專題23數(shù)形結(jié)合思想中的六種題型（導(dǎo)數(shù)三角函數(shù)平面向量數(shù)列立體與解析幾何統(tǒng)計與概率）-2022年高考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（新高考地區(qū)專用）

2022年高考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（新高考地區(qū)專用）題型一：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一、單選題1．（2021·天津北辰·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于x的不等式解集中恰含有一個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先畫出函數(shù)的圖象，再對分成與兩類情況借助于數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍．【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示，①當(dāng)時，恒有，，故，顯然不合題意；②當(dāng)時，當(dāng)時與相切時解得；當(dāng)時，與相切時，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線方程為，即與重合，解得，t=2.又直線過點(diǎn)，（3）時，有（3），解得，又關(guān)于的不等式解集中恰含有一個整數(shù)，由數(shù)形結(jié)合可知這個整數(shù)必是2，故．故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：關(guān)于解的個數(shù)的問題的討論，常用的方法有：（1）方程法；（2）圖象法；（3）方程+圖象法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.2．（2021·安徽淮北·一模（理））已知函數(shù)，則函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】利用導(dǎo)數(shù)分析在和時的單調(diào)性，然后確定出的取值范圍并作出的大致圖象，根據(jù)與圖象的交點(diǎn)個數(shù)確定出函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).【詳解】因為的零點(diǎn)個數(shù)與圖象的交點(diǎn)個數(shù)，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，又因為當(dāng)時，，且，所以時，；當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以時，，作出的函數(shù)圖象如下圖所示：由圖象可知有個交點(diǎn)，所以有個零點(diǎn)，故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解函數(shù)零點(diǎn)的數(shù)目問題，采用數(shù)形結(jié)合思想能高效解答問題，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化能使問題轉(zhuǎn)化為更簡單的問題，常見的圖象應(yīng)用的命題角度有：（1）確定方程根的個數(shù)；（2）求參數(shù)范圍；（3）求不等式解集；（4）研究函數(shù)性質(zhì).3．（2021·四川遂寧·一模（理））函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】從各項圖象的區(qū)別，確定先判斷函數(shù)奇偶性(對稱性)，再求導(dǎo)研究的符號,判斷單調(diào)性即可.【詳解】，是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，排除選項AB.當(dāng)時，，則，由，，故存在使得，即函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，排除D.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.4．（2020·云南·模擬預(yù)測（理））已知方程有三個不同的根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將等式變形為，換元，可得出，利用導(dǎo)數(shù)分析得出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】將等式變形為，令，則即，，令，得，列表如下：極大值所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)的極大值為，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由于方程有三個不同的根，則，，①當(dāng)時，則，得，關(guān)于的方程為，解得，不合乎題意；②當(dāng)時，則，得，關(guān)于的方程為，解得，不合乎題意；③當(dāng)，時，由二次方程根的分布得，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題，一般要將復(fù)合函數(shù)分解為內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)來進(jìn)行分析，同時也考查了二次方程根的分布，考查分析問題和解決問題的能力，屬于難題.二、多選題5．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時，B．，方程有實根C．方程有3個不同實根的一個必要不充分條件是“”D．若，且方程有1個實根，方程有2個實根，則【答案】ACD【分析】A根據(jù)解析式直接判斷時的符號即可；再利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性并畫出函數(shù)圖象，結(jié)合A知在y軸左側(cè)的圖象恒在x軸下方，判斷B、C、D的正誤.【詳解】由解析式知：當(dāng)時，故，A正確；∴在y軸左側(cè)的圖象恒在x軸下方，又，令，得，令，得或，∴在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，作出其大致圖象如圖所示.由圖知，僅當(dāng)時方程有實根，B錯誤；若有3個不同實根則，故“”是有3個不同實根的一個必要不充分條件，C正確；由，及有1個實根、有2個實根，可得，，則，D正確.故選：ACD.三、填空題6．（2021·新疆烏魯木齊·一模（理））已知函數(shù)在R上是增函數(shù)，且存在垂直于y軸的切線，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系和導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得,對，,分別討論，利用換元思想和，結(jié)合不等式性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，分析綜合得到的取值范圍.【詳解】由已知得：恒成立且有解，∴,①當(dāng)時，可得,∴,②當(dāng)時，,且,,③當(dāng)時，,且,,令,,∴,綜上，,故答案為：【點(diǎn)睛】要注意理解恒成立且等號能夠取到的意義，得出是關(guān)鍵一步，下面分類討論是一定要仔細(xì)周密.7．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若函數(shù)有且只有三個零點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍為_____________.【答案】【分析】由函數(shù)有且只有三個零點(diǎn)知：與有且只有三個交點(diǎn)，結(jié)合它們的函數(shù)圖象，利用切線的性質(zhì)判斷函數(shù)有三個交點(diǎn)時參數(shù)范圍即可.【詳解】由函數(shù)解析式知：，函數(shù)有且只有三個零點(diǎn)，∴與有且只有三個交點(diǎn)，而圖象恒過點(diǎn)，∴可得函數(shù)示意圖如下所示，當(dāng)直線與的圖象相切時，設(shè)切點(diǎn)為，切線斜率為，∴，解得，即，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將函數(shù)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)有交點(diǎn)的問題，應(yīng)用切線的性質(zhì)，結(jié)合交點(diǎn)的個數(shù)判斷參數(shù)的范圍.8．（2021·廣東·紅嶺中學(xué)二模）已知函數(shù)f(x)=2lnx，若總存在直線與函數(shù)y=f(x)，y=g(x)圖象均相切，則a的取值范圍是_____.【答案】[，+∞)【分析】設(shè)y=f(x)與y=g(x)的圖象在交點(diǎn)處存在切線y=kx+b,且切點(diǎn)為(n,2lnn),分別求得f(x),g(x)的導(dǎo)數(shù),可得切線的斜率,得到n,k,t的方程,化簡變形可得4lnn+n=1,設(shè)h(n)=4lnn+n,求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性,解方程可得n=1,進(jìn)而得到a的值,結(jié)合拋物線的開口與a的關(guān)系,可得所求范圍.【詳解】根據(jù)圖象易得當(dāng)兩函數(shù)的圖象相離或相切時一定有公共切線，當(dāng)相交于兩個不同點(diǎn)時沒有公切線，下面探求相切時的條件.設(shè)y=f(x)與y=g(x)的圖象在交點(diǎn)處存在切線y=kx+t,且切點(diǎn)為(n,2lnn),=,,可得=k=2an－1,2lnn=kn+t=an2－n－,化為kn=2,,則,即,設(shè),h'(n)=+1>0,可得h(n)在(0,+∞)遞增，由h(1)=1,可得4lnn+n=1的解為n=1,則a=,由y=ax2－x－=(a>0)的圖象可得,當(dāng)a越大時,拋物線的開口越小,可得此時y=f(x)和y=g(x)的圖象相離,總存在直線與它們的圖象都相切,則a的范圍是[，+∞).故答案為[，+∞)【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題，屬較難試題，關(guān)鍵是利用幾何直觀判斷出兩曲線相離時一定有公切線，相交于不同兩點(diǎn)是不存在公切線，然后探求相切的條件，進(jìn)而根據(jù)拋物線的系數(shù)是開口大小的關(guān)系，判定得到實數(shù)a的取值范圍.9．（2022·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)若關(guān)于x的不等式有且僅有2個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為______.【答案】或【分析】當(dāng)時，對函數(shù)求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，當(dāng)時，將函數(shù)配方，進(jìn)而作出函數(shù)的大致圖象，然后通過數(shù)形結(jié)合求得答案.【詳解】當(dāng)時，，所以，令，得；令，得或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且x<0時，；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.可以變?yōu)椋蓤D1，2可知，或解得或.故答案為：或【點(diǎn)睛】本題難點(diǎn)較大，核心在于作出函數(shù)的圖象，通過數(shù)形結(jié)合來解決問題；另外，時，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間之后，一定要注意當(dāng)x<0時，，避免畫錯圖象.四、解答題10．（2021·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有三個不同的零點(diǎn)、、，求的取值范圍，并證明：．【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）的取值范圍為；證明見解析．【分析】（1）求得，對的范圍分類，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性即可判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）利用（1）中結(jié)論即可判斷，求得函數(shù)的極大值與極小值，由題意可得的極大值大于，的極小值小于，即可求得的取值范圍，再由零點(diǎn)存在性定理分析可得，計算得，即可判斷，問題得證．【詳解】解：（1）∵，∴①當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，無遞減區(qū)間；②當(dāng)時，令，得的解集為，的解集為則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）由（1）知函數(shù)f(x)有三個零點(diǎn)，則∵在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴的極大值為，且極大值大于，極小值為∵有三個不同的零點(diǎn)，∴解得，故的取值范圍為．又∵，當(dāng)時，有，當(dāng)時，有．∴設(shè)，由零點(diǎn)存在性定理知．∴又∵∴，因此．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用.11．（2021·甘肅酒泉·三模（文））設(shè)函數(shù)，.（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）若函數(shù)有2個零點(diǎn)，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）.【解析】(1）代入a的值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可;(2)且，，通過討論a的范圍求出單調(diào)性從而確定a的范圍即可.【詳解】（1）因為函數(shù)，所以的定義域為，.又，所以若，則，所以.令，得，即當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增.令，得，即當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減.綜上可知，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）因為，所以，.又，所以.①當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.即當(dāng)時，取得最小值，為.所以當(dāng)時，函數(shù)只有一個零點(diǎn)，所以不滿足題意.②當(dāng)，即時，.令，得；令，得.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，所以，使所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.作出函數(shù)的示意圖，如圖，要使函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則當(dāng)x趨近于0時，，即，解得.所以a的取值范圍為.③當(dāng)，即時，.令，得；令，得.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.又，所以當(dāng)時，函數(shù)只有一個零點(diǎn)，所以不滿足題意.④當(dāng)，即時，.令，得；令，得.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因為，所以，使.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.作出函數(shù)的示意圖，如圖，又，所以由圖像可知，，使得.所以當(dāng)時，函數(shù)有2個零點(diǎn).綜上可知，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.題型二：三角函數(shù)與解三角形、平面向量一、單選題1．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））已知，則它們的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由時，判斷a,b的大小關(guān)系，作出與的圖象判斷a，c的大小即可.【詳解】，故，因為時，，所以，因為中.作出與在同一坐標(biāo)系中的圖象，如圖，由數(shù)形結(jié)合可知在恒成立，所以，所以，故選：A2．（2022·甘肅·一模（文））函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小正周期是B．直線是圖象的一條對稱軸C．點(diǎn)是圖象的一個對稱中心D．的單調(diào)遞減區(qū)間是【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出周期，判斷A，再由正弦型函數(shù)的對稱軸、對稱中心、單調(diào)區(qū)間判斷BCD即可.【詳解】由圖象可知，即，故A錯誤；由可得，又因為函數(shù)圖象過點(diǎn)，所以，由五點(diǎn)法作圖可知，,即，又，故，所以，當(dāng)時，,故B錯誤；因為，所以點(diǎn)是圖象的一個對稱中心，故C正確；令，解得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故D錯誤.故選：C3．（2022·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室三模（理））已知，則函數(shù)的圖像不可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分，，三種情況，結(jié)合圖像討論，利用排除法即可得出答案.【詳解】解：由，得，故函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則為得最大值，左側(cè)附近遞增，右側(cè)附近遞減，故A符合；當(dāng)時，，則，左側(cè)附近遞減，右側(cè)附近遞增，故C符合；當(dāng)時，，，則，左側(cè)附近遞增，右側(cè)附近遞減，故B符合.故選：D.4．（2022·全國·模擬預(yù)測）如圖，某人在垂直于水平地面的墻面前的點(diǎn)處進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知點(diǎn)到墻面的距離為，某目標(biāo)點(diǎn)沿墻面上的射線移動，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)，需計算由點(diǎn)觀察點(diǎn)的仰角的大小，若，則的最大值是（

）.（仰角為直線與平面所成的角）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題可得，，過作，交于，連接，則，設(shè)，分類討論，若在線段上，則，可求出和，從而可得出，利用函數(shù)的單調(diào)性，可得出時，取得最大值；若在的延長線上，同理求出和，可得出，可得當(dāng)時，函數(shù)取得最大值；結(jié)合兩種情況的結(jié)果，即可得出結(jié)論．【詳解】解：，，由勾股定理知，，過點(diǎn)作交于，連結(jié)，則，設(shè)，若在線段上，則，由，得，在直角中，，，令，則函數(shù)在，單調(diào)遞減，時，取得最大值為；若在的延長線上，，在直角中，，，令，則可得時，函數(shù)取得最大值.故答案為：．5．（2020·全國·模擬預(yù)測（理））當(dāng)時，函數(shù)恒成立，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．1【答案】C【分析】根據(jù)題意，將原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，，轉(zhuǎn)化為恒成立，求得它們的交點(diǎn)，，，畫出和的圖象，即可得到所求區(qū)間和的最大值．【詳解】解：由題可知，時，函數(shù)恒成立，即為恒成立，設(shè)，即，為最小正周期為2的函數(shù)，且，，設(shè)，可得，分別作出和的圖象，可得它們有兩個交點(diǎn)，，，由題意可得當(dāng)，時，恒成立，即恒成立，此時取得最大值.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問題，以及正弦函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.6．（2022·陜西·西安中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知梯形ABCD中，，，，，，點(diǎn)P，Q在線段BC上移動，且，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】如圖以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，然后表示出，求其最小值即可，【詳解】如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，因為，，，，所以，不妨設(shè)，，則，所以當(dāng)時，取得最小值，故選：D7．（2020·湖南·模擬預(yù)測（文））已知向量滿足，且，，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)可知，利用數(shù)形結(jié)合的方式可確定所求夾角的正切值，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】由知：以為鄰邊的平行四邊形的對角線相等，以為鄰邊的平行四邊形為矩形，即，如下圖所示：設(shè)向量與的夾角為，又，向量與的夾角為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量夾角的求解問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知中的模長相等的關(guān)系確定兩向量互相垂直，易錯點(diǎn)是忽略向量的方向，造成夾角判斷錯誤.8．（2020·江西·南昌二中一模（理））記的最大值和最小值分別為和．若平面向量、、，滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)為、的夾角，根據(jù)題意求得，然后建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)的軌跡方程，將和轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)果.【詳解】由已知可得，則，，，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，由，可得，即，化簡得點(diǎn)的軌跡方程為，則，則轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離，，，，轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查和向量與差向量模最值的求解，將向量坐標(biāo)化，將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值問題是解答的關(guān)鍵，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.9．（2021·江西南昌·模擬預(yù)測（理））已知是邊長為的正三角形，為該三角形內(nèi)切圓的一條弦，且.若點(diǎn)P在的三邊上運(yùn)動，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)可得，再利用向量加法的幾何意義，將的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值.【詳解】如圖所示，在中，內(nèi)切圓的半徑，在中，，，，取的中點(diǎn)，連結(jié)，當(dāng)，分別取最大值時，取得最大值，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到三角形的頂點(diǎn)，且頂點(diǎn)與的連線垂直于時，，分別取最大值時，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查向量加法幾何意義、向量數(shù)量積的運(yùn)算、向量夾角運(yùn)算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.二、多選題10．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）設(shè)是大于零的實數(shù)，向量，其中，定義向量，記，則（

）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】根據(jù)定義求出和，再根據(jù)平面向量的數(shù)量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合恒等變換公式可求出，由此可判斷A和B選項；利用向量加減法的坐標(biāo)運(yùn)算、模長公式以及基本不等式，可判斷C和D選項.【詳解】因為向量，所以是一個實數(shù)，不是向量，所以A不正確，B正確；因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號，所以，故C正確；因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號，所以，故D正確.故選：BCD11．（2022·湖南湘潭·三模）已知雙曲線（）的左?右焦點(diǎn)分別為F1（?c，0），F(xiàn)2（c，0）.直線與雙曲線左?右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，且|AB|=4，則下列說法正確的有（

）A．雙曲線的離心率為 B．C． D．【答案】BD【分析】連接，設(shè)，由已知，利用雙曲線的定義求得，判斷D正確，根據(jù)直線的斜率把圖中線段用表示，從而求得，得離心率判斷A，由數(shù)量積的定義計算數(shù)量積判斷BC．【詳解】如圖，連接，設(shè)，因為，所以，D正確.又為線段的中點(diǎn)，所以.又，所以，則，得，所以雙曲線的離心率為，A不正確；，B正確，C不正確.故選：BD．三、填空題12．（2022·貴州·鎮(zhèn)遠(yuǎn)縣文德民族中學(xué)校模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象在區(qū)間上的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)共有個，下列說法正確的是___________.①在上有且僅有個零點(diǎn)；②在上有且僅有個極大值點(diǎn)；③的取值范圍是；④在上為單遞增函數(shù).【答案】②③【分析】利用輔助角公式可化簡得到，令，則，利用正弦函數(shù)圖象可確定的范圍，由此確定③正確；結(jié)合圖象可知①②的正誤；根據(jù)知④錯誤.【詳解】，當(dāng)時，，令，則在上的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)共有個，由圖象可知：需滿足：，解得：，③正確；當(dāng)時，有且僅有個零點(diǎn)，即在上有且僅有個零點(diǎn)，①錯誤；當(dāng)時，有且僅有個極大值點(diǎn)，②正確；當(dāng)時，，則，在上有增有減，④錯誤.故答案為：②③.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查正弦型函數(shù)圖象與性質(zhì)的相關(guān)應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠?qū)⒖醋鲆粋€整體，采用換元法研究的圖象，通過所需滿足的范圍確定范圍及的性質(zhì).13．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，圓的方程為，若在圓內(nèi)部恰好包含了函數(shù)的三個極值點(diǎn)，則的取值范圍是______.【答案】【分析】易得直線與圓交于，兩點(diǎn)，其中，，，則問題轉(zhuǎn)化為：求恰有三個極值點(diǎn)落在區(qū)間內(nèi)的的范圍.換元之后數(shù)形結(jié)合可求解.【詳解】依題意可知，的最值為，如圖作出直線，與圓交于，兩點(diǎn)，由圓的半徑為5易得，，要使圓內(nèi)部恰好包含了函數(shù)的三個極值點(diǎn)，則需恰有三個極值點(diǎn)落在區(qū)間內(nèi)，令，則，故只需考慮在內(nèi)恰有三個極值點(diǎn)，設(shè)這三個極值點(diǎn)分別為，，，，則有得又，因為.當(dāng)時無解；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，由于恒成立，因此無解.綜上可知，.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解關(guān)于三角函數(shù)的相關(guān)問題時，有時會用進(jìn)行整體代換，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為進(jìn)行處理.14．（2020·江西·模擬預(yù)測（理））在平面四邊形ABCD中，，，，則AB的取值范圍是_________．【答案】【分析】首先將平面四邊形補(bǔ)形為三角形，成為等腰三角形，在內(nèi)平移直線使之能滿足條件，通過數(shù)形結(jié)合，分析兩個臨界點(diǎn)得到的取值范圍.【詳解】如圖所示，延長交于，平移，當(dāng)與點(diǎn)重合時，最長(此時為臨界位置，不能取)在中，，，，由正弦定理可得，即，由，解得=，平移，當(dāng)與點(diǎn)重合時，最短，此時與交于，在中，,，由正弦定理知，，即，解得(此時為臨界位置，不能取)所以的取值范圍為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求幾何圖形中的長度計算，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題和解決問題的能力，考查正弦定理解三角形，本題的關(guān)鍵是通過平行移動，根據(jù)臨界點(diǎn)分析出的長度，屬于難題.15．（2022·浙江杭州·二模）對于二元函數(shù)，表示先關(guān)于y求最大值，再關(guān)于x求最小值.已知平面內(nèi)非零向量，，，滿足：，，記（m，，且，），則______.【答案】2【分析】記，，，構(gòu)建直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量幾何意義判斷所在直線的斜率，設(shè)，，，結(jié)合函數(shù)的定義、數(shù)形結(jié)合思想研究相關(guān)向量的模長隨點(diǎn)的變化情況，進(jìn)而求目標(biāo)式的值.【詳解】記，，，則表示在上的投影恰為在上的投影的兩倍，即射線的斜率為.設(shè)，，，記，，則，，所以.先讓m不變，n變化，即點(diǎn)D固定，點(diǎn)E變化，那么，其中，接著再讓m變化，即點(diǎn)D變化，求的最小值.因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號.綜上，.故答案為：2【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用向量幾何意義，構(gòu)建直角坐標(biāo)系并設(shè)A、B、C的坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)新定義、數(shù)形結(jié)合思想將問題轉(zhuǎn)化為兩向量模長的比值，討論動點(diǎn)位置變化對向量模長的影響確定目標(biāo)式的值.16．（2021·江西·模擬預(yù)測（理））平面向量??，滿足，，，則對任意，的最大值為___________.【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，可得點(diǎn)的軌跡方程為，然后化簡所求式子，轉(zhuǎn)化為兩個圓的點(diǎn)之間的最大值問題，簡單判斷即可.【詳解】由，，可設(shè)由，把坐標(biāo)代入化簡可得：所以點(diǎn)點(diǎn)的軌跡方程為又，所以求的最大值即兩個圓、上動點(diǎn)最大值，如圖所示;當(dāng)過兩圓的圓心時，有最大即故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于建系以及等價轉(zhuǎn)化為兩圓上動點(diǎn)的最值問題.17．（2020·安徽馬鞍山·三模（理））已知的重心為，，，則________.【答案】16【分析】由重心的性質(zhì)得出，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算得，代入可得答案.【詳解】作出圖示如下圖所示，根據(jù)重心的性質(zhì)可得:，又，所以，所以，所以，故答案為：16.【點(diǎn)睛】本題考查三角形中關(guān)于重心的數(shù)量積運(yùn)算，轉(zhuǎn)化向量間的運(yùn)算是解決此類問題的常用方法，屬于中檔題.18．（2020·浙江·模擬預(yù)測）在中，，，分別為，的中點(diǎn)，若直線上存在一點(diǎn)使得，則的最大值是_______.【答案】【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，根據(jù)題意，得到，確定其范圍，再由確定其最大值，根據(jù)，即可求出結(jié)果.【詳解】因為在中，，，分別為，的中點(diǎn)，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，則，，，，所以，因此，，因為，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；因此，又，所以為銳角，所以，所以，因此為使最大，只需最大，即只需取最大，又最大為，此時因此.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量在平面幾何中的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的方法即可求解，屬于常考題型.19．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知正的邊長為2，PQ為內(nèi)切圓O的一條直徑，M為邊上的動點(diǎn)，則的取值范圍為______________.【答案】【解析】先由正的性質(zhì)，求出其內(nèi)切圓半徑，再利用向量的三角形法則，得到，，再結(jié)合，可得到，再根據(jù)圖像利用臨界值法，求出的取值范圍.【詳解】如圖所示，O為正內(nèi)切圓圓心，OD為內(nèi)切圓半徑，在中，，，可求得內(nèi)切圓半徑.又PQ為圓O的直徑,，利用向量的線性表示可得，，，，又M為邊上的動點(diǎn)，由圖可知，當(dāng)M為邊的中點(diǎn)時，最小為，即；當(dāng)M為的頂點(diǎn)時，最大為，即.的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量知識在幾何中的應(yīng)用，一般在求解此類問題時，常用三角形法則或平行四邊形法則把問題轉(zhuǎn)化，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想解決問題.20．（2020·浙江·模擬預(yù)測）已知平面向量，，若對于任意的向量均有的最小值為，則的取值范圍是________.【答案】【分析】設(shè)向量的始點(diǎn)為原點(diǎn)，終點(diǎn)分別為，取，則點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，所以，設(shè)，可得點(diǎn)的軌跡方程為，再根據(jù)橢圓的定義可得結(jié)果.【詳解】設(shè)向量的始點(diǎn)為原點(diǎn)，終點(diǎn)分別為，因為，取，則由可知點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，根據(jù)題意得，即，設(shè)，則，化簡得，所以動點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的橢圓，設(shè)另一個焦點(diǎn)為，則，易知點(diǎn)在橢圓內(nèi)，如圖所示：所以，當(dāng)為的延長線與橢圓的交點(diǎn)時取得等號，，當(dāng)為的延長線與橢圓的交點(diǎn)時取得等號，所以的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題是平面向量和橢圓的綜合題，根據(jù)平面向量的幾何意義得到動點(diǎn)的軌跡為橢圓是解題關(guān)鍵，考查了根據(jù)橢圓的定義求動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之和的最值，屬于難題.21．（2020·全國·高三專題練習(xí)（文））已知向量滿足，若，則的最小值為_____________.【答案】【解析】由題意可設(shè)，，，記，，，則，，則可將表示為，當(dāng)與反向時，有最小值，比較與大小可得，再求出的最小值，則答案可求.【詳解】根據(jù)條件，設(shè)，，，記，，，，當(dāng)且僅當(dāng)與反向時，會有最小值，而，，，而整理得，記，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線，即時取等號，，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了平面向量的幾何意義，考查了轉(zhuǎn)化能力和數(shù)形結(jié)合思想，屬于較難題.四、解答題22．（2022·安徽蚌埠·三模（理））在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，點(diǎn)在邊上，滿足，且.(1)求證：；(2)求角.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題意得，然后利用三角形面積公式結(jié)合已知條件可得結(jié)論，（2）在和利用余弦定理結(jié)合可得，再在中利用余弦定理可求得結(jié)果(1)∵，∴，∴，故，∴.(2)由題意知，，在中，由余弦定理得①在中，，在中，，由，知，即②由①②得，，所以23．（2020·江蘇·高三專題練習(xí)）如圖1所示為一種魔豆吊燈，圖2為該吊燈的框架結(jié)構(gòu)圖，由正六棱錐和構(gòu)成，兩個棱錐的側(cè)棱長均相等，且棱錐底面外接圓的直徑為，底面中心為，通過連接線及吸盤固定在天花板上，使棱錐的底面呈水平狀態(tài)，下頂點(diǎn)與天花板的距離為，所有的連接線都用特殊的金屬條制成，設(shè)金屬條的總長為y．（1）設(shè)∠O1AO=(rad)，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式，并寫出θ的范圍；（2）請你設(shè)計θ，當(dāng)角θ正弦值的大小是多少時，金屬條總長y最?。敬鸢浮浚?），（，）．（2）當(dāng)角滿足（）時，金屬條總長y最?。窘馕觥浚?）在直角三角形OAO1中，利用三角函數(shù)的定義，用表示，其中由實際問題可得θ的范圍，最后把吊燈12條側(cè)棱，6條底邊，1條頂懸長相加表示y，得答案；（2）為了方便運(yùn)算，只令，利用求導(dǎo)的方式得極值，此時即為最小值.【詳解】（1）在直角三角形OAO1中，，，由，所以，所以θ的范圍是，其中，．從而有，所以，（，）．（2）令，所以，令，則，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，．函數(shù)的單調(diào)性與關(guān)系列表如下：0+極小值所以當(dāng)，其中時取得最小值，即y最小．故當(dāng)角滿足（）時，金屬條總長y最?。军c(diǎn)睛】本題看似考查立體幾何問題，實則考查三角函數(shù)的實際應(yīng)用，應(yīng)優(yōu)先建模，將實物分解并轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，其定義域需滿足實際情況，還考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于難題.24．（2021·新疆·模擬預(yù)測（文））設(shè)函數(shù)f（x）＝|2x﹣1|+mx+2，m∈R．（1）若m＝1，解不等式f（x）＜6；（2）若f（x）有最小值，且關(guān)于x的方程有兩個不等實根，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）；（2）【分析】（1）將代入，分及解不等式即可；（2）由有最小值，可先得到的范圍，并求得的最小值，要使方程有兩個不等實數(shù)根，則與有兩交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，求得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，

當(dāng)時，，得，綜合得，當(dāng)時，，得，綜合得，綜上，不等式的解集為；（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，要使有最小值，則，解得，要使方程有兩個不等實數(shù)根，則與有兩交點(diǎn)，易知當(dāng)時，有最小值，有最大值作示意圖如圖所示：則，得，綜合得.【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式的解法以及函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．題型三：數(shù)列一、單選題1．（2021·浙江省杭州第二中學(xué)模擬預(yù)測）己知等差數(shù)列公差不為0，正項等比數(shù)列，，，則以下命題中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)等差數(shù)列公差為，正項等比數(shù)列公比為，，，由可得出，從而分析出時，，時，．把方程變形為，引入函數(shù)，利用兩個函數(shù)的圖象可得結(jié)論．【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，正項等比數(shù)列公比為，因為，所以，即，所以，又，所以，由得，，，所以時，，時，．，，由，，即，（*），令，，（*）式為，其中，且，由已知和是方程的兩個解，記，且，是一次函數(shù)，是指數(shù)函數(shù)，由一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知當(dāng)它們同增或同減時，圖象才能有兩個交點(diǎn)，即方程才可能有兩解（題中時，，時，，滿足同增減）．如圖，作出和的圖象，它們在和時相交，無論還是，由圖象可得，，，時，，時，，因此，，，，即，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，解題時由已知兩項相等得出公差和公比的關(guān)系，考慮到方程有兩解，把此方程變形為，引入函數(shù)，通過函數(shù)圖象觀察得到和的關(guān)系，從而由數(shù)形結(jié)合思想得出結(jié)論．2．（2020·浙江大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列滿足，則下列正確的是（

）A．當(dāng)時，遞增，遞增B．當(dāng)時，遞增，遞減C．當(dāng)時，遞增，遞減D．當(dāng)時，遞減，遞減【答案】B【分析】設(shè)，畫出函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn)即可得到答案.【詳解】解：設(shè)，單調(diào)遞減，畫出圖像如圖所示：由圖像知，所以對于當(dāng)時，不妨確定的位置，根據(jù)，把標(biāo)到圖上，如圖所示：由圖像知，，所以，所以，一直根據(jù)圖像推下去可得：對于數(shù)列，所以奇數(shù)項，所有偶數(shù)項.從作圖過程可以看出：，所以可得：數(shù)列遞增數(shù)列，遞減數(shù)列.當(dāng)時，不妨確定的位置，根據(jù)，把標(biāo)到圖上，如圖所示：由圖像知，，所以，一直根據(jù)圖像推下去可得：對于數(shù)列，所以奇數(shù)項，所有偶數(shù)項.從圖像可以看出：，所以：數(shù)列遞減數(shù)列，遞增數(shù)列.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查用函數(shù)的觀點(diǎn)解決數(shù)列問題，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，屬于綜合題.題型四:空間向量與立體幾何一、單選題1．（2021·江蘇南通·三模）已知四棱錐的側(cè)面PAD為正三角形，底面ABCD為矩形，且面面ABCD，若，則該四棱錐內(nèi)可以放置最大的球的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取AD的中點(diǎn)E，BC的中點(diǎn)F，連接PE，EF，PF，由對稱性可知四棱錐內(nèi)可以放置最大的球的半徑即為直角△內(nèi)切圓的半徑，【詳解】取AD的中點(diǎn)E，BC的中點(diǎn)F，連接PE，EF，PF，則由平面平面ABCD可知平面ABCD，.由對稱性可知四棱錐內(nèi)可以放置最大的球的半徑即為直角△內(nèi)切圓的半徑，其中，.故選：B．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：直角△中，為直角，所對的邊長分別為，則其內(nèi)切圓半徑.2．（2021·陜西寶雞·一模（文））在直三棱柱中，，，，則該三棱柱內(nèi)能放置的最大球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由題意可得球的半徑為底面三角形內(nèi)切圓的半徑，易得，又，可得該三棱柱內(nèi)能放置的最大球半徑為2，最后由球的表面積計算公式計算即可.【詳解】由題意，球的半徑為底面三角形內(nèi)切圓的半徑，∵底面三角形的邊長分別為6、8、10，∴底面三角形為直角三角形，，又∵，，∴該三棱柱內(nèi)能放置的最大球半徑為2，此時.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是得出所求球的半徑為直三棱柱底面三角形內(nèi)切圓的半徑，繼而進(jìn)行分析計算.3．（2020·全國·模擬預(yù)測（理））如圖，棱長為的正方體，點(diǎn)在平面內(nèi)，平面與平面所成的二面角為，則頂點(diǎn)到平面的距離的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】是正方體，當(dāng)?shù)酌媾c平面所成的角與底面對角線所成的角相等時，頂點(diǎn)到平面的距離的最大；最大值作截平面圖，由題知,利用平面幾何知識求得即可【詳解】如圖所示，當(dāng)直線與面所成角等于面ABCD與面所成角時頂點(diǎn)到平面的距離最大，取截圖，如下圖所示：作，，，∵，，∴，∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故選:B.【押題點(diǎn)】二面角大小；點(diǎn)面距最值問題【點(diǎn)睛】本題考查正方體翻轉(zhuǎn)求面距離最值問題.求解翻折(轉(zhuǎn))問題的關(guān)鍵及注意事項：求解平面圖形翻折(轉(zhuǎn))問題的關(guān)鍵是弄清原有的性質(zhì)變化與否，即翻折(轉(zhuǎn))后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化．應(yīng)注意：(1)點(diǎn)的變化，點(diǎn)與點(diǎn)的重合及點(diǎn)的位置變化；(2)線的變化，翻折(轉(zhuǎn))前后，若線始終在同一平面內(nèi)，則它們的位置關(guān)系不發(fā)生變化，若線與線由在一個平面內(nèi)轉(zhuǎn)變?yōu)椴辉谕粋€平面內(nèi)，應(yīng)注意其位置關(guān)系的變化；(3)長度、角度等幾何度量的變化．4．（2020·浙江·湖州中學(xué)模擬預(yù)測）已知點(diǎn)是正方體表面上一動點(diǎn)，且滿足，設(shè)與平面所成的角為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件求得動點(diǎn)的軌跡方程，再由直線與平面的夾角可得出最值.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為2，，則，因為，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為球心、為半徑的球與正方體表面的交線，即為如圖的，，，要使得與底面所成的角最大，則與底面的交點(diǎn)到點(diǎn)的距離最短，從而點(diǎn)在上，且在上，則，從而，所以的最大值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查動點(diǎn)的軌跡、直線與平面所成角、空間法向量的應(yīng)用．根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并求出點(diǎn)的軌跡是解答本題的突破口，屬于難度題．5．（2020·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在正四面體中，分別為上的點(diǎn)，，，記二面角，，的平面角分別為，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將問題轉(zhuǎn)化為二面角的平面角、二面角的平面角和二面角的平面角的大小關(guān)系的比較，根據(jù)圖形中的線段比例關(guān)系，可確定三個平面角的大小關(guān)系，從而得到結(jié)果.【詳解】由圖形可知：二面角的平面角的補(bǔ)角是二面角的平面角，二面角的平面角的補(bǔ)角是二面角的平面角，二面角的平面角的補(bǔ)角是二面角的平面角，由，可通過空間中的位置關(guān)系得到：二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中二面角大小的比較問題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為所求二面角平面角的補(bǔ)角的大小關(guān)系的比較上，通過圖形關(guān)系可觀察得到結(jié)果，對于學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和空間想象能力有較高要求，屬于較難題.6．（2021·浙江·瑞安中學(xué)模擬預(yù)測）已知點(diǎn)P是正方體上底面上的一個動點(diǎn)，記面ADP與面BCP所成的銳二面角為，面ABP與面CDP所成的銳二面角為，若，則下列敘述正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】結(jié)合正方體的幾何特征，以及面ADP與面BCP所成的銳二面角為，面ABP與面CDP所成的銳二面角為，若，判斷P在如圖所示的陰影范圍內(nèi).利用正方體的特點(diǎn)，判斷P接近于D'時∠APC>∠BPD,故A、B錯誤；∵PH<PE,∴∠APD>∠APB，∵PG<PF,∴∠BPC<∠CPD,故C正確，D錯誤，【詳解】如圖取正方體的下底面的各邊中點(diǎn)E,F,G,H,上底面的中心為O,下底面的中心為O',ABP,BCP所成的角為α，ABP,CDP所成的角為β，α>β，等價于P到HF的距離比到EG的距離大，所以P在如圖所示的陰影范圍內(nèi).在△APC和△BPD中，AC=BD,PQ公用，Q為共同的中點(diǎn)，∠APC,∠BPD的大小由PQ于AC,BD所成的角大小所決定，所成角越小，則對應(yīng)角越大，顯然PQ與AC和BD所成的角的大小關(guān)系不確定，當(dāng)P在靠近A'時PQ與直線AC所成的角較小，與直線BD所成的角則接近于90°，此時∠BPD>∠APC,同樣當(dāng)P接近于D'時∠APC>∠BPD,故A、B錯誤；∠APD與∠BPD的大小關(guān)系看P實在EG的左側(cè)還是右側(cè)。若是在左側(cè)，則∠APD>∠BPC,若是在右側(cè)，則∠APD<∠BPC,若是在EG上，則∠APD=∠BPC;同樣，P在HF的前面，則∠APB>∠CPD,P在HF上，則∠APB=∠CPD,P在HF的后面，則∠APB<∠CPD,所以當(dāng)P在A'OH內(nèi)時，max{∠APD,∠BPC}=∠APD,min{∠APD，∠BPC}=∠BPC,max{∠APB,∠CPD}=∠APB,min{∠APB,∠CPD}=∠CPD,∵PH<PE,∴∠APD>∠APB，∵PG<PF,∴∠BPC<∠CPD,故C正確，D錯誤，根據(jù)對稱性，在其余范圍內(nèi)，具有相同的結(jié)論.故選：C【點(diǎn)睛】從正方體的幾何特征出發(fā)，利用題中信息判斷P的大致區(qū)域，對P處于不同位置都要判斷.7．（2020·浙江溫州·模擬預(yù)測）在棱長為3的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn)，且，若點(diǎn)分別是線段，上的動點(diǎn)，則周長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，易知為線段與的交點(diǎn)，即為線段上靠近D的三等分點(diǎn)，將周長的最小值問題轉(zhuǎn)化到平面上幾何知識連接兩點(diǎn)間的線中線段最短與平面幾何中對稱問題處理，最后由余弦定理求得的長度即可.【詳解】連接，易知為線段與的交點(diǎn)，即為線段上的點(diǎn)，由勾股定理可知，則，分別作點(diǎn)關(guān)于線段，的對稱點(diǎn)，，且由對稱關(guān)系有垂直關(guān)系且顯然為等邊三角形，即，由等邊三角形對稱問題可求得，據(jù)余弦定理得，由平面幾何知識連接兩點(diǎn)間的線中線段最短，得周長的最小值為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查空間中三角形周長的最值，涉及空間中直線與對稱點(diǎn)的算法，屬于難題.二、多選題8．（2021·湖北省團(tuán)風(fēng)中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，已知a，b是相互垂直的兩條異面直線，直線與a，b均相互垂直，且，動點(diǎn)P，Q分別位于直線a，b上，若直線與所成的角，線段的中點(diǎn)為M，下列說法正確的是（

）A．的長度為 B．的長度不是定值.C．點(diǎn)M的軌跡是圓 D．三棱錐的體積為定值【答案】AC【解析】過點(diǎn)P作于，連接，在中求出的長度可判斷A、B；由題意可得，利用圓的定義可判斷C；利用棱錐的體積公式即可判斷D.【詳解】過點(diǎn)P作于，連接，則，故，故A正確，B不正確；設(shè)的中點(diǎn)為N，易得，且，則有，設(shè)的中點(diǎn)為O，連接O，M，N，B，易得四邊形為平行四邊形，故有，且，即點(diǎn)M到平面的距離為定值，可得點(diǎn)M的軌跡為圓，故C正確；當(dāng)Q點(diǎn)與B點(diǎn)重合時，三棱錐退化為三角形，其體積為零，而當(dāng)Q點(diǎn)與B點(diǎn)不重合，且P點(diǎn)與A點(diǎn)不重合時，其體積顯然不為零，故D錯誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線所成的角、空間中的軌跡問題、錐體的體積公式，考查了考生的空間想象能力.9．（2021·江蘇省天一中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，正方體的棱長為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段上的動點(diǎn)，過點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是（

）A．當(dāng)時，S為四邊形；B．當(dāng)時，S不為等腰梯形；C．當(dāng)時，S與的交點(diǎn)滿足；D．當(dāng)時，S的面積為.【答案】ACD【解析】由題意作出滿足題意的截面，由線面、面面的位置關(guān)系對四個選項逐一判斷即可得解.【詳解】設(shè)截面S與的交點(diǎn)為M，分別連接AM、MC、AP、PQ，由平面與平面平行的性質(zhì)定理知，當(dāng)時，則點(diǎn)M在線段上（不包括端點(diǎn)），S為四邊形，選項A正確；當(dāng)時，點(diǎn)M與點(diǎn)重合，四邊形為等腰梯形，選項B錯誤；當(dāng)時，延長至N，使，連接AN交于點(diǎn)S，連接NQ交于點(diǎn)R，連接SR，可證，可得,故可得，選項C正確；當(dāng)時，截面S為菱形，其對角線長分別為，，則S的面積為，選項D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查線面、面面的位置關(guān)系，考查邏輯思維能力和分析計算能力，考查空間想象能力，屬于?？碱}.10．（2022·全國·模擬預(yù)測）在正方體中，，，，分別為，，的中點(diǎn)，，分別為，上的動點(diǎn)，作平面截正方體的截面為，則下列說法正確的是（

）A．不可以是六邊形B．存在點(diǎn)，使得C．當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)，時，點(diǎn)到平面的距離的最大值為D．的最小值為【答案】BCD【分析】對于A選項，可以把截面補(bǔ)全可知截面的形狀為六邊形故A選項錯誤；對于B選項，等價于在平面上的射影與垂直，從而計算出點(diǎn)的位置；對于C選項，運(yùn)用等體積法將問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到距離的最小值；對于D選項，求空間折線段的最小值要展成直線段.【詳解】如圖，對于A取中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)，使得，在線段上取點(diǎn)，使得，在線段，上取點(diǎn)M，使得.易知，且HK，IL，JM交于一點(diǎn)，該點(diǎn)為正方體的中心，所以，，，，，六點(diǎn)共面，又因為，所以平面故A錯誤.對于B，當(dāng)時，在中結(jié)合勾股定理可知.因為，，所以平面，又平面，所以，故B正確.對于C，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)，時，為平面AFP.因為是定值，所以要使得點(diǎn)到平面的距離最大，那么的面積最小.由于為定值，即到的距離最小.由于平面，且，只需求到的最小距離即可，當(dāng)運(yùn)動到時距離最小，則到的最小距離為，即到的最小距離為，此時，則點(diǎn)到平面的距離的最大值為，故C正確.對于D，延長至使得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線且垂直于時，取最小值，最小值為，故D正確.故選：BCD三、填空題11．（2021·寧夏·賀蘭縣景博中學(xué)二模（文））如圖，正方體的棱長為，線段上有兩個動點(diǎn)?，且，則下列結(jié)論中正確的是___________.（1）???四點(diǎn)共面（2）（3）三棱錐的體積為定值（4）的面積與的面積相等【答案】（2）（3）【分析】由正方體的性質(zhì)以及異面直線的定義可判斷（1）錯誤；由線面垂直的判定定理可證明平面，進(jìn)而可判斷，從而判斷（2）正確；由到平面的距離為定值以及△BEF的面積為定值可判斷（3）正確；A到B1D1的距離大于B到B1D1的距離可判斷（4）錯誤.【詳解】解：（1）由正方體的幾何性質(zhì)可知：與異面，又為線段上的兩點(diǎn)，則與異面，所以四點(diǎn)不共面，故（1）錯誤；（2）因為為正方體，則，又，，所以平面，平面，所以；故（2）正確；（3）到平面的距離為，△BEF的面積為定值，∴三棱錐A﹣BEF的體積為定值，故（3）正確．（4）B到B1D1的距離為BB1＝1，A到B1D1的距離大于上下底面中心的連線，則A到B1D1的距離大于1，∴△AEF的面積大于△BEF的面積，故（4）錯誤；故答案為：（2）（3）.【點(diǎn)睛】知識點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）異面直線的定義：過平面內(nèi)一點(diǎn)和平面外一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線；（2）判斷三棱錐的體積是否為定值，可判斷底面面積和頂點(diǎn)到底面的距離是否為定值；12．（2021·江蘇·鹽城中學(xué)一模）在棱長為4的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，過作正方體的截面，則截面多邊形的周長是___________.【答案】【分析】在長方體中把截面補(bǔ)充完整，然后求得各邊長，從而計算周長.【詳解】如圖所示，過作交于M，由，，則，，延長MQ交于E點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，交于N點(diǎn)，則多邊形即為截面，根據(jù)平行線性質(zhì)有，，則，，因此，又，，所以多邊形的周長為：，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：找出平面在幾何體中的完整截面，從而求得面積等.13．（2022·河南平頂山·模擬預(yù)測（理））如圖，在四面體中，，，兩兩垂直，，以為球心，為半徑作球，則該球的球面與四面體各面交線的長度和為___．【答案】【分析】先求出到平面的距離，判斷球體與各個面的相交情況，再計算求解即可.【詳解】因為，所以是邊長為的等邊三角形，所以邊長為的等邊三角形的高為：，所以，設(shè)到平面的距離為，，所以，所以，解得，則，所以以為球心，為半徑的球與平面，平面，平面的交線為個半徑為的圓的弧線，與面的交線為一個圓，且圓的半徑為，所以交線總長度為：.故答案為：.14．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)．這一天民間有吃粽子的習(xí)俗，據(jù)說是為了紀(jì)念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國詩人屈原．如圖，平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為1的正三角形構(gòu)成的，將它沿虛線折起來，可以得到六面體的粽子．如果粽子的餡是六面體內(nèi)的一個球狀物，則粽子餡的最大體積為_________．【答案】【分析】易知球與六個面都相切時體積最大，此時球心到六個面的距離即為球的半徑，進(jìn)而利用等體積法即可解得.【詳解】六面體每個面都為邊長是1的正三角形，面積為，要使球狀的餡的體積最大，則球與六面體的各面相切．如圖，連接球心O與五個頂點(diǎn)，把六面體分成六個小三棱錐．設(shè)球的半徑為R（O到六個面的距離，圖里僅標(biāo)記），則六面體的體積可表示為．易知，又六面體可以看成由兩個底面積為，高的正四面體合成的，故其體積又可表示為，因此，解得．故粽子餡的最大體積為．故答案為：.15．（2021·江西·奉新縣第一中學(xué)三模（理））如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，M為DD1的中點(diǎn)，N為正方形ABCD所在平面內(nèi)一動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的序號是_____.①若MN＝2，則MN的中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為π；②若N到直線BB1與直線DC的距離相等，則N的軌跡為拋物線；③若D1N與AB所成的角為60°，則N的軌跡為雙曲線；④若MN與平面ABCD所成的角為60°，則N的軌跡為橢圓.【答案】②③【解析】對①，由題意可得MN中點(diǎn)的軌跡為以MD中點(diǎn)為圓心，為半徑且平行于平面ABCD的圓，計算可判斷①；對②，由BB1⊥平面ABCD，可得NB即為N到直線BB1的距離，由拋物線的定義即可判斷②；對③，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)N（x，y，0），由D1N與AB所成的角為，可得點(diǎn)N的軌跡方程，從而判斷③；對④，由MN與平面ABCD所成的角為∠MND，計算可得DN為定值，可判斷點(diǎn)N的軌跡為以D為圓心，DN為半徑的圓，從而判斷④．【詳解】對于①，MN＝2，MD＝1，所以DN，則MN的中點(diǎn)到MD中點(diǎn)的距離為，MN中點(diǎn)的軌跡為以MD中點(diǎn)為圓心，為半徑且平行于平面ABCD的圓，其面積為π，故①錯誤；對于②，BB1⊥平面ABCD，NB即為N到直線BB1的距離，在平面ABCD內(nèi)，點(diǎn)N到定點(diǎn)B的距離與到定直線DC的距離相等，所以點(diǎn)N的軌跡就是以B為焦點(diǎn)，DC為準(zhǔn)線的拋物線，故②正確；對于③，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)N（x，y，0），化簡得3y2﹣x2＝4，即1，所以N的軌跡為雙曲線，故③正確；對于④，MN與平面ABCD所成的角為∠MND，所以∠MND，則DN，所以點(diǎn)N的軌跡為以D為圓心，為半徑的圓，故④錯誤．故答案為：②③.【點(diǎn)睛】本題主要考查命題真假的判斷，立體幾何與解析幾何的綜合，抓住解析幾何幾種特殊曲線的定義是解題的關(guān)鍵．16．（2021·湖南·二模）無人偵察機(jī)在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中扮演著非常重要的角色，我國最新款的無人偵察機(jī)名叫“無偵”.無偵(如圖1所示)是一款以偵察為主的無人機(jī)，它配備了2臺火箭發(fā)動機(jī)，動力強(qiáng)勁，據(jù)報道它的最大飛行速度超過3馬赫，比大多數(shù)防空導(dǎo)彈都要快.如圖2所示，已知空間中同時出現(xiàn)了，，，四個目標(biāo)(目標(biāo)和無人機(jī)的大小忽略不計)，其中，，，，且目標(biāo)，，所在平面與木標(biāo)，，所在平面恰好垂直，若無人機(jī)可以同時觀察到這四個目標(biāo)，則其最小偵測半徑為______.【答案】【解析】由已知得當(dāng)無人機(jī)在三棱錐的外接球球心處時，偵測半徑最小，且最小半徑為球的半徑，棱錐的外接球的球心在平面上的射影就是正三角形的外接圓圓心，記為，連接，，運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)和勾股定理建立方程組可求得外接球的半徑得答案.【詳解】通解如圖所示，三棱錐的外接球的球心在平面上的射影就是正三角形的外接圓圓心，記為，連接，，則.設(shè)，連接，則①.過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，連接，，因為平面平面，所以平面.又平面，所以四邊形為矩形，故，.在中，，，，所以，故，所以，.取的中點(diǎn)，則，連接，則，，故，故在中，，即②.由①②解得所以最小偵測半徑為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題以無人偵察機(jī)為背景設(shè)置三棱錐的外接球問題，意在考查考生借助空間形式確定幾何體中的量，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，進(jìn)而解決問題的能力，體現(xiàn)理性思維?數(shù)學(xué)應(yīng)用?數(shù)學(xué)探索學(xué)科素養(yǎng).求解幾何體外接球半徑的思路是依據(jù)球的截面的性質(zhì)：利用球的半徑?截面圓的半徑及球心到截面的距離三者的關(guān)系求解，其中確定球心的位置是關(guān)鍵.本題是綜合性題目，屬于探索創(chuàng)新情境，具體是數(shù)學(xué)探究情境.四、解答題17．（2022·北京·101中學(xué)模擬預(yù)測）2022年北京冬奧會標(biāo)志性場館——國家速滑館的設(shè)計理念來源于一個冰和速度結(jié)合的創(chuàng)意，沿著外墻面由低到高盤旋而成的“冰絲帶”，就像速度滑冰運(yùn)動員高速滑動時留下的一圈圈風(fēng)馳電掣的軌跡，冰上劃痕成絲帶，22條“冰絲帶”又象征北京2022年冬奧會.其中“冰絲帶”呈現(xiàn)出圓形平面、橢圓形平面、馬鞍形雙曲面三種造型，這種造型富有動感，體現(xiàn)了冰上運(yùn)動的速度和激情這三種造型取自于球、橢球、橢圓柱等空間幾何體，其設(shè)計參數(shù)包括曲率、撓率、面積體積等對幾何圖形的面積、體積計算方法的研究在中國數(shù)學(xué)史上有過輝煌的成就，如《九章算術(shù)》中記錄了數(shù)學(xué)家劉徽提出利用牟合方蓋的體積來推導(dǎo)球的體積公式，但由于不能計算牟合方蓋的體積并沒有得出球的體積計算公式直到200年以后數(shù)學(xué)家祖沖之、祖眶父子在《綴術(shù)》提出祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”，才利用牟合方蓋的體積推導(dǎo)出球的體積公式原理的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.（Ⅰ）利用祖暅原理推導(dǎo)半徑為的球的體積公式時，可以構(gòu)造如圖②所示的幾何體，幾何體的底面半徑和高都為，其底面和半球體的底面同在平面內(nèi).設(shè)與平面平行且距離為的平面截兩個幾何體得到兩個截面，請在圖②中用陰影畫出與圖①中陰影截面面積相等的圖形并給出證明；（Ⅱ）現(xiàn)將橢圓所圍成的橢圓面分別繞其長軸、短軸旋轉(zhuǎn)一周后得兩個不同的橢球，（如圖），類比（Ⅰ）中的方法，探究橢球的體積公式，并寫出橢球，的體積之比.【答案】（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ），體積之比為.【分析】（Ⅰ）由題意，直接畫出陰影即可，然后分別求出圖①中圓的面積及圖②中圓環(huán)的面積即可證明；（Ⅱ）類比（Ⅰ）可知，橢圓的長半軸為，短半軸為，構(gòu)造一個底面半徑為，高為的圓柱，把半橢球與圓柱放在同一個平面上，在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐，即挖去的圓錐底面半徑為，高為，證明截面面積相等，由祖暅原理求出出橢球的體積，同理求出橢球的體積，作比得出答案.【詳解】（Ⅰ）由圖可知，圖①幾何體的為半徑為的半球，圖②幾何體為底面半徑和高都為的圓柱中挖掉了一個圓錐，與圖①截面面積相等的圖形是圓環(huán)（如陰影部分）證明如下：在圖①中，設(shè)截面圓的圓心為，易得截面圓的面積為，在圖②中，截面截圓錐得到的小圓的半徑為，所以，圓環(huán)的面積為，所以，截得的截面的面積相等（Ⅱ）類比（Ⅰ）可知，橢圓的長半軸為，短半軸為，構(gòu)造一個底面半徑為，高為的圓柱，把半橢球與圓柱放在同一個平面上（如圖），在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐，即挖去的圓錐底面半徑為，高為；在半橢球截面圓的面積，在圓柱內(nèi)圓環(huán)的面積為∴距離平面為的平面截取兩個幾何體的平面面積相等，根據(jù)祖暅原理得出橢球的體積為：，同理：橢球的體積為所以，兩個橢球，的體積之比為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查新定義問題，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，構(gòu)建圓柱，通過計算得到高相等時截面面積相等，考查學(xué)生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力，屬于較難題.題型五：解析幾何一、單選題1．（2022·河南鄭州·模擬預(yù)測（理））已知是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的右支上，點(diǎn)是平面內(nèi)一定點(diǎn)，若對任何實數(shù)，直線與雙曲線至多有一個公共點(diǎn)，則的最小值（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線與雙曲線公共點(diǎn)個數(shù)可知其與雙曲線漸近線平行或重合，由此可求得；利用雙曲線定義可得，可知當(dāng)三點(diǎn)共線時取得最小值.【詳解】由雙曲線方程可之其漸近線方程為：；直線與雙曲線至多有一個公共點(diǎn)，與雙曲線漸近線重合或平行，，解得：；雙曲線，則，，由雙曲線定義知：，（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時取等號），又，.故選：C.2．（2022·遼寧撫順·一模）經(jīng)過直線上的點(diǎn)作圓的切線，則切線長的最小值為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A【分析】運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離，圓的半徑，切線長三者之間的關(guān)系求得答案【詳解】直線上任取一點(diǎn)作圓的切線，設(shè)切點(diǎn)為圓，即圓心，切線長為所以切線長的最小值為故選：A3．（2022·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測（理））已知圓與圓（t，m，）相交于P，Q兩點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)N在直線PQ兩側(cè)），且，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用兩圓的相交弦長及平面幾何知識得到，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到關(guān)于的一元二次方程，再利用判別式進(jìn)行求解.【詳解】由題意，得圓的圓心為、半徑為；圓的圓心為、半徑為；連接、、，則、、，因為，所以；則；所以，即關(guān)于的方程有實根，則，即，即，所以的最大值為.故選：C.4．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知直線與函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】函數(shù)的圖象為以為圓心，為半徑的圓在直線上的部分，分別求得直線與相切、過點(diǎn)時的取值，采用數(shù)形結(jié)合的方式可確定的取值范圍.【詳解】由得：，即（其中），表示以為圓心，為半徑的圓在直線上的部分；直線表示過原點(diǎn)的直線，當(dāng)直線與圖象相切時，，解得：或（舍）；當(dāng)直線過點(diǎn)時，；由圖象可知，若直線與函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn)，則.故選：D.5．（2020·湖北武漢·模擬預(yù)測（理））在數(shù)學(xué)中有這樣形狀的曲線：.關(guān)于這種曲線，有以下結(jié)論：①曲線恰好經(jīng)過9個整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線上任意兩點(diǎn)之間的距離都不超過2；③曲線所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域的面積大于5.其中正確的結(jié)論有：（

）A．①③ B．②③ C．①② D．①②③【答案】A【分析】分類討論去絕對值，可得曲線方程，從而可得曲線圖像，最后可對命題進(jìn)行判斷.【詳解】如圖，圖象由四個圓的部分圖像和原點(diǎn)組成，且四個圓都可過原點(diǎn)，①曲線中，，經(jīng)過的整點(diǎn)有：，，，，，，，，共9個，命題①正確；②如圖，曲線上任意兩點(diǎn)距離范圍為，即兩點(diǎn)距離范圍為，命題②錯誤；③曲線所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域可看成四個半圓和一個正方形組成，設(shè)它的面積為，，命題③正確.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查曲線與方程相關(guān)知識，通過曲線方程得出曲線圖像，再經(jīng)過計算判斷命題是否正確，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解能力，是難題.6．（2020·廣東佛山·二模（文））雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)，距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線.已知點(diǎn)是雙紐線上一點(diǎn)，下列說法中正確的有（

）①雙紐線經(jīng)過原點(diǎn)；

②雙紐線關(guān)于原點(diǎn)中心對稱；③；

④雙紐線上滿足的點(diǎn)有兩個.A．①② B．①②③ C．②③ D．②③④【答案】B【分析】設(shè)動點(diǎn)，由已知得到動點(diǎn)的軌跡方程，原點(diǎn)代入軌跡方程，顯然成立；把關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)代入軌跡方程，顯然成立；由圖知雙紐線最高（低）點(diǎn)是軌跡方程與圓相交位置，兩方程聯(lián)解可得成立，由圖知雙紐線上滿足的點(diǎn)有一個.【詳解】設(shè)動點(diǎn)，由已知得到動點(diǎn)的軌跡方程化簡得，原點(diǎn)代入入軌跡方程，①顯然成立；把關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)代入軌跡方程，②顯然成立；因為雙紐線最高（低）點(diǎn)是軌跡方程與圓相交位置兩方程聯(lián)解得成立，，③成立；由圖知雙紐線上滿足的點(diǎn)有一個，④不成立.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查直接法求動點(diǎn)軌跡方程.直接法求軌跡方程的思路：直接法求軌跡方程時最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程，要注意翻譯的等價性．通常將步驟簡記為建系設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡、證明這五個步驟，但最后的證明可以省略，如果給出了直角坐標(biāo)系則可省去建系這一步，求出曲線的方程后還需注意檢驗方程的純粹性和完備性．二、多選題7．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，O為雙曲線的中心，為雙曲線的右頂點(diǎn)，P是雙曲線右支上的點(diǎn)，與的角平分線的交點(diǎn)為I，過作直線的垂線，垂足為B，設(shè)雙曲線C的離心率為e，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】由題可知I為的內(nèi)心，設(shè)的內(nèi)切圓與x軸相切于點(diǎn)，根據(jù)圓的性質(zhì)和雙曲線的定義可得點(diǎn)與點(diǎn)重合，由可得，化簡后可求出離心率，則可判斷CD選項，延長交于M，可得為等腰三角形，則B為的中點(diǎn)，從而可求出，則可判斷AB選項【詳解】由題可知I為的內(nèi)心，設(shè)的內(nèi)切圓與x軸相切于點(diǎn)，則，得，因為，所以點(diǎn)與點(diǎn)重合，因為，所以，則.延長交于M，是角平分線，，所以為等腰三角形，，所以B為的中點(diǎn)，，所以，所以.故選：AD8．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)P在曲線上，點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)P與點(diǎn)R關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)R與點(diǎn)S關(guān)于直線對稱，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)Q與點(diǎn)R關(guān)于原點(diǎn)對稱B．點(diǎn)S在曲線C．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的值不隨點(diǎn)P位置的改變而改變D．當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時，取最小值【答案】ACD【分析】本題需要先作圖，在圖像上進(jìn)行分析，并標(biāo)注好每個點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】依題意，作圖如下：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，，則，，故A正確；設(shè)點(diǎn)S的坐標(biāo)為，S與R的中點(diǎn)為B，由于S與R關(guān)于y=x對稱，所以B必然在直線y=x上，并且直線SR與直線y=x垂直，則：……①，……②，聯(lián)立①②，解得，，即S點(diǎn)的坐標(biāo)為，將S點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，故B錯誤；延長PS，交x軸于C點(diǎn)，設(shè)，直線PO的傾斜角為，則，，，由于，，故C正確；由兩點(diǎn)距離公式得：，設(shè)，當(dāng)x=0時，取得最小值=1，即取最小值=2，此時P與Q重合，故D正確；故答案為：ACD.9．（2021·江蘇常州·一模）已知曲線上的點(diǎn)滿足方程，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時，曲線的長度為B．當(dāng)時，的最大值為1，最小值為C．曲線與軸、軸所圍成的封閉圖形的面積和為D．若平行于軸的直線與曲線交于，，三個不同的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為，，，則的取值范圍是【答案】ACD【分析】先作出方程表示的曲線，然后對每個選項逐個判斷即可.【詳解】對于方程，①當(dāng)，時，方程變?yōu)?，即，表示半圓??；②當(dāng)，時，方程變?yōu)椋?，表示射線；③當(dāng)，時，方程變?yōu)?，該圓不在，范圍內(nèi)，故舍去；④當(dāng)，時，方程變?yōu)椋?，表示射線.綜上可知，曲線由三段構(gòu)成：射線，半圓弧和射線.對于選項A，當(dāng)時，曲線由三段構(gòu)成：線段，半圓弧和線段.其長度為，故A正確；對于選項B，令，其表示曲線上的動點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，，但是其最小值是過點(diǎn)且與半圓弧相切的切線斜率，顯然，，故B錯誤；對于選項C，由圖可知，曲線與軸、軸圍成的封閉圖形為兩個相同的弓形，其面積和為，故C正確；對于選項D，設(shè)平行于軸的直線為，要使與曲線有三個交點(diǎn)，則，不妨設(shè)與半圓弧的交點(diǎn)為，，顯然，，兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之和，與射線的交點(diǎn)為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于：準(zhǔn)確地作出方程表示的曲線.三、填空題10．（2022·山西臨汾·二模（理））已知函數(shù)有2個不同的零點(diǎn)，則k的取值范圍是____________．【答案】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不等的實根，于是畫出曲線與直線的圖象，結(jié)合圖象求解即可【詳解】因為函數(shù)有2個不同的零點(diǎn)，所以關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不等的實根，即曲線（圓的上半部分）與經(jīng)過定點(diǎn)的直線有兩個不同的交點(diǎn)，如圖過作圓的切線，則點(diǎn)到切線的距離，解得（舍去）或，所以，得，即k的取值范圍是，故答案為：11．（2022·貴州貴陽·模擬預(yù)測（理））已知圓，直線．若，過點(diǎn)可作兩條與圓分別相切于，且，則實數(shù)的取值范圍為________．【答案】【分析】根據(jù)長度和角度關(guān)系可求得，知點(diǎn)在圓上，由此可得其為直線與圓的交點(diǎn)，利用圓心到直線距離小于半徑可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】由圓的方程知：圓心，半徑；則在中，，，，點(diǎn)在圓上．，則直線與圓存在交點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求解參數(shù)范圍的問題，解題關(guān)鍵是能夠求得點(diǎn)軌跡所滿足的方程，即確定為直線與圓的交點(diǎn)，從而利用圓心到直線距離來構(gòu)造不等式求得結(jié)果.12．（2022·浙江·寧波諾丁漢附中模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足，且方程有2個實數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍為________.【答案】【分析】先對分類討論，作出函數(shù)的圖象，等價于函數(shù)與直線有兩個交點(diǎn)，再通過數(shù)形結(jié)合分析求解.【詳解】解：當(dāng)時，，它表示橢圓在第一象限且包含端點(diǎn)的曲線；當(dāng)時，，它表示雙曲線在第二象限且包含端點(diǎn)的曲線；當(dāng)時，，不表示任何曲線；當(dāng)時，，它表示雙曲線在第四象限且包含端點(diǎn)的曲線.如圖所示，因為，所以，所以函數(shù)與直線有兩個交點(diǎn).函數(shù)在第二象限和第四象限的漸近線為.直線和函數(shù)有三個交點(diǎn).當(dāng)直線和函數(shù)第一象限的圖象相切時，聯(lián)立得，所以.所以實數(shù)m的取值范圍為.故答案為：13．（2022·河南·新鄉(xiāng)縣高中模擬預(yù)測（理））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)的直線l與圓的兩個交點(diǎn)分別位于不同的象限，則l的斜率的取值范圍為______．【答案】【分析】由題設(shè)，根據(jù)圓的方程找到軸線點(diǎn)，應(yīng)用兩點(diǎn)式求與各軸線點(diǎn)連線的斜率，數(shù)形結(jié)合法判斷滿足題設(shè)情況下直線l的范圍.【詳解】記，，，，．當(dāng)，即時，兩個交點(diǎn)分別位于第一、三象限，滿足題意；當(dāng)，即時，兩個交點(diǎn)分別位于第三、四象限，滿足題意；當(dāng)時，若直線l與圓有兩個交點(diǎn)，則兩個交點(diǎn)均在第二象限，不滿足題意；當(dāng)時，若直線l與圓有兩個交點(diǎn)，則兩個交點(diǎn)均在第三象限，不滿足題意．綜上，或．故答案為：.14．（2020·湖南懷化·三模（理））設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面向量滿足，，，則對任意和任意滿足條件的向量，的最大值為______.【答案】【分析】根據(jù)垂直關(guān)系可建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得點(diǎn)軌跡，進(jìn)而將所求模長轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與之間的距離，即兩圓上的點(diǎn)的距離的最大值的求解，通過數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.【詳解】，，則以為原點(diǎn)，可建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系：又，則，，設(shè)，則由得：，整理可得：，即點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓；，，可看做點(diǎn)與之間的距離，又的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，點(diǎn)與之間的距離的最大值為小圓直徑與大圓半徑之和，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查兩圓上的點(diǎn)的距離的最大值的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算將所求模長轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離的形式，進(jìn)而通過兩點(diǎn)的軌跡確定為兩圓上的點(diǎn)的距離的最值的求解問題.15．（2020·河南南陽·二模（理））已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，直線l分別與以，為直徑的圓相切于A，B兩點(diǎn)，若向量，的夾角為，則=___________.【答案】【分析】首先將圖象畫出來，設(shè)以PF1，PF2為直徑的圓的圓心分別為C，D，連接AC，BD，過D作DE⊥AC于點(diǎn)E，連接CD，易證四邊形ABDE是矩形，根據(jù)幾何關(guān)系可得|CE|===5，由可得，又向量的夾角即為的夾角，從而.【詳解】如圖，設(shè)以PF1，PF2為直徑的圓的圓心分別為C，D，連接AC，BD，過D作DE⊥AC于點(diǎn)E，連接CD，則，因為直線AB是圓C和圓D的公切線，且切點(diǎn)分別是A，B，所以AC⊥AB，BD⊥AB，則四邊形ABDE是矩形，所以|AB|=|DE|，|AE|=|BD|.且，，易知|CE|=|AC||AE|=|AC||BD|=，根據(jù)雙曲線的定義知，|PF1||PF2|=10，所以|CE|=5.因為，由|可得，即|AB|=3，因為向量的夾角即為的夾角，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義和幾何性質(zhì)，考查了直線和圓的位置關(guān)系，綜合性強(qiáng)，根據(jù)條件做出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬難題.16．（2021·江西宜春·模擬預(yù)測（理））在三棱錐中，已知，，，，則三棱錐ABCD體積的最大值是______．【答案】【分析】過作與垂直的平面，交于，過作的垂線，垂足為，則，進(jìn)而可分析出當(dāng)取最大值時，三棱錐的體積取最大值，又由，可得B，C都在以A，D為焦點(diǎn)的橢圓上，利用橢圓的幾何意義及勾股定理，求出的最大值即可得結(jié)果．【詳解】過BC作與AD垂直的平面，交AD于E，過E作BC的垂線，垂足為F，如圖所示：，，則三棱錐的體積為，故EF取最大值時，三棱錐的體積也取最大值．由，可得B，C都在以A，D為焦點(diǎn)的橢圓上，因為平面BCE與線AD垂直，所以三角形ADB與三角形ADC全等，即三角形BCE為等腰三角形，又為定值，所以BE取最大值時，三棱錐的體積也取最大值．在中，動點(diǎn)B到A，D兩點(diǎn)的距離和為10，B在以AD為焦點(diǎn)的橢圓上（長軸、焦距分別為、），此時，，故BE的最大值為，此時，故三棱錐的體積的最大值是．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是棱錐的體積公式，橢圓的定義與橢圓的幾何性質(zhì)，意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力以及數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用，考查了空間想象能力，其中將求棱錐體積的最大值，轉(zhuǎn)化為求橢圓上動點(diǎn)到長軸的距離最遠(yuǎn)是解答本題的關(guān)鍵，本題屬于難題．四、解答題17．（2022·陜西·二模（理））已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，拋物線C上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為6.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)不過原點(diǎn)的直線與拋物線C交于不同兩點(diǎn)P，Q，若，求m的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)拋物線方程為（），根據(jù)到焦點(diǎn)的距離等于A到其準(zhǔn)線的距離，可得從而得到拋物線C的方程；（2）設(shè)，聯(lián)立直線和拋物線方程，由，利用韋達(dá)定理可得答案.(1)由題意設(shè)拋物線方程為（），其準(zhǔn)線方程為，∵到焦點(diǎn)的距離等于A到其準(zhǔn)線的距離，∴∴∴拋物線C的方程為.(2)設(shè)，聯(lián)立，得，，得，∴，又，則，∴，∴或，經(jīng)檢驗，當(dāng)時，直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，不合題意，又，綜上：m的值為.18．（2021·內(nèi)蒙古·赤峰二中一模（文））已知曲線上的點(diǎn)到的距離比它到軸的距離大1.（1）求曲線的方程；（2）過作斜率為的直線交曲線于?兩點(diǎn)；①若，求直線的方程；②過?