個(gè)方程上來。平面波的反射和折射地殼與地球內(nèi)部是成層結(jié)構(gòu)，內(nèi)部有不少分界面。地表也可看作一個(gè)界面，震源在各向同性的均勻介質(zhì)中產(chǎn)生的地震波波陣面是成球形的一層一層向外傳播，稱為球面波。因此，嚴(yán)格來講，我們應(yīng)該討論球面波遇到分界面時(shí)的情況。但當(dāng)距離震源足夠遠(yuǎn)時(shí)，也就是說震源到接收點(diǎn)的距離比波長(zhǎng)大得多時(shí)，作為一種近似，可討論平面波在分界面上的行為。同時(shí)當(dāng)（為分界面的曲率半徑），也可以將分界面看作平面，這樣可使討論大大簡(jiǎn)化而不影響對(duì)許多現(xiàn)象本質(zhì)的揭示。同時(shí)，球面波在理論上可以看作是許多不同方向的均勻或不均勻的平面波的疊加，因而先弄清了平面波在分界面上的行為，也比較容易討論球面波在分界面的行為。P波、SV波設(shè)平面波（指均勻的平面波）的傳播方向在xz平面內(nèi)，傳播方向就是波陣面的法線方向，波的位移場(chǎng)可以表示為：（1）其中滿足壓縮波的波動(dòng)方程，滿足剪切波的波動(dòng)方程.由于均勻平面波波陣面上的為常數(shù)，而這里平面波傳播方向在xz平面內(nèi)，因此垂直于xz平面的直線上的各點(diǎn)必在同一波陣面內(nèi)，也就是：。P波產(chǎn)生的位移為：P波產(chǎn)生的應(yīng)力為SV波的位移SV波產(chǎn)生的應(yīng)力為：將上面兩式代入（1）式得：分析界面條件，界面應(yīng)力為：界面條件為界面兩邊應(yīng)力相等，位移連續(xù)，即：分析位移場(chǎng)在y方向的分量,也就是v全部為橫波場(chǎng)的分量。再由界面應(yīng)力條件看，v只出現(xiàn)的表達(dá)式中，而u,w只出現(xiàn)在的表達(dá)式中。因此，SH波和P-SV波產(chǎn)生的波場(chǎng)是分離的。地球表面是一個(gè)特殊的分界面，它將無限介質(zhì)劃分為兩個(gè)半空間，地面以上空氣介質(zhì)，其密度與地面以下的巖石或海平面以下的海水層相比可以忽略。地球表面可以看成是一個(gè)彈性半空間表面，表面下面視為理想彈性介質(zhì)，表面上面為空氣，這種界面稱為自由界面，自由界面上的應(yīng)力作用為零。本節(jié)中將介紹彈性波在自由表面上的反射。P波在自由界面的反射如圖所示，取xoy平面為自由表面，設(shè)有一P波自下部介質(zhì)入射到自由表面上，由于自由表面以上不存在介質(zhì)，所以當(dāng)波遇到自由表面時(shí)，只可能折回到原來的介質(zhì)，而不會(huì)透過它，即只存在反射被而不存在透射波。當(dāng)P波入射到自由表面上時(shí)，為滿足自由表面處的邊界條件，反射波中會(huì)同時(shí)產(chǎn)生P波和SV波兩種成分，此時(shí)，SV波稱為轉(zhuǎn)換波。但是，由于SH波的振動(dòng)方向與P被和SV波的振動(dòng)方向是相互獨(dú)立的，所以反射波中不會(huì)產(chǎn)生SH波。設(shè)入射P波為平面簡(jiǎn)諧波，入射面為xOz平面，法線為z軸，入射P波的入射角為,反射SV波的反射角為，由圖中各波的傳播方向與坐標(biāo)軸方向的關(guān)系，它們的波函數(shù)可以寫為：這里只考慮分量，這是由于只有產(chǎn)生xoz平面的振動(dòng)。式中，由邊界條件可知，在z=0處，方程為的線性組合（其中由于z=0，指數(shù)因子中的z因子全為零）。所以必有，因此必有：這就是Snell定律，回憶一下幾何光學(xué)，可見上式與幾何光學(xué)中的折射定律和反射定律完全一致，這是由于它們?cè)诒举|(zhì)上（波動(dòng)性）有相同之處。而折射反射定律正是反映了物質(zhì)的波動(dòng)相關(guān)的一種規(guī)律。在光學(xué)中是從光學(xué)實(shí)驗(yàn)或惠更斯原理得到了折射反射定律，而這里我們從波動(dòng)方程和邊界條件出發(fā)也得到了它。我們?cè)谝院蟮耐茖?dǎo)中令上式為常數(shù)p。則波函數(shù)可以寫為：則：P波產(chǎn)生的位移為：P波產(chǎn)生的應(yīng)力為SV波的位移SV波產(chǎn)生的應(yīng)力為：根據(jù)邊界條件，可得：對(duì)于正應(yīng)力：對(duì)于剪應(yīng)力：將入射波反射波的勢(shì)的表達(dá)式代入可得：由第二個(gè)式子可得：，代入第一式得到折射系數(shù)：反射系數(shù)為：由于、，代入上面的式子可得到：位移位的振幅并不表示質(zhì)點(diǎn)的振幅，不具有實(shí)際物理意義，下面討論作為位移振幅比的反射系數(shù)。對(duì)于穩(wěn)態(tài)傳播的P波，位移振幅為：；對(duì)于穩(wěn)態(tài)傳播的S波振幅為：。我們可以舉例說明上面的式子成立，如對(duì)于上面所表示的入射波：其合成振幅為：對(duì)于上面提到的SV波：其合成振幅為：由此可知，入射P波在做自由界面上的反射P波位移反射系數(shù)與勢(shì)反射系數(shù)相同，而反射SV波的反射系數(shù)為勢(shì)反射系數(shù)的倍，即假定SV波入射到自由表面上，其勢(shì)振幅為A,入射角為，反射SV波的勢(shì)振幅為B，由反射定律可知其反射角為，反射P波的勢(shì)振幅為C，反射角為，則根據(jù)前面P波和SV波產(chǎn)生的勢(shì)的定義式和表面應(yīng)力條件可得：從而得到：由第一個(gè)式子可得：，代入第二式得到折射系數(shù)：將其帶入上面的式子得由于、，代入上面的式子可得到：考慮勢(shì)振幅和位移振幅之間的關(guān)系，可得SH波在自由界面上的反射設(shè)入射SH波的位移為：反射SH波位移分別表示為：邊條件為：將其簡(jiǎn)化為：，即在自由表面SH波的反射系數(shù)為1.從前面的討論可以看出，當(dāng)一列P波入射到自由表面時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一列反射P波和一列反射SV波；同樣，如果一列SV波向自由表面入射，會(huì)產(chǎn)生一列反射SV波和一列反射P波?；蛘哒f，在一般反射問題中半空間內(nèi)至少存在三列簡(jiǎn)諧平面波（純SH波僅反射SH波）。如果我們令式中的分子為零，則轉(zhuǎn)換波的振幅為零，半空間中只存在一列反射波。即P波入射只反射SV波，SV波只反射P波，這種現(xiàn)象稱為偏振交換。自由界面上的位移，視出射角地面測(cè)量得到的是地面的實(shí)際位移，也就是自由表面的位移。入射波射到自由表面后由于產(chǎn)生了反射波，因而自由表面上的位移并不等于入射波的位移，這是十分重要的。對(duì)于P波我們稱自由表面位移向量與界面法線的夾角為視入射角。稱自由表面上的位移向量與地面之間的夾角為視出射角。當(dāng)P波入射時(shí)，有將P波入射反射為P波和SV波的勢(shì)函數(shù)，并采用反射系數(shù)可得因此，由地震記錄可得到P波入射到地面后地面位移的北南、東西與垂直分量，求北南、東西分量的平方和再開方得到地面的水平分量，而水平分量和垂直分量的比值就是，的一半即為SV波的反射角，根據(jù)折射定律即可求得，即真入射角：或：當(dāng)SV波入射到自由表面時(shí)，其真入射角為，，仿效這個(gè)式子，我們定義這種情況下的視入射角為，則在推導(dǎo)時(shí)應(yīng)注意。當(dāng)SH波入射到自由表面時(shí)，根據(jù)前面的推導(dǎo)，反射系數(shù)為1.我們同樣可設(shè)入射SH波的位移為：