最值問(wèn)題-2024年中考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題

專題11最值問(wèn)題

易錯(cuò)點(diǎn)1:將軍飲馬

易錯(cuò)點(diǎn)2:三點(diǎn)共線

易錯(cuò)點(diǎn)3:兩動(dòng)一定

易錯(cuò)點(diǎn)4:兩動(dòng)兩定

易錯(cuò)點(diǎn)5:兩動(dòng)一定長(zhǎng)

易錯(cuò)點(diǎn)6:三動(dòng)點(diǎn)

易錯(cuò)點(diǎn)7:周長(zhǎng)最小

易錯(cuò)點(diǎn)8:中位線

易錯(cuò)點(diǎn)9:斜中定值

易錯(cuò)點(diǎn)10：隱直線

易錯(cuò)點(diǎn)11：矩形對(duì)角線

易錯(cuò)點(diǎn)12:數(shù)形結(jié)合

易錯(cuò)點(diǎn)13:螞蟻爬行

易錯(cuò)點(diǎn)14:切線與勾股定理

易錯(cuò)點(diǎn)15:圓錐側(cè)面展開圖

易錯(cuò)點(diǎn)16:手拉手

易錯(cuò)點(diǎn)17:費(fèi)馬點(diǎn)

易錯(cuò)點(diǎn)18:胡不歸

易錯(cuò)點(diǎn)1：兩動(dòng)一定

易錯(cuò)點(diǎn)2:點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑

易錯(cuò)點(diǎn)3:折疊圓

易錯(cuò)點(diǎn)4:直角圓

易錯(cuò)點(diǎn)5:定角定長(zhǎng)

易錯(cuò)點(diǎn)6:四點(diǎn)共圓

易錯(cuò)點(diǎn)7:瓜豆原理

易錯(cuò)點(diǎn)8:阿氏圓

直線軌跡專題

易錯(cuò)點(diǎn)1:將軍飲馬

例：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(1,1),B(3,3),點(diǎn)尸為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則為+P8的最小值為

()

A.275B.2月C.5D.V15

【答案】A

【分析】求出/點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)4,連接48,交x軸于點(diǎn)P,則尸即為所求點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間的距離公

式即可求解.

【詳解】解:作點(diǎn)/關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)4，連接48交x軸于點(diǎn)尸，則尸即為所求點(diǎn)；

?.?點(diǎn)N(1,1),

二點(diǎn)/關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)/'的坐標(biāo)為(1,1),

\'A'(1,1),B(3,3),

A'B=7(3-1)2+(3+1)2=2V5，

即H+P3的最小值為2vL

故選：A.

，234

【點(diǎn)睛】此題考查了最短線路問(wèn)題及兩點(diǎn)間的距離公式，解答此題的關(guān)鍵是熟知兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí).

變式1:如圖，。是。。的直徑，CD=8,448=20。，點(diǎn)3為弧4D的中點(diǎn)，點(diǎn)?是直徑上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，則PA+PB的最小值為.

B

I。

【答案】4

【分析】本題主要考查最短路徑及圓的基本性質(zhì).作點(diǎn)2關(guān)于直徑的對(duì)稱點(diǎn)E,連接/￡、04、OE、PE,

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短及軸對(duì)稱的性質(zhì)可得/E即為P/+PB的最小值，然后利用圓周角、圓心角、弧之間

的關(guān)系及等邊三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】解：作點(diǎn)8關(guān)于直徑8的對(duì)稱點(diǎn)￡,連接/E、OA,OE、PE,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短及軸對(duì)稱

的性質(zhì)可得ZE即為P/+P8的最小值，如圖所示：

:,BD=ED，

*：ZACD=20°f

：.ZAOD=40°,

???點(diǎn)5為弧石的中點(diǎn)，

:?俞與劭）的度數(shù)為20°,

：.ZEOD=20°9

：.ZAOE=60°,

OA=OE,

^\AOE是等邊三角形，

CD=8,

：.AE=OA=4f

即尸4+尸5的最小值為4,

故答案為：4.

易錯(cuò)點(diǎn)2：三點(diǎn)共線

例：如圖，在中，48=13,3。=10,。是2C中點(diǎn)，所垂直平分交邊于點(diǎn)E,交4C邊于

點(diǎn)尸，在E尸上確定一點(diǎn)P,使|尸3-尸判最大，則這個(gè)最大值為（）

A.10B.5C.13D.6.5

【答案】B

【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系.延長(zhǎng)8c交直線E尸于尸，在E尸上任取一點(diǎn)P不與點(diǎn)尸重合，連接P2,

P'D,根據(jù)三角形三邊關(guān)系證明此時(shí)，阿-尸口最大，最大值等于助長(zhǎng)即可求解.

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)BC交直線EF于P,在EF上任取一點(diǎn)尸’不與點(diǎn)尸重合，連接尸'2,P'D,

A

?：\P'B-P'D\<BD,\PB-PD\=\PD+BD-PD\=BD,

\PB-PD\>\P'B-P'D\,

此時(shí)，I心-pq最大，最大值等于8。長(zhǎng)，

?.?。是3C中點(diǎn)，

BD=-BC=-x10=5,

22

可-尸必最大值=5,

故選：B.

變式1：如圖，四邊形45CD中，AB//CD,NABC=90。,AB=5,BC=3,CD=3,點(diǎn)P為直線BC左

側(cè)平面上一點(diǎn)，ABC尸的面積為:，則|尸/-尸。的最大值為.

【答案】3拒

【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、勾股定理、平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是得到點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)路線.過(guò)尸

作PHLBC于H,由三角形的面積公式求得9=1,則點(diǎn)尸在平行于3C且與3C的距離為1的直線/上運(yùn)

動(dòng)，作C關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)c\連接NC并延長(zhǎng)交直線/于P,連接尸L，則|/尸-尸。=|/尸-尸C[W/C',

當(dāng)/、C、P共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)最大值為/C的長(zhǎng)度，過(guò)。作CW1于M利用勾股定理求解/C'

即可.

【詳解】解：過(guò)尸作PH,3c于

3

???ABCP的面積為一，BC=3,

2

A-BC-PH=-x3-PH=3,則尸H=1,

22

.?.點(diǎn)P在平行于BC且與BC的距離為1的直線/上運(yùn)動(dòng)，

作C關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)C',連接NC'并延長(zhǎng)交直線/于P,連接尸L，則|/尸-尸。=|/尸-尸C[W/C',

當(dāng)/、C、尸共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)最大值為|4P'-PC卜NC'的長(zhǎng)度，過(guò)C作CW1于

BM=CC=2OC=2,CM=BC=3,

在RtZUA/C'中，AM=AB-BM=3,

--/C=ylAM2+C'M2=V32+32=372，

故答案為：3也.

易錯(cuò)點(diǎn)3：兩動(dòng)一定

例：如圖，已知403=15。，點(diǎn)M在邊03上，且（W=4,點(diǎn)N和點(diǎn)尸分別是（W和。/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則

PM+PN的最小值為（）

【答案】B

【分析】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，垂線段最短及直角三角形30。角所對(duì)直角邊等于斜邊一半，作河關(guān)于04

的對(duì)稱點(diǎn)過(guò)作08交。/于一點(diǎn)即為最小距離和點(diǎn)尸，結(jié)合直角三角形30。角所對(duì)直角邊等

于斜邊一半求解即可得到答案.

【詳解】解：作M關(guān)于。/的對(duì)稱點(diǎn)出1，過(guò)作加戶，。3交04于一點(diǎn)P,如圖所示,

是M關(guān)于0/的對(duì)稱點(diǎn)，OM=4,乙408=15。,

ZM0M,-2ZAOB=30°,OMX=OM=4,PM=PMx,

M、N1OB,：.(PM+尸N)111ta=M、N,ZONM,=90°,

M.N=-OM.=2.

121

A(PM+PN)aia=2,

故選：B.

變式1：如圖，在四邊形4BC。中，AD//BC,AB^AC,BC=6,△D8C的面積為24,的垂直平

分線分別交N5,/C于點(diǎn)"、N,若點(diǎn)P和點(diǎn)0分別是線段兒W和3C邊上的動(dòng)點(diǎn)，則可+尸。的最小

值為.

【分析】連接/。，過(guò)點(diǎn)。作于利用三角形的面積公式求出由題意

PB+PQ=AP+PQ>AQ,求出/。的最小值，可得結(jié)論.

【詳解】解：連接40，過(guò)點(diǎn)。作DHL3c于H.

?.?ADBC面積為24,BC=6,

-BC-DH=24,

2

DH=8,

；MN垂直平分線段48，

PA=PB,

:.PB+PQ=AP+PQ＞AQ,

??.當(dāng)N0的值最小時(shí)，依+尸0的值最小，

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，的值最小,

AD//BC,DH1BC,

DH//AQ,

四邊形DHQA是平行四邊形，

-,?DH1BC,

四邊形是矩形，

AQ=DH=8.

二尸8+尸。的值最小值為8.

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱最短問(wèn)題，平行線的性質(zhì)，三角形的面積，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵是把最短問(wèn)題轉(zhuǎn)化為垂線段最短，屬于中考?？碱}型.

易錯(cuò)點(diǎn)4：兩動(dòng)兩定

例：如圖，已知正比例函數(shù)〉=依（后＞0）的圖象與x軸相交所成的銳角為70。，定點(diǎn)/的坐標(biāo)為（0,4）,

P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M、N為函數(shù)》=依（左＞0）的圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則/M+MP+PN的最小值為（）

B.4sin40°

C.2百D.4sin20°(l+cos200+sin200cos20°)

【答案】C

【分析】如圖所示直線OC、y軸關(guān)于直線對(duì)稱，直線。。、直線關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)4是點(diǎn)/關(guān)

于直線＞=履的對(duì)稱點(diǎn)，作，E_LO￡＞垂足為E,交夕軸于點(diǎn)尸，交直線y=弱于作尸ALL直線垂

足為N,此時(shí)/M+PM+PN=4A/+P"+PE=/￡最小（垂線段最短），在RTAAEO中利用勾股定理即可解決.

【詳解】解：如圖所示，直線。C、y軸關(guān)于直線夕=依對(duì)稱，直線?！辏尽⒅本€y=質(zhì)關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)，

是點(diǎn)/關(guān)于直線了=履的對(duì)稱點(diǎn).

作，E_LOZ＞垂足為E,交y軸于點(diǎn)尸，交直線y=弱于作尸N_L直線y=fcc垂足為N,

,:PN=PE,AM=A'M,

：.AM+PM+PN^A'M+PM+PE^A'E最小（垂線段最短），

在RTA/EO中，VZA'EO=90°,0A'=4,ZA'OE=3ZAOM=60°,

OE——OA'=2,A'E=yjOA'2—OE~=2百.

J.AM+MP+PN的最小值為26.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱-最短問(wèn)題、垂線段最短、直角三角形30度角的性質(zhì)、勾股定理、一次函數(shù)等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱性質(zhì)正確找到等尸的位置，題目有點(diǎn)難度，是最短問(wèn)題中比較難的題目.

變式1：如圖，已知正比例函數(shù)＞=履（左＞。）的圖象與x軸相交所成的銳角為70。，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,4）,P

為V軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M、N為函數(shù)＞=丘化＞0）的圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則NM+"尸+PN的最小值

【答案】2月

【分析】本題考查了軸對(duì)稱，最短問(wèn)題，垂線段最短，直角三角形30。角的性質(zhì)，勾股定理，利用軸對(duì)稱性,

找到正確的尸的位置是解答本題的關(guān)鍵.

作直線OC與夕軸關(guān)于直線＞=區(qū)對(duì)稱，直線OD與直線＞=自關(guān)于V軸對(duì)稱，點(diǎn)H是點(diǎn)A關(guān)于直線＞=區(qū)的

對(duì)稱點(diǎn)，作4E_L。。，作PN1MN,此時(shí)/W+MP+PN最小，即4W+尸M+尸N=/E,在RdHE。中，

利用勾股定理得到答案.

【詳解】如圖，直線OC與V軸關(guān)于直線、=丘對(duì)稱，

直線OD與直線y=丘關(guān)于V軸對(duì)稱，

點(diǎn)A'是點(diǎn)A關(guān)于直線y=kx的對(duì)稱點(diǎn),

作HE_L。。，垂足為E,交V軸于點(diǎn)P,交直線y=丘于點(diǎn)

作PNLMN,

PN=PE,AM=A'M,

AM+PM+PN=A'M+PM+PE=A'E,

止匕時(shí)/"++PN最小，

在RtUEO中，

ZA'EO=90°,OA'=4,ZA'OE=3ZAOM=60°,

OE=-OA'=2,

2

A'E=yJOAa-OE2=V42-22=273，

，NM+MP+PN的最小值為26,

故答案為：2也.

易錯(cuò)點(diǎn)5：兩動(dòng)一定長(zhǎng)

例：如圖，長(zhǎng)方形48co中，AB=4,BC=2,G是/。的中點(diǎn)，線段"在邊上左右滑動(dòng)，若跖=1,

則GE+CF的最小值為（）

A.273B.2V2C.372D.36

【答案】C

【分析】將FC沿著用向左平移使尸與E重合，得到C'E,根據(jù)動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題“將軍飲馬”模型，作G關(guān)于

的對(duì)稱點(diǎn)G',連接C'G',此時(shí)GE+CF的最小值為線段C'G'長(zhǎng)，利用勾股定理求解即可得到答案.

【詳解】解：將尸C沿著所向左平移使尸與E重合，得到C'E,如圖所示：

由平移性質(zhì)得到EC=FC,EF=CC,

：.GE+CF=GE+EC,

作G關(guān)于48的對(duì)稱點(diǎn)G',連接C'G'、G'E、EC,如圖所示:

由對(duì)稱性得到G'E=GE,

GE+CF=GE+EC'^G'E+EC,

由圖可知，GE+CF=GE+EC'=G'E+EC'>G'C',止匕時(shí)，當(dāng)G'、E、C'三點(diǎn)共線時(shí)，GE+CF有最小值,

為線段C'G'長(zhǎng)，

-.,EF=\,

CC'=EF=\,

在長(zhǎng)方形NBCD中，AB=4,BC=2,由矩形性質(zhì)可得40=3C=2,48=OC=4,

DC'=DC-CC'=4-1=3,

G是4D的中點(diǎn)，

,-.GA=-AD=l,

2

???G與G'關(guān)于的對(duì)稱,

：.AG'=AG=1,

在長(zhǎng)方形/BCD中，Dr>=90°,

.,.在RL^G'DC'中，DD=90°,DG'=AD+AG'=3,DC'=3,由勾股定理得到

G'C=JS+G'》=胃+32=3逝，

，GE+CF的最小值3也,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題將軍飲馬模型，涉及平移性質(zhì)、對(duì)稱性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握動(dòng)

點(diǎn)最值問(wèn)題將軍飲馬模型題型的識(shí)別及做題方法步驟是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

變式1：如圖，春3。中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=2,若D,￡是邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，尸是邊4C上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，DE=①，則CD+E尸的最小值為

2

【分析】過(guò)C作的對(duì)稱點(diǎn)￡,連接CC,，交于N；過(guò)。作CG〃/3,且GG=也，過(guò)&作u尸，zc

于尸，交4B于E,下的長(zhǎng)度即為所求最小值，根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：如圖，過(guò)C作N8的對(duì)稱點(diǎn)￡,連接cq,交AB于N；過(guò)。作且過(guò)

C2作Q尸，NC于R交4B于E,C2尸的長(zhǎng)度即為所求最小值,

*.?C]C2//DE,CIC2=DE,

???四邊形是平行四邊形，

CXDEC2

：.CXD=C2E,

又?.?c,a關(guān)于對(duì)稱，

.??CD=CXD,

CD+EF=C2F,

-：ZA=30°,ZACB=90°,

/?AC=6BC=2V3，

/.CN=y[3,AN=3,

過(guò)C?作。2屈_1_/8,則C?M=GN=CN=。,

：.C2M//GMCjC2//MN,

：.MN=ClC2=41,

?：ZMEC2=ZAEF,ZAFE=NC2ME=90P,

ZMC2E=//=30°,

在中，ME=1CM=^GE=2,

?*.AE=AN-MN-ME=3-叵-1=2-72-

.,V2

??hr/cr-1------,

2

?V2V2

..CF=2+1--=3-—.

9222

即：8+￡尸的最小值為3-，2.

2

【點(diǎn)睛】本題考查利用軸對(duì)稱解決線段和最小問(wèn)題.同時(shí)考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，含30度角的直

角三角形，勾股定理.熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，確定線段和的最小值，是解題的關(guān)鍵.

易錯(cuò)點(diǎn)6：三動(dòng)點(diǎn)

例：如圖，在直角三角形4BC中，，ZACB=30°,43=8,點(diǎn)尸為3c上任意一點(diǎn)，連接P4,以P/,PC

為鄰邊作平行四邊形為0C,連接尸Q,則尸。的最小值為（）

c

Q

A.3B.4A/3C.6D.2^3

【答案】B

【分析】設(shè)P。與AC交于點(diǎn)。，作。P_L3c于P，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得BC=2/3=16,根據(jù)勾股

定理得4c=86，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得。4=OC=4百，根據(jù)。尸'_L5C,N/CB=30。得

OP'=；OC=牛,當(dāng)P與尸'重合時(shí)，。尸的值最小，則P。的值最小，進(jìn)行計(jì)算即可得.

【詳解】解：如圖所示，設(shè)尸。與/C交于點(diǎn)。，作OP,8c于尸’，

BC=2AB=16,

?*-AC=^BC2-AB2=V162-82=8百，

,/四邊形PAQC是平行四邊形，

二0/=OC=4百，

OP'1BC,NACB=30°,

146

??.OP=±OC=>2

22

當(dāng)尸與尸’重合時(shí)，OP的值最小，則尸。的值最小,

：.PQ的最小值為：2OP'=473，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)和垂線段最短的性質(zhì).

變式1：如圖，A/BC中，AC=BC=3,48=2,將它沿48翻折得到△48。，點(diǎn)尸、E、尸分別為線段48、AD、

DB上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值是.

D

【答案】當(dāng)乎

【分析】首先證明四邊四邊形/8C。是菱形，作出/關(guān)于N8的對(duì)稱點(diǎn)再過(guò)M作ME」/。，交4B于

點(diǎn)P,此時(shí)PE+PF最小，求出ME即可.

【詳解】解：作出/關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)再過(guò)M作ME」/。，交48于點(diǎn)P,此時(shí)尸E+P尸最小，此時(shí)

P'E'+P'F=ME',過(guò)點(diǎn)/作NNJ_8C,CHLAB于H,

???LABC沿AB番可折得至

：.AC=AD,BC=BD,

U：AC=BC,

:.AC=AD=BC=BD,

???四邊形/Z)5C是菱形,

■:AD/IBC,

：.ME'=AN,

?：AC=BC,

.\AH=^-AB=lf

由勾股定理可得，CH=庫(kù)下=2日

*：yxABxCH=yxBOAN,

可得NN=逑，

3

：.ME'=AN=—,

.?.PE+尸產(chǎn)最小為逑.

3

故答案為：逑.

3

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，等腰三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱-最短問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知

識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

易錯(cuò)點(diǎn)7：周長(zhǎng)最小

例：如圖，乙103=30。，OC為內(nèi)部一條射線，點(diǎn)尸為射線OC上一點(diǎn)，。尸=6,點(diǎn)M、N分別為。4、

OS邊上動(dòng)點(diǎn)，則△MAP周長(zhǎng)的最小值為（）

C.12D.18

【答案】A

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是確定河、N的

位置.作點(diǎn)尸關(guān)于。/的對(duì)稱點(diǎn)6,點(diǎn)尸關(guān)于03的對(duì)稱點(diǎn)公，連接召6,與的交點(diǎn)即為點(diǎn)“，與08的

交點(diǎn)即為點(diǎn)N,則此時(shí)M、N符合題意，求出線段的長(zhǎng)即可.

【詳解】解：作點(diǎn)尸關(guān)于。4的對(duì)稱點(diǎn)6,點(diǎn)P關(guān)于。的對(duì)稱點(diǎn)￡,連接月與。工的交點(diǎn)即為點(diǎn)

與03的交點(diǎn)即為點(diǎn)N,

△PMN的最八、同長(zhǎng)為PM+MN+PN=RM+MN+PK=PR,

連接。耳OP2,貝lJOq=O￡=OP=6,/qOA=N4OC,"OB=NBOC,

：.Z^OF^=2ZAOB=60o,

.?.△。耳鳥是等邊三角形，

/.PXP2=OPX=6,即APAW的周長(zhǎng)的最小值是6.

故選：A.

變式1：如圖，在AABC中，點(diǎn),D為AB上一動(dòng)點(diǎn)、,連接C。，點(diǎn)￡為線段C。上一點(diǎn)，點(diǎn)R點(diǎn)G分別為

邊G4,邊C8上的動(dòng)點(diǎn)，若N/C8=30。，CE=6,貝UAEFG的周長(zhǎng)的最小值為.

【答案】6

【分析】本題考查了軸對(duì)稱-最短路徑問(wèn)題，等邊三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)?作點(diǎn)E關(guān)于直線/C

的對(duì)稱點(diǎn)M點(diǎn)￡關(guān)于直線8c的對(duì)稱點(diǎn)N,連接九W交/C于巴交8C于G,則此時(shí)，AEFG的周長(zhǎng)最小,

最小值=MN,根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：作點(diǎn)E關(guān)于直線ZC的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)￡關(guān)于直線8c的對(duì)稱點(diǎn)N,連接MN交/C于尸，交8c

于G,

則此時(shí)，AEFG的周長(zhǎng)最小，且A￡FG的周長(zhǎng)的最小值=MN,

連接CM,CN,

點(diǎn)E關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)N,

Z.CM=CE=CN=6,ZMCF=ZECF,ZNCG=ZECG,

：.NMCF+ZNCG=NECF+ZECG=30°,

/.NMCN=60°,

：.ACW是等邊三角形,

：.MN=CM=6,

...AEFG的周長(zhǎng)的最小值為6,

故答案為：6.

易錯(cuò)點(diǎn)8：中位線

例：如圖，在平行四邊形N3CD中，ZC=135°,AB=2,AD=3,點(diǎn)、H,G分別是CD,3C上的動(dòng)點(diǎn)，連

接/H,GH.E,F分別為4H,G〃的中點(diǎn)，則所的最小值是（)

「V2

A.2B.41V/?--------D.272

2

【答案】C

【分析】作匐,―根據(jù)中位線定理可推出"4/G,進(jìn)一步可得當(dāng)/G-C時(shí)’"G有最小值，此

時(shí)EF的值也最小.據(jù)此即可求解.

【詳解】解：作如圖:

?:E,歹分別為力〃，G"的中點(diǎn)

：.EF=-AG

2

故：當(dāng)NG，3c時(shí)，/G有最小值，此時(shí)E尸的值也最小

的最小值是g/0

?.?/C=135。，48=2

48=180°-135°=45°

.?./Q=4Bxsin45o=m

的最小值是"

2

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形等.掌握相關(guān)結(jié)論即可.

變式1：已知矩形/BCD中，=2ND=4,點(diǎn)E、尸分別是邊48、的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為/。邊上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)

點(diǎn)尸作與平行的直線交"于點(diǎn)G,連接PE,點(diǎn)”是PE中點(diǎn)，連接MG,則MG的最小值=

5

【分析】連接ZC交尸G與點(diǎn)N,連接EN,利用勾股定理求得/C=26,即有sinNA4c=(,根據(jù)平行得

△ANGs公4CF和AAPGs^ADF,有--.則有MG為△尸EN的中位線，即J/G=—EN,當(dāng)

CFAFDF2

EN

ENL/C時(shí)，EN最小,MG也最小，利］用sin/A4C=—,即可求得答案.

AE

【詳解】解：連接/C交尸G于點(diǎn)N,連接EN,如下圖:

CD的中點(diǎn),

CF=FD=AE=2,AC-A/AD2+CD2=弋22+4?=2#:,

2

sinZBAC=—=—^

CA2755

???PGHCD,

：."NGs八ACF,△/尸Gs“DF,

.NGAGPG

*CF-AF-5F

?:CF=FD,

:?NG=PG,

???點(diǎn)M是PE的中點(diǎn),

???MG為小PEN的中位線,

：.MG=-EN,

2

當(dāng)硒_14。時(shí)，￡N最小，MG也最小,

V—=sinZ5^C=—

AE5

?口z2V5

??EN----

5

則水?=」四=\垣=正

2255

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、三角形中位線和三角函數(shù)的應(yīng)用.解題

關(guān)鍵是恰當(dāng)作輔助線，并得出中位線.

易錯(cuò)點(diǎn)9：斜中定值

例:如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形/8CD的兩個(gè)頂點(diǎn)43是坐標(biāo)軸上的動(dòng)點(diǎn)，若正方形的邊長(zhǎng)為

4,則線段0C長(zhǎng)的最大值是0

A.2+26B.2+2指C.472D.8

【答案】B

【分析】取的中點(diǎn)￡,連接OE、CE,則=根據(jù)正方形的性質(zhì)及勾股定理得出CE=2右,

0E=；AB=2,結(jié)合圖形得出當(dāng)點(diǎn)￡在線段OC上時(shí)，線段0C的長(zhǎng)最大，即可求解.

【詳解】解：如圖，取NB的中點(diǎn)￡,連接?！辍E,則=

.四邊形/BCD是正方形，邊長(zhǎng)為4,

ZABC=90°,AB=BC=4,則BE」48=2,

2

在RLCEB中，ZCBE=90°,由勾股定理，得CE7BC?+BE?=2下，

?.?在RtA/03中，//。3=90。，點(diǎn)E是斜邊的中點(diǎn)，

OE=-AB=2,

2

由圖可知：OCWOE+EC,當(dāng)點(diǎn)￡在線段OC上時(shí)，線段。C的長(zhǎng)最大，最大值是O￡+CE=2+26，

故選B.

【點(diǎn)睛】題目主要考查正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，勾股定理解三角形及三角形三邊關(guān)

系，理解題意，熟練掌握運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

變式1：如圖，長(zhǎng)方形兩邊長(zhǎng)/3=2,/。=1,兩頂點(diǎn)48分別在y軸的正半軸和x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng),

則頂點(diǎn)D到原點(diǎn)0的距離最大值是.

【答案】1+V2/V2+1

【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，三角形三邊關(guān)系，確定出0。過(guò)

A3的中點(diǎn)時(shí)值最大是解題的關(guān)鍵.取的中點(diǎn)E,連接。。、0E、DE,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等

于斜邊的一半可得。石=34?，利用勾股定理列式求出。E,然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊可得

過(guò)點(diǎn)￡時(shí)最大.

【詳解】解：如圖：取線段48的中點(diǎn)E,連接?！āE、DE,

,:AB=2,點(diǎn)￡是的中點(diǎn)，ZAOB=90°,

AE=BE=1=OE,

?.?四邊形/BCD是長(zhǎng)方形，

/O=BC=1,ZDAB=90°,

?*-DE=ylAE2+Alf=V2>

OD<OE+DE,

當(dāng)點(diǎn)。，點(diǎn)E,點(diǎn)。共線時(shí)，OD的長(zhǎng)度最大.

/.點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離=OE+DE=\+也,

故答案為：1+收.

易錯(cuò)點(diǎn)10：隱直線

例：如圖，在長(zhǎng)方形48CD中，AB=5,AD=3,動(dòng)點(diǎn)P滿足S△4》=長(zhǎng)方/比。，則取+尸2的最小值為

A.V41B.V34C.V29D.5亞

【答案】A

【分析】本題考查矩形性質(zhì)，勾股定理.根據(jù)題意先求出AP/B的面積，再利用作對(duì)稱分析線段相加最小值

后用勾股定理即可求出本題答案.

【詳解】解：設(shè)AP/B中4B邊上的高是〃，

?.?在長(zhǎng)方形4BCD中，AB=5,/。=3,

S長(zhǎng)方形4BC3=5X3=15,

?S△戶4g=-S長(zhǎng)方形age。，

??=—xl5=5,

—AB*h=—x5?A=5,即/z=2,

22

動(dòng)點(diǎn)尸在與45平行且與的距離是2的直線/上，如圖，作A關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)E,連接BE,則BE

即為最短距離，

,?AB=5,/E=2+2=4,

?*-BE=^AB2+AE2=A/52+42=741，

/.PA+PB的最小值為"1,

故選：A.

變式1：如圖，在矩形/8C。中，AB=5,4D=12,點(diǎn)E是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接BE、CE,SNBCE=^S^ABCD,

廠為AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接E尸，則8E+CE+EE的最小值是.

【分析】取的中點(diǎn)M,CD的中點(diǎn)N,連接MMBD交于點(diǎn)、E，,過(guò)點(diǎn)￡作石戶」/。于尸"過(guò)點(diǎn)E作

EG，BC于點(diǎn)G,求出8。=^AB2+AD2=13，由M、N分別是C。的中點(diǎn)得到=CN=g,MN〃BC,

根據(jù)鳳/￡=；5矩如88求得￡6=3,則點(diǎn)￡在線段MN（不包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，證明EC=￡。，當(dāng)且僅當(dāng)8、

￡、￡＞三點(diǎn)共線時(shí)，BE+CE最小,即8￡'+尊'=8。=13為的+?！甑淖钚≈担牲c(diǎn)尸在AD上運(yùn)動(dòng)，得至U

當(dāng)ERU40時(shí)，EF取得最小值*,即可得到BE+CE+FE的最小值.

2

【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)M,C。的中點(diǎn)N,連接MN、助交于點(diǎn)￡,過(guò)點(diǎn)燈作于廣，，

過(guò)點(diǎn)￡作EGL3C于點(diǎn)G,

?.?矩形ZBCD中,AB=5,AD=12,

?*-BD=^AB2+AD-=A/52+122=13，

■:M、N分別是48、CD的中點(diǎn)，

BM=CN=~,MN〃BC,

2

"S'BCE=]$矩形4BC。，

：.-BC-EG=-ABAD,§P-xl2x￡,G=-x5xl2,

2424

Z.EG=~,

2

...點(diǎn)E在線段兒W（不包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，

；C、。關(guān)于直線MN對(duì)稱，

EC=ED,

當(dāng)且僅當(dāng)3、￡、。三點(diǎn)共線時(shí)，BE+CE最小,即8E'+CE'=5D=13為8E+CE的最小值,

:點(diǎn)尸在上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)￡戶'_L時(shí)，EF取得最小值|,

531

???BE+CE+FE的最小值是：BE'+CEr+EF=BD+E'F'=13+—=—,

22

31

故答案為：一.

2

【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)、最短路徑等知識(shí)，求出8E+CE和斯的最小

值是解題的關(guān)鍵.

易錯(cuò)點(diǎn)11:矩形對(duì)角線

例：如圖，RtZ\48C中，ZACB=90°,NC=3,BC=4.點(diǎn)。是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作邊/C、BC

垂線，垂足分別為E,F.連接EF,則E尸的最小值為（）

A.3B.2.4C.4D.2.5

【答案】B

【分析】連接C。，求出的長(zhǎng)度，根據(jù)矩形的性質(zhì)所=CO,求E尸的最小值，即求CD的最小值，當(dāng)

CDL/8時(shí)，CD最?。桓鶕?jù)三角形的面積公式即可求出CD的長(zhǎng)，即可求解

【詳解】解：連接

VZACB=90°,AC=3,BC=4,

?*-AB=yjAC2+BC2=5，

'：DEIAC,DFBC,ZACB=90°,

：.ZDEC=ZACB=ZDFC=90°,

.??四邊形CEZ加是矩形：

CD=EF,

由垂線段最短可知，當(dāng)CD，43時(shí)，線段CD最小，則線段E尸的值最小,

此時(shí)LBC=J8C/C=，

gp|x3x4=1x5xC￡>

CD=2.4

.?.EF的最小值為2.4,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短以及三角形面積等知識(shí)，熟練掌握矩

形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式1:如圖,直線廠?3與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A,3,點(diǎn)尸是線段溜上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作尸軸于

點(diǎn)作PNLy軸于點(diǎn)N,連接則線段兒W的最小值為.

【分析】如圖，連接。尸，依題意，四邊形(WPN是矩形，則OP=ACV,當(dāng)O尸148時(shí)，。尸最小，用等

面積法求得。尸即可.本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，找到MV=。尸是解題的關(guān)鍵.

【詳解】如圖，連接。尸，

、?過(guò)點(diǎn)尸作尸軸于點(diǎn)M,作尸軸于點(diǎn)N,ZAOB=90°,

四邊形OMPN是矩形，

OP=MN,

.,.當(dāng)。尸//3時(shí)，0尸最小，

???直線y=?x+3與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)/,B,

4

令x=0,貝！］y=3,

，/(0,3),

令y=0,貝!Jo==x+3,解得X=Y,

4

/.5(—4,0)

0/=3,05=4,

/.AB=ST+OB2=打+42=5,

當(dāng)時(shí)，

SAABC=^OAXOB=^OPXAB,

八nOAxOB3x412

/.OP=-----------=------=——.

AB55

MN=OP=—.

5

12

故答案為：y.

易錯(cuò)點(diǎn)12：數(shù)形結(jié)合

例：函數(shù).=6+2為+2+6-6人+13的最小值是()

A.2+V17B.1+2五C.5D.M

【答案】C

【分析】把y=Vx2+2x+2+，尤2-6x+13配方得J(x+l)2+(0-lf+J[_3j+Q_2j，得到y(tǒng)就是在x軸

上的點(diǎn)尸(x,0)到和3(3,2)的距離之和，求得點(diǎn)4(-1,1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為4(-1,-1),連接A'B交

x軸于尸，則此時(shí)，點(diǎn)尸(工，0)到《(-1,1)和3(3,2)的距離之和最小，即為的長(zhǎng)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式

即可得到結(jié)論.

y

【詳解】，%

,/y-y/x2+2x+2+V^-6x+13

=J(x+l)+(0-1)+加-3)2+(0-2『

?-?y就是在X軸上的點(diǎn)尸(x,o)到和5(3,2)的距離之和,

?.?點(diǎn)關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)為H(TT)

連接42交x軸于點(diǎn)尸，

則此時(shí)，點(diǎn)尸(x,0)到和3(3,2)的距離之和最小，即為45的長(zhǎng)，

，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得：A'B=^(-1-3)2+(-1-2)2=5，

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的最值，兩點(diǎn)間的距離公式，推理出函數(shù)的最值就是48的長(zhǎng)，是解題的關(guān)鍵.

變式1：數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說(shuō)：“對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東

西，這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則”.在復(fù)習(xí)二次根式時(shí)，老師提出了一個(gè)求代數(shù)式最小值的問(wèn)題，如：“當(dāng)

0<x<12時(shí)，求代數(shù)式J/+4+J(12-X)2+9的最小值”,其中定毒可看作兩直角邊分別為x和2的

RtA/C尸的斜邊長(zhǎng)，如二不方可看作兩直角邊分別是12-x和3的RtABD尸的斜邊長(zhǎng).于是構(gòu)造出如圖,

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求NP+5P的最小值.運(yùn)用此方法，請(qǐng)你解決問(wèn)題：已知°,6均為正數(shù)，且。-10=-人則

+9+”2+25的最小值是?

【答案】2屈

【分析】根據(jù)題中所給的思路，將V7萬(wàn)可以可看作兩直角邊分別是。和3的RtA/CP的斜邊長(zhǎng)，爐石

可以可看作兩直角邊分別是b和5的RSAD尸的斜邊長(zhǎng)，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求AP+AP的最小值，連接/比則

NP+AP的最小值為N3,再利用勾股定理計(jì)算出即可.

【詳解】解：如圖：而行可以可看作兩直角邊分別是。和3的R"/C尸的斜邊長(zhǎng)，+25可以可看作

兩直角邊分別是。和5的RtABZ)尸的斜邊長(zhǎng)，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求AP+5P的最小值，連接則4P+B尸的最

小值為48,

,：a-\O=-b,即。+6=10,

BE=10,

*.*AE=3+5=8,

/8=J102+82=2兩,

AP+BP的最小值為2a，

故答案為：2屈.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是理解題中所給的思路，根據(jù)題干中的思路進(jìn)行解答.

易錯(cuò)點(diǎn)13：螞蟻爬行

例：如圖，已知圓柱底面的周長(zhǎng)為6m,圓柱高為3m,8c為底面圓的直徑，一只螞蟻在圓柱的表面上從點(diǎn)

A爬到點(diǎn)C的最短距離為（）m

A

A.275B.3亞C.3#>D.572

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，把圓柱的側(cè)面展開，找出最短路徑/C,利用勾股定理解答即可求解,

把圓柱的側(cè)面展開，找出最短路徑是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，線段ZC的長(zhǎng)度即為螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)C的最短距離，

BC

??,圓柱底面的周長(zhǎng)為6m,

BC=-x6=3m,

2

\*AB=3m,

,,AC—J32+3?=3y[2m，

；?螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)C的最短距離為30m，

故選：B.

變式1：如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15,寬為10,高為20,點(diǎn)3離點(diǎn)。的距離為5,一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體

的表而從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,需要爬行的最短距離是

【答案】25

【分析】本題主要考查幾何體的展開圖及勾股定理，由題意得：①當(dāng)把長(zhǎng)方體按照正面和右側(cè)進(jìn)行展開時(shí),

②當(dāng)沿長(zhǎng)方體的右側(cè)和上面進(jìn)行展開時(shí)，然后利用勾股定理進(jìn)行求解最短路徑即可.

【詳解】解:由題意得：

①當(dāng)把長(zhǎng)方體按照正面和右側(cè)進(jìn)行展開時(shí)，如圖所示：

在Rt"DB中，AB=yjBD2+AD2=25；

②當(dāng)沿長(zhǎng)方體的右側(cè)和上面進(jìn)行展開時(shí)，如圖所示:

在RUADB中，AB=yjBD-+AD2=7725；

:V725>25,

一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,

需要爬行的最短距離是25,

由長(zhǎng)方體的特征可得其他途徑必定比①②兩種更遠(yuǎn)，故不作考慮;

故答案為：25.

易錯(cuò)點(diǎn)14：切線與勾股定理

例：如圖，。。的半徑為2,點(diǎn)。到直線/的距離為3,點(diǎn)P是直線/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，尸。切。。于點(diǎn)。,

則的最小值為（）

A.V13B.y/5C.3D.2

【答案】B

【分析】此題綜合考查了切線的性質(zhì)及垂線段最短等知識(shí)點(diǎn).因?yàn)镻。為切線，所以△。尸0是直角三角形.又

。。為定值，所以當(dāng)O尸最小時(shí)，尸。最小，根據(jù)垂線段最短，知OP=3時(shí)尸。最小，根據(jù)勾股定理得出結(jié)論

即可.

【詳解】解：：尸。切于。。于點(diǎn)0,

ZOQP=90°,

：.PQ2=OP2-OQ2.

又OQ=2,

：.PQ2^OP2-4,即PQ=dop2-4,

.?.當(dāng)O尸最小時(shí)，尸。有最小值.

又?.?點(diǎn)O到直線/的距離為3,

二。尸的最小值為3,

???%”=5^=技

故選：B.

變式1：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，P是直線/8：y=；x+3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，OO的半輕為1,過(guò)點(diǎn)尸作。。

的切線，切點(diǎn)為。，則PQ長(zhǎng)度的最小值為.

【分析】首先確定點(diǎn)48坐標(biāo)，利用勾股定理解得的長(zhǎng)度；連接。尸，0Q,切線的性質(zhì)可得O。，尸0,

所以在RtZXO尸。中，由勾股定理可得"0=&）尸-。埋,當(dāng)。尸1/8時(shí)，OP取最小值，尸。也取最小值，

然后利用面積法解得。尸的值，進(jìn)而確定P。長(zhǎng)度的最小值即可.

【詳解】解：對(duì)于直線/B：y=|x+3,

令x=0,貝！J>=3,即8（0,3）,

令>=0,則0=；x+3,角軍得了=-6,即4（一6,0）,

：.OA=6,0B=3,

'：ZAOB=90°,

,,AB—VOA2+OB2=V62+32=3y/5,

連接。P,OQ,如下圖,

?.?尸。為。。的切線，。。的半輕為1,即。。=i,

OQLPQ,

.?.在RtZkO尸。中，PQ=dop2_0Q。,

當(dāng)OP143時(shí)，。尸取最小值，P。也取最小值，

止匕時(shí)可有S.0AB=^ABxOP=^OAxOB,

即工x3指xOP=！x6x3,解得。P=述，

225

??PQ=J。次-。。=榨Y-f=%，

.??尸。長(zhǎng)度的最小值為逅.

故答案為：運(yùn)

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問(wèn)題、勾股定理、垂線段最短、切線的性質(zhì)定理等知

識(shí)，正確作出輔助線，結(jié)合切線的性質(zhì)分析問(wèn)題是解題關(guān)鍵.

易錯(cuò)點(diǎn)15：圓錐側(cè)面展開圖

例：如圖，圓錐的底面半徑是2,母線長(zhǎng)是6.如果點(diǎn)A是底面圓周上一點(diǎn)，從點(diǎn)A拉一根繩子繞圓錐側(cè)

面一圈再回到A點(diǎn)，則這根繩子的最短長(zhǎng)度是（）

A.672B.6^/3D.4%

【答案】B

【分析】此題考查了圓錐的計(jì)算；首先求出2。的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出以及/C的長(zhǎng)即可.

【詳解】解：連接/C,過(guò)8作于。，

設(shè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為廢，

圓錐底面圓周長(zhǎng)為2x2萬(wàn)=4萬(wàn)，AC=^~,

loU

則”=120,

?1-BC=BA,BDLAC,

ZABD=60°,

由