新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講練+易錯題型第27講 正弦定理、余弦定理及應(yīng)用（原卷版）

第27講正弦定理、余弦定理【基礎(chǔ)知識網(wǎng)絡(luò)圖】【基礎(chǔ)知識全通關(guān)】一、正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦比相等，即：SKIPIF1<0【微點(diǎn)撥】（1）正弦定理適合于任何三角形，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外接圓半徑）；（2）應(yīng)用正弦定理解決的題型：①已知兩角和一邊，求其它②已知兩邊和一邊的對角，求其它．（3）在已知兩邊和一邊的對角，求其它的類型中，可能出現(xiàn)無解、一解或兩解，應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角”定理及幾何作圖來幫助理解.二、余弦定理在△ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0變形為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【微點(diǎn)撥】（1）應(yīng)用余弦定理解決的題型：①已知三邊，求各角②已知兩邊和一邊的對角，求其它=3\*GB3③已知兩邊和夾角，求其它；（2）正、余弦定理的實(shí)質(zhì)是一樣的，從而正弦定理能解的問題余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有別；（3）正、余弦定理可以結(jié)合使用.三、三角形的面積公式(1)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上的高(2)SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0四、三角形形狀的判定方法設(shè)△ABC的三邊為a、b、c，對應(yīng)的三個角為A、B、C，解斜三角形的主要依據(jù)是：（1）角與角關(guān)系：由于A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC；SKIPIF1<0；（2）邊與邊關(guān)系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－b<c，b－c<a，c－a>b；（3）邊與角關(guān)系：正弦定理、余弦定理常用兩種途徑：（1）由正余弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角；（2）由正余弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊.【微點(diǎn)撥】=1\*GB3①化簡中將三角形內(nèi)角和、三角同角基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角公式等綜合結(jié)合起來.=2\*GB3②在△ABC中，熟記并會證明：∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列的充分必要條件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要條件是∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列且a，b，c成等比數(shù)列.五、解三角形應(yīng)用的分類（1）距離問題：一點(diǎn)可到達(dá)另一點(diǎn)不可到達(dá)；兩點(diǎn)都不可到達(dá)；（2）高度問題（最后都轉(zhuǎn)化為解直角三角形）；（3）角度問題；（4）面積問題.【考點(diǎn)研習(xí)一點(diǎn)通】考點(diǎn)01運(yùn)用正余弦定理解三角形例1、在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值：（2）求SKIPIF1<0的值．【變式1-1】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．【變式1-2】在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=（）A．1 B．2 C．3 D．4考點(diǎn)02利用正余弦定理判定三角形形狀例2、△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大??；(2)若sinB＋sinC＝1，試判斷△ABC的形狀．【變式】(1)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不確定(2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，則△ABC的形狀為()A．直角三角形 B．等腰非等邊三角形C．等邊三角形 D．鈍角三角形考點(diǎn)03運(yùn)用正余弦定理解決三角形的面積例3、在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知bcosC＋ccosB＝2acosA．(1)求角A的大?。?2)若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\r(3)，求△ABC的面積．【變式】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知a≠b，c＝eq\r(3)，cos2A－cos2B＝eq\r(3)sinAcosA－eq\r(3)sinBcosB．(1)求角C的大小；(2)若sinA＝eq\f(4,5)，求△ABC的面積．考點(diǎn)04利用正弦、余弦定理解決距離及角度問題例4、某市電力部門需要在A，B兩地之間架設(shè)高壓電線，因地理?xiàng)l件限制，不能直接測量A，B兩地距離．現(xiàn)測量人員在相距eq\r(3)km的C，D兩地(假設(shè)A，B，C，D在同一平面上)，測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(如圖)，假如考慮到電線的自然下垂和施工損耗等原因，實(shí)際所須電線長度大約應(yīng)該是A，B距離的eq\f(4,3)倍，問施工單位至少應(yīng)該準(zhǔn)備多長的電線？【變式4-1】在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距離A為(eq\r(3)－1)nmile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向，距離A為2nmile的C處的緝私船奉命以10eq\r(3)nmile/h的速度追截走私船．此時，走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？考點(diǎn)05正余弦定理在三角形中的運(yùn)用例5、如圖，在SKIPIF1<0中，已知點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．ABCD（1）求SKIPIF1<0的值；ABCD（2）求SKIPIF1<0的長．【變式5-1】如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝1，BD＝2eq\r(10)，∠CAD＝eq\f(π,4)，tan∠ADC＝－2.(1)求CD的長；(2)求△BCD的面積．【變式5-2】如圖，在四邊形ABCD中，已知AB＝13，AC＝10，AD＝5，CD＝eq\r(65)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝50.(1)求cos∠BAC的值；(2)求sin∠CAD的值；(3)求△BAD的面積．【考點(diǎn)易錯】1.如圖，在△ABC中，∠B＝SKIPIF1<0，AB＝8，點(diǎn)D在邊BC上，且CD＝2，cos∠ADC＝SKIPIF1<0．(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的長．2.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A+C＝2B．(1)求cosB的值；(2)若b2＝ac，求sinAsinC的值．3.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，已知SKIPIF1<0．（1）求sinC的值；（2）當(dāng)a＝2，2sinA＝sinC時，求b及c的長．4.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且a＞c，已知SKIPIF1<0＝2，cosB＝SKIPIF1<0，b＝3，求：(Ⅰ)a和c的值；(Ⅱ)cos(B－C)的值．5.SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知SKIPIF1<0（=1\*ROMANI）求C；（=2\*ROMANII）若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周長．6.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知SKIPIF1<0.(1)求證:SKIPIF1<0(2)若,求△ABC的面積.7.設(shè)銳角三角形SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的大??；（2）求SKIPIF1<0的取值范圍．【鞏固提升】1、在△ABC中，cosC=SKIPIF1<0，AC=4，BC=3，則cosB=A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02.SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03.泉城廣場上矗立著的“泉標(biāo)”，成為泉城濟(jì)南的標(biāo)志和象征．為了測量“泉標(biāo)”高度，某同學(xué)在“泉標(biāo)”的正西方向的點(diǎn)A處測得“泉標(biāo)”頂端的仰角為SKIPIF1<0，沿點(diǎn)A向北偏東SKIPIF1<0前進(jìn)100m到達(dá)點(diǎn)B，在點(diǎn)B處測得“泉標(biāo)”頂端的仰角為SKIPIF1<0，則“泉標(biāo)”的高度為（）A．50m B．100m C．120m D．150m4.SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為_________．5、某小區(qū)有一個四邊形草坪ABCD，∠B＝∠C＝120°，AB＝40m，BC＝CD＝20m，則該四邊形ABCD的面積等于__________m2．6、如圖，一棟建筑物的高為(30－10eq\r(3))m，在該建筑物的正東方向有一個通信塔CD．在它們之間的地面點(diǎn)M(B，M，D三點(diǎn)共線)處測得樓頂A，塔頂C的仰角分別為15°和60°，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30°，則通信塔CD的高為________m．7、SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0.（I）求B；（II）若SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0的面積.8、如圖，甲船從A處以每小時30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B處沿固定方向勻速航行，B在A北偏西105°方向且與A相距10eq\r(2)海里處．當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)C處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的D處，此時兩船相距10海里．