專(zhuān)題04平面圖形的面積問(wèn)題（原卷版）

專(zhuān)題04平面圖形的面積問(wèn)題由直觀形象到抽象邏輯推理小學(xué)生的理解思維是建立在直觀的形象的思維基礎(chǔ)上的，在接觸初中幾何的時(shí)候，這種思維就無(wú)法完成學(xué)習(xí)。除了直觀的思維，還有需要一些歸納、推理、變量等復(fù)雜的思維，這樣才能學(xué)好初中幾何。舉例說(shuō)明，在小學(xué)幾何學(xué)習(xí)中，推導(dǎo)一個(gè)長(zhǎng)方體的體積公式的時(shí)候，首先要依靠模型操作，然后依靠幾組數(shù)據(jù)進(jìn)行歸納，最終推導(dǎo)出長(zhǎng)方體的體積公式。這里面就包含了合情推理的思維。在初中幾何中，隨著變量和演繹推理證明等知識(shí)的進(jìn)入，初中學(xué)生學(xué)習(xí)幾何就需要提高相應(yīng)的思維能力，比如抽象思維，判斷推理等等。難度自不必說(shuō)，思維的層次也大為不同。甚至一些證明，必須用演繹推理來(lái)完成，比如“兩直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行”，這個(gè)命題就需要演繹推理思維，學(xué)生必須要在自己的心中構(gòu)建直觀圖形，難度加大了。如“三角形的內(nèi)角和等于180°”這個(gè)定理，在小學(xué)教材中是由實(shí)驗(yàn)得出的，學(xué)生較熟悉。因此，在教學(xué)中既讓學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)得出結(jié)論，又要強(qiáng)調(diào)說(shuō)明不能滿足于實(shí)驗(yàn)，而必須從理論上給予嚴(yán)格論證。求幾何圖形面積常見(jiàn)方法及運(yùn)用：1）割補(bǔ)法求面積（平移、對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)等）；2）和差法求面積；3）等積變換（化線段比為面積比）；4）運(yùn)用整體思想；5）容斥原理（韋恩圖）等。公式法，所求面積的圖形是規(guī)則圖形，如扇形、特殊三角形、特殊四邊形等，可直接利用公式計(jì)算。割補(bǔ)法，就是從割和補(bǔ)兩種不同角度認(rèn)識(shí)同一個(gè)面積。還有的是從不同的角度認(rèn)識(shí)某個(gè)長(zhǎng)方形面積的一半。通過(guò)對(duì)面積問(wèn)題的訓(xùn)練可以打開(kāi)思維。特別是結(jié)合算兩次的思想能讓我們的思維理念得到很大提升。最后我寫(xiě)了算兩次解決面積問(wèn)題，來(lái)詮釋前面的理論。和差法，所求面積的圖形是不規(guī)則圖形，可通過(guò)轉(zhuǎn)化變成規(guī)則圖形面積的和或差，這是求陰影部分面積最常用的方法。等積變換法，以線段比為對(duì)象運(yùn)用兩個(gè)面積比來(lái)表示同一個(gè)面積比，有的是運(yùn)用整體與局部思想整體由各個(gè)局部合成。有的是抓住面積不變，從兩個(gè)不同的底和高來(lái)表示同一個(gè)三角形的面積或者隨便求出直角邊的平方?！绢}型一】割補(bǔ)法求面積（一）平移與對(duì)稱(chēng)【解題技巧】常見(jiàn)模型圖形轉(zhuǎn)化后的圖形秘籍計(jì)算方法【典題1】（2021·北京西城·小升初真題）如圖中有一個(gè)圓和等腰直角三角形，陰影部分的面積是（

）cm2。A．25 B．50 C．75 D．100【典題2】（2021·全國(guó)六年級(jí)培優(yōu)）計(jì)算圖中陰影部分的面積(單位：分米)．【變式練習(xí)】1．求如圖中陰影部分的面積（單位：厘米）2．（2021·江蘇小升初模擬）計(jì)算下圖中陰影部分的面積。3．（2021·黑龍江牡丹江·小升初真題）求陰影的面積。（單位：厘米）4．（2022·安徽·六年級(jí)期末）計(jì)算陰影部分的面積。（π取3.14）【題型二】割補(bǔ)法求面積（二）旋轉(zhuǎn)【解題技巧】常見(jiàn)模型圖形轉(zhuǎn)化后的圖形秘籍計(jì)算方法【典題1】（2021·江蘇揚(yáng)州·小升初真題）如圖，兩個(gè)同樣大的正方形，把其中一個(gè)正方形的頂點(diǎn)固定在另一個(gè)正方形的中心點(diǎn)上。旋轉(zhuǎn)其中一個(gè)正方形如圖所示，重疊部分的面積是5平方厘米，正方形的面積是()平方厘米?！镜漕}2】（2021·四川·成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校附屬小學(xué)小升初模擬）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，連接PA、PB、PC。將繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到的位置。設(shè)，，，求旋轉(zhuǎn)到的過(guò)程中邊PA所掃過(guò)的區(qū)域（圖中陰影部分）的面積?！咀兪骄毩?xí)】1．如圖所示的四邊形的面積等于多少？2．如圖所示，中，，，，以為一邊向外作正方形，中心為，求的面積．3.在一個(gè)正方形中放入一個(gè)四個(gè)頂點(diǎn)與大正方形相接的一個(gè)小正方形(如圖)，如果兩個(gè)正方形的周長(zhǎng)相差厘米，面積相差平方厘米，求小正方形的面積是多少平方厘米？4．（2021·全國(guó)·六年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）求下圖中陰影部分的周長(zhǎng)和面積。（單位：cm）【題型三】和差法求面積【解題技巧】常見(jiàn)模型圖形轉(zhuǎn)化后的圖形秘籍計(jì)算方法【典題1】（2021·成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校附屬小學(xué)小升初模擬）如圖，正方形ABCD的邊AB＝1，弧BD和弧AC都是以1為半徑的圓弧，則無(wú)陰影的兩部分的面積之差為()?！镜漕}2】（2021·四川成都·六年級(jí)期末）如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，AC＝4厘米，BC是半圓的直徑，A為扇形ACD的圓心，求陰影部分的面積是多少平方厘米?！咀兪骄毩?xí)】1．（2021·四川成都·小升初模擬）如圖所示為某商品的商標(biāo)，由兩顆愛(ài)心組成，每顆愛(ài)心都是由一個(gè)正方形和兩個(gè)半圓拼成，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為40毫米和20毫米，則陰影部分的面積是多少平方毫米？（圓周率取3.14）2．（2021·四川·成都市鹽道街小學(xué)六年級(jí)期中）求圖中陰影①比陰影②的面積多多少平方厘米？3．（2022·全國(guó)·期中）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，M是CD邊中點(diǎn)，DN是以點(diǎn)A為圓心的一段弧，KN是以點(diǎn)B為圓心的一段弧，AN=3厘米，BN=2厘米．則圖中陰影部分的面積是平方厘米．（π取3.14）4．（2021·陜西西安·六年級(jí)期中）如圖，正方形的邊長(zhǎng)是4厘米，以正方形的邊為直徑畫(huà)一個(gè)半圓，分別以A、B為圓心，正方形的邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)兩段圓弧。圖中兩個(gè)陰影部分的面積相差多少平方厘米？【題型四】整體代換法【解題技巧】有些參數(shù)（如圓的半徑）直接求很困難，但是可以直接求的半徑的平方，采用設(shè)而不求，整體代換即可。【典題1】（2021·全國(guó)·六年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，陰影部分的面積是25平方米，求圓環(huán)面積?！镜漕}2】（2021·四川成都·六年級(jí)期末）如圖，已知陰影三角形的面積是50dm2，則圓的面積是()dm2?！咀兪骄毩?xí)】1．（2021·四川成都·六年級(jí)期末）如圖所示，O為大小兩個(gè)圓的圓心，陰影部分的面積是8平方厘米，圓環(huán)的面積是_____平方厘米。2．（2021·四川成都·六年級(jí)期末）如圖，陰影部分的面積是a平方米，圓環(huán)的面積是()平方米。3．（2021·江蘇宿遷·五年級(jí)期末）如圖：（1）若大正方形的面積是20平方厘米，則圓的面積是()平方厘米。（2）若小正方形的面積是20平方厘米，則圓的面積是()平方厘米。4.已知圖中正方形的面積是20平方厘米，則圖中里外兩個(gè)圓的面積之和是多少．(取)【題型五】等積變換法求面積【解題技巧】合理使用邊、高的比求面積的比例，靈活掌握邊、高、面積之間的關(guān)系。【典題1】（2021·成都市實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校附屬小學(xué)小升初模擬）已知△ABC的面積是1，把它的各邊按照如圖所示的方式延長(zhǎng)1倍后得到△。（1）△的面積為（

）；（直接寫(xiě)出答案）（2）若按照之前的方式再把△的各邊延長(zhǎng)2倍得到△，試求△的面積?！镜漕}2】（2021·四川·成都市實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校附屬小學(xué)小升初模擬）如圖，三角形的面積是1，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，與交于點(diǎn)。求四邊形的面積。【變式練習(xí)】1．（2021·四川·成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校附屬小學(xué)小升初模擬）如圖，在一個(gè)梯形內(nèi)有兩個(gè)三角形的面積分別為10和12，已知梯形的上底長(zhǎng)是下底長(zhǎng)的，求余下陰影部分的面積是多少？2.（2021·四川成都·小升初模擬）如圖，三角形EFC的面積是24平方厘米，AE＝CE，BF＝FC，則三角形ABC的面積為_(kāi)_______平方厘米。3．如圖所示，,則陰影部分的面積=________．4．（2021·全國(guó)六年級(jí)培優(yōu)）如圖，中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn)，若的面積為1，那么四邊形的面積是多少？【題型六】容斥原理（韋恩圖）【解題技巧】容斥原理這個(gè)詞可能聽(tīng)起來(lái)比較陌生，它還有另一個(gè)名詞，重疊法。如果運(yùn)用得當(dāng)，掌握其精髓，在求解陰影部分面積，以及相關(guān)應(yīng)用題時(shí)，能起到事半功倍的作用。本文就來(lái)重點(diǎn)講一下，容斥原理在求解陰影部分面積時(shí)的妙用?！镜漕}1】是邊長(zhǎng)為4的正方形，分別以、、、為直徑畫(huà)半圓，則這四個(gè)半圓弧所圍成的陰影部分的面積是____________【典題2】（2022·河南南陽(yáng)·六年級(jí)期末）如圖，直角三角形三條邊分別為3厘米、4厘米5厘米，分別以三邊為直徑畫(huà)半圓，圖中陰影部分的面積是()平方厘米。【變式練習(xí)】1.如圖，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半徑AE6厘米，扇形CBF的半徑CB4厘米，求陰影部分的面積．(取3)2.在桌面上放置個(gè)兩兩重疊、形狀相同的圓形紙片.它們的面積都是平方厘米，蓋住桌面的總面積是平方厘米，張紙片共同重疊的面積是平方厘米.那么圖中個(gè)陰影部分的面積的和多少是平方厘米？1．（2021重慶市六年級(jí)月考）求圖中陰影部分的面積是（）平方厘米．A．28.5 B．31.4 C．36 D．42.52．（2021·四川成都·六年級(jí)期末）如圖，長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)陰影部分的面積之和為70m2，AB＝8m，AD＝15m，四邊形EFGO的面積是()m2。3．（2021·浙江嘉興·六年級(jí)期末）如圖，已知正方形邊長(zhǎng)為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，四邊形也為正方形，則三角形的面積是()cm2。4．（2022·全國(guó)·五年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，兩個(gè)等腰直角三角形疊放在一起，AF長(zhǎng)3，AC長(zhǎng)12，DE長(zhǎng)8，重疊部分（陰影部分）五邊形AGHID的面積是．5．（2021·全國(guó)·六年級(jí)競(jìng)賽）如圖所示，O1、O2分別是所在圓的圓心。如果兩圓半徑均為3厘米，且圖中兩塊陰影部分的面積相等，那么O1O2的長(zhǎng)度是()厘米。（π取3.14）6．（2021·福建莆田·六年級(jí)期末）兩個(gè)小朋友用圓做剪紙游戲，一個(gè)小朋友將圓拼成一個(gè)近似長(zhǎng)方形，另一個(gè)小朋友將圓剪成兩個(gè)半圓貼在長(zhǎng)方形上，如下圖，如果長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為16.56cm，那么S②比S①大()平方厘米．7．如圖，已知邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD,E為AD的中點(diǎn)，P為CE的中點(diǎn)，△BDP的面積________．8．（2021·江蘇南京市·長(zhǎng)江路小學(xué)六年級(jí)期末）如圖所示，將一條邊長(zhǎng)為10厘米的平行四邊形沿對(duì)角線對(duì)折，此時(shí)，圖中影陰部分是原平行四邊形面積的。長(zhǎng)________厘米。9．（2021·江蘇揚(yáng)州市·六年級(jí)期末）如圖，一張平行四邊形的紙沿AB折疊（點(diǎn)A把平行四邊形的一條邊按2∶3的比分成了兩段），陰影部分的面積是12平方厘米。這個(gè)平行四邊形的面積是（________）平方厘米。10．（2021·四川成都·六年級(jí)期末）在課堂中，淘氣通過(guò)轉(zhuǎn)化的思想，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的技巧，輕松地求出了陰影部分的面積，你也能算嗎？（單位：cm）11．（2022·安徽亳州·六年級(jí)期末）求圖中陰影部分的面積。單位（厘米）12．（2022·陜西漢中·六年級(jí)期末）計(jì)算下面圖形陰影部分的周長(zhǎng)和面積。13．（2021·河北邯鄲·小升初真題）求陰影部分的面積。（單位：cm）14．（2022·山東·曹縣教學(xué)研究室六年級(jí)期末）下圖是一個(gè)直角梯形，求圖中陰影部分的周長(zhǎng)和面積。（單位：厘米）15．（2021·廣東深圳·六年級(jí)階段練習(xí)）如圖，O為圓心，AB＝BC＝8厘米，求陰影部分的面積。16．（2021·全國(guó)·五年級(jí)課時(shí)練習(xí)）圖中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10厘米，過(guò)它的四個(gè)頂點(diǎn)作液體個(gè)大圓，過(guò)它的各邊中點(diǎn)作一個(gè)小圓，再過(guò)兩組對(duì)邊中點(diǎn)作直線，求圖中各塊陰影部分的面積總和．（π=3.14）17．（2022·全國(guó)·六年級(jí)階段練習(xí)）求圖中陰影部分的周長(zhǎng)和面積．18．（2021·貴州黔西·六年級(jí)期末）求陰影部分的周長(zhǎng)。19．（2022全國(guó)·期中）如圖，一個(gè)鬧鐘內(nèi)圓的面積是30平方厘米，陰影部分的積是多少平方厘米？20．（2021·四川成都·六年級(jí)期末）如圖是一個(gè)正方形和半圓所組成的圖形，其中P為半圓周的中點(diǎn)，Q為正方形一邊上的中點(diǎn)，求陰影部分的面積．21．（2022·全國(guó)·五年級(jí)期末）如圖，ABCD是平行四邊形，BC＝8cm，EC＝6cm，陰影部分面積比△EFG的面積大12cm2，求FC的長(zhǎng)。22．（2021·江蘇·五年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是8厘米和6厘米，陰影部分的總面積是16平方厘米。求四邊形ABCD的面積。23．（2021·浙江·六年級(jí)期末）下圖是由兩個(gè)正方形和一個(gè)圓組成的，已知大正方形的面積是，那么陰影部分的面積是多少？（圓周率取3.14）24．（2022·上海普陀·六年級(jí)期末）汽車(chē)盲區(qū)是造成交通事故的罪魁禍?zhǔn)字?，它是指駕駛員位于正常駕駛座位置，其視線被車(chē)體遮擋而不能直接觀察到的那部分區(qū)域。有一種汽車(chē)盲區(qū)叫做內(nèi)輪差盲區(qū)，內(nèi)輪差是車(chē)輛在轉(zhuǎn)彎時(shí)前內(nèi)輪轉(zhuǎn)彎半徑與后內(nèi)輪轉(zhuǎn)彎半徑之差；由于內(nèi)輪差的存在而形成的這個(gè)區(qū)域（下圖所示）是司機(jī)視線的盲區(qū)?？ㄜ?chē)，貨車(chē)等車(chē)身較長(zhǎng)的大型車(chē)在轉(zhuǎn)彎時(shí)都會(huì)產(chǎn)生這種盲區(qū)，為了解決這個(gè)問(wèn)題，現(xiàn)在許多路口都開(kāi)始設(shè)置“右轉(zhuǎn)危險(xiǎn)區(qū)”標(biāo)線。下圖是我區(qū)某一路口“右轉(zhuǎn)危險(xiǎn)區(qū)”的示意圖，經(jīng)過(guò)測(cè)址后內(nèi)輪轉(zhuǎn)彎半徑米，前內(nèi)輪轉(zhuǎn)彎半徑米，圓心角，求此“右轉(zhuǎn)危險(xiǎn)區(qū)”的面積和周長(zhǎng)。25．（2021·全國(guó)·期中）如圖，已知等腰三角形ABC，D為AC中點(diǎn)，AB=BC=2厘米，，分別是以B、A為圓心的?。敲搓幱安糠值拿娣e是多少平方厘米？26．（2020·