專題12橢圓的定值定點和最值問題-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)階段復(fù)習(xí)考點歸納總結(jié)突破練（人教A版2019選擇性）

專題12：橢圓的定值、定點和最值問題考點一、直線與橢圓位置關(guān)系、求弦長及中點弦問題1．直線與橢圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】A【分析】根據(jù)直線恒過，且在橢圓內(nèi)可直接得到結(jié)論.【詳解】，在橢圓內(nèi)，恒過點，直線與橢圓相交.故選：A.2．若直線和圓沒有交點，則過點的直線與橢圓的交點個數(shù)為（

）A．0個 B．至多有一個 C．1個 D．2個【答案】D【分析】根據(jù)題意得到，求得點是以原點為圓心，為半徑的圓及其內(nèi)部的點，根據(jù)圓內(nèi)切于橢圓，得到點是橢圓內(nèi)的點，即可求解.【詳解】因為直線和圓沒有交點，可得，即，所以點是以原點為圓心，為半徑的圓及其內(nèi)部的點，又因為橢圓，可得，所以圓內(nèi)切于橢圓，即點是橢圓內(nèi)的點，所以點的一條直線與橢圓的公共點的個數(shù)為.故選：D.3．過橢圓的左焦點作斜率為1的弦，則弦的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出橢圓左焦點，然后寫出直線方程為，再聯(lián)立橢圓解出兩交點坐標(biāo)，最后依據(jù)兩點之間距離公式得到弦長.【詳解】由,得橢圓方程,左焦點為,過左焦點的直線為,代入橢圓方程得，解得或，，故選：D.4．橢圓的左右焦點為為橢圓上一點，直線分別交橢圓于M，N兩點，則當(dāng)直線的斜率為時，（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】寫出直線的方程，與橢圓聯(lián)立求出點的坐標(biāo)，同理可得點坐標(biāo)，通過計算直線的斜率即可得結(jié)果.【詳解】由已知得，所以直線的方程為：（其中），與橢圓方程聯(lián)立得，由韋達(dá)定理，所以，故；類似得，，所以，故選：D．5．已知直線l：，曲線C：，則直線l與曲線C的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【答案】C【分析】求出直線所過的定點，證明該定點在橢圓內(nèi)部即可得出結(jié)論.【詳解】解：由直線l：，得直線l過定點，因為，所以該點在曲線C：內(nèi)部.所以直線l與曲線C相交.故選：C.6．設(shè)橢圓C：）的左右焦點分別為，，下頂點為B，直線的方程為，設(shè)P為橢圓上異于其頂點的一點，P到直線的距離為，且三角形的面積為，則橢圓C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由直線的方程為可知，再根據(jù)P到直線的距離為得到P點坐標(biāo)，代入到三角形的面積為中可求的值，進(jìn)而求出橢圓C的方程.【詳解】因為直線的方程為，所以當(dāng)時，，即，，所以，設(shè)，因為P到直線的距離為，所以，即或，當(dāng)時，無解，當(dāng)時，，又因為三角形的面積為，所以，解得，所以橢圓C的方程為：，故選：C.7．直線與橢圓相交兩點，點是橢圓上的動點，則面積的最大值為（

）A．2 B． C． D．3【答案】B【分析】聯(lián)立方程組解得點坐標(biāo)，可得，再設(shè)和平行的直線，當(dāng)該直線和橢圓相切時，即的面積取得最大值，求出此時高，可得答案.【詳解】由題意聯(lián)立方程組，解得或，因為兩點在橢圓上關(guān)于原點對稱，不妨取，則,設(shè)過點C與AB平行的直線為，則與AB的距離即為點C到AB的距離，也就是的邊AB上的高，當(dāng)與橢圓相切時，的邊AB上的高最大，面積也最大，聯(lián)立，得：，令判別式，解得，此時與間的距離也即是的邊AB上的高為，所以的最大面積為，故選：B.8．已知直線，橢圓．若直線l與橢圓C交于A，B兩點，則線段AB的中點的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得，進(jìn)而得出中點的橫坐標(biāo)，代入直線方程求出中點的縱坐標(biāo)即可.【詳解】由題意知，，消去y，得，則，，所以A、B兩點中點的橫坐標(biāo)為：，所以中點的縱坐標(biāo)為：，即線段AB的中點的坐標(biāo)為.故選：B9．已知直線與橢圓相交于，兩點，橢圓的兩個焦點分別是，，線段的中點為，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)線段的中點為，利用點差法求得，再利用三角形面積公式求解.【詳解】解：設(shè)，則，所以，即，解得，所以，故選：C10．過橢圓的左焦點F作傾斜角為60°的直線l與橢圓C交于A、B兩點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，把直線與橢圓聯(lián)立，求出，，即可求出.【詳解】由，得，，，左焦點為．則過左焦點F，傾斜角為60°直線l的方程為．代入，得，設(shè)，，則，，又，根據(jù)弦長公式得：，且，∴，故選：A．11．已知是橢圓的一個焦點，，是橢圓的左、右頂點，是橢圓上異于，的一點，若面積的最大值為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題可得，，再結(jié)合，即得橢圓方程.【詳解】依題意得，，，解得，.故選：A．12．設(shè)橢圓的方程為，斜率為k的直線不經(jīng)過原點O，而且與橢圓相交于A，B兩點，M為線段AB的中點，下列結(jié)論正確的是（

）A．直線AB與OM垂直；B．若直線方程為，則.C．若直線方程為，則點M坐標(biāo)為D．若點M坐標(biāo)為，則直線方程為；【答案】D【分析】利用橢圓中中點弦問題的處理方法，結(jié)合弦長的求解方法，對每個選項進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】不妨設(shè)坐標(biāo)為，則，兩式作差可得：，設(shè)，則.對A：，故直線不垂直，則A錯誤；對B：若直線方程為，聯(lián)立橢圓方程，可得：，解得，故，則，故錯誤；對：若直線方程為y=x+1，故可得，即，又，解得，即，故錯誤；對：若點M坐標(biāo)為,則，則，又過點，則直線的方程為，即，故正確.故選：.13．已知雙曲線與斜率為1的直線交于A，B兩點，若線段AB的中點為，則C的離心率（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】中點弦問題利用點差法處理.【詳解】法一：設(shè)，則，所以，又AB的中點為，所以，所以，由題意知，所以，即，則C的離心率.故A，B，D錯誤.故選：C.法二：直線AB過點，斜率為1，所以其方程為，即，代入并整理得，因為為線段AB的中點，所以，整理得，所以C的離心率.故A，B，D錯誤.故選：C.14．過點的直線與橢圓相交于A，B兩點，設(shè)線段AB的中點為Q.若直線AB的斜率為k1（k1≠0），直線OQ(O為坐標(biāo)原點)的斜率為k2，則k1k2等于（）A．2 B．2 C． D．【答案】D【分析】利用點差法求得正確答案.【詳解】設(shè)，則，兩式相減得，，，即.故選：D15．已知橢圓C：內(nèi)一點，直線l與橢圓C交于A，B兩點，且M是線段AB的中點，則下列不正確的是（

）.A．橢圓的焦點坐標(biāo)為， B．橢圓C的長軸長為4C．直線的方程為 D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓方程求得，從而確定AB選項的正確性.利用點差法確定C選項的正確性.利用弦長公式確定D選項的正確性.【詳解】依題意橢圓C：，所以，所以橢圓的焦點坐標(biāo)為，A選項錯誤.橢圓的長軸長為，B選項正確.設(shè)，則，兩式相減并化簡得，由于是的中點，所以，即直線的斜率為，所以直線的方程為，C選項正確.消去并化簡得，，所以，D選項正確.故選：A考點二、橢圓的定值、定點問題16．已知為坐標(biāo)原點，、分別是橢圓的左、右頂點，是橢圓上不同于、的動點，直線、分別與軸交于點、.則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)動點，，由橢圓方程可得、的坐標(biāo)，求出，所在直線方程，可得與的坐標(biāo)，求得，再由動點在橢圓上，得，則的值可求.【詳解】設(shè)動點，，由橢圓方程可得，，則，，所以直線的方程為，直線的方程為，由此可得，，所以.因為動點在橢圓上，所以，所以，則.故選：B.17．已知橢圓，P為E的長軸上任意一點，過點P作斜率為的直線l與E交于M，N兩點，則的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】設(shè)出點和直線l的方程，聯(lián)立直線和橢圓方程得出韋達(dá)定理，結(jié)合兩點距離公式和韋達(dá)定理化簡即可求解.【詳解】設(shè)，直線l的方程為，將直線方程代入橢圓方程并化簡得到，進(jìn)而有，所以．故選：B．18．已知橢圓：的兩個頂點在直線上，，分別是橢圓的左?右焦點，點是橢圓上異于長軸兩個端點的任一點，過點作橢圓的切線與直線交于點，設(shè)直線，的斜率分別為，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意求出，，進(jìn)而寫出橢圓的方程，設(shè)點的切線方程為，與橢圓聯(lián)立，由得到，然后依次表示出相關(guān)點的坐標(biāo)，利用斜率公式表示出，進(jìn)而化簡整理即可求出結(jié)果.【詳解】∵橢圓的兩頂點在直線上，∴，，∴橢圓的方程為，∴，，設(shè)點的切線方程為，，聯(lián)立，消去得，∵直線與橢圓相切，∴，即，∴，，∴，∴點，又，∴，∴，設(shè)點，又在切線上，∴，∴，∴，故選：A.19．已知過原點的動直線l與橢圓交于A，B兩點，D為橢圓C的上頂點，若直線，的斜率存在且分別為，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，則，再由在橢圓上，即可得到，代入可得；【詳解】解：由題知，可設(shè)，，則，又在橢圓上，故，即，所以．故答案為：．20．若AB是過橢圓中心的一條弦，M是橢圓上任意一點，且AM?BM與兩坐標(biāo)軸均不平行，kAM?kBM分別表示直線AM?BM的斜率，則kAM·kBM=（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)點的坐標(biāo)，將斜率用坐標(biāo)表示，再將，的坐標(biāo)代入橢圓方程，再作差即可得解；【詳解】解：設(shè)，，，，則，，則，在橢圓上，，，兩式相減得，即，所以，所以，即故選：．21．已知橢圓的左?右焦點分別為，，，面積為的正方形ABCD的頂點都在上.(1)求的方程；(2)已知P為橢圓上一點，過點P作的兩條切線和，若，的斜率分別為，，求證：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由對稱性，不妨設(shè)正方形的一個頂點為，根據(jù)正方形的面積為得到，再由求解；（2）設(shè)點，過點P與相切的直線l的方程為，與聯(lián)立，由，得到，由和為方程的兩個不等實根求解.（1）根據(jù)對稱性，不妨設(shè)正方形的一個頂點為，由，得，所以，整理得.①又，②由①②解得，，故所求橢圓方程為.（2）由已知及（1）可得，設(shè)點，則.設(shè)過點P與相切的直線l的方程為，與聯(lián)立消去y整理可得，令，整理可得，③根據(jù)題意和為方程③的兩個不等實根，所以，即為定值.22．已知橢圓過點．，分別為左右焦點，為第一象限內(nèi)橢圓上的動點，直線，與直線分別交于，兩點，記和的面積分別為，．(1)試確定實數(shù)的值，使得點到的距離與到直線的距離之比為定值，并求出的值；(2)在（1）的條件下，若，求的值．【答案】(1)，(2)（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，即，所以，，則，，所以橢圓的方程為，設(shè)，（，），則，又，即，所以，因為為定值，所以，解得，所以；（2）由（1）得，直線：，又，，，則直線：，令，則，所以，同理直線：，令，則，所以，所以，所以，化簡可得或，解得或（舍），所以，，則，，，，所以.23．橢圓的左右焦點分別為，焦距為，點M為橢圓上位于x軸上方的一點，，且的面積為2.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓的左?右頂點分別為，直線交橢圓于兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.求證：直線恒過定點.【答案】(1)(2)證明見解析,恒過定點【分析】(1)根據(jù)焦點三角形與橢圓的定義可求解;(2)利用韋達(dá)定理確定，轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合韋達(dá)定理求得定點.然后用（1）因為，所以，即，所以，所以又，，，所以，即，所以，所以，所以橢圓方程為.（2）依題意，設(shè)，若直線的斜率為0則關(guān)于軸對稱，必有，不合題意．所以直線斜率必不為0，設(shè)其方程為，與橢圓C聯(lián)立，整理得：，所以，且，因為是橢圓上一點，即所，則，即，因為，得即因為，，整理得解得，所以直線恒過定點.24．已知橢圓：，，點在橢圓上．(1)求橢圓的方程；(2)若過點且不與軸垂直的直線與橢圓交于，兩點，，證明，斜率之積為定值．【答案】(1)(2)證明見解析（1）由題意得，故橢圓為，又點在上，所以，得，，故橢圓的方程即為；（2）由已知直線過，設(shè)的方程為，聯(lián)立兩個方程得，消去得：，得，設(shè)，，則，（*），因為，故，將（*）代入上式，可得：，∴直線與斜率之積為定值．25．已知橢圓，過點且與軸平行的直線與橢圓恰有一個公共點，過點且與軸平行的直線被橢圓截得的線段長為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過點的動直線與橢圓交于兩點，為軸上的一點，設(shè)直線和的斜率分別為和，若為定值，求點的坐標(biāo).【答案】(1)(2)（1）解：由題意，橢圓的下頂點為，故.由對稱性，橢圓過點，代入橢圓方程有，解得：.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)點坐標(biāo)為.當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)其方程為，與聯(lián)立得：.設(shè)，則.，，，為定值，即與無關(guān)，則，此時.經(jīng)檢驗，當(dāng)直線斜率不存在時也滿足，故點坐標(biāo)為.26．已知分別是橢圓的左?右頂點，分別是的上頂點和左焦點.點在上，滿足.(1)求的方程；(2)過點作直線（與軸不重合）交于兩點，設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析，定值為【分析】（1）根據(jù)可設(shè)，根據(jù)，利用斜率相等且在橢圓上列式可得橢圓基本量的關(guān)系，再根據(jù)求解基本量即可；（2）由題意設(shè)：，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得出韋達(dá)定理，再表達(dá)出，結(jié)合韋達(dá)定理求解即可.（1）因為，故可設(shè)，因為，故，即，解得.又在橢圓上，故，解得，故.又，故，故，.故的方程為.（2）因為橢圓方程為，故，當(dāng)斜率為0時或重合，不滿足題意，故可設(shè)：.聯(lián)立可得，設(shè)，則.故故定值為27．如圖，橢圓：（，，是橢圓的左焦點，是橢圓的左頂點，是橢圓的上頂點，且，點是長軸上的任一定點，過點的任一直線交橢圓于兩點.(1)求橢圓的方程；(2)是否存在定點，使得為定值，若存在，試求出定點的坐標(biāo)，并求出此定值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由已知列出關(guān)于的方程組解之可得橢圓方程；（2）假設(shè)存在滿足題意，設(shè)，，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)方程為，代入橢圓方程整理后應(yīng)用韋達(dá)定理得，，代入化簡可得常數(shù)，再驗證直線斜率不存在時，也有此結(jié)論即得．（1）由已知知，解得，所以橢圓方程為；（2）假設(shè)存在滿足題意，設(shè)，，，①當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)：，代入并整理得∴，（*）（*）式是與無關(guān)的常數(shù)，則解得，此時為定值；②當(dāng)直線與垂直時，，，，也成立，所以存在定點，使得為定值．考點三、橢圓的最值問題28．已知橢圓（）的左、右焦點分別為，，過的直線交橢圓于兩點，若的最大值為10，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求解.【詳解】，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)軸時，有最小值，此時的最大值為10，此時在中，令則，所以，所以的值是.故選:D.29．已知橢圓C：的離心率為，直線l：交橢圓C于A，B兩點，點D在橢圓C上（與點A，B不重合）．若直線AD，BD的斜率分別為，，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】不妨假設(shè)，，則可求，將B，D代入橢圓，然后兩式進(jìn)行相減可得，整理出，代入之后再結(jié)合基本不等式即可求出答案【詳解】解：設(shè)，，則．∵點B，D都在橢圓C上，∴兩式相減，得．∴，即．∴．當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”．故選：B．30．已知橢圓的兩個焦點分別為，點P是橢圓上一點，若的最小值為，則的最大值為（

）A．4 B．2 C． D．【答案】D【分析】設(shè)，求出焦點坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運算得出，再根據(jù)橢圓的范圍利用二次函數(shù)求最值即可得解.【詳解】設(shè)，由可知，，，，，，時，的最小值為，解得.當(dāng)時，的最大值為.故選：D31．橢圓上的點到直線：的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的形式，運用三角代換法，結(jié)合點到直線距離公式、輔助角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，設(shè)，設(shè)點到直線：的距離，所以有，其中，所以當(dāng)時，有最小值，故選：C32．已知橢圓上存在關(guān)于直線對稱的點，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)橢圓上關(guān)于直線的對稱的兩點分別為，的中點為，直線的方程為，將直線與橢圓方程聯(lián)立，，求出，由點在直線上，代入求解即可.【詳解】設(shè)橢圓上關(guān)于直線的對稱的兩點分別為，的中點為，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得，消元可得，，，，，，，又點在直線上，，，，解得，所以實數(shù)m的取值范圍為.故選：C33．已知圓，圓，動圓P與圓內(nèi)切，與圓外切．O為坐標(biāo)原點．（當(dāng)兩圓相切時，規(guī)定切點為同時與兩圓相切的點圓．）(1)若求圓心P的軌跡C的方程．(2)已知點，直線l過點且與曲線C交于A、B兩點，求面積的最大值，以及取得最大值時直線的方程．【答案】(1)(2)面積的最大值為，直線為.【分析】（1）設(shè)動圓的半徑為，由圓與圓的位置關(guān)系分析可得，由橢圓的定義分析可得軌跡是以，為焦點的橢圓，由橢圓的定義分析可得軌跡的方程，即可得答案；（2）設(shè)，，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程可得，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以表示的值，進(jìn)而可以表示面積，由基本不等式的性質(zhì)分析可得答案．（1）設(shè)動圓的半徑為，依題意有，，．所以軌跡是以，為焦點的橢圓，且，，所以，當(dāng)點坐標(biāo)為橢圓右頂點時，不符合題意，舍去．所以軌跡的方程．（2）直線l的斜率不存在時，，，面積；直線l的斜率存在時，直線方程為，設(shè)，，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得，，，得，設(shè)M到直線的距離為，，，令，則，，此時∴，綜上，直線l的斜率不存在時，面積的最大值為，此時直線為.34．已知橢圓：的左、右焦點分別為、，是橢圓上一動點，的最大面積為，.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于、兩點，、為橢圓上兩點，且，求的最大值.【答案】(1)(2)1）解：設(shè)橢圓的半焦距為，，，的最大面積為，，，，橢圓的方程為；（2）由題知，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消去并整理得：，∴，得，，，∴，設(shè)，，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，∴當(dāng)時，，故.35．已知橢圓上一點與它的左、右兩個焦點，的距離之和為，且它的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)．(1)求橢圓的方程；(2)如圖，點A為橢圓上一動點（非長軸端點），的延長線與橢圓交于點B，AO的延長線與橢圓交于點C．①當(dāng)直線AB的斜率存在時，求證：直線AB與BC的斜率之積為定值；②求△ABC面積的最大值，并求此時直線AB的方程．【答案】(1)(2)①證明見解析；②最大值為，．【分析】（1）根據(jù)雙曲線與橢圓的離心率，結(jié)合橢圓的定義求解即可；（2）①設(shè)，BA的方程為，再聯(lián)立橢圓的方程，利用韋達(dá)定理表達(dá)化簡即可；②同①，根據(jù)弦長公式結(jié)合點到線的距離公式，代入韋達(dá)定理化簡可得的表達(dá)式，結(jié)合的范圍求解面積范圍即可.（1）由橢圓的定義知，雙曲線的離心率為，故橢圓的離心率，故，，，故橢圓的方程為．（2）①證明：設(shè)，則．設(shè)直線BA的方程為，聯(lián)立方程化簡得，，∴，，∴；②當(dāng)直線AB的斜率不存在時，可知，，，故，當(dāng)直線AB的斜率存在時，由①知，，，，，點C到直線AB的距離，故.故△ABC面積的最大值為，此時AB的方程為．36．已知橢圓的離心率為，短軸長為4．(1)求橢圓C的方程；(2)若過點的直線交橢圓C于A，B兩點，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)離心率及短軸長及求出，，求出橢圓方程；（2）先考慮直線AB的斜率不存在時的值，再考慮直線AB