數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂探究導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一應(yīng)用求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)要求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)需要準(zhǔn)確地把函數(shù)分割為基本初等函數(shù)的和、差、積、商的形式,再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)．在求導(dǎo)過(guò)程中,要仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，緊扣求導(dǎo)法則，聯(lián)系基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式進(jìn)行求導(dǎo)．在求導(dǎo)數(shù)時(shí)有些函數(shù)雖然表面形式上為函數(shù)的商或積，但在求導(dǎo)前可利用代數(shù)或三角恒等變形將函數(shù)化簡(jiǎn)，然后進(jìn)行求導(dǎo)，以避免或減少使用積、商的求導(dǎo)法則，從而減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度,避免出錯(cuò)．例如求函數(shù)y＝eq\f（x－1，2x)的導(dǎo)數(shù)，先化簡(jiǎn)為y＝eq\f（1,2）－eq\f(1，2）·eq\f(1,x），再求導(dǎo)，使問(wèn)題變得更簡(jiǎn)單．【典型例題1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1)y＝xeq\b\lc\(\rc\）（eq\a\vs4\al\co1(x2－\f(3,2)x－6))＋2;(2）y＝cosx·lnx;（3）y＝eq\f(x,ex）；(4)y＝eq\f(1＋\r（x）,1－\r(x))＋eq\f(1－\r（x），1＋\r(x)）.思路分析：(1）是函數(shù)和差求導(dǎo);(2）是函數(shù)積求導(dǎo)；（3)是函數(shù)商求導(dǎo)；（4)先進(jìn)行分母有理化化簡(jiǎn)函數(shù)式，再求導(dǎo)．解：(1）y′＝eq\b\lc\（\rc\）(eq\a\vs4\al\co1（x3－\f（3，2）x2－6x＋2）)′＝（x3）′－eq\b\lc\（\rc\)（eq\a\vs4\al\co1(\f(3,2）x2))′－(6x)′＋(2)′＝3x2－3x－6。(2)y′＝(cosxlnx)′＝（cosx)′lnx＋cosx（lnx)′＝－sinxlnx＋eq\f(cosx,x）。(3）y′＝eq\b\lc\（\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(\f(x,ex）)）′＝eq\f（（x)′ex－x（ex)′,（ex）2)＝eq\f（ex－xex，e2x）＝eq\f(1－x，ex).（4）y＝eq\f((1＋\r（x))2,1－x)＋eq\f（(1－\r(x））2,1－x）＝eq\f(2（1＋x），1－x)＝eq\f（4,1－x)－2，y′＝eq\b\lc\(\rc\）（eq\a\vs4\al\co1（\f(4,1－x)－2))′＝eq\f（－4（1－x)′，(1－x）2）＝eq\f（4，(1－x)2）。探究二利用導(dǎo)數(shù)求切線方程求曲線上某一點(diǎn)的切線方程時(shí)，需要求曲線的導(dǎo)數(shù)，對(duì)于解析式復(fù)雜的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法則求解比利用定義求解要方便，選用哪個(gè)導(dǎo)數(shù)法則要根據(jù)解析式的特點(diǎn)決定．【典型例題2】已知函數(shù)f（x）＝eq\f(1,3）x3－2x2＋ax(x∈R，a∈R)，在曲線y＝f(x)的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線y＝x垂直．求a的值和切線l的方程．思路分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合題目條件，可由f′(x）＝－1有唯一解確定a的值，然后求出切點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出切線方程．解:因?yàn)閒(x)＝eq\f(1，3）x3－2x2＋ax，所以f′（x)＝x2－4x＋a。由題意可知，方程f′（x）＝x2－4x＋a＝－1有兩個(gè)相等的實(shí)根．所以Δ＝16－4（a＋1）＝0，所以a＝3。所以f′（x)＝x2－4x＋3＝－1可化為x2－4x＋4＝0.解得切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x＝2，所以f（2）＝eq\f(1，3)×8－2×4＋2×3＝eq\f(2，3）,所以切線l的方程為y－eq\f(2,3）＝（－1)×(x－2)，即3x＋3y－8＝0。所以a＝3，切線l的方程為3x＋3y－8＝0.探究三導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用對(duì)于一個(gè)具體的初等函數(shù),可以利用求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)，反過(guò)來(lái),已知某些條件及其導(dǎo)函數(shù),也可以確定參數(shù)，求出函數(shù)解析式．【典型例題3】已知函數(shù)f（x）是關(guān)于x的二次函數(shù)，f′（x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)一切x∈R，都有x2f′(x)－(2x－1）f（x）＝1成立，求函數(shù)f（x）的解析式．思路分析：利用待定系數(shù)法,設(shè)出f（x)的解析式，根據(jù)條件列出方程組求出參數(shù)值．解：設(shè)f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0)，則f′（x）＝2a