數(shù)學學案：課堂探究瞬時速度與導數(shù)導數(shù)的幾何意義

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一求導數(shù)求函數(shù)在點x0處的導數(shù)就是求該點的函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比的極限，求解過程中要注意對式子eq\f(Δy,Δx)的變形和約分,變形不徹底可能會導致eq\o(lim，\s\do4（Δx→0）)eq\f(Δy，Δx)不存在，得出錯誤結論．【典型例題1】已知函數(shù)y＝eq\r（x），求y′，y′|x＝1.思路分析：按求導數(shù)的步驟求解即可，但要注意變形的技巧．解：因為Δy＝eq\r(Δx＋x）－eq\r(x），所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\r（Δx＋x)－\r(x),Δx)＝eq\f（Δx，(\r（Δx＋x)＋\r(x))Δx)＝eq\f（1,\r（Δx＋x）＋\r（x)）。所以y′＝eq\o(lim，\s\do4（Δx→0)）eq\f(Δy,Δx）＝eq\o（lim,\s\do4（Δx→0）)eq\f（1，\r(Δx＋x）＋\r（x）)＝eq\f（1，2\r（x）)。所以y′|x＝1＝eq\f(1,2）.點評函數(shù)的導數(shù)與在點x0處的導數(shù)不是同一概念，在點x0處的導數(shù)是函數(shù)的導數(shù)在x＝x0處的函數(shù)值．分子有理化是解決本題的一種重要的變形技巧，要認真體會．探究二利用導數(shù)求曲線的切線方程求曲線上某點(x0,y0)處的切線方程，需要先求出f′（x0)，即切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程后化簡，但要注意分清“求曲線y＝f（x）上過點M的切線”與“求曲線y＝f(x）上在點M處的切線”兩者的不同．【典型例題2】如圖，已知曲線y＝eq\f(1，3）x3上一點Peq\b\lc\(\rc\）（eq\a\vs4\al\co1(2，\f（8，3）)),求：(1)點P處的切線方程．（2）滿足斜率為1的曲線的切線方程．思路分析：（1）先利用導數(shù)的幾何意義求斜率，然后寫出切線方程．(2)設出切點坐標，利用斜率求出切點坐標，從而得切線方程．解：因為y＝f(x)＝eq\f(1,3)x3，所以y′＝eq\o(lim，\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx）＝eq\o(lim，\s\do4（Δx→0)）eq\f（\f(1,3)（x＋Δx)3－\f(1,3)x3，Δx)＝eq\o(lim，\s\do4(Δx→0）)eq\f（x2Δx＋x(Δx）2＋\f（1，3）(Δx）3,Δx）＝eq\o（lim，\s\do4（Δx→0))eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(x2＋x·Δx＋\f(1,3)（Δx)2))＝x2.（1)因為y′｜x＝2＝4，所以在點P處的切線方程為y－eq\f（8，3）＝4（x－2）,即12x－3y－16＝0.(2)設切點坐標為M,由于切線斜率k＝，則＝1,x0＝±1，那么切點坐標Meq\b\lc\（\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－1，－\f（1,3）))或M′eq\b\lc\(\rc\)（eq\a\vs4\al\co1（1，\f（1,3))），所以所求切線方程為y＋eq\f(1,3）＝x＋1或y－eq\f（1,3)＝x－1，即x－y＋eq\f(2，3）＝0或x－y－eq\f(2，3）＝0。探究三導數(shù)幾何意義的應用(1）與導數(shù)的幾何意義相關的題目往往涉及解析幾何的相關知識，如直線間的位置關系等，因此要綜合應用所學知識解題．（2)與導數(shù)的幾何意義相關的綜合問題解題的關鍵是函數(shù)在某點處的導數(shù)，已知切點可以求斜率,已知斜率也可以求切點，切點的坐標是常設的未知量．【典型例題3】已知點M（0，－1)，F(xiàn)(0,1），過點M的直線l與曲線y＝eq\f（1,3)x3－4x＋4在x＝－2處的切線平行．（1）求直線l的方程;（2）求以點F為焦點，l為準線的拋物線C的方程．思路分析:要求直線l的方程,只需求y′|x＝－2，要求拋物線C的方程，可以利用拋物線的定義求解．解：(1）設曲線y＝f（x),因為y′｜x＝－2＝eq\o（lim,\s\do4(Δx→0））eq\f(f（－2＋Δx)－f（－2),Δx)＝0，所以直線l的斜率為0，其方程為y＝－1.(2）因為拋物線以點F(0,1)為焦點,y＝－1為準線，所以可設拋物線方程為x2＝2py,則有eq\f（p,2）＝1，p＝2.故拋物線C的方程為x2＝4y。探究四易錯辨析易錯點混淆切點與切線經(jīng)過的點【典型例題4】試求過點P（3，5）且與曲線y＝x2相切的直線的方程．錯解：因為函數(shù)y＝x2的導數(shù)為y′＝2x，所以y′|x＝3＝2×3＝6.所以切線方程為y－5＝6(x－3)，即y＝6x－13。錯因分析:沒有注意到點P不在曲線上，點P不是切點，錯解中把點P當成了切點,從而導致錯誤．正解：直線的斜率不存在時顯然不成立．函數(shù)y＝x2的導數(shù)為y′＝2x。設所求切線的切點為A(x0，y0)，則y0＝x20，切線斜率為y′｜x＝x0＝2x0.因為切線過P(3，5)和A(x0，y0）兩點，所以其斜率為eq\f(y0－5，x0－3）＝，所以2x0＝，解得x0＝1或x0＝5，從而切點A的坐標為(1，1）或(5,25)．當切點為(1，1）時，切線的斜率為2x0＝2;當切點為（5,25)時，切線的斜率為2x0＝10.所以所求切線有兩條，方程分別為y－1＝2(x－1)或y－5＝10（x－3），即y＝2x－1或y＝10x－25。點評