小初高試卷模板

1/27第頁專題4-2等差數(shù)列的概念總覽總覽題型解讀TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】求等差數(shù)列的通項公式或某一項【題型2】等差數(shù)列基本量的計算【題型3】等差中項及應(yīng)用【題型4】等差數(shù)列的性質(zhì)及簡化計算的應(yīng)用【題型5】等差數(shù)列的判斷【題型6】等差數(shù)列證明（1）:直接作差或等差中項形式【題型7】等差數(shù)列證明（2）：因式分解型【題型8】求等差數(shù)列中的最大(小)項【題型9】等差數(shù)列的實際應(yīng)用【題型10】等差數(shù)列與數(shù)學(xué)文化的結(jié)合【題型11】構(gòu)造等差數(shù)列（1）：取倒數(shù)型【題型12】構(gòu)造等差數(shù)列（2）：插入數(shù)字或每隔k項抽項數(shù)【題型13】構(gòu)造等差數(shù)列（3）：提取2個等差數(shù)列的公共項構(gòu)成新數(shù)列【題型14】構(gòu)造等差數(shù)列（4）：奇偶相間討論型（奇偶數(shù)列）【題型15】構(gòu)造等差數(shù)列（5）：隔項等差（奇偶數(shù)列）【題型16】構(gòu)造等差數(shù)列（6）：其它類型一、等差數(shù)列的概念一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示.注意點：(1)概念的符號表示：an＋1－an＝d(n∈N*)．(2)定義中強調(diào)“從第2項起”，因為第一項沒有前一項．(3)差必須是同一個常數(shù)．(4)公差可以是正數(shù)、負數(shù)、零．(5)當(dāng)d>0時，是遞增數(shù)列，當(dāng)d＝0時，是常數(shù)列，當(dāng)d<0時，是遞減數(shù)列．二、等差中項以及拓展由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列．這時，A叫做a與b的等差中項，且.注意：(1)任意兩個實數(shù)都有等差中項，且唯一．(2)a3是a1和a5的等差中項，特別注意下標之間的關(guān)系．拓展：若，則（下標之和性質(zhì)關(guān)系）三、等差數(shù)列的通項公式與函數(shù)性質(zhì)1．首項為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項公式為證明：可以用累加法推導(dǎo)a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…an－an－1＝d，左右兩邊分別相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2)．2．若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項為a1，公差為d，則an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)點(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上，這條直線的斜率為d，在y軸上的截距為a1－d；(2)這些點的橫坐標每增加1，函數(shù)值增加d.注意：①已知首項a1和公差d，便可寫出通項公式．②等差數(shù)列的通項公式是an，a1，d，n四個變量之間的關(guān)系，知三求一．等差數(shù)列通項公式的求法與應(yīng)用技巧③等差數(shù)列的通項公式可由首項與公差確定，所以要求等差數(shù)列的通項公式，只需求出首項與公差即可．④等差數(shù)列{an}的通項公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四個參數(shù)，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三個數(shù)，那么就可以由通項公式求出第四個數(shù)，這一求未知量的過程，我們通常稱之為“知三求一”熟練掌握等差數(shù)列是關(guān)于n的一次函數(shù)型這一結(jié)構(gòu)特征，并且公差d是一次項系數(shù)，它的符號決定了數(shù)列的單調(diào)性，d>0時，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，d＝0時，數(shù)列{an}為常數(shù)列，d<0時，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列．四、等差數(shù)列的性質(zhì)1.下標性質(zhì)（1）在等差數(shù)列中,若,則.特別的,若,則有（2）下標成等差數(shù)列且公差為m的項,,,(k,m)組成公差為md的等差數(shù)列.（3）在等差數(shù)列{}中，若，，，則有.2.等差數(shù)列通項公式的變形及推廣（1） （2）.（3）,且.3.若分別是公差為的等差數(shù)列,則有數(shù)列結(jié)論公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù))公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù))公差為2d的等差數(shù)列(k為常數(shù))公差為的等差數(shù)列(p,q為常數(shù))題型題型匯編知識梳理與?？碱}型【題型1】求等差數(shù)列的通項公式或某一項等差數(shù)列概念的符號表示：an＋1－an＝d(n∈N*)等差數(shù)列的通項公式：首項為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項公式為【例題1】（23-24高二上·浙江紹興·期末）已知數(shù)列的首項，且滿足，則（

）A． B． C．16 D．19【例題2】等差數(shù)列3，11，19，27，…的通項公式是（

）A． B． C． D．【例題3】（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知數(shù)列中，，若，則（

）A． B． C． D．【例題4】在數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】已知數(shù)列中，，，則.【鞏固練習(xí)2】（22-23高三上·山西運城·階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項，，對任意的，都有，則.【鞏固練習(xí)3】已知在數(shù)列中，，，則等于．【鞏固練習(xí)4】在數(shù)列中，，則數(shù)列的通項公式為.【鞏固練習(xí)5】已知數(shù)列中，，且是等差數(shù)列，則（

）A．36 B．37 C．38 D．39【鞏固練習(xí)6】已知數(shù)列（）為等差數(shù)列，且，，則數(shù)列的通項公式為.【題型2】等差數(shù)列基本量的計算等差數(shù)列基本量的計算是指把條件拆成基本量和的形式，解二元方程組來得出所求【例題1】在等差數(shù)列中，，，且，________．【例題2】（高二上·廣東深圳·期末）已知等差數(shù)列的首項為，且從第10項開始均比1大，則公差d的取值范圍為（

）A． B． C． D．【例題3】（22-23高二上·江蘇蘇州·期末）若數(shù)列是等差數(shù)列，a1=1，，則a5=（）A． B． C． D．【例題4】（2023·全國·高考II卷真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，，求的通項公式；【鞏固練習(xí)1】（24-25高二上·江蘇蘇州·期中）等差數(shù)列中，，則的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【鞏固練習(xí)2】（23-24高二上·山東泰安·階段練習(xí)）首項為的等差數(shù)列，從第10項起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)3】已知數(shù)列是等差數(shù)列，則（

）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)4】已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，且滿足，，則的取值范圍是.【鞏固練習(xí)5】（2023·全國·高考1卷真題）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項和．，若，求的通項公式；【題型3】等差中項及應(yīng)用由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列．這時，A叫做a與b的等差中項，且.應(yīng)用1、等差數(shù)列中任意相鄰的三項構(gòu)成等差數(shù)列，且中間項是等差中項，即應(yīng)用2、若數(shù)列對均滿足，則為等差數(shù)列簡證：，即為等差數(shù)列.應(yīng)用3、若，則【例題1】已知為等差數(shù)列，，．求．【例題2】已知數(shù)列滿足：，，則．【例題3】（23-24高二上·江蘇南京·期末）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（

）A．30 B． C．20 D．【例題4】已知遞增數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則（

）A．2024 B．2023 C．4048 D．4046【例題5】（高二上·云南曲靖·期末）已知中三邊，，成等差數(shù)列，，，也成等差數(shù)列，則的形狀為.【鞏固練習(xí)1】（23-24高二上·陜西咸陽·階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，若，則（

）A．16 B．17 C．18 D．19【鞏固練習(xí)2】（23-24高二上·山西呂梁·階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，，則（

）A． B． C．1345 D．2345【鞏固練習(xí)3】（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知為等差數(shù)列，且，，則.【鞏固練習(xí)4】（2024高二·全國·專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，已知，，則數(shù)列的通項公式可以為（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)5】（高二上·江蘇徐州·期中）正數(shù)a，b的等差中項是，且，，則的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【鞏固練習(xí)6】（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）等差數(shù)列中，若，則的值為．【題型4】等差數(shù)列的性質(zhì)及簡化計算的應(yīng)用在對等差數(shù)列基本量進行計算時，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可以起到減少計算量的作用，很多時候即使不求出和也能得出答案【例題1】已知數(shù)列是等差數(shù)列，p，q，s，，且.求證.【例題2】（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知為等差數(shù)列，，則.【例題3】已知等差數(shù)列中，，是函數(shù)的兩個零點，則（

）A．3 B．6 C．8 D．9【例題4】（23-24高二上·四川達州·期末）在遞增等差數(shù)列中有，，則（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】（23-24高二上·福建福州·期末）已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，則的最小值為（

）A．9 B． C． D．【鞏固練習(xí)2】（24-25高二上·福建龍巖·期中）公差不為0的等差數(shù)列中，，則的值不可能是（

）A．9 B．16 C．22 D．25【鞏固練習(xí)4】已知等差數(shù)列滿足，則的值為.【鞏固練習(xí)5】（23-24高二上·重慶·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列為遞增數(shù)列，且滿足，，則其通項公式為（

）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)6】（23-24高二下·云南玉溪·開學(xué)考試）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（）A．48 B．50 C．52 D．54【鞏固練習(xí)7】已知正項等差數(shù)列，若，，則(

)A． B．C． D．【鞏固練習(xí)8】若是公差不為的等差數(shù)列，滿足，則（

）A． B． C． D．【題型5】等差數(shù)列的判斷證明數(shù)列是等差數(shù)列的主要方法：(1)定義法：對于n≥2的任意自然數(shù)，驗證an－an－1為同一常數(shù)．即作差法，將關(guān)于an－1的an代入an－an－1，在化簡得到定值．(2)等差中項法：驗證2an－1＝an＋an－2（n≥3，n∈N×）都成立．(3)判定一個數(shù)列是等差數(shù)列還常用到的結(jié)論：①通項公式：an＝pn＋q（p，q為常數(shù)）是等差數(shù)列．②前n項和公式：Sn＝An2＋Bn（A，B為常數(shù)）是等差數(shù)列.問題的最終判定還是利用定義.【例題1】已知一個無窮等差數(shù)列的首項為，公差為d．（1）將數(shù)列中的前m項去掉，其余各項組成一個新的數(shù)列，這個新數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項和公差分別是多少？（2）取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項，組成一個新的數(shù)列，這個新數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項和公差分別是多少？（3）取出數(shù)列中所有序號為7的倍數(shù)的項，組成一個新的數(shù)列，它是等差數(shù)列嗎？你能根據(jù)得到的結(jié)論作出一個猜想嗎？【例題2】（23-24高二下·山東菏澤·期中）從1，2，3，…，9這9個數(shù)字中任取3個不同的數(shù)字，使它們成等差數(shù)列，則這樣的等差數(shù)列共有（

）A．16個 B．24個 C．32個 D．48個【例題3】（23-24高二上·廣東深圳·期末）若數(shù)列是等差數(shù)列，則下列數(shù)列不一定是等差數(shù)列的是（）A． B．C．（為常數(shù)） D．【例題4】（24-25高三上·內(nèi)蒙古包頭·開學(xué)考試）“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【鞏固練習(xí)1】已知數(shù)列是等差數(shù)列，下面的數(shù)列中①②③④必為等差數(shù)列的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【鞏固練習(xí)2】（多選）記為數(shù)列的前項和，若數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則（

）A．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列 B．C． D．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列【鞏固練習(xí)3】（23-24高二下·浙江·期中）對于數(shù)列，設(shè)甲：為等差數(shù)列，乙：，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【鞏固練習(xí)4】（多選）若數(shù)列是等差數(shù)列，公差，則下列對數(shù)列的判斷正確的是（

）A．若，則數(shù)列是遞減數(shù)列B．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列C．若，則數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列D．若，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列【鞏固練習(xí)5】（23-24高二下·廣東佛山·期末）（多選）已知數(shù)列的前項和為，則下列選項中，能使為等差數(shù)列的條件有（

）A．B．C．對，有D．【題型6】等差數(shù)列證明（1）:直接作差或等差中項形式1、等差數(shù)列概念的符號表示：an＋1－an＝d(n∈N*)2、若數(shù)列對均滿足，則為等差數(shù)列簡證：，即為等差數(shù)列.【例題1】已知一個無窮等差數(shù)列的首項為，公差為d．（1）將數(shù)列中的前m項去掉，其余各項組成一個新的數(shù)列，這個新數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項和公差分別是多少？（2）取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項，組成一個新的數(shù)列，這個新數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項和公差分別是多少？（3）取出數(shù)列中所有序號為7的倍數(shù)的項，組成一個新的數(shù)列，它是等差數(shù)列嗎？你能根據(jù)得到的結(jié)論作出一個猜想嗎？【例題2】（22-23高二上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知數(shù)列{}滿足．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{}的通項公式．【例題3】數(shù)列滿足.(1)求的值；(2)設(shè)，證明是等差數(shù)列.【例題4】（23-24高二上·廣東汕頭·階段練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足，，令.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式．【例題5】（22-23高二上·福建廈門·階段練習(xí)）已知數(shù)列，，且滿足，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列并求出的通項公式；(2)若是數(shù)列的前n項和，求數(shù)列的通項公式.【鞏固練習(xí)1】（23-24高二上·浙江溫州·期末）已知數(shù)列滿足，(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列【鞏固練習(xí)2】（23-24高二上·山東菏澤·期末）已知數(shù)列的首項為，前項和為，且.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列.【鞏固練習(xí)3】已知滿足，且.(1)求；(2)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項公式.【鞏固練習(xí)4】（23-24高二上·安徽黃山·期末）已知數(shù)列滿足：.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若，求滿足條件的最大整數(shù)n.【鞏固練習(xí)5】已知數(shù)列的前項和為．證明：數(shù)列是等差數(shù)列；【鞏固練習(xí)6】（23-24高二上·江蘇常州·期末）設(shè)是正項數(shù)列的前項和，且，．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式．【題型7】等差數(shù)列證明（2）：因式分解型若遞推公式中出現(xiàn)了關(guān)于和的齊二次式，且為正項數(shù)列，則一般需要通過因式分解來得出常數(shù).【例題1】在數(shù)列中，，且前n項和滿足，則數(shù)列的通項公式為________．【例題2】（23-24高二下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）設(shè)是正項數(shù)列，且其前項和為，已知.(1)求數(shù)列的通項公式；【例題3】（23-24高二上·湖南長沙·期中）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，且，.(1)證明：為等差數(shù)列，并求出通項公式；(2)設(shè)，求.【鞏固練習(xí)1】（高二下·浙江紹興·期中）已知正數(shù)數(shù)列的前項和滿足：，則，通項【鞏固練習(xí)2】已知正項數(shù)列的前項和為，.（1）求、；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列.【鞏固練習(xí)3】（22-23高二下·福建泉州·期末）已知正項數(shù)列的前項和為，且滿足．(1)求，；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：．【鞏固練習(xí)4】（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知正項數(shù)列，滿足．(1)求；(2)若，求數(shù)列的前項和．【鞏固練習(xí)5】（23-24高三上·河南周口·階段練習(xí)）在正項等差數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和．【鞏固練習(xí)6】（23-24高二上·廣東中山·期中）數(shù)列的前項和為，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)是否存在正整數(shù)使得成等差數(shù)列？說明理由.【題型8】求等差數(shù)列中的最大(小)項求等差數(shù)列中的最大（?。╉椀闹饕椒ㄊ牵菏紫却_定數(shù)列的公差正負，然后判斷數(shù)列是遞增還是遞減，接著找出首項和末項，最后根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性確定最大（小）項的位置及值。【例題1】（22-23高二上·廣東深圳·期末）（多選）數(shù)列的前項和為，已知，則（

）A．是遞減數(shù)列 B．是等差數(shù)列C．當(dāng)時， D．當(dāng)或4時，取得最大值【例題2】設(shè)an=2n-9，則當(dāng)數(shù)列{an}的前n項和取得最小值時，n的值為（A．4 B．5C．4或5 D．5或6【例題3】（23-24高二上·河南鄭州·開學(xué)考試）等差數(shù)列an中，S6<S7，S7>S8，給出下列命題：①d<0，②S9<S6，③a7是各項中最大的項，④【鞏固練習(xí)1】（22-23高二上·陜西渭南·階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，記，則數(shù)列（

）A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項【鞏固練習(xí)2】（22-23高二上·重慶巴南·階段練習(xí)）已知數(shù)列，，數(shù)列滿足.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列中的最大項.【鞏固練習(xí)3】無窮數(shù)列{an}滿足：且（1）求證：為等差數(shù)列；（2）若為數(shù)列{an}中的最小項，求【題型9】等差數(shù)列的實際應(yīng)用等差數(shù)列在實際中有廣泛應(yīng)用，如計算存款利息、工資增長、溫度梯度、等距分布的物品數(shù)量等，它簡化了連續(xù)、等間隔變化的量的計算，是數(shù)學(xué)中重要的模型之一【例題1】習(xí)近平總書記提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵．要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．為鼓勵返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，黑龍江對青山鎮(zhèn)鎮(zhèn)政府決定投入創(chuàng)業(yè)資金和開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員．預(yù)計該鎮(zhèn)政府每年投入的創(chuàng)業(yè)資金構(gòu)成一個等差數(shù)列（單位萬元，），每年開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”投入的資金為第一年創(chuàng)業(yè)資金的倍，已知．則預(yù)計該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計總投入資金的最大值為（

）A．72萬元 B．96萬元 C．120萬元 D．144萬元【例題2】（23-24高二上·福建龍巖·期中）潮涌杭州，亞運來了！2023年9月23日，第19屆亞運會在杭州盛大開幕，這是杭州歷史上的一件大事，也是中國繼北京奧運會、廣州亞運會后再次舉辦的大型國際體育賽事.某網(wǎng)站全程轉(zhuǎn)播了該次賽事，為慶祝本次賽事，該網(wǎng)站舉辦了一場針對本網(wǎng)站會員的獎品派發(fā)活動，派發(fā)規(guī)則如下：①對于會員編號能被3整除余1且被5整除余1的可以獲得精品吉祥物一套；②對于不符合①中條件的可以獲得普通吉祥物一套.已知該網(wǎng)站的會員共有2023人（編號為1號到2023號，中間沒有空缺），則獲得精品吉祥物的人數(shù)為.【鞏固練習(xí)1】某公司購置了一臺價值為220萬元的設(shè)備，隨著設(shè)備在使用過程中老化，其價值會逐年減少．經(jīng)驗表明，每經(jīng)過一年其價值就會減少d（d為正常數(shù)）萬元．已知這臺設(shè)備的使用年限為10年，超過10年，它的價值將低于購進價值的5%，設(shè)備將報廢．請確定d的取值范圍．【鞏固練習(xí)2】百善孝為先，孝敬父母是中華民族的傳統(tǒng)美德.因父母年事已高，大張與小張兄弟倆約定：如果兩人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把這一天記為“家庭日”.由于工作的特殊性，大張每工作三天休息一天，小張每周星期一與星期五休息，除此之外，他們沒有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他們約定的首個“家庭日”，則2021年全年他們約定的“家庭日”是星期五的天數(shù)為；2021年全年他們約定的“家庭日”共有個.【鞏固練習(xí)3】稠環(huán)芳香烴化合物中有不少是致癌物質(zhì)，比如學(xué)生鐘愛的快餐油炸食品中會產(chǎn)生苯并芘，它是由一個苯環(huán)和一個芘分子結(jié)合而成的稠環(huán)芳香烴類化合物，長期食用會致癌.下面是一組稠環(huán)芳香烴的結(jié)構(gòu)簡式和分子式：名稱萘蒽并四苯…并n苯結(jié)構(gòu)簡式……分子式……由此推斷并十苯的分子式為.【題型10】等差數(shù)列與數(shù)學(xué)文化的結(jié)合等差數(shù)列不僅是一種重要的數(shù)學(xué)概念，在數(shù)學(xué)文化中也占據(jù)著獨特的位置。古代文明中，等差數(shù)列的概念被用于天文歷法的計算，例如中國古代的歷法中就運用了等差數(shù)列來預(yù)測日食、月食等天象。此外，在音樂理論中，音階的構(gòu)成也可以看作是一種等差數(shù)列的應(yīng)用，每個音符之間的頻率比遵循一定的等差關(guān)系。文學(xué)作品中，等差數(shù)列有時也被用作創(chuàng)作的靈感來源，通過數(shù)列的規(guī)律性來構(gòu)建故事的節(jié)奏或是人物的發(fā)展脈絡(luò)。等差數(shù)列以其簡潔而強大的特性，成為連接數(shù)學(xué)與文化的一座橋梁【例題1】（21-22高二下·河南鄭州·階段練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中討論過高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，而是逐項差數(shù)之差或者高次差相等．例如“百層球堆垛”：第一層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，第五層有15個球，…，各層球數(shù)之差：，，，，…即2，3，4，5，…是等差數(shù)列．現(xiàn)有一個高階等差數(shù)列，其前6項分別為1，3，6，12，23，41，則該數(shù)列的第8項為（

）．A．51 B．68 C．106 D．157【例題2】（22-23高二上·上海虹口·期中）1934年，東印度（今孟加拉國）學(xué)者森德拉姆發(fā)現(xiàn)了“正方形篩子”如圖所示，根據(jù)規(guī)律，則“正方形篩子”中位于第100行的第100個數(shù)是（

）A．20180 B．20200 C．20220 D．20240【例題3】（22-23高二上·浙江杭州·期末）“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個問題：將正整數(shù)中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（

）A．103 B．107 C．109 D．105【鞏固練習(xí)1】（高二上·江蘇連云港·期中）數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一個問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二(除以3余2)，五五數(shù)之剩三(除以5余3)，問物幾何？”現(xiàn)將1到2020共2020個整數(shù)中，同時滿足“三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三”的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列則該數(shù)列共有（

）A．132項 B．133項 C．134項 D．135項【鞏固練習(xí)2】《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，立春當(dāng)日日影長為9.5尺，春分當(dāng)日日影長為6尺，則小滿當(dāng)日日影長為（

）A．尺 B．13尺 C．尺 D．尺【鞏固練習(xí)3】（高二下·安徽宣城·期中）數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一個問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二(除以3余2)，五五數(shù)之剩三(除以5余3)，問物幾何？"現(xiàn)將1到1000共1000個整數(shù)中同時滿足“三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三”的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列中共有項．【鞏固練習(xí)4】（22-23高二上·江蘇淮安·期中）我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有一道題:“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩二，七七數(shù)之剩二，問物幾何?”根據(jù)這一數(shù)學(xué)思想，所有被3除余2的正整數(shù)按從小到大的順序排列組成數(shù)列，所有被5除余2的正整數(shù)按從小到大的順序排列組成數(shù)列，把數(shù)列與的公共項按從小到大的順序排列組成數(shù)列，則數(shù)列的第10項是數(shù)列的第項.【題型11】構(gòu)造等差數(shù)列（1）：取倒數(shù)形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除，轉(zhuǎn)化為形式注意：有的遞推公式是分式的形式，如：，等，化為整式之后就符合上面的式子結(jié)構(gòu)了【例題1】（24-25高二上·福建寧德·階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項，且滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【例題2】（23-24高二上·陜西西安·期中）已知數(shù)列滿足，，，則（

）A． B． C． D．【例題3】已知各項均不為0的數(shù)列滿足，且，則．【鞏固練習(xí)1】已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)2】（22-23高二上·湖北荊州·期末）已知數(shù)列，則數(shù)列的通項公式．【鞏固練習(xí)3】（23-24高二下·河南·期中）數(shù)列中，若，，則．【題型12】構(gòu)造等差數(shù)列（2）：插入數(shù)字或每隔k項抽項數(shù)1、在等差數(shù)列中每隔相同的項選出一項，按原來的順序排成一列，仍然是一個等差數(shù)列．例如：是公差為d的等差數(shù)列，則是公差為kd的等差數(shù)列2、要在兩個已知項之間插入數(shù)字構(gòu)成新的等差數(shù)列，首先計算這兩項間的原有公差d。然后，決定要插入的項數(shù)k，計算新的公差。最后，從第一項開始，按新公差依次計算并插入每個新項，直到完成插入。這樣就能構(gòu)造出包含新項的等差數(shù)列?！纠}1】已知等差數(shù)列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入3個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式.（2）是不是數(shù)列的項？若是，它是的第幾項？若不是，說明理由.【例題2】已知等差數(shù)列中，，若在數(shù)列每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，使得新數(shù)列也是一個等差數(shù)列，則新數(shù)列的第43項為.【例題3】已知{an}是等差數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若從數(shù)列{an}中，依次取出第2項、第4項、第6項……第2n項，按原來的順序組成一個新數(shù)列{bn}，試求出{bn}的通項公式．【鞏固練習(xí)1】已知等差數(shù)列的首項為2，公差為8，在中每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，使它們與原數(shù)列的項一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列，則數(shù)列．【鞏固練習(xí)2】（23-24高二上·浙江寧波·期中）已知等差數(shù)列，現(xiàn)在其每相鄰兩項之間插入一個數(shù)，使之成為一個新的等差數(shù)列．(1)求新數(shù)列的通項公式；(2)16是新數(shù)列中的項嗎？若是，求出是第幾項，若不是，說明理由．【鞏固練習(xí)3】已知等差數(shù)列的公差為正數(shù),與的等差中項為,且.求的通項公式；從中依次取出第項,第項,第項,，第項,按照原來的順序組成一個新數(shù)列,判斷是不是數(shù)列中的項？并說明理由.【鞏固練習(xí)4】（23-24高二上·安徽合肥·期末）某中學(xué)響應(yīng)政府號召，積極推動“公益一小時”，鼓勵學(xué)生利用暑假時間積極參與社區(qū)服務(wù)，為了保障學(xué)生安全，與社區(qū)溝通實行點對點服務(wù)．原計劃第一批派遣18名學(xué)生，以后每批增加6人．由于志愿者人數(shù)暴漲，學(xué)校與社區(qū)臨時決定改變派遣計劃，具體規(guī)則為：把原計劃擬派遣的各批人數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列記為，在數(shù)列的任意相鄰兩項與之間插入個2，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列．按新數(shù)列的各項依次派遣支教學(xué)生．記為派遣了50批學(xué)生后參加公益活動學(xué)生的總數(shù)，則的值為．【題型13】構(gòu)造等差數(shù)列（3）：提取2個等差數(shù)列的公共項構(gòu)成新數(shù)列要從兩個等差數(shù)列中提取公共項構(gòu)成新的等差數(shù)列，首先找出兩數(shù)列的通項公式。設(shè)兩個數(shù)列的通項分別為和。找到滿足的項，這些項即為公共項。選取兩個連續(xù)的公共項作為新數(shù)列的首項和第二項，其差值即為新數(shù)列的公差。這樣即可構(gòu)造出由公共項組成的新等差數(shù)列.如果是選填就直接找規(guī)律即可，解答題要寫出規(guī)范解答過程，可以設(shè)兩個等差數(shù)列的通項公式分別為，，然后令，求解與的關(guān)系結(jié)論1：兩個等差數(shù)列的公差分別為正整數(shù)s和t，則它們的公共項構(gòu)成新的等差數(shù)列，且新數(shù)列的公差為s和t的“最小公倍數(shù)”結(jié)論2：兩個等差數(shù)列的公差分別為最簡分數(shù)和，則它們的公共項從小到大排列構(gòu)成的新等差數(shù)列的公差為（說明：為正整數(shù)m，n的最小公倍數(shù)，為正整數(shù)m，n的最大公約數(shù)．）【例題1】定義數(shù)列的公共項組成的新數(shù)列為,則數(shù)列的第101項為（

）A．2025 B．2021 C．2017 D．2013【例題2】（2020·新高考1卷真題·改）將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則．【例題3】將數(shù)列與的公共項從小到大依次排列得數(shù)列，求的通項公式【鞏固練習(xí)1】（22-23高二