863平面與平面垂直（教學設(shè)計）-2021-2022學年高一數(shù)學(人教A版2019)

《8.6.3平面與平面垂直》教學設(shè)計本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學必修第二冊》人教A版（2019）第八章《立體幾何初步》的第六節(jié)《空間直線、平面的垂直》。以下是本節(jié)的課時安排：8.6空間直線、平面的垂直課時內(nèi)容8.6.1直線與直線垂直8.6.2直線與平面垂直8.6.3平面與平面垂直所在位置教材第146頁教材第149頁教材第155頁新教材內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容是利用空間直線平行的傳遞性和等角定理，探究異面直線所成的角，滲透把立體圖形的問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題來解決的轉(zhuǎn)化思想.直線與平面垂直的研究是直線與直線垂直研究的繼續(xù)，也為平面與平面垂直的研究做了準備；這三類垂直問題的主線是類似的，都是以定義——判定——性質(zhì)為主線，通過定理的探索過程，培養(yǎng)了學生的幾何直覺以及運用圖形語言進行交流的能力，是本節(jié)課的重要任務(wù)。本節(jié)內(nèi)容是空間平面與平面垂直，與研究直線與平面垂直一樣，借助長方體模型，理解平面與平面平行的判定和性質(zhì)定理。核心素養(yǎng)培養(yǎng)通過實物觀察、抽象出異面直線夾角的定義，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)；借助異面直線所成角及垂直關(guān)系的證明，培養(yǎng)數(shù)學運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).通過學習直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學素養(yǎng)；通過學習直線與平面所成的角，提升直觀想象、數(shù)學運算的數(shù)學素養(yǎng)。通過學習平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學素養(yǎng)；通過學習二面角，提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算的數(shù)學素養(yǎng).教學主線垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化利用已經(jīng)學習過的直線與平面垂直、直線與直線垂直的相關(guān)知識與研究思路，類比地研究平面與平面的垂直.1．理解二面角的概念，并會求簡單的二面角，培養(yǎng)數(shù)學運算和直觀想象的核心素養(yǎng)；2．理解直二面角與面面垂直的關(guān)系，理解平面和平面垂直的判定定理并能運用其解決相關(guān)問題，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)；3.理解平面和平面垂直的性質(zhì)定理，并能用文字、符號和圖形語言描述定理，培養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)；4.能應用面面垂直的性質(zhì)定理解決有關(guān)的垂直問題，提升邏輯推理的核心素養(yǎng)。1.重點：掌握面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理2.難點：會求簡單二面角平面角的大小，會運用定理證明垂直關(guān)系平面和平面垂直的性質(zhì)定理的應用（一）新知導入建筑工人砌墻時為了保證墻面與地面垂直，常常在較高處固定一條端點系有鉛錘的線，再沿著該線砌墻，如圖，這樣就能保證墻面與地面垂直.【問題】(1)由上述可知當直線與平面垂直時，過此直線可作無數(shù)個平面，那么這些平面與已知平面有何關(guān)系？(2)若要判斷兩平面是否垂直，根據(jù)上述問題能否得出一個方法？【提示】(1)垂直關(guān)系.(2)可以，只需在一平面內(nèi)找一直線垂直于另一平面即可.（二）平面與平面垂直知識點一二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形．(2)相關(guān)概念：①這條直線叫二面角的棱，②兩個半平面叫二面角的面．(3)畫法：(4)記法：二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q.(5)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α-l-β的平面角是∠AOB.(6)二面角的平面角的取值范圍：0°≤α≤180°.平面角是直角的叫做直二面角．【思考】在二面角的平面角的定義中O點是在棱上任取的，那么∠AOB的大小與點O在棱上的位置有關(guān)系嗎？【提示】由等角定理可知∠AOB的大小與點O在棱上的位置無關(guān)。【做一做】如圖，P是二面角α-l-β內(nèi)的一點，PA⊥α，PB⊥β，垂足分別為A，B.若∠APB＝80°，則二面角α-l-β的大小為.答案：100°知識點二平面與平面垂直(1)定義：如果兩個平面相交，且它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．(2)畫法：記作：α⊥β.(3)判定定理：如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直．圖形表示：符號表示：l?α，l⊥β?α⊥β.【做一做】已知直線l⊥平面α，則經(jīng)過l且和α垂直的平面（）A.有1個B.有2個C.有無數(shù)個 D.不存在答案：C知識點三平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言：兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直。符號語言：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β圖形語言：【拓展】平面與平面垂直的其他性質(zhì)(1)如果兩個平面垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi)．(2)如果兩個平面垂直，那么與其中一個平面平行的平面垂直于另一個平面．(3)如果兩個平面垂直，那么其中一個平面的垂線平行于另一個平面或在另一個平面內(nèi).【辯一辯】判斷（正確的打“√”，錯誤的打“×”）（1）如果兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)的直線一定垂直于另一個平面.（）（2）如果兩個平面垂直，那么垂直于交線的直線必垂直于其中一個平面.（）（3）若平面α⊥平面β，則平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β.()（4）若平面α⊥平面β，則平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β.()（5）若平面α不垂直于平面β，則平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β.()【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√（5）√（三）典型例題1.求二面角的大小例1.如圖，已知四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD.(1)求二面角B-PA-D平面角的度數(shù)；(2)求二面角B－PC－D平面角的度數(shù)．【解】(1)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA.∴∠BAD為二面角B-PA-D的平面角．又由題意∠BAD＝90°，∴二面角B-PA-D平面角的度數(shù)為90°.(2)作BE⊥PC于E，連接DE，BD，且BD與AC交于點O，連接EO，如圖.由題意知△PBC≌△PDC，則∠BPE＝∠DPE，從而△PBE≌△PDE.∴∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE.∴∠BED為二面角B－PC－D的平面角.∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC.又AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，∴BC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，∴BC⊥PB.設(shè)AB＝a，則BE＝eq\f(PB·BC,PC)＝eq\f(\r(6),3)a，BD＝eq\r(2)a.∴sin∠BEO＝eq\f(BO,BE)＝eq\f(\r(3),2).∴∠BEO＝60°，∴∠BED＝120°.∴二面角B－PC－D的平面角的度數(shù)為120°.【類題通法】確定二面角的平面角的方法(1)定義法：在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線．如圖①，則∠AOB為二面角α-l-β的平面角．(2)垂面法：過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．如圖②，∠AOB為二面角α-l-β的平面角．(3)垂線法：過二面角的一個面內(nèi)異于棱上的A點向另一個平面作垂線，垂足為B，由點B向二面角的棱作垂線，垂足為O，連接AO，則∠AOB為二面角的平面角或其補角．如圖③，∠AOB為二面角α-l-β的平面角．【鞏固練習1】如圖所示，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上的一點，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.【解】∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直徑，且點C在圓周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC.而PC?平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.2.平面與平面垂直的判定例2.如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中點.求證：平面ABM⊥平面A1B1M.【證明】由長方體的性質(zhì)可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM?平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.又CC1＝2，M為CC1的中點，所以C1M＝CM＝1.在Rt△B1C1M中，B1M＝eq\r(B1Ceq\o\al(2,1)＋MCeq\o\al(2,1))＝eq\r(2)，同理BM＝eq\r(BC2＋CM2)＝eq\r(2)，又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，從而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M＝B1，A1B1，B1M?平面A1B1M，所以BM⊥平面A1B1M，因為BM?平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.【類題通法】證明平面與平面垂直的方法有兩個(1)利用定義：證明二面角的平面角為直角；(2)利用面面垂直的判定定理：要證面面垂直，只要證線面垂直．即在其中一個平面內(nèi)尋找一條直線與另一個平面垂直．這是證明面面垂直的常用方法．【鞏固練習2】過點S引三條線段SA，SB，SC，其中∠BSC＝90°，∠ASC＝∠BSA＝60°，且SA＝SB＝SC＝a.求證：平面ABC⊥平面BSC.【證明】如圖，取BC的中點D，連接SD，AD，由于∠ASC＝∠BSA＝60°，且SA＝SB＝SC＝a，所以△SAC，△SAB為正三角形，即有AB＝AC＝a，又BC＝eq\r(2)a，所以三角形ABC為等腰直角三角形，所以AD⊥BC，又SD⊥BC，所以∠ADS恰好為二面角S－BC－A的平面角.又SD＝AD＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(2),2)a，而SA＝a，所以△SAD為直角三角形，∠SDA為直角，所以平面ABC⊥平面BSC.3.平面與平面垂直的性質(zhì)例3.如圖，P是△ABC所在平面外的一點，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求證：BC⊥AC.【證明】過A作AE⊥PC于E，由平面PAC⊥平面PBC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，可知AE⊥平面PBC.又BC?平面PBC，故AE⊥BC.又PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，故PA⊥BC.∵PA∩AE＝A，∴BC⊥平面PAC.又AC?平面PAC，故BC⊥AC.【類題通法】在運用面面垂直的性質(zhì)定理時，若沒有與交線垂直的直線，一般需作輔助線，基本作法是過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線，這樣便把面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直問題，進而轉(zhuǎn)化為線線垂直問題?！眷柟叹毩?】如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的菱形，且∠DAB＝60°，側(cè)面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；(2)求證：AD⊥PB.【證明】(1)∵在菱形ABCD中，G為AD的中點，∠DAB＝60°，∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)連接PG，如圖，∵△PAD為正三角形，G為AD的中點，∴PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB，∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB.（四）操作演練素養(yǎng)提升1、自二面角棱l上任選一點O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，則必須具有條件()A．AO⊥BO，AO?α，BO?βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO?α，BO?βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO?α，BO?β2.m，n表示直線，α，β，γ表示平面，給出下列三個命題：(1)若α∩β＝m，n?α，n⊥m，則n⊥β；(2)若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，則n⊥m；(3)若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β.其中正確的命題為()A.(1)(2) B.(3)C.(2)(3) D.(1)(2)(3)3.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，二面角D1-BC-D的平面角的大小為________．4.如圖所示，沿直角三角形ABC的中位線DE將平面ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱錐A-BCDE.則平面ABC與平面ACD的關(guān)系是________．【答案】1.D2.B3.45°4.垂直【設(shè)計意圖】通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學思想，增強學生的應用意識。（五）課堂小結(jié)，反思感悟1.知識總結(jié)：2.學生反思：（1）通過這節(jié)課，你學到了什么知識？（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？【設(shè)計意圖】通過總結(jié)，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內(nèi)容，提高概括能力,提高學生的數(shù)學運算能力和邏輯推理能力。完成教材：第158頁練習第1，2,3,4題第161頁練習第1，2,3,4題第162頁習題8.6第6,7,8,9題