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河北省師大附中2024年高三下學(xué)期第一次摸底考試數(shù)學(xué)試題理試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.下列四個圖象可能是函數(shù)圖象的是()A. B. C. D.2.如圖所示的程序框圖,當(dāng)其運行結(jié)果為31時,則圖中判斷框①處應(yīng)填入的是()A. B. C. D.3.蒙特卡洛算法是以概率和統(tǒng)計的理論、方法為基礎(chǔ)的一種計算方法,將所求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系;用均勻投點實現(xiàn)統(tǒng)計模擬和抽樣,以獲得問題的近似解,故又稱統(tǒng)計模擬法或統(tǒng)計實驗法.現(xiàn)向一邊長為的正方形模型內(nèi)均勻投點,落入陰影部分的概率為,則圓周率()A. B.C. D.4.下列圖形中,不是三棱柱展開圖的是()A. B. C. D.5.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞減,則()A. B.C. D.6.設(shè)等比數(shù)列的前項和為,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.設(shè)雙曲線(a>0,b>0)的右焦點為F,右頂點為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點,過B,C分別作AC,AB的垂線交于點D.若D到直線BC的距離小于,則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是()A.B.C.D.8.設(shè)分別是雙曲線的左右焦點若雙曲線上存在點,使,且,則雙曲線的離心率為()A. B.2 C. D.9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果為3,則可輸入的實數(shù)值的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.410.我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)(即質(zhì)數(shù))的和”,如,.在不超過20的素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于20的概率是()A. B. C. D.以上都不對11.已知中內(nèi)角所對應(yīng)的邊依次為,若,則的面積為()A. B. C. D.12.已知雙曲線的左焦點為,直線經(jīng)過點且與雙曲線的一條漸近線垂直,直線與雙曲線的左支交于不同的兩點,,若,則該雙曲線的離心率為().A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的展開式中的系數(shù)為________________.14.從集合中隨機取一個元素,記為,從集合中隨機取一個元素,記為,則的概率為_______.15.有2名老師和3名同學(xué),將他們隨機地排成一行,用表示兩名老師之間的學(xué)生人數(shù),則對應(yīng)的排法有______種;______;16.已知,若,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若的解集包含,求的取值范圍.18.(12分)已知拋物線:,點為拋物線的焦點,焦點到直線的距離為,焦點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為,且.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若軸上存在點,過點的直線與拋物線相交于、兩點,且為定值,求點的坐標(biāo).19.(12分)手工藝是一種生活態(tài)度和對傳統(tǒng)的堅持,在我國有很多手工藝品制作村落,村民的手工技藝世代相傳,有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名,還大量遠銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎,該村村民成立了手工藝品外銷合作社,為嚴把質(zhì)量關(guān),合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進行質(zhì)量把關(guān),質(zhì)量把關(guān)程序如下:(i)若一件手工藝品3位行家都認為質(zhì)量過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為A級;(ii)若僅有1位行家認為質(zhì)量不過關(guān),再由另外2位行家進行第二次質(zhì)量把關(guān),若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認為質(zhì)量過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為B級,若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認為質(zhì)量不過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為C級;(iii)若有2位或3位行家認為質(zhì)量不過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為D級.已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認為質(zhì)量不過關(guān)的概率為,且各手工藝品質(zhì)量是否過關(guān)相互獨立.(1)求一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率;(2)若一件手工藝品質(zhì)量為A,B,C級均可外銷,且利潤分別為900元,600元,300元,質(zhì)量為D級不能外銷,利潤記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件;②記1件手工藝品的利潤為X元,求X的分布列與期望.20.(12分)某保險公司給年齡在歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險,現(xiàn)從名參保人員中隨機抽取名作為樣本進行分析,按年齡段分成了五組,其頻率分布直方圖如下圖所示;參保年齡與每人每年應(yīng)交納的保費如下表所示.據(jù)統(tǒng)計,該公司每年為這一萬名參保人員支出的各種費用為一百萬元.年齡(單位:歲)保費(單位:元)(1)用樣本的頻率分布估計總體分布,為使公司不虧本,求精確到整數(shù)時的最小值;(2)經(jīng)調(diào)查,年齡在之間的老人每人中有人患該項疾病(以此頻率作為概率).該病的治療費為元,如果參保,保險公司補貼治療費元.某老人年齡歲,若購買該項保險(取中的).針對此疾病所支付的費用為元;若沒有購買該項保險,針對此疾病所支付的費用為元.試比較和的期望值大小,并判斷該老人購買此項保險是否劃算?21.(12分)若養(yǎng)殖場每個月生豬的死亡率不超過,則該養(yǎng)殖場考核為合格,該養(yǎng)殖場在2019年1月到8月養(yǎng)殖生豬的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示:月份1月2月3月4月5月6月7月8月月養(yǎng)殖量/千只33456791012月利潤/十萬元3.64.14.45.26.27.57.99.1生豬死亡數(shù)/只293749537798126145(1)從該養(yǎng)殖場2019年2月到6月這5個月中任意選取3個月,求恰好有2個月考核獲得合格的概率;(2)根據(jù)1月到8月的數(shù)據(jù),求出月利潤y(十萬元)關(guān)于月養(yǎng)殖量x(千只)的線性回歸方程(精確到0.001).(3)預(yù)計在今后的養(yǎng)殖中,月利潤與月養(yǎng)殖量仍然服從(2)中的關(guān)系,若9月份的養(yǎng)殖量為1.5萬只,試估計:該月利潤約為多少萬元?附:線性回歸方程中斜率和截距用最小二乘法估計計算公式如下:,參考數(shù)據(jù):.22.(10分)已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=,(1)求f(x)的最小值;(2)對任意,都有恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;(3)證明:對一切,都有成立.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
首先求出函數(shù)的定義域,其函數(shù)圖象可由的圖象沿軸向左平移1個單位而得到,因為為奇函數(shù),即可得到函數(shù)圖象關(guān)于對稱,即可排除A、D,再根據(jù)時函數(shù)值,排除B,即可得解.【詳解】∵的定義域為,其圖象可由的圖象沿軸向左平移1個單位而得到,∵為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點對稱,∴的圖象關(guān)于點成中心對稱.可排除A、D項.當(dāng)時,,∴B項不正確.故選:C【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與識圖能力,一般根據(jù)四個選擇項來判斷對應(yīng)的函數(shù)性質(zhì),即可排除三個不符的選項,屬于中檔題.2、C【解析】
根據(jù)程序框圖的運行,循環(huán)算出當(dāng)時,結(jié)束運行,總結(jié)分析即可得出答案.【詳解】由題可知,程序框圖的運行結(jié)果為31,當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,.此時輸出.故選:C.【點睛】本題考查根據(jù)程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu),已知輸出結(jié)果求條件框,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
計算出黑色部分的面積與總面積的比,即可得解.【詳解】由,∴.故選:A【點睛】本題考查了面積型幾何概型的概率的計算,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
根據(jù)三棱柱的展開圖的可能情況選出選項.【詳解】由圖可知,ABD選項可以圍成三棱柱,C選項不是三棱柱展開圖.故選:C【點睛】本小題主要考查三棱柱展開圖的判斷,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
利用是偶函數(shù)化簡,結(jié)合在區(qū)間上的單調(diào)性,比較出三者的大小關(guān)系.【詳解】是偶函數(shù),,而,因為在上遞減,,即.故選:D【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式,判斷出正確選項.【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列,所以,由于,所以,故“”是“”的充分必要條件.故選:C【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查等比數(shù)列前項和公式,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
由題意,根據(jù)雙曲線的對稱性知在軸上,設(shè),則由得:,因為到直線的距離小于,所以,即,所以雙曲線漸近線斜率,故選A.8、A【解析】
由及雙曲線定義得和(用表示),然后由余弦定理得出的齊次等式后可得離心率.【詳解】由題意∵,∴由雙曲線定義得,從而得,,在中,由余弦定理得,化簡得.故選:A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線定義用表示出到兩焦點的距離,再由余弦定理得出的齊次式.9、C【解析】試題分析:根據(jù)題意,當(dāng)時,令,得;當(dāng)時,令,得,故輸入的實數(shù)值的個數(shù)為1.考點:程序框圖.10、A【解析】
首先確定不超過的素數(shù)的個數(shù),根據(jù)古典概型概率求解方法計算可得結(jié)果.【詳解】不超過的素數(shù)有,,,,,,,,共個,從這個素數(shù)中任選個,有種可能;其中選取的兩個數(shù),其和等于的有,,共種情況,故隨機選出兩個不同的數(shù),其和等于的概率.故選:.【點睛】本題考查古典概型概率問題的求解,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
由余弦定理可得,結(jié)合可得a,b,再利用面積公式計算即可.【詳解】由余弦定理,得,由,解得,所以,.故選:A.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形,考查學(xué)生的基本計算能力,是一道容易題.12、A【解析】
直線的方程為,令和雙曲線方程聯(lián)立,再由得到兩交點坐標(biāo)縱坐標(biāo)關(guān)系進行求解即可.【詳解】由題意可知直線的方程為,不妨設(shè).則,且將代入雙曲線方程中,得到設(shè)則由,可得,故則,解得則所以雙曲線離心率故選:A【點睛】此題考查雙曲線和直線相交問題,聯(lián)立直線和雙曲線方程得到兩交點坐標(biāo)關(guān)系和已知條件即可求解,屬于一般性題目.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
在二項展開式的通項中令的指數(shù)為,求出參數(shù)值,然后代入通項可得出結(jié)果.【詳解】的展開式的通項為,令,因此,的展開式中的系數(shù)為.故答案為:.【點睛】本題考查二項展開式中指定項系數(shù)的求解,涉及二項展開式通項的應(yīng)用,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
先求出隨機抽取a,b的所有事件數(shù),再求出滿足的事件數(shù),根據(jù)古典概型公式求出結(jié)果.【詳解】解:從集合中隨機取一個元素,記為,從集合中隨機取一個元素,記為,則的事件數(shù)為9個,即為,,,其中滿足的有,,,共有8個,故的概率為.【點睛】本題考查了古典概型的計算,解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確列舉出所有事件數(shù).15、36;1.【解析】
的可能取值為0,1,2,3,對應(yīng)的排法有:.分別求出,,,,由此能求出.【詳解】解:有2名老師和3名同學(xué),將他們隨機地排成一行,用表示兩名老師之間的學(xué)生人數(shù),則的可能取值為0,1,2,3,對應(yīng)的排法有:.∴對應(yīng)的排法有36種;,,,,∴故答案為:36;1.【點睛】本題考查了排列、組合的應(yīng)用,離散型隨機變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望,屬于中檔題.16、1【解析】
由題意先求得的值,可得,再令,可得結(jié)論.【詳解】已知,,,,令,可得,故答案為:1.【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用,注意根據(jù)題意,分析所給代數(shù)式的特點,通過給二項式的賦值,求展開式的系數(shù)和,可以簡便的求出答案,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)對范圍分類整理得:,分類解不等式即可.(2)利用已知轉(zhuǎn)化為“當(dāng)時,”恒成立,利用絕對值不等式的性質(zhì)可得:,問題得解.【詳解】當(dāng)時,,當(dāng)時,由得,解得;當(dāng)時,無解;當(dāng)時,由得,解得,所以的解集為(2)的解集包含等價于在上恒成立,當(dāng)時,等價于恒成立,而,∴,故滿足條件的的取值范圍是【點睛】本題主要考查了含絕對值不等式的解法,還考查了轉(zhuǎn)化能力及絕對值不等式的性質(zhì),考查計算能力,屬于中檔題.18、(1)(2)【解析】
(1)先分別表示出,然后根據(jù)求解出的值,則的標(biāo)準(zhǔn)方程可求;(2)設(shè)出直線的方程并聯(lián)立拋物線方程得到韋達定理形式,然后根據(jù)距離公式表示出并代入韋達定理形式,由此判斷出為定值時的坐標(biāo).【詳解】(1)由題意可得,焦點,,則,,∴解得.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)設(shè),設(shè)點,,顯然直線的斜率不為0.設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程,整理可得,,∴,∴要使為定值,必有,解得,∴為定值時,點的坐標(biāo)為【點睛】本題考查拋物線方程的求解以及拋物線中的定值問題,難度一般.(1)處理直線與拋物線相交對應(yīng)的定值問題,聯(lián)立直線方程借助韋達定理形式是常用方法;(2)直線與圓錐曲線的問題中,直線方程的設(shè)法有時能很大程度上起到簡化運算的作用。19、(1);(2)①可能是2件;②詳見解析【解析】
(1)由一件手工藝品質(zhì)量為B級的情形,并結(jié)合相互獨立事件的概率公式,列式計算即可;(2)①先求得一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為,設(shè)10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件,可知,分別令、、,可求出使得最大的整數(shù),進而可求出10件手工藝品中不能外銷的手工藝品的最有可能件數(shù);②分別求出一件手工藝品質(zhì)量為A、B、C、D級的概率,進而可列出X的分布列,求出期望即可.【詳解】(1)一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率為.(2)①由題意可得一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為,設(shè)10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件,則,則,其中,.由得,整數(shù)不存在,由得,所以當(dāng)時,,即,由得,所以當(dāng)時,,所以當(dāng)時,最大,即10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是2件.②由題意可知,一件手工藝品質(zhì)量為A級的概率為,一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率為,一件手工藝品質(zhì)量為C級的概率為,一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為,所以X的分布列為:X900600300100P則期望為.【點睛】本題考查相互獨立事件的概率計算,考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望,考查學(xué)生的計算求解能力,屬于中檔題.20、(1)30;(2),比較劃算.【解析】
(1)由頻率和為1求出,根據(jù)的值求出保費的平均值,然后解一元一次不等式即可求出結(jié)果,最后取近似值即可;(2)分別計算參保與不參保時的期望,,比較大小即可.【詳解】解:(1)由,解得.保險公司每年收取的保費為:∴要使公司不虧本,則,即解得∴.(2)①若該老人購買了此項保險,則的取值為∴(元).②若該老人沒有購買此項保險,則的取值為.∴(元).∴年齡為的該老人購買此項保險比較劃算.【點睛】本題考查學(xué)生利用相關(guān)統(tǒng)計圖表知識處理實際問題的能力,掌握頻率分布直方圖的基本性質(zhì),知道數(shù)學(xué)期望是平均數(shù)的另一種數(shù)學(xué)語言,為容易題.21、(1);(2);(3)利潤約為111.2萬元.【解析】
(1)首先列出基本事件,然后根據(jù)古典概型求出恰好兩個月合格的概率;(2)首先求出利潤y和養(yǎng)殖量x的平均值,然后根據(jù)公式求
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