2024-2025學(xué)年福建省福州十九中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2024-2025學(xué)年福建省福州十九中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分）1．（4分）有的美術(shù)字是軸對(duì)稱(chēng)圖形，下面四個(gè)美術(shù)字中可以看作軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．2．（4分）人字梯中間一般會(huì)設(shè)計(jì)一“拉桿”，這樣做的道理是（）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．垂線段最短 C．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 D．三角形具有穩(wěn)定性3．（4分）下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．a(chǎn)2?a3＝a6 C．a(chǎn)3÷a2＝a D．（a2）3＝a54．（4分）如圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB＝AD，BC＝DC．將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，沿AC畫(huà)一條射線AE，AE就是這個(gè)角的平分線．此儀器的原理是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS5．（4分）在聯(lián)歡會(huì)上，有A、B、C三名選手站在一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)位置上，他們?cè)谕妗皳尩首印庇螒?，誰(shuí)先搶到凳子誰(shuí)獲勝，為使游戲公平（）A．三邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn) C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三條高所在直線的交點(diǎn)6．（4分）下列各分式中，是最簡(jiǎn)分式的是（）A． B． C． D．7．（4分）下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是（）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2 C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x8．（4分）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°（）A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C9．（4分）圖中表示被撕掉一塊的正n邊形紙片，若a⊥b，則n的值是（）A．6 B．8 C．10 D．1210．（4分）如圖，△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AC＝AB+5，BC＝12△BDC的最大值為（）A．12 B．15 C．30 D．60二、填空題：（本題共6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）若分式的值為零，則x的值是．12．（4分）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（3，1）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是．13．（4分）已知等腰三角形一邊長(zhǎng)等于4，另一邊長(zhǎng)等于8，則此等腰三角形的周長(zhǎng)是．14．（4分）如果am＝3，an＝5，那么a2m﹣n＝．15．（4分）計(jì)算：20242﹣4048×2023+20232+2023×2025＝．16．（4分）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，若∠BAD＝α，則∠ACB的度數(shù)為（用含α的代數(shù)式表示）．三、解答題（本題共9小題，共86分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡相應(yīng)的位置作答）17．（8分）計(jì)算：（1）x?x5+（﹣2x2）3；（2）（3x2y﹣xy2+4xy）÷（﹣2xy）．18．（8分）如圖，CA＝CD，∠1＝∠219．（8分）以下是小鵬化簡(jiǎn)代數(shù)式（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）﹣2a（a﹣3）的過(guò)程．解：原式＝a2﹣2a+4+a2﹣1﹣2a2+6a……①＝（a2+a2﹣2a2）+（﹣2a+6a）+（4﹣1）…②＝4a+3，……③（1）小鵬的化簡(jiǎn)過(guò)程在第步開(kāi)始出錯(cuò)，錯(cuò)誤的原因是．（2）請(qǐng)你幫助小鵬寫(xiě)出正確的化簡(jiǎn)過(guò)程，并計(jì)算當(dāng)a＝﹣0.5時(shí)代數(shù)式的值．20．（8分）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上．（1）畫(huà)出△ABC關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圖形△DEF（其中點(diǎn)A、B、C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是D、E、F）；（2）在y軸上找一點(diǎn)P，使得△PAC周長(zhǎng)最短，請(qǐng)畫(huà)出點(diǎn)P所在的位置21．（8分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)P為AB邊上一點(diǎn)．（1）尺規(guī)作圖：請(qǐng)?jiān)贏C上求作一點(diǎn)D，使得PD∥BC（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）．（2）在（1）的條件下，AB＝AC，求證：△APD是等邊三角形．22．（10分）求證：頂角是銳角的等腰三角形腰上的高與底邊夾角等于其頂角的一半．（1）在圖中按照下面“已知”的要求，畫(huà)出符合題意的圖形，并根據(jù)題設(shè)和結(jié)論，用符號(hào)語(yǔ)言補(bǔ)充寫(xiě)出“已知”和“求證”．已知：在△ABC中，AB＝AC，．求證：．（2）證明上述命題．23．（10分）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分線BE交AC于點(diǎn)E．點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，且AD＝AC，BE交于點(diǎn)M．（1）求∠DMB的度數(shù)；（2）若CH⊥BE于點(diǎn)H，證明：AB＝4MH．24．（12分）如圖①，小華同學(xué)用1張邊長(zhǎng)為a的正方形，2張邊長(zhǎng)為b的正方形（a+2b），寬為（a+b）的長(zhǎng)方形（a+2b）（a+b），于是，我們可以得到等式（a+2b）（a+b）2+3ab+2b2.請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）根據(jù)圖②，寫(xiě)出一個(gè)代數(shù)恒等式：；（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決以下問(wèn)題：已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝60，求ab+bc+ac的值；（3）小華同學(xué)又用8張邊長(zhǎng)為a的正方形，15張邊長(zhǎng)為b的正方形，22張邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形，．25．（14分）數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，AC＝8，D是BC的中點(diǎn)【方法探索】（1）小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：如圖1，使DE＝AD，連接BE．根據(jù)SAS可以判定△ADC≌△EDB，即可得出中線AD的取值范圍是；【問(wèn)題解決】（2）由第（1）問(wèn)方法的啟發(fā)，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD；【問(wèn)題拓展】（3）如圖3，點(diǎn)D是BC邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A分別向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，若AD⊥EF，求證：EF＝2AD且AD為△ABC的中線．

2024-2025學(xué)年福建省福州十九中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分）1．（4分）有的美術(shù)字是軸對(duì)稱(chēng)圖形，下面四個(gè)美術(shù)字中可以看作軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：四個(gè)美術(shù)字中可以看作軸對(duì)稱(chēng)圖形的是“業(yè)”，故選：D．2．（4分）人字梯中間一般會(huì)設(shè)計(jì)一“拉桿”，這樣做的道理是（）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．垂線段最短 C．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 D．三角形具有穩(wěn)定性【解答】解：人字梯中間一般會(huì)設(shè)計(jì)一“拉桿”，是為了形成三角形，故選：D．3．（4分）下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．a(chǎn)2?a3＝a6 C．a(chǎn)3÷a2＝a D．（a2）3＝a5【解答】解：A、a2與a3是加，不是乘，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、a8?a3＝a2+4＝a5，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、a3÷a4＝a3﹣2＝a，故本選項(xiàng)正確；D、（a4）3＝a2×2＝a6，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．4．（4分）如圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB＝AD，BC＝DC．將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，沿AC畫(huà)一條射線AE，AE就是這個(gè)角的平分線．此儀器的原理是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【解答】解：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC＝∠BAC，即AE是∠DAE的平分線，故選：A．5．（4分）在聯(lián)歡會(huì)上，有A、B、C三名選手站在一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)位置上，他們?cè)谕妗皳尩首印庇螒?，誰(shuí)先搶到凳子誰(shuí)獲勝，為使游戲公平（）A．三邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn) C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三條高所在直線的交點(diǎn)【解答】解：根據(jù)題意得：當(dāng)木凳所在位置到A、B、C三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等時(shí)，∵線段垂直平分線上的到線段兩端的距離相等，∴凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃凇鰽BC的三邊垂直平分線的交點(diǎn)．故選：A．6．（4分）下列各分式中，是最簡(jiǎn)分式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、，不是最簡(jiǎn)分式；B、，不是最簡(jiǎn)分式；C、是最簡(jiǎn)分式；D、，不是最簡(jiǎn)分式．故選：C．7．（4分）下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是（）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2 C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x【解答】解：A選項(xiàng)不是因式分解，故不符合題意；B選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，故不符合題意；C選項(xiàng)是因式分解，故符合題意；D選項(xiàng)不是因式分解，故不符合題意；故選：C．8．（4分）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°（）A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C【解答】解：由作圖可知，∠DAE＝∠DAB，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADB（AAS），∴DB＝DE，AB＝AE，∵∠AED+∠B＝180°∴∠BAC+∠BDE＝180°，∵∠EDC+∠BDE＝180°，∴∠EDC＝∠BAC，故A，B，C正確，故選：D．9．（4分）圖中表示被撕掉一塊的正n邊形紙片，若a⊥b，則n的值是（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：如圖，延長(zhǎng)a，∵a⊥b，∴∠ABC＝90°，∴正多邊形的一個(gè)外角為，∴．故選：B．10．（4分）如圖，△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AC＝AB+5，BC＝12△BDC的最大值為（）A．12 B．15 C．30 D．60【解答】解：如圖：延長(zhǎng)AB，CD交點(diǎn)于E，∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠CAD＝∠EAD，∵CD⊥AD，∴∠ADC＝∠ADE＝90°，在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（ASA），∴AC＝AE，DE＝CD，∵AC＝AB+5，∴AE＝AB+5，即BE＝5；∵DE＝DC，∴S△BDC＝S△BCE，∴當(dāng)BE⊥BC時(shí)，S△BEC取最大值，即S△BDC取最大值．S△BDC＝××12×5＝15．故選：B．二、填空題：（本題共6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）若分式的值為零，則x的值是﹣2．【解答】解：若分式的值為零，∴x的值是﹣8，故答案為：﹣2．12．（4分）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（3，1）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣3，1）．【解答】解：平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（3，1）．故答案為：（﹣3，1）．13．（4分）已知等腰三角形一邊長(zhǎng)等于4，另一邊長(zhǎng)等于8，則此等腰三角形的周長(zhǎng)是20．【解答】解：當(dāng)4為底邊時(shí)，腰長(zhǎng)為8，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)＝4+8+8＝20，當(dāng)8為底邊時(shí)，腰長(zhǎng)為4，不能構(gòu)成三角形，故答案為：20．14．（4分）如果am＝3，an＝5，那么a2m﹣n＝．【解答】解：∵am＝3，an＝5，∴a7m﹣n＝（am）2÷an＝34÷5＝．故答案為：．15．（4分）計(jì)算：20242﹣4048×2023+20232+2023×2025＝4096576．【解答】解：20242﹣4048×2023+20232+2023×2025＝20246﹣2×2024×2023+20232+2023×2025＝（2024﹣2023）8+（2024﹣1）×（2024+1）＝6+20242﹣1＝20247＝4096576．故答案為：4096576．16．（4分）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，若∠BAD＝α，則∠ACB的度數(shù)為90°﹣α（用含α的代數(shù)式表示）．【解答】解：如圖，連接AB'，過(guò)A作AE⊥CD于E，∵點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB'，∴AB＝AB'，∴∠BAC＝∠B'AC，∵AB＝AD，∴AD＝AB'，又∵AE⊥CD，∴∠DAE＝∠B'AE，∴∠CAE＝∠BAD＝α，又∵∠AEB'＝∠AOB'＝90°，∴四邊形AOB'E中，∠EB'O＝180°﹣α，∴∠ACB'＝∠EB'O﹣∠COB'＝180°﹣α﹣90°＝90°﹣α，∴∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣α，故答案為90°﹣α．三、解答題（本題共9小題，共86分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡相應(yīng)的位置作答）17．（8分）計(jì)算：（1）x?x5+（﹣2x2）3；（2）（3x2y﹣xy2+4xy）÷（﹣2xy）．【解答】解：（1）原式＝x6+（﹣8x3）＝﹣7x6；（2）原式＝8x2y÷（﹣2xy）﹣xy8÷（﹣2xy）+4xy÷（﹣5xy）＝．18．（8分）如圖，CA＝CD，∠1＝∠2【解答】證明：∵∠1＝∠2，∴∠7+∠ECA＝∠2+∠ACE，即∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS）．∴DE＝AB．19．（8分）以下是小鵬化簡(jiǎn)代數(shù)式（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）﹣2a（a﹣3）的過(guò)程．解：原式＝a2﹣2a+4+a2﹣1﹣2a2+6a……①＝（a2+a2﹣2a2）+（﹣2a+6a）+（4﹣1）…②＝4a+3，……③（1）小鵬的化簡(jiǎn)過(guò)程在第①步開(kāi)始出錯(cuò)，錯(cuò)誤的原因是完全平方公式運(yùn)用錯(cuò)誤．（2）請(qǐng)你幫助小鵬寫(xiě)出正確的化簡(jiǎn)過(guò)程，并計(jì)算當(dāng)a＝﹣0.5時(shí)代數(shù)式的值．【解答】解：（1）小鵬的化簡(jiǎn)過(guò)程在第①步開(kāi)始出錯(cuò)，錯(cuò)誤的原因是完全平方公式運(yùn)用錯(cuò)誤，故答案為：①，完全平方公式運(yùn)用錯(cuò)誤；（2）（a﹣2）2+（a+2）（a﹣1）﹣2a（a﹣6）＝a2﹣4a+3+a2﹣1﹣5a2+6a＝2a+3．∴當(dāng)a＝﹣0.4時(shí)，原式＝2×（﹣0.7）+3＝﹣1+2＝2．20．（8分）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上．（1）畫(huà)出△ABC關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圖形△DEF（其中點(diǎn)A、B、C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是D、E、F）；（2）在y軸上找一點(diǎn)P，使得△PAC周長(zhǎng)最短，請(qǐng)畫(huà)出點(diǎn)P所在的位置【解答】解：（1）如圖1，△DEF為所求；（2）如圖2，作C點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是C′點(diǎn)、C′兩點(diǎn)，∵AC是定值，PA+PC最小，∴△PAC的周長(zhǎng)最小，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（3，2）．21．（8分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)P為AB邊上一點(diǎn)．（1）尺規(guī)作圖：請(qǐng)?jiān)贏C上求作一點(diǎn)D，使得PD∥BC（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）．（2）在（1）的條件下，AB＝AC，求證：△APD是等邊三角形．【解答】（1）解：作法：1．以點(diǎn)B為圓心，分別交AB、F；2．以點(diǎn)P為圓心，交PA于點(diǎn)H；6．連接EF，以EF長(zhǎng)為半徑作弧；4．作射線PI交AC于點(diǎn)I，點(diǎn)D就是所求的圖形．證明：由作圖得∠APD＝∠B，∴PD∥BC，∴點(diǎn)D就是所求的圖形．（2）證明：∵PD∥BC，∴∠APD＝∠B，∠ADP＝∠C，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠APD＝∠ADP，∴AP＝AD，∵∠A＝60°，∴△APD是等邊三角形．22．（10分）求證：頂角是銳角的等腰三角形腰上的高與底邊夾角等于其頂角的一半．（1）在圖中按照下面“已知”的要求，畫(huà)出符合題意的圖形，并根據(jù)題設(shè)和結(jié)論，用符號(hào)語(yǔ)言補(bǔ)充寫(xiě)出“已知”和“求證”．已知：在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．求證：∠BCD＝∠A．（2）證明上述命題．【解答】解：（1）已知：在△ABC中，AB＝AC，求證：∠BCD＝∠A．故答案為：CD⊥AB于D；∠BCD＝；（2）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝90°﹣∠A，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝（90°﹣∠A）﹣（90°﹣∠A）＝．23．（10分）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分線BE交AC于點(diǎn)E．點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，且AD＝AC，BE交于點(diǎn)M．（1）求∠DMB的度數(shù)；（2）若CH⊥BE于點(diǎn)H，證明：AB＝4MH．【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BE是∠ABC的角平分線，∴∠ABE＝∠CBE＝30°，∵∠A＝30°，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∴∠DMB＝∠ADC﹣∠ABE＝45°；（2）證明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∵CH⊥BE，∠CBE＝30°，∴BC＝2CH，∴AB＝2CH，在Rt△CHM中，∠CMH＝45°，∴CH＝MH，∴AB＝4MH．24．（12分）如圖①，小華同學(xué)用1張邊長(zhǎng)為a的正方形，2張邊長(zhǎng)為b的正方形（a+2b），寬為（a+b）的長(zhǎng)方形（a+2b）（a+b），于是，我們可以得到等式（a+2b）（a+b）2+3ab+2b2.請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）根據(jù)圖②，寫(xiě)出一個(gè)代數(shù)恒等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決以下問(wèn)題：已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝60，求ab+bc+ac的值；（3）小華同學(xué)又用8張邊長(zhǎng)為a的正方形，15張邊長(zhǎng)為b的正方形，22張邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形4a+5b或2a+3b，2a+3b、4a+5b．【解答】解：（1）由題意可得：（a+b+c）2＝a2+b7+c2+2ab+3ac+2bc；故答案為：（a+b+c）2＝a3+b2+c2+4ab+2ac+2bc；（2）由（1）可知：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+4bc，將a+b+c＝10，a2+b2+c8＝60代入上式，可得：102＝60+2ab+3ac+abc，則2ab+2ac+4bc＝40，故ab+ac+bc＝20；（3）∵長(zhǎng)方形的總面積為：8a2+15b3+22ab，∴8a2+15b3+22ab＝（4a+5b）（2a+3b），該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為4a+3b或2a+3b，寬為7a+3b或4a+4b．故答案為：4a+5b、8a+3b或2a+2b．25．（14分）數(shù)學(xué)興趣小組在