高等數(shù)學(xué)（第二版）課件：向量值函數(shù)和空間曲線

高等數(shù)學(xué)（第二版）一、空間曲線二、極限和連續(xù)向量值函數(shù)和空間曲線空間解析幾何三、導(dǎo)數(shù)和運(yùn)動(dòng)四、微分法則五、定長(zhǎng)的向量函數(shù)六、向量函數(shù)的積分一、空間曲線點(diǎn)

就組成了空間中的一條曲線，我們稱(chēng)之為質(zhì)點(diǎn)的路徑。上式中的方程和區(qū)間參數(shù)化了該曲線?？臻g曲線還可以表示為向量形式：當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在空間中經(jīng)歷時(shí)間區(qū)間

而運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們假設(shè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為定義在

上的函數(shù)：是實(shí)變量在區(qū)間I上的向量函數(shù)。二、極限和連續(xù)定義

若

，則若

，則向量函數(shù)

在定義域內(nèi)的點(diǎn)

連續(xù)。若其在定義域的每個(gè)點(diǎn)都連續(xù)，則函數(shù)是連續(xù)的。

在

處連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)分量函數(shù)在

處是連續(xù)的。例1．若

，則三、導(dǎo)數(shù)和運(yùn)動(dòng)定義

如果

和

在

處是可微的，則向量函數(shù)

在

處是可微的，其向量導(dǎo)數(shù)為如果在定義域內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)是可微的，則向量函數(shù)

是可微的。如果

是連續(xù)的并且恒不等于0，即

和

有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)并且不同時(shí)為0，則由

描繪的曲線是光滑的。導(dǎo)數(shù)的幾何意義若

不等于0，我們定義

為曲線在點(diǎn)P的切向量。曲線在點(diǎn)

的切線定義為過(guò)該點(diǎn)平行于

的直線。對(duì)光滑曲線我們要求

是為了保證曲線在每點(diǎn)有連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的切線。在光滑曲線上沒(méi)有拐角或尖。一條曲線由有限段光滑曲線以連續(xù)方式組成，則稱(chēng)之為分段光滑曲線當(dāng)

時(shí)，導(dǎo)數(shù)是沿空間中由

定義的曲線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的速度的模型。導(dǎo)數(shù)指向運(yùn)動(dòng)的方向并且給出位置對(duì)于時(shí)間的變化率。對(duì)于一條光滑曲線，速度恒不為零，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)也不停止或顛倒方向。定義

若

是沿空間光滑曲線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的位置，則在任何時(shí)刻

，下列定義適用：(1)，位置的導(dǎo)數(shù)，是質(zhì)點(diǎn)的速度向量，與曲線相切；(2)的大小，是質(zhì)點(diǎn)的速率；(3)，速度的導(dǎo)數(shù)及位置的二階導(dǎo)數(shù)，是質(zhì)點(diǎn)的加速度；(4)，一個(gè)單位向量，是運(yùn)動(dòng)方向。例2一個(gè)人在懸掛式滑翔機(jī)上由于遇到快速上升氣流而沿位置向量的路徑螺旋式地向上。路徑類(lèi)似于螺旋線并在圖中顯示了

部分，求：（1）速度和加速度向量；

（2）滑翔機(jī)在任何時(shí)刻

的速率；（3）如果有的話，滑翔機(jī)的加速度

正交于速度的時(shí)刻。解：（1）（2）速率是

的大小：滑翔機(jī)沿其路徑升高時(shí)運(yùn)動(dòng)得越來(lái)越快。（3）為求

和

正交的時(shí)刻，求

，使得于是，速度和加速度正交的惟一時(shí)刻是在

四、微分法則設(shè)

和

是

的可微向量函數(shù)，

是常向量，

是任意常數(shù)，而

是可微標(biāo)量函數(shù)。(2)數(shù)量倍數(shù)法則(3)和差法則(1)常函數(shù)法則(6)鏈?zhǔn)椒▌t(5)叉積法則(4)點(diǎn)積法則五、定長(zhǎng)的向量函數(shù)當(dāng)我們跟蹤以原點(diǎn)為中心的球面上運(yùn)動(dòng)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)時(shí)，位置向量有一個(gè)等于球面半徑的固定長(zhǎng)度。運(yùn)動(dòng)路徑相切，也切于球面，因此垂直于

。對(duì)于固定長(zhǎng)度的可微向量函數(shù)，向量與它的導(dǎo)數(shù)總是正交的。長(zhǎng)度固定時(shí)，函數(shù)的變化僅僅在方向上變化。方程變化時(shí)保持與

成直角。

是常數(shù)。兩端求導(dǎo)可得：即由數(shù)量積的可交換性，可知：它們的數(shù)量積為0，向量

與

正交。故有：例3．證明

有固定長(zhǎng)度并

且正交于它的導(dǎo)數(shù)。解：定義1對(duì)

的不定積分為

的所有反導(dǎo)數(shù)（原函數(shù)）的集合，記作

。若

是

的一個(gè)反導(dǎo)數(shù)（原函數(shù)），則六、向量函數(shù)的積分例4．求不定積分

。解：定義2

若

的分量在

是可積的，則

也如此，

從

到

的定積分定義為例5．求定積分解：例6．假定我們還不知道例2的滑翔機(jī)的路徑，而僅僅知道它的加速度向量還知道初始時(shí)刻（在時(shí)刻

）滑翔機(jī)從點(diǎn)

以速度

出發(fā)。求滑翔機(jī)在時(shí)刻

的位置。解：我們的