《電路分析基礎 》課件第7章

第七章電路頻率響應7.1網絡函數(shù)與頻率響應7.2常用RC一階電路的頻率特性7.3常用rLC串聯(lián)諧振電路的頻率特性7.4實用rLC并聯(lián)諧振電路的頻率特性7.5小

結

7.1網絡函數(shù)與頻率響應7.1.1網絡函數(shù)網絡函數(shù)定義為電路的響應相量與電路的激勵相量之比，

以符號H(jω)表示。

即

(7.1-1)式(7.1-1)中響應相量可以是電壓相量，也可以是電流相量；激勵相量可以是電壓相量，也可以是電流相量。響應相量與激勵相量既可以是同一對端鈕上的相量，又可以是非同一對端鈕上的相量。網絡函數(shù)可以分兩大類：若響應相量與激勵相量為同一對端鈕上的相量，所定義的網絡函數(shù)稱為策動網絡函數(shù)；否則，所定義的網絡函數(shù)稱為傳輸網絡函數(shù)(又稱轉移函數(shù))。圖

7.1-1定義網絡函數(shù)使用電路

根據(jù)網絡函數(shù)定義,對于(a)圖情況，若以為響應相量，則N的網絡函數(shù)為

(7.1-2)若以I2為響應相量，則N的網絡函數(shù)為

.(7.1-3)對于(b)圖情況，若以U2為響應相量，則N的網絡函數(shù)為

.(7.1-4)若以I2為響應相量，則N的網絡函數(shù)為

.(7.1-5)7.1.2網絡頻響特性純阻網絡的網絡函數(shù)是與頻率無關的，這類網絡的頻率特性是不需要研究的。研究含有動態(tài)元件的網絡頻率特性才是有意義的。一般情況下，含動態(tài)元件電路的網絡函數(shù)H(jω)是頻率的復函數(shù)，將它寫為指數(shù)表示形式，有

(7.1-6)式中，|H(jω)|稱為網絡函數(shù)的模；φ(ω)稱為網絡函數(shù)的輻角。它們都是頻率的函數(shù)。以|H(jω)|與ω(或f)的關系畫出的曲線(函數(shù)圖形)稱為網絡的幅頻特性；以φ(ω)與ω的關系畫出的曲線稱為網絡的相頻特性。若為特殊情況，網絡函數(shù)H(jω)是ω的實函數(shù)，亦可將幅頻特性與相頻特性合二為一地畫在一個實平面上：H(jω)為縱坐標軸，ω為橫坐標軸。在橫軸上面的曲線部分對應各頻率的相位均為0°；在橫軸下面的曲線部分對應各頻率的相位均為180°或-180°。根據(jù)網絡的幅頻特性，可將網絡分成低通、高通、帶通、帶阻、全通網絡，也稱為相應的低通、高通、帶通、帶阻、全通濾波器。各種理想濾波器的幅頻特性如圖7.1－2(a)、(b)、(c)、(d)、(e)所示。圖中，“通帶”表示頻率處于這個區(qū)域的激勵源信號(又稱輸入信號)可以通過網絡，順利到達輸出端，產生響應信號輸出?！爸箮А北硎绢l率處于這個區(qū)域的激勵源信號被網絡阻止，不能到達輸出端和產生輸出信號，即被濾除掉了。濾波器名稱的由來就源于此。符號ωc稱為截止角頻率。圖(a)(低通濾波器)中的ωc表示角頻率高于ωc的輸入信號被截止，不產生輸出信號，它的通頻帶寬度為BW=0～ωc

(7.1-7)圖(b)(高通濾波器)中的ωc表示角頻率低于ωc的輸入信號被截止，不產生輸出信號，它的通頻帶寬度為BW=ωc～∞

(7.1-8)圖(c)(帶通濾波器)中的ωc1、ωc2分別稱為下、上截止角頻率，其意為角頻率低于ωc1的輸入信號和角頻率高于ωc2的輸入信號被截止，不產生輸出信號，它的通頻帶寬度為BW=ωc1～ωc2

(7.1-9)圖(d)(帶阻濾波器)中的ωc1～ωc2亦分別稱為下、上截止角頻率，其意為角頻率高于ωc1而又低于ωc2的輸入信號被截止，不產生輸出信號，它的阻帶寬度為ωc1～ωc2;它的通帶要分做兩段表示，即(7.1-10)應該說，對于帶阻濾波器來說，人們更關注的是它的阻帶寬度。圖(e)(全通濾波器)中無截止角頻率ωc，意味著對于所有頻率分量的輸入信號都能通過網絡，到達輸出端，產生輸出信號，全通濾波器也就據(jù)此而得名。圖7.1-2理想濾波器的幅頻特性根據(jù)網絡的相頻特性，又可將網絡分為超前網絡與滯后網絡。若φ(ω)＞0°(0＜ω＜∞)的網絡，稱為超前網絡；若φ(ω)＜0°(0＜ω＜∞)的網絡，稱為滯后網絡。也必須明確，對于某種網絡，它的φ(ω)可能有的頻段大于零，有的頻段小于零。如，在0＜ω＜ω0(ω0為一具體的角頻率值)頻段，φ(ω)＞0°；而在ω0＜ω＜∞頻段，φ(ω)＜0°。對于這種網絡，應分頻段看待網絡的超前性與滯后性。具體地說，該網絡在0＜ω＜ω0頻段屬于超前網絡，在ω0＜ω＜∞頻段屬于滯后網絡。7.2常用RC一階電路的頻率特性

7.2.1RC一階低通電路的頻率特性在圖7.2-1的電路中，若選U1為激勵相量，U2為響應相量，則網絡函數(shù)為..(7.2-1)式中

(7.2-2)(7.2-3)根據(jù)式(7.2-2)和(7.2-3)可分別畫得網絡的幅頻特性和相頻特性如圖7.2-2(a)、

(b)所示。

圖

7.2-1RC一階低通網絡

圖

7.2-2RC一階低通網絡的頻率特性

實際低通網絡的截止角頻率是指網絡函數(shù)的幅值|H(jω)|下降到|H(j0)|值的1/時所對應的角頻率，記為ωc。這樣定義的截止角頻率具有一般性。對圖7.2－1所示的RC一階低通網絡，因|H(j0)|=1，所以按|H(jωc)|=1/來定義。由式(7.2-2)，得所以

則

(7.2-4)引入截止角頻率ωc以后，可將式(7.2-1)這類一階低通網絡的網絡函數(shù)歸納為如下的一般形式：(7.2-5)式中,|H(j0)|=|H(jω)|ω=0,它是與網絡的結構及元件參數(shù)有關的常數(shù)。

由式(7.2-5)或圖7.2-2可以看出：當ω=ωc時，|H(jωc)|=0.707|H(j0)|,φ(ωc)=-45°。對于|H(j0)|=1的這類低通網絡，當ω高于低通截止角頻率ωc時，|H(jω)|＜0.707，輸出信號的幅值較小，工程實際中常將它們忽略不計，認為角頻率高于ωc的輸入信號不能通過網絡，被濾除了。通常，亦把0≤ω≤ωc的角頻率范圍作為這類實際低通濾波器的通頻帶寬度。如果用分貝為單位表示網絡的幅頻特性，其定義為(7.2-6)也就是說，對|H(jω)|取以10為底的對數(shù)并乘以20，就得到了網絡函數(shù)幅值的分貝數(shù)。當ω=ωc時，所以又稱ωc為3分貝角頻率。在這一角頻率上，輸出電壓與它的最大值相比較正好下降了3dB。在電子電路中約定，當輸出電壓下降到它的最大值的3dB以下時，

就認為該頻率成分對輸出的貢獻很小。

從功率的角度看，輸出功率與輸出電壓平方成正比。在圖7.2-1網絡中，最大輸出電壓U2=U1,所以最大輸出功率正比于U12。當ω=ωc時，，輸出功率正比于U22,即正比于U21/2，它只是最大輸出功率的一半，因此3分貝頻率點又稱為半功率頻率點。這里還需要說明的是：3分貝頻率點或半功率頻率點即前述的截止頻率點，它只是人為定義出來的一個相對標準。但為什么要按1/關系來定義通頻帶邊界頻率即截止頻率呢?應該說，這樣定義ωc還是有實際背景的，是有“歷史”原因的。早期，無線電技術應用于廣播與通信，人的耳朵對聲音的響應關系呈對數(shù)關系，也就是說，人耳對高于截止角頻率ωc以上的頻率分量及低于ωc的頻率分量，能感覺到它們的顯著差異。圖

7.2-3例7.2-1使用電路

例7.2-1

如圖7.2-3所示由電阻、電容構成的一階低通網絡，其輸出端接負載電阻RL。試分析其頻率特性(繪出幅頻特性、相頻特性)，并求出截止角頻率。

解以U1作輸入相量，U2作輸出相量，則網絡函數(shù)為..令Re=RRL/(R+RL),則RL/(R+RL)=Re/R，代入上式，得(7.2-7)顯然

(7.2-8)

(7.2-9)將ω=0代入式(7.2-8)，得(7.2-10)按定義網絡的截止角頻率，

即

由上式解得

(7.2-11)圖

7.2-4圖7.2-3網絡的頻率特性

例7.2-2

在圖7.2-5所示的網絡中，已知C=0.01μF，在f=10kHz時輸出電壓U2滯后于輸入電壓U130°，此時電阻R應為何值?若輸入電壓振幅U1m=100V，此時輸出電壓振幅U2m應是多少?

解顯然，這個問題是一階低通網絡問題。..所以

ωRC=tan30°=0.577則

又

故

U2m=0.866U1m=0.866×100=86.6V圖

7.2-5例7.2-2使用電路

7.2.2RC一階高通電路的頻率特性圖7.2-6所示網絡是電子線路中常用的RC耦合電路，若選U1為輸入相量，U2為輸出相量，則網絡函數(shù)為(7.2-12)式中

(7.2-13)(7.2-14)由式(7.2-13)和(7.2-14)可分別畫得網絡的幅頻特性與相頻特性，如圖7.2-7(a)、(b)所示。

圖

7.2-6RC一階高通網絡圖

7.2-7圖7.2-6中RC一階高通網絡的頻率特性

實際高通網絡的截止角頻率可按下式定義：

(7.2-15)對于圖7.2-6所示的RC一階高通網絡，|H(j∞)|=1，所以根據(jù)定義式(7.2－15)并聯(lián)系幅頻特性式(7.2-13)，

有

故解得

(7.2-16)同低通網絡類似，在引入截止角頻率ωc后，對一階高通網絡的網絡函數(shù)亦可歸納為如下形式：(7.2-17)式中，|H(j∞)|=|H(jω)|ω=∞,它是與網絡的結構和元件參數(shù)有關的常數(shù)。

圖

7.2-8某晶體管放大器的等效電路

例7.2-3

圖7.2-8為某晶體管放大器的低頻等效電路。圖中，Ui為放大器的輸入信號電壓，已知基射極間等效電阻rbe=1kΩ，β=40,RL=2kΩ,C為輸入端耦合電容。試求該放大器的電壓放大倍數(shù)Au的表達式。若要求放大器低頻截止頻率fc=50Hz，則電容C應為多大?

解對于這個問題，可先不管晶體管放大器的等效電路是如何得到的，我們只根據(jù)圖7.2-8所示電路來加以計算。先計算放大器的輸出電壓Uo。由圖可得電流..式中,τ=rbeC。

輸出電壓

則

(7.2-18)

式(7.2-18)與一階高通網絡函數(shù)的通式(7.2-17)是一樣的。當ω下降時，Uo下降，Au亦下降。從物理概念上看，這主要是電容C對低頻信號的阻止作用造成的。當頻率很高時，即ωτ>>1時，放大倍數(shù)為式中，負號說明此時Uo與Ui反相。

..該放大器低頻截止角頻率為

若要求低頻截止頻率fc=50Hz，則電容應為

實際電路中，可以取C≥3.18μF的市場上有售的電容即可。C值取大，放大器的低頻截止頻率低，低頻特性好。當然,事物不能走向極端，C取得過大會帶來其他方面的不利因素，這屬于后續(xù)課程中電子線路的設計問題，這里不作解釋。

思

考

與

練

習

7.2-1一階低通、高通網絡也可以由電阻、電感組成。試寫出圖示(a)、(b)兩網絡的網絡函數(shù)H(jω)，草畫出它們的幅頻特性與相頻特性，指出它們是低通網絡，還是高通網絡?并求出截止角頻率ωc。

練習題

7.2-1圖

7.2-2圖示(a)、(b)兩個網絡，U1作為輸入，U2作為輸出，試寫出各網絡的網絡函數(shù)H(jω),并判別它們是低通網絡，還是高通網絡?概畫出它們的幅頻特性曲線。

7.2-3圖示網絡，設為輸入，為輸出，試寫出該網絡的網絡函數(shù)H(jω)，并概畫出幅頻特性，求出截止角頻率ωc。..練習題

7.2-2圖

練習題

7.2-3圖

7.3常用rLC串聯(lián)諧振電路的頻率特性如果需要考慮電容器的損耗及電源內阻對諧振電路的影響時，相應的電阻也應計入r內。從模型電路來說，圖7.3-1電路又常稱為rLC串聯(lián)諧振電路。這里提醒讀者注意實際電路與模型電路之間的區(qū)別。若要實際觀察收音機的輸入電路，圖7.3-1中的電源Us及電阻r是看不到的。圖

7.3-1串聯(lián)諧振電路的電路模型

設正弦激勵電壓源的角頻率為ω，其電壓相量為Us，為了討論問題方便，取Us的初相位為0°。串聯(lián)回路的總阻抗為..(7.3-1)則回路電流為

(7.3-2)式中

(7.3-3)(7.3-4)電容上電壓為

(7.3-5)式中

(7.3-6)(7.3-7)7.3.1串聯(lián)諧振設回路中各元件參數(shù)保持一定，電源的幅度不變而頻率可變，看回路阻抗如何隨頻率而改變的。因感抗ωL隨頻率升高而增大，容抗值1/(ωC)隨頻率升高而減小，而感抗與容抗又是性質相反的兩種電抗，所以當電源頻率改變到某值時會使回路中的電抗為0。回路中，感抗XL=ωL、容抗、電抗及阻抗模|Z|隨ω變化關系曲線如圖7.3-2所示。圖

7.3-2串聯(lián)諧振電路的電抗及阻抗模曲線

當串聯(lián)回路中電抗等于0時，稱回路發(fā)生了串聯(lián)諧振。這時的頻率稱為串聯(lián)諧振頻率，用f0表示，相應的角頻率用ω0表示。由于這時(7.3-8)故得

(7.3-9)或

(7.3-10)常稱式(7.3-8)為發(fā)生串聯(lián)諧振的條件。由式(7.3-9)和(7.3-10)可以看出：回路的諧振頻率僅由回路本身的電感、電容的元件參數(shù)決定，而與外加電壓源的電壓、頻率無關，它可以作為反映串聯(lián)諧振網絡基本屬性的一個重要參數(shù)。發(fā)生諧振時的感抗或容抗值，稱為電路的特性阻抗，以符號ρ表示，

即

(7.3-11)考慮,代入上式，所以特性阻抗亦可改寫為

(7.3-12)回路特性阻抗ρ與回路中電阻r的比值定義為回路的品質因數(shù)，用符號Q表示，

即

(7.3-13)考慮式(7.3-11)、(7.3-12)特性阻抗ρ的表達形式，所以品質因數(shù)Q亦可以改寫為(7.3-14)由式(7.3-12)、(7.3-14)可見，特性阻抗、品質因數(shù)也只取決于電路元件的參數(shù)值，

而與外界因素無關，所以它們也可作為客觀反映諧振電路基本屬性的重要參數(shù)。

這里應明確，電路的品質因數(shù)概念是電感、電容元件品質因數(shù)概念的擴展。一個理想的電感元件，它應只具有儲存磁場能量的作用，而不消耗能量。實際的電感線圈，因繞線電阻的存在，高頻應用時的趨膚效應，以及電磁波輻射等原因，使得它不僅有儲存磁場能量的作用(這是主要的，人們所期望的)，而且有能量消耗(這是次要的，是人們所不希望的)。為了客觀反映實際線圈儲能與耗能的作用，通常以電阻r串聯(lián)上理想電感L作為實際線圈的模型，如圖7.3-3(a)所示。作為儲能元件應用，人們希望儲能與耗能之比要大，把這一比值定義為衡量元件質量好壞的參數(shù)，即元件的品質因數(shù)。若從功率角度描述，元件的品質因數(shù)是元件上無功功率與損耗功率之比，即(7.3-15)圖

7.3-3有耗電感、

電容元件模型

考慮線圈的損耗時(參看圖7.3-3(a))，若通過它的電流為I，則電感L上的無功功率為ωLI2；而線圈的損耗功率，即電阻r上消耗的功率為rI2。所以，由式(7.3-15)得實際電感線圈的品質因數(shù)為(7.3-16)實際電容器元件極板間的介質并非理想絕緣，也或多或少有漏電，與之對應，呈現(xiàn)有漏電阻跨接于電容兩極板之間，其模型如圖7.3-3(b)所示。若在實際電容元件兩端加電壓U，則電容C上的無功功率為ωCU2，實際電容器的消耗功率為U2/R，所以，實際電容器的品質因數(shù)為(7.3-17)電路發(fā)生諧振有兩種情況。一種是電路元件參數(shù)一定，改變電源頻率使之等于電路的諧振頻率，電路達到了諧振。在實驗室里觀察確定電路的諧振狀態(tài)，或測試它的頻率特性時遇到的就是這種情況。另一種是電源頻率一定，改變電路的參數(shù)(調電容C或電感L)，即改變電路的諧振頻率，使f0=f,同樣也可使電路處于諧振狀態(tài)。用收音機收聽廣播電臺的節(jié)目就是這樣的。例如，中央人民廣播電臺的頻率是560kHz(載波頻率)，它是固定的，調整收音機的波段開關處于中波段(這是調整的電感)，再調整收音機的調臺旋鈕，其實就是改變電容量，當改變到電路諧振頻率正好是560kHz時，電路與中央人民廣播電臺的信號發(fā)生諧振，于是就選聽到了中央人民廣播電臺的節(jié)目，調節(jié)C或L，使回路與某一特定頻率信號相諧振的過程稱為調諧?，F(xiàn)代的許多電子設備，都采用電調諧。電路發(fā)生諧振時(f=f0)具有以下特點：(1)由式(7.3-1)，可得諧振時的回路阻抗為(7.3-18)此為純電阻，且數(shù)值最小。

(2)由式(7.3-2),可得諧振時的回路電流為

(7.3-19)其值最大，且與激勵源Us同相位。

.(3)諧振時電阻r上的電壓

(7.3-20)它與激勵源Us大小相等、相位相同。

.(4)諧振時電容C上的電壓為

(7.3-21)諧振時電感L上的電壓為

(7.3-22)

比較式(7.3-21)與(7.3-22)可見：電路在諧振時，電容C上電壓與電感L上的電壓相位相反、大小相等。二者電壓大小都等于電源電壓的Q倍。在一般情況下，實際串聯(lián)諧振電路的品質因數(shù)Q都有幾十、幾百的數(shù)值，這就意味著，諧振時電容(或電感)上電壓可以比輸入電壓大幾十、幾百倍。正由于串聯(lián)諧振電路具有這樣的特點，因此這種串聯(lián)諧振電路又稱為電壓諧振電路。

例7.3-1

在圖7.3-4的串聯(lián)諧振電路中，已知L=50μH,C=200pF，回路品質因數(shù)Q=50，電源電壓有效值Us=1mV。試求：電路的諧振頻率f0、諧振時回路中電流有效值I0、電容上電壓有效值UC0。

解

由式(7.3-10)可得電路的諧振頻率為

為求諧振時的電流，需先求得回路中的電阻，

由式(7.3-14)稍作改寫，可得

所以諧振時的電流有效值為

由式(7.3-21)可得電容上電壓有效值為

UC0=QUs=50×1=50mV圖7.3-4例7.3-1使用電路

例7.3-2

圖7.3-5(a)所示串聯(lián)諧振電路由L=1mH,QL=200的電感線圈及C=160pF的電容器組成，接到有效值Us=10mV的信號源上。信號源的內阻為Rs，信號源的頻率等于回路的諧振頻率。

(1)若信號源內阻Rs=0,求信號源的角頻率及電容兩端的電壓有效值UC0；

(2)若信號源內阻Rs=10Ω，求UC0;

(3)若Rs=0，測量UC0的電壓表內阻RV=125kΩ，如圖7.3-5(b)所示，求電壓表測得的UC0

。圖

7.3-5例7.3-2使用電路

解

(1)由式(7.3-9)算得

因回路諧振，又Rs=0,此時電路Q值等于QL,所以

UC0=QUs=200×10×10-3=2Ｖ

(2)電源內阻Rs=10Ω，回路總損耗電阻為r=rL+Rs。所以，此種情況下的回路品質因數(shù)Q不等于電感線圈的品質因數(shù)QL，根據(jù)式(7.3－16),求得則回路的品質因數(shù)為

此時電容上電壓有效值為

(3)實際電壓表都有一定的內阻，若用電壓表測量電容電壓，相當于在電容器兩端并接了一個電阻RV。這里，RV=125kΩ，應用正弦穩(wěn)態(tài)電路阻抗并聯(lián)化為串聯(lián)的等效，可將圖(b)等效為圖(c)。考慮到RV>>1/(ω0C)，在圖(c)中，所以有由圖(c)可見，這時回路總的損耗電阻為

r=rL+rV=12.5+50=62.5Ω

所以，在這種情況下的回路品質因數(shù)為

電容上電壓有效值(忽略圖(c)中rV上電壓)為

UC0≈QUs=40×10×10-3=0.4V這就是用電壓表測量的數(shù)值。從這一結果可以看到，若用電壓表測量電抗元件上的諧振電壓，電壓表必須具有很高的內阻，一般的電工用的電壓表是不能勝任的，必須用晶體管或集成電路制成的高輸入電阻的伏特計。在此例中，用內阻為125kΩ的電壓表測量電容上的諧振電壓仍有十分嚴重的影響，以致使電容上電壓由原來的2V降低為0.4V,測量值與理論值相差這么大就失去了測量的意義。

7.3.2頻率特性

以上討論了串聯(lián)諧振電路及其特點，這里進一步研究串聯(lián)諧振電路的頻率特性，由此也就可以搞清楚收音機輸入電路采用這種串聯(lián)諧振電路能夠“選臺”的原因。參看圖7.3-1所示電路，若以Us為激勵相量，以電流I為響應相量，

則網絡函數(shù)為

..考慮Q=ω0L/r,ω20=1/(LC),代入上式，得(7.3-23)這里所定義的網絡函數(shù)就是導納函數(shù)，單位為S。令

(7.3-24)稱為相對失諧。ξ=0表示無失諧(處于諧振狀態(tài))，ξ數(shù)值大表示失諧嚴重。當失諧較小時，例如|f-f0|/f0＜0.1時，f+f0≈2f0,于是相對失諧ξ可近似地表示為(7.3-25)式中,Δf=f-f0是相對于諧振頻率f0的失諧量。將式(7.3-24)代入式(7.3-23)，得(7.3-26)式中

(7.3-28)(7.3-27)

為了通用性和分析問題的方便，一般對H(jω)采用歸一化處理，

定義諧振函數(shù)

(7.3-29)由式(7.3-23)，得

(7.3-30)將式(7.3-26)和(7.3-30)代入式(7.3-29)，

得

(7.3-31)式中

(7.3-32)(7.3-33)圖7.3-6串聯(lián)諧振電路的歸一化頻率特性(a)幅頻特性；

(b)相頻特性

順便指出，由以ξ為自變量的式(7.3-32)和(7.3-33)畫出的幅頻特性與相頻特性(參看圖7.3-6(a)、(b))是嚴格對稱于ξ=0點的。若用式(7.3-24)將式(7.3－32)和(7.3-33)中的ξ換算為f,再以f為自變量畫出的幅頻特性與相頻特性并不對稱于f0點。不過，在小失諧的情況下，若用式(7.3-25)將式(7.3-32)和(7.3-33)中的ξ換算為f，即得(7.3-34)(7.3-35)

例7.3-3

某晶體管收音機輸入回路的電感L=310μH，今欲收聽載波頻率為540kHz的電臺，問這時調諧電容應是多大。若回路的品質因數(shù)Q=50,頻率為540kHz的電臺信號在天線線圈上的感應電壓有效值Us1=1mV，同時有另一頻率為600kHz的電臺信號在天線線圈上的感應電壓有效值Us2=1mV，試求二者在回路中產生的電流。

解為能收聽到頻率為540kHz的電臺節(jié)目，應調節(jié)電容C，使回路諧振頻率等于540kHz,

因回路諧振頻率所以

回路對頻率540kHz電臺的信號諧振，此時回路電流有效值為

因Q=ω0L/r，故r=ω0L/Q，將r代入上式，可得

回路對頻率為600kHz電臺的信號失諧，此時回路阻抗

所以

那么頻率為600kHz電臺的信號在回路中產生的電流有效值為

而Us2/r=Us1/r=I10(本題Us2=Us1=1mV),所以由此例具體的計算結果可見，回路對頻率有選擇性。雖然兩電臺信號都在天線線圈上感應1mV的電壓，但是由于回路對頻率為540kHz的電臺信號諧振，對頻率為600kHz的電臺信號失諧，因而兩個信號在回路中產生的電流數(shù)值相差10倍以上。7.3.3通頻帶通過對rLC串聯(lián)諧振電路的頻率特性的討論可見，諧振電路對于頻率有一定的選擇性，而且從圖7.3-6的諧振曲線可看出，回路Q值愈高，諧振曲線愈尖銳，選擇能力就愈強。也就是說，選用Q值較高的電路，有利于從眾多的各種單一頻率信號中選擇出所需要的信號，而抑制其他的干擾?？墒?，實際信號都占有一定的頻帶寬度，就是說，實際信號是由若干頻率分量所組成的多頻率信號，我們不能只選擇出需要實際信號中的某一頻率分量而把實際信號中其余有用的頻率分量抑制掉，那樣就會引起嚴重的失真，這是不能允許的。人們期望諧振電路能夠把實際信號中的各有用頻率分量都能選擇出來，而且對各有用的頻率分量能“一視同仁”地進行傳輸，對于不需要頻率的信號(統(tǒng)稱為干擾)能最大限度地加以抑制。為了衡量回路選擇頻率的能力與傳輸有一定帶寬的實際信號的能力，在中心頻率f0兩側，當時，對應的頻率fc1、fc2,如圖7.3-7所示。其中，高于f0的fc2稱為上截止頻率，低于f0的fc1稱為下截止頻率。對應于fc1～fc2之間的頻率范圍稱為電路的通頻帶寬度，即BW=fc2-fc1

Hz或

BW=ωc2-ωc1

rad/s所以說，rLC串聯(lián)諧振電路屬于帶通網絡。

圖

7.3-7通頻帶示意圖

下面討論電路通頻帶寬度BW與電路的諧振頻率f0、品質因數(shù)Q之間的關系。根據(jù)通頻帶定義，有則

整理上式，得

解以上兩個二次方程，

舍去無意義的負根，

得

所以電路通頻帶寬度

(7.3-36)或

(7.3-37)式(7.3-36)表明：網絡的通頻帶與網絡的諧振頻率成正比，與網絡的品質因數(shù)成反比。

電路的Q值越高，電路的選擇性能越好，但電路通頻帶就越窄。對實際應用的諧振電路，既要求它的選擇性能好，又要求它具有滿足傳輸信號所需要的電路帶寬。從某種意義上說，“選擇性”與“帶寬”是一對矛盾。實際中如何處理好這一對矛盾是很重要的。通常，在滿足電路帶寬等于或略大于欲傳輸信號帶寬的前提下，應盡量使電路的Q值高，以利于“選擇性”。從另一個方面來看，為了減小所要傳輸信號的失真，不但要使信號的各頻率分量都處于電路帶寬之內，而且電路對它們要“平等對待”地傳輸，這就要求在通頻帶內的那部分電路諧振曲線最好是平坦的(由此聯(lián)想到為什么各種理想濾波器通頻帶內的曲線是平坦直線的原因)。電路的Q值越低，帶內曲線平坦度就越好，相對來說引起帶內信號幅度失真就越小。

例7.3-4

在圖7.3-8所示的rLC串聯(lián)諧振電路中，已知us(t)=100cosω0tmV，ω0t為電路諧振角頻率，C=400pF，r上消耗的功率為5mW，電路通頻帶BW=4×104rad/s,試求L、ω0、UCm。

解因電路處于諧振狀態(tài)，所以電阻r上電壓與電源電壓相等。因為所以

又

所以

故

因

所以

UCm=QUsm=250×100×10-3=25V圖7.3-8例7.3-4使用電路思

考

與

練

習

7.3-1有位讀者這樣理解信號“幅度失真”：若網絡輸出信號中各頻率分量的振幅相對比例關系與網絡輸入信號中對應各頻率分量的振幅相對比例關系相比較，發(fā)生了變化，則說網絡產生了信號“幅度失真”。你同意他的觀點嗎?

7.3-2如圖所示的串聯(lián)諧振電路中，L=160μH,C=250pF,r=10Ω，外加正弦電壓有效值Us=1mV，其頻率等于電路的諧振頻率。求該諧振回路的諧振頻率f0、品質因數(shù)Q、通頻帶BW、諧振時回路電流I0及電抗元件上的電壓UL0和UC0。練習題7.3-2圖

7.3-3為了熟練應用串聯(lián)諧振電路的公式，試根據(jù)下表所列已知條件求出未知的各參數(shù)，

并填入表中空格處。

7.3-4由實驗測得一串聯(lián)諧振電路的諧振曲線如圖所示。從圖中查得諧振曲線中心頻率為475kHz，通頻帶的上、下邊頻(截止頻率)分別為478kHz、472kHz，已知回路中電感L=50μH，求回路的品質因數(shù)Q及回路中的電容C。練習題

7.3-4圖

7.4實用rLC并聯(lián)諧振電路的頻率特性串聯(lián)諧振電路僅適用于信號源內阻小的情況，如果信號源內阻較大，將使回路Q值降低，以致使電路的選擇性變差。當信號源內阻較大時，為了獲得較好的選頻特性，常采用并聯(lián)諧振電路。

圖

7.4-1實用并聯(lián)諧振電路模型

設正弦激勵電流源的頻率為f、相量為Is，為了討論問題方便，取Is的初相位為0°。并聯(lián)回路兩端導納為..式中

(7.4-1)

(7.4-2)(7.4-3)7.4.1并聯(lián)諧振

滿足式(7.4-3)為0的角頻率，稱為并聯(lián)諧振回路的諧振角頻率，以符號ω0表示。即有(7.4-4)式(7.4-4)稱為并聯(lián)諧振回路的諧振條件。

由式(7.4-4)得

(7.4-5)解上式，

得

(7.4-6)式(7.4-6)表明，對于圖7.4-1所示的并聯(lián)諧振電路，其諧振角頻率不但與回路中的電抗元件參數(shù)有關，而且與回路中的損耗電阻r有關。

在并聯(lián)諧振電路中，回路品質因數(shù)Q的物理含義，同串聯(lián)諧振電路時是一樣的，也是諧振時電感(或電容元件)上無功功率與電路中有功功率(對圖7.4-1的并聯(lián)諧振電路，即是r上消耗的功率)之比。因流經r與L的電流同是IL，所以.(7.4-7)由式(7.4-7)，

可有

(7.4-8)所以

(7.4-9)

將式(7.4-9)代入式(7.4-6)，則并聯(lián)諧振回路的諧振角頻率又可表示為

(7.4-10)或

(7.4-11)實際應用的并聯(lián)諧振電路一般滿足Q>>1(稱高Q條件)，所以式(7.4-10)和(7.4－11),在工程計算中常近似為(7.4-12)(7.4-13)從形式上看，在滿足高Q(Q≥10)條件下，并聯(lián)諧振電路諧振頻率的計算公式同串聯(lián)諧振電路計算諧振頻率的公式是一樣的。今后若無特殊說明，所給出的并聯(lián)諧振電路即按式(7.4-12)或式(7.4-13)計算它的諧振角頻率或頻率。并聯(lián)諧振電路在發(fā)生諧振時，即激勵源Is的角頻率ω等于電路的諧振角頻率ω0時，具有下述特點：

(1)聯(lián)系式(7.4-4)諧振條件，由式(7.4-1)并考慮在高Q條件下，當發(fā)生諧振時，并聯(lián)回路兩端導納(7.4-14)其值最小，且為純電導。

若換算為阻抗，即

(7.4-15)其值最大，且為純電阻。順便指出，在分析計算實際并聯(lián)諧振電路的問題時，經常要計算R0，除了用式(7.4-15)計算R0外，聯(lián)系回路的Q值、特性阻抗ρ，還可誘導出其他形式的R0常用計算式。如(7.4-16)(7.4-17)(2)由圖7.4-1，得諧振時回路兩端電壓

(7.4-18)其數(shù)值為最大值，且與激勵源Is同相位。實驗室中觀察并聯(lián)諧振電路的諧振狀態(tài)，常用電壓表并接到回路兩端，以電壓表指示最大作為回路處于諧振狀態(tài)的標志。

.(3)并聯(lián)回路諧振時，

電容支路的電流為

將Q=ω0L/r代入上式，可得(7.4-19)諧振時，電感支路電流為

考慮高Q條件，所以

(7.4-20)

例7.4-1

在圖7.4-2所示的并聯(lián)諧振電路中，已知L=100μH，C=100pF，虛框線所圍的空載回路Q0=50，信號源電壓有效值Us=150V，內阻Rs=25kΩ。若欲使回路諧振，電源的角頻率應是多少?求諧振時的總電流I0、環(huán)流Il、回路兩端電壓U0及回路消耗的功率P。

解電源頻率等于回路諧振頻率時回路諧振，所以電源角頻率為圖

7.4-2例7.4-1使用電路

由式(7.4-17)算得回路諧振電阻為

R0=Q0ρ=50ω0L=50×107×100×10-6=50kΩ所以電流為

環(huán)流為

回路兩端電壓為

回路消耗功率可用兩種方法計算。因為回路中只有電阻r消耗功率，所以回路消耗功率就是電阻r上消耗的功率，故有又

考慮式(7.4-16)，回路消耗功率P也可看作I0流過R0所消耗的功率，故有7.4.2頻率特性并聯(lián)諧振回路通常用作高頻、中頻放大器的負載。參看圖7.4-1所示電路，若以Is為激勵相量，以回路兩端電壓U為響應相量，則網絡函數(shù)..

假設滿足高Q條件，且ω為靠近諧振角頻率ω0附近的角頻率，則有ωL≈ω0L>>r,所以上式可近似寫為考慮Q=ω0L/r,R0=L/(Cr),代入上式，得(7.4-21)式中

(7.4-22)(7.4-23)這里定義的網絡函數(shù)其實就是并聯(lián)諧振回路兩端的阻抗函數(shù)。用相對失諧ξ替代式(7.4-22)和(7.4-23)中的ω/ω0-ω0/ω，可得(7.4-24)(7.4-25)

如同討論串聯(lián)諧振電路時一樣，對H(jω)作歸一化處理，定義諧振函數(shù)(7.4-26)將ω=ω0代入式(7.4-21)，得(7.4-27)再將式(7.4-21)和(7.4-27)代入式(7.4-26)，

得

(7.4-28)式中

(7.4-29)(7.4-30)考慮ξ=ω/ω0-ω0/ω,代入式(7.4-29)和(7.4-30)，則可得(7.4-31)(7.4-32)

例7.4-2

圖7.4-3為某晶體管高頻放大器的等效電路，并聯(lián)回路(虛線框所圍部分)的Q0值為100,L=100μH,C=100pF，又知放大器輸出電流(集電極電流)中有兩個頻率分量，即試求兩電流在回路兩端產生的電壓有效值。

圖

7.4-3例

7.4-2使用電路

解

回路諧振角頻率為

由給出兩電流的表達式可知，回路對is1(t)電流源諧振，對is2(t)電流源嚴重失諧，所以電流源is1(t)在回路兩端產生的電壓有效值為

U1=U0=R0Is1=100×1=100V而

所以，電流源is2(t)在回路兩端產生的電壓有效值為

U2=|H(j2ω0)|Is2=0.67×1=0.67V7.4.3通頻帶比較并聯(lián)諧振電路的諧振函數(shù)式(7.4-31)與串聯(lián)諧振電路的諧振函數(shù)式(7.3-32)，可知由兩式畫得的諧振曲線(參看圖7.3-6)是相同的。因此，并聯(lián)諧振電路若采用與串聯(lián)諧振電路一樣的通頻帶定義，便可用同樣的推導過程求得并聯(lián)諧振電路通頻帶與電路諧振頻率、品質因數(shù)之間的關系，因而有(7.4-33)或

(7.4-34)為了分析問題簡便，假設電源內阻抗與負載阻抗均為純電阻，如圖7.4-4所示。圖中，Rs是電源的內阻，實際電路中它可能是前面一級放大器的輸出電阻。RL是負載電阻，實際電路中它可能是后面一級放大器的輸入電阻，虛線框起來的部分是實際電感線圈和電容器并聯(lián)的電路模型，常稱為空載回路。關于品質因數(shù)，在7.3節(jié)中提到過元件Q值和回路Q值，這里為了敘述問題方便，對回路Q值再區(qū)分為空載回路Q值和有載回路Q值。圖

7.4-4考慮Rs、RL影響的并聯(lián)諧振電路

因僅有內阻Rs、負載電阻RL并到空載回路兩端，并假設考慮Rs、RL影響的電路仍屬于高Q電路，這樣的電路，其特性阻抗不變，則空載回路諧振電阻為R0=Q0ρ

將圖7.4-4在諧振頻率上等效為圖7.4-5，

顯然等效電阻

(7.4-35)Re=Rs∥R0∥RL

(7.4-36)將這一等效電阻看作為等效Q值與特性阻抗相乘，即

Re=Qeρ

(7.4-37)式(7.4-37)與(7.4-35)相比，

得

解上式，

得

(7.4-38)由式(7.4-36)可知Re＜R0,由式(7.4-38)可知Qe＜Q0。所以，Rs、RL的接入會使電路Q值下降，從而使電路的選擇性變差，通頻帶增寬。圖

7.4-5圖7.4-5的等效電路

例7.4-3

圖7.4-6所示并聯(lián)諧振電路處于諧振狀態(tài)。已知空載回路品質因數(shù)Q0=105,L=586μH,C=200pF,電源內阻Rs=180kΩ，負載電阻RL=180kΩ,Is=3∠0°mA。試求回路兩端電壓U0、環(huán)流Il以及電路通頻帶BW。

解

電路諧振頻率為

空載回路諧振電阻為

圖

7.4-6例7.4-3使用電路

將圖(a)等效為圖(b)，考慮Rs、RL的影響，總的等效電阻為Re=R