數(shù)學學案：課堂探究拋物線的幾何性質

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一由拋物線的性質求標準方程確定拋物線的標準方程時，從形式上看，只需求一個參數(shù)p，但由于標準方程有四種類型，因此，還應確定開口方向，當開口方向不確定時，應進行分類討論，有時也可設標準方程的統(tǒng)一形式，避免討論，如焦點在x軸上的拋物線標準方程可設為y2＝2mx（m≠0），焦點在y軸上的拋物線標準方程可設為x2＝2my（m≠0)．【典型例題1】求適合下列條件的拋物線的標準方程．(1）過點(－3,2）;（2)對稱軸為x軸，頂點與焦點的距離為6；(3）拋物線上點(－5，2eq\r（5）)到焦點F（x，0）的距離是6.思路分析：在求拋物線標準方程時，首先要確定標準方程的類型，即定型，也就是判斷焦點的位置，然后根據(jù)條件求出p值，即定量．解：（1)設所求的拋物線方程為y2＝－2p1x(p1＞0）或x2＝2p2y(p2＞0)，由過點(－3,2）,知4＝－2p1·(－3）或9＝2p2×2，得p1＝eq\f(2,3)，p2＝eq\f(9，4)，故所求的拋物線方程為y2＝－eq\f（4，3)x或x2＝eq\f(9，2)y.(2）設拋物線方程為y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px（p＞0)．依題意eq\f(p，2)＝6，所以2p＝24。所以拋物線方程為y2＝±24x.（3)由已知eq\r((x＋5)2＋（2\r（5))2)＝6，整理得x2＋10x＋9＝0，即（x＋1）（x＋9)＝0，所以x＝－1或x＝－9。所以F(－1，0），p＝2,y2＝－4x；或F(－9，0），p＝18，y2＝－36x。顯然，若拋物線為y2＝－36x，則它的準線方程為x＝9。由拋物線的定義，點A(－5,2eq\r（5））到F(－9,0)的距離是6，而點A（－5,2eq\r(5)）到x＝9的距離為14,矛盾．所以所求拋物線的標準方程為y2＝－4x。探究二拋物線的實際應用涉及橋的高度、隧道的高低問題，通常用拋物線的標準方程解決，在建立坐標系時，常以拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為一條坐標軸，這樣使標準方程不僅具有對稱性,而且形式更為簡單，便于應用，但要注意點的坐標有正負之分，與實際問題中的數(shù)據(jù)并不完全相同．【典型例題2】河上有一座拋物線形拱橋,當水面距拱頂5m時，水面寬為8m，一條小船寬4m，高2m，載貨后船露出水面的部分高eq\f(3，4）m，問水面上漲到與拋物線拱頂相距多高時,小船不能通航？思路分析:當小船上貨物兩側與拋物線拱頂接觸時,船不能通航．由于拋物線與小船均是軸對稱圖形，可設出公共對稱軸建立拋物線方程，將已知數(shù)據(jù)轉化為點的坐標求解．解：如圖，建立直角坐標系，設拱橋拋物線方程為x2＝－2py（p＞0）．由題意,將B（4，－5）代入方程得p＝1.6.所以x2＝－3.2y.當船兩側和拋物線相接觸時,船不能通航，設此時船面寬為AA′，則A（2，yA）．由22＝－3.2yA,得yA＝－eq\f(5,4）.又知船面露出水面部分為eq\f(3,4）m，所以h＝｜yA|＋eq\f（3，4）＝2（m)．答：水面上漲到距拋物線拱頂2m時,小船不能通航．探究三直線與拋物線相交問題直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px（p＞0）的位置關系判斷，通常是將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，整理成關于x(或y)的一元二次方程形式，根據(jù)其解的個數(shù)進行判斷,直線和拋物線相交于A（x1，y1），B(x2，y2)兩點，直線的斜率為k.(1）一般的弦長公式：｜AB|＝eq\r(1＋k2）｜x1－x2|.（2)當直線經過拋物線y2＝2px（p＞0)的焦點時，弦長｜AB｜＝x1＋x2＋p?！镜湫屠}3】設拋物線C：y2＝4x，F(xiàn)為C的焦點，過F的直線l與C相交于A,B兩點．(1)設l的斜率為2，求｜AB｜的大?。?）求證：·是一個定值．思路分析:設出直線方程,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，整理成一元二次方程形式，利用根與系數(shù)的關系求解．(1）解：依題意得F(1,0）,所以直線l的方程為y＝2(x－1)．設直線l與拋物線的交點A（x1，y1)，B（x2，y2），由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝2（x－1），,y2＝4x,）)消去y整理得x2－3x＋1＝0，所以x1＋x2＝3，x1x2＝1。方法一：所以｜AB｜＝eq\r(1＋k2）|x1－x2｜＝eq\r（1＋k2）·eq\r（(x1＋x2)2－4x1x2）＝eq\r（5）·eq\r（32－4×1)＝5。方法二：所以｜AB|＝|AF|＋|BF｜＝x1＋x2＋p＝3＋2＝5。(2）證明：設直線l的方程為x＝ky＋1，直線l與拋物線的交點A(x1，y1),B（x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝ky＋1，，y2＝4x，）)消去x整理得y2－4ky－4＝0，所以y1＋y2＝4k,y1y2＝－4。因為·＝（x1,y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝（ky1＋1）(ky2＋1）＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2）＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3,所以·是一個定值．【典型例題4】已知拋物線y2＝6x，過點P（4,1）引一條弦，使它恰在點P被平分，求這條弦所在的直線方程．思路分析：本題主要考查中點弦問題．可采用“點差法”或判別式法．解法一：設直線上任意一點的坐標為(x，y)，弦的兩個端點為P1(x1，y1），P2(x2，y2）．因為P1,P2在拋物線上，所以y21＝6x1，y22＝6x2。兩式相減得(y1＋y2）（y1－y2）＝6（x1－x2)．①由題意知y1＋y2＝2，代入①得k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝3。所以直線的方程為y－1＝3（x－4)，即3x－y－11＝0。解法二：由題意知弦所在的直線的斜率存在且不為零，設所求方程為y－1＝k(x－4）．由方程組eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y2＝6x，，y＝kx－4k＋1，）)得ky2－6y－24k＋6＝0.設弦的兩端點P1，P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2），則y1＋y2＝eq\f(6，k).因為P1P2的中點為(4，1），所以eq\f(6,k)＝2.所以k＝3.所以所求直線方程為y－1＝3（x－4），即3x－y－11＝0。點評：本題解法一是求與中點有關問題常用的“點差法”．設點、作差、找斜率是主要的解題技巧．解法二沒有求出P1，P2的坐標，而是運用韋達定理及P1P2的中點坐標求出k值,這也是解題中常用的方法．一般求出直線方程后,把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，組成方程組看方程組是否有兩個解，有兩解時求出的直線方程為所求的直線方程．探究四易錯辨析易錯點不理解拋物線的標準方程的形式【典型例題5】設拋物線y＝mx2(m≠0)的準線與直線y＝1的距離為3，求拋物線的標準方程．錯解：由y＝mx2(m≠0)可知其準線方程為y＝－eq\f(m，4）。由題意知－eq\f(m,4)＝－2，解得m＝8，故所求拋物線的標準方程為y＝8x2.錯因分析：本題在解答過程中容易出現(xiàn)兩個錯誤：一是不能正確理解拋物線標準方程的形式，錯誤地將所給方程看成是拋物線的標準方程，得到準線方程為y＝－eq\f(m,4);二是得到準線方程后，只分析其中的一種情況，