精練專輯021平面向量的應用(十)解三角形應用題小測試

必修第二冊精練專輯021平面向量的應用(十)解三角形應用題小測試本測試共17題，第1、12—17題每題10分，第2—11題第題8分，共100分。1.(2015上海理20文21)(共23題5道解答題第2題150分占14分)(本題共有2小題，第小題滿分6分，第小題滿分8分)如圖，三地有直道相通，千米，千米，千米?，F(xiàn)甲、乙兩警員同時從地出發(fā)勻速前往地，經(jīng)過小時，他們之間的距離為(單位：千米)。甲的路線是，速度為千米/小時，乙的路線是，速度為千米/小時。乙到達地后原地等待。設時乙到達地。AACB(Ⅰ)求與的值；(Ⅱ)已知警員的對講機的有效通話距離是千米。當時，求的表達式，并判斷在上的最大值是否超過？說明理由。解：(Ⅰ)。記乙到時甲所在地為，則千米。在中，，所以(千米)。(Ⅱ)甲到達用時小時；乙到達用時小時，從到總用時小時。當時，；當時，。所以。因為在上的最大值是，在上的最大值是，所以在上的最大值是，不超過。點拔：這是一道解三角形的應用題，解題的關鍵是弄清題意。第(Ⅰ)問比較簡單；第(Ⅱ)問，要注意分類討論。2.(2014四川文8)(共21題10道選擇題第8題150分占5分)如圖，從氣球上測得正前方的河流的兩岸，的俯角分別為，，此時氣球的高是，則河流的寬度等于()A.B.C.D.答案：C解：記氣球的高度為，交延長線于，在中，，在中，由正弦定理知，。3.(2014四川理13)(共21題5道填空題第3題150分占5分)如圖，從氣球上測得正前方的河流的兩岸的俯角分別為，，此時氣球的高度是，則河流的寬度約等于。(用四舍五入法將結(jié)果精確到個位。參考數(shù)據(jù)：，，，，)答案：60解：記氣球的高度為，交延長線于，在中，，在中，。4.(2010北京文7)(共20題8道選擇題第7題150分占5分)某班設計了一個八邊形的班徽(如圖)，它由腰長為1，頂角為的四個等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為()A.B.C.D.答案：A解：四個等腰三角形的面積之和為。再由余弦定理可得正方形邊長為，可知正方形面積為，故所求八邊形的面積為，即選A。5.一船向正北航行，看見正西方向有相距海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西，另一燈塔在船的南偏西，則這只船的速度是每小時()A.海里B.海里C.海里D.海里答案：C解：畫出草圖可知選C。點拔：畫出草圖，將文字信息轉(zhuǎn)化為圖形信息。6.某人向正東方向走千米后右轉(zhuǎn)，然后朝新方向走千米，這時他離出發(fā)點恰好千米，那么的值是()A.B.C.或D.答案：C解：設某人從向正東行走千米，到后右轉(zhuǎn)到，則，由余弦定理得，，即，解得或。故選C。點拔：畫出草圖，將文字信息轉(zhuǎn)化為圖形信息。7.海上有兩個小島相距海里，從島望島和島成的視角，從島望島和島成的視角，則間的距離是()A.海里B.海里C.海里D.海里答案：D解：由題意可知，所以海里。故選D。點拔：這類試題本來不難，對于畫出了圖形的試題還勉強能做出來，對沒有畫出圖形的試題，大部分學生做不出來。其原因是學生不能把文字信息轉(zhuǎn)化為圖形信息，導致無從下手。所以，平時要多練習這類試題，注意理解“視角”、“俯角”、“仰角”、“方位角”、“東偏南”、“北偏西”等概念，同時要訓練畫圖的能力。8.已知兩座燈塔和與海洋觀察站的距離相等，燈塔在觀察站的北偏東，燈塔在觀察站的南偏東，則燈塔在燈塔的()A.北偏東B.北偏西C.南偏東D.南偏西答案：B解：根據(jù)題意，畫出如右所示的圖形，CCAB北由圖可知，而，所以，于是燈塔在燈塔的北偏西。故選B。點拔：畫出圖形，將文字信息轉(zhuǎn)化為圖形信息，是解答本題的關鍵。9.臺風中心從地以的速度向東北方向移動，離臺風中心內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)，城市在的正東處，城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為()A.B.C.D.答案：B解：設小時后臺風中心移到處，則，當且僅當時，城市處于危險區(qū)內(nèi)，于是，即，解得，而。故選B。點拔：畫出草圖，將文字信息轉(zhuǎn)化為圖形信息，才能正確解答本題。10.如圖，在某點處測得建筑物的頂端的仰角為(為建筑物底端)，沿前進米至點，測得的仰角為，再繼續(xù)前進米至點，測得頂點的仰角為，則建筑物的高為米。AAEDCB答案：米解：如圖，在中，由正弦定理得，所以?？傻?，。于是在直角中，。點拔：本題考查正弦定理，弄清題中邊和角的關系是解答本題的關鍵。11.在湖面上高米處，測得天空中一朵云的仰角為，測得云在湖中之影的俯角為，則云距湖面的高度為米。答案：解：如圖，設湖面上高米處為，測得云的仰角為，AACEMD湖面測得在湖中之影的俯角為，與湖面交于，過的水平線交于。設云高，則，，，又。所以。整理得，。點拔：畫出圖形，將文字信息轉(zhuǎn)化為圖形信息，是解答本題的關鍵。12.如圖，貨輪在海上以海里/小時的速度沿著方位角為的方向航行。為了確定船位，在點觀測燈塔的方位角是，航行半小時后到達點，觀測燈塔的方位角是求貨輪到達點時與燈塔的距離。(注：方位角是指正北方向按順時針旋轉(zhuǎn)到與視線方向重合時所成的角)BB北AC北解：由題意，得，，，海里，由正弦定理可得，解得(海里)。故貨輪到達點時與燈塔的距離為(海里)。點拔：題中已經(jīng)畫出了圖形，只要將題中的數(shù)據(jù)放在圖中對應位置，就可以解答出來。13.如圖：在斜度一定的山坡上的一點測得山頂上一建筑物頂端對于山坡的斜度為，向山頂前進米后到達點，又從點測得斜度為，假設建筑物高米，求此山對于地平面的斜度的余弦值。AACDB100θ50解：在中，米，，。由正弦定理得：，所以，在中，米，，，由正弦定理得：，解得。點拔：兩次使用正弦定理，達到求解的目的。14.如圖，某觀測站在城的南西的方向上，由城出發(fā)有一條公路，走向是南東，在處測得距為千米的公路上處有一人正沿公路向城走去，走了千米后，到達處，此時、間距離為千米，問這人還需走多少千米到達城？東東北ADBC解：根據(jù)題意得，千米，千米，千米，，設，。在中，由余弦定理得：，。，所以。在中，由正弦定理得：。答：這人還要走千米才能到達城。點撥：本題考查正弦定理及余弦定理的運用。注意數(shù)學方向的應用。15.在海岸處，發(fā)現(xiàn)北偏東方向，距離為的處有一艘走私船，北北南西東CABD在處北偏西方向，距離為的處有一艘緝私艇奉命以的速度追截走私船，此時，走私船正以的速度從處向北偏東方向逃竄，問緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船？并求出所需時間。(本題解題過程中請不要使用計算器，以保證數(shù)據(jù)的相對準確和計算的方便)解：設緝私艇追上走私船需小時，則，?！撸嘣谥?，由余弦定理得，。即，由正弦定理得，∴，∴為東西走向，∴。在中，由正弦定理得?！?，∴，∴，即，∴(小時)。答：緝私艇沿北偏東方向行駛才能最快追上走私船，需要小時。點拔：本題給出了圖形，只要將題中的數(shù)據(jù)標注到圖形的相關位置，就不難解答了。16.某市氣象臺測得在正西方向公里處有一臺風中心，以每小時公里的速度向東偏北方向移動，距臺風中心公里內(nèi)的地區(qū)都要受到影響，請預報：(Ⅰ)大約多長時間后，該市將受臺風影響？(Ⅱ)臺風對該市影響持續(xù)多長時間？解：如圖，設該市為，臺風中心開始在，臺風中心在時開始受影響，臺風中心在時影響結(jié)束，臺風運動時間為。DDCAB由得，得。答：大約經(jīng)過小時，該市將受臺風影響。影響時間將持續(xù)小時。點拔：運用正弦定理和余弦定理解答應用題，要認真審題，依據(jù)題意列出等式或不等式，再進行解答。雖然這類題不是高考的熱點，但并不等于不會考試(此題就是2003年全國高考題的改編)，若不加強練習，萬一考冷門，就會措手不及。17.在某海濱城市附近海面有一臺風，據(jù)監(jiān)測，當前臺風中心位于城市(如圖)的東偏南方向的海面處，并以的速度向西偏北方向移動。臺風侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當前半徑為，并以的速度不斷增大。問幾小時后該城市開始受到臺風的侵襲？并求該市受臺風影響的持續(xù)時間有多久？OO海岸線QP解：設在時刻臺風中為，此時臺風侵襲的圓形區(qū)域半徑為()，若在時城市受到