專題02正四面體模型

專題02正四面體模型【解題技巧歸納總結(jié)】一．正四面體如圖，設(shè)正四面體的的棱長為，將其放入正方體中，則正方體的棱長為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為．【典型例題】例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））棱長為a的正方體內(nèi)有一個(gè)棱長為x的正四面體，且該正四面體可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則x的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】棱長為的正方體的內(nèi)切球的半徑為，正四面體可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，只需該正四面體為球的內(nèi)接正四面體，換言之，棱長為的正四面體的外接球的半徑為，設(shè)正四面體為，過作平面，垂足為，為底面正的中心，則，體高為，由于外接球半徑為，利用勾股定理得：，解得，選D．例2．（2022·河南·西平縣高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測（理））一個(gè)正四面體的棱長為2，則這個(gè)正四面體的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，四面體是正四面體，棱長，將其補(bǔ)形成正方體，則正方體的棱長，此正方體的體對角線長為，正四面體與正方體有相同的外接球，則正四面體的外接球半徑，所以正四面體的外接球體積為．故選：A例3．（2022·貴州師大附中高二開學(xué)考試（理））已知正四面體的棱長為2，則其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)檎拿骟w的棱長為2，所以底面三角形的高，棱錐的高為，設(shè)外接球半徑為，則，解得．所以外接球的表面積為．故選：B．例4．（2022·河北·石家莊二中一模（理））如圖所示，正四面體中，是棱的中點(diǎn)，是棱上一動(dòng)點(diǎn)，的最小值為，則該正四面體的外接球表面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】將側(cè)面和沿邊展開成平面圖形，如圖所示，菱形，在菱形中，連接，交于點(diǎn)，則的長即為的最小值，即，因?yàn)檎拿骟w，所以，所以，因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以，所以，設(shè)，則，所以，則，所以，則正四面體的棱長為，所以正四面體的外接球半徑為，所以該正四面體外接球的表面積為，故選：A【過關(guān)測試】1．（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測（文））在正四面體PABC中，點(diǎn)D，E分別在線段PC，PB上，，若的最小值為，則該正四面體外接球的表面積為（

）A．27π B．54π C． D．【答案】B【解析】如圖，將正四面體展開，可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，即，設(shè)正四面體的棱長為，則在中，，即，所以，即；又正四面體外接球，即為棱長為的正方體的外接球，即外接球的直徑為，所以正四面體外接球的表面積為．故選：B．2．（2022·貴州·凱里一中高二期末（理））我們將四個(gè)面均為正三角形的四面體稱為“正四面體”，在正四面體中，分別為棱的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，四面體的外接球的表面積為A． B． C． D．【答案】D【解析】【詳解】設(shè)正四面體的棱長為，則：，在等腰三角形ABF中，，據(jù)此可得：，正四面體的棱長為：，外接球半徑為：，其表面積為：．本題選擇D選項(xiàng)．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）金剛石是碳原子的一種結(jié)構(gòu)晶體，屬于面心立方晶胞（晶胞是構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元），即碳原子處在立方體的個(gè)頂點(diǎn)，個(gè)面的中心，此外在立方體的對角線的處也有個(gè)碳原子，如圖所示（綠色球），碳原子都以共價(jià)鍵結(jié)合，原子排列的基本規(guī)律是每一個(gè)碳原子的周圍都有個(gè)按照正四面體分布的碳原子．設(shè)金剛石晶胞的棱長為，則正四面體的棱長為__________；正四面體的外接球的體積是__________．【答案】

【解析】依題意可知，為正四面體的中心，如圖：連接，延長交平面于點(diǎn)，則為△的中心，所以設(shè)，，因?yàn)?，所以，由，得，得，解得，所以正四面體的棱長為．依題意可知，正四面體的外接球的圓心為，半徑為，所以正四面體的外接球的體積是．故答案為：；．4．（2022·江西師大附中高二期中（文））正四面體ABCD中，E是棱AD的中點(diǎn)，P是棱AC上一動(dòng)點(diǎn)，若BP+PE的最小值為，則該正四面體的外接球的體積是________．【答案】．【解析】【詳解】把正四面體展開成如圖所示的菱形，在菱形中，連結(jié)，交于，則的長即為的最小值，即．如圖，，．∴設(shè)，則．∴，則．∴，即正四面體的棱長為．∴該正四面體的外接球的半徑為∴該正四面體的外接球的體積為故答案為．5．（2022·廣西·南寧三中高二階段練習(xí)（理））設(shè)正四面體的棱長為，則它的外接球的體積為________．【答案】【解析】【詳解】正四面體補(bǔ)成為正方體，它們的外接球是同一個(gè)球，正方體的對角線長就是球的直徑，正四面體的棱長為，即正方體面上的對角線長為，所以正方體棱長為1，對角線長為，所以球的體積為：，故填．6．（2022·寧夏育才中學(xué)高三階段練習(xí)（文））一個(gè)棱長為5的正四面體（棱長都相等的三棱錐）紙盒內(nèi)放一個(gè)小正四面體，若小正四面體在紙盒內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則小正四面體棱長的最大值為__________．【答案】【解析】【詳解】設(shè)大正四面體的內(nèi)切球半徑為，則解得．設(shè)小正四面體棱長的最大值為，內(nèi)切球?yàn)樾≌拿骟w的外接球，則即，解得．7．（江蘇省鎮(zhèn)江市20212022學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)表面積為24π的球面上，則該四面體的體積為_____．【答案】【解析】設(shè)正四面體的棱長為，外接球半徑為，如圖正四面體中，為的中點(diǎn)，為的中心，連接，則平面，為正四面體外接球的球心，連接，則，所以，因?yàn)檎骟w外接球的表面積為24π，所以，得，所以，所以，在中，，則，解得或（舍去），所以該四面體的體積為，故答案為：8．（2022·天津南開·高二學(xué)業(yè)考試）表面積為的正四面體外接球的體積為__________．【答案】【解析】設(shè)正四面體的邊長為，的外接圓圓心為，正四面體外接球的球心為，半徑為，如圖所示：因?yàn)椋獾茫驗(yàn)?，所以，．在中，解得．正四面體外接球的體積．故答案為：9．（2022·遼寧鞍山·二模）已知正四面體ABCD的表面積為，且A，B，C，D四點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的體積為______．【答案】【解析】正四面體各面都是全等的等邊三角形，設(shè)正四面體的棱長為a，所以該正四面體的表面積為，所以，又正方體的面對角線可構(gòu)成正四面體，若正四面體棱長為，可得正方體的棱長為1，所以正方體的外接球即為該正四面體的外接球，所以外接球的直徑為，半徑為，所以球O的體積為．故答案為：10．（2022·全國·高一）正四面體和邊長為1的正方體有公共頂點(diǎn)，，則該正四面體的外接球的體積為______．【答案】【解析】由圖可知正四面體的外接球的體積等于正方體的外接球的體積，求正方體外接球體積即可．【詳解】如圖，由題可得正四面體與正四面體全等，所以正四面體的外接球的體積等于正四面體的外接球的體積，也即是正方體的外接球的體積，因?yàn)檎襟w棱長為1，所以外接球直徑為，所以正方體的外接球的體積為：，所以正四面體的外接球的體積為．故答案為：．11．（2022·安徽·池州市第一中學(xué)高二期中）正四面體中，其側(cè)面積與底面積之差為，則該正四面體外接球的體積為______．【答案】【解析】設(shè)正四面體的邊長為，則該正四面體每個(gè)面的面積為，正四面體的側(cè)面積與底面積之差為，解得．如下圖所示：過點(diǎn)作平面，垂足為點(diǎn)，連接，可知外接球球心在上，設(shè)球的半徑為，的外接圓半徑為，，由圖可知，，即，解得．因此，正四面體的外接球體積為．故答案為：．12．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））已知球內(nèi)接正四面體，為棱的中點(diǎn)，是棱上的一點(diǎn)．滿足，則球的體積為______．【答案】或【解析】如圖，正四面體中，頂點(diǎn)在底面的射影為，球心在上．設(shè)正四面體的棱長為，則正四面體高為在中，根據(jù)勾股定理：可得：．設(shè)外接球半徑為，在直角三角形中，，即，解得．令，在中，由余弦定理得：﹐由題設(shè)，——①，同理，在中，，而——②﹐聯(lián)立①和②式，解得或．或，故：球的體積或．故答案為：或．13．（2022·湖南長沙·高二期中）已知正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一個(gè)截面如下圖，且圖中三角形（正四面體的截面）的面積是，則該球的表面積為______．【答案】【解析】設(shè)正四面體的棱長為，過該球球心的一個(gè)截面如圖為，于是圖中，為中點(diǎn)，則．在中，，，∴．因?yàn)槿切蔚拿娣e是，所以有，∴．該正四面體的高，設(shè)球的半徑為，則，解得，∴．故答案為：．14．（2022·江蘇·海安高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）一個(gè)正四面體的展開圖是邊長為的正三角形，則該四面體的外接球的表面積為_______．【答案】【解析】解：因?yàn)橐粋€(gè)正四面體的展開圖是邊長為的正三角形，所以，正四面體的邊長為，在正四面體中，如圖所示，為底面正三角形的中心，為外接球的球心，設(shè)外接球的半徑為R，則有，，，因?yàn)檎拿骟w的邊長為，所以，故，，在中，，即，解得：，故外接球的表面積為．15．（2022·云南曲靖·一模（文））棱長為的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過棱作四面體的截面，交棱的中點(diǎn)于，且截面面積是，則四面體外接球的表面積是__________．【答案】18【解析】截面的面積為正四面體的外接球的半徑是體高的．正四面體的高是球的半徑為，表面積為故答案為18．16．（2022·福建漳州·高一期末）正四面體和邊長為1的正方體有公共頂點(diǎn)，，則該正四面體的外接球的體積為______，線段長度的