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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精課堂探究探究一求導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)就是求該點(diǎn)的函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比的極限,求解過(guò)程中要注意對(duì)式子eq\f(Δy,Δx)的變形和約分,變形不徹底可能會(huì)導(dǎo)致eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)不存在,得出錯(cuò)誤結(jié)論.【典型例題1】已知函數(shù)y=eq\r(x),求y′,y′|x=1.思路分析:按求導(dǎo)數(shù)的步驟求解即可,但要注意變形的技巧.解:因?yàn)棣=eq\r(Δx+x)-eq\r(x),所以eq\f(Δy,Δx)=eq\f(\r(Δx+x)-\r(x),Δx)=eq\f(Δx,(\r(Δx+x)+\r(x))Δx)=eq\f(1,\r(Δx+x)+\r(x))。所以y′=eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)=eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(1,\r(Δx+x)+\r(x))=eq\f(1,2\r(x))。所以y′|x=1=eq\f(1,2).點(diǎn)評(píng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)不是同一概念,在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在x=x0處的函數(shù)值.分子有理化是解決本題的一種重要的變形技巧,要認(rèn)真體會(huì).探究二利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程求曲線上某點(diǎn)(x0,y0)處的切線方程,需要先求出f′(x0),即切線的斜率,再用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程后化簡(jiǎn),但要注意分清“求曲線y=f(x)上過(guò)點(diǎn)M的切線”與“求曲線y=f(x)上在點(diǎn)M處的切線”兩者的不同.【典型例題2】如圖,已知曲線y=eq\f(1,3)x3上一點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(2,\f(8,3))),求:(1)點(diǎn)P處的切線方程.(2)滿足斜率為1的曲線的切線方程.思路分析:(1)先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求斜率,然后寫(xiě)出切線方程.(2)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),利用斜率求出切點(diǎn)坐標(biāo),從而得切線方程.解:因?yàn)閥=f(x)=eq\f(1,3)x3,所以y′=eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)=eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,3)(x+Δx)3-\f(1,3)x3,Δx)=eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x2Δx+x(Δx)2+\f(1,3)(Δx)3,Δx)=eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x2+x·Δx+\f(1,3)(Δx)2))=x2.(1)因?yàn)閥′|x=2=4,所以在點(diǎn)P處的切線方程為y-eq\f(8,3)=4(x-2),即12x-3y-16=0.(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為M,由于切線斜率k=,則=1,x0=±1,那么切點(diǎn)坐標(biāo)Meq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(-1,-\f(1,3)))或M′eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(1,\f(1,3))),所以所求切線方程為y+eq\f(1,3)=x+1或y-eq\f(1,3)=x-1,即x-y+eq\f(2,3)=0或x-y-eq\f(2,3)=0。探究三導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用(1)與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相關(guān)的題目往往涉及解析幾何的相關(guān)知識(shí),如直線間的位置關(guān)系等,因此要綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解題.(2)與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相關(guān)的綜合問(wèn)題解題的關(guān)鍵是函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),已知切點(diǎn)可以求斜率,已知斜率也可以求切點(diǎn),切點(diǎn)的坐標(biāo)是常設(shè)的未知量.【典型例題3】已知點(diǎn)M(0,-1),F(xiàn)(0,1),過(guò)點(diǎn)M的直線l與曲線y=eq\f(1,3)x3-4x+4在x=-2處的切線平行.(1)求直線l的方程;(2)求以點(diǎn)F為焦點(diǎn),l為準(zhǔn)線的拋物線C的方程.思路分析:要求直線l的方程,只需求y′|x=-2,要求拋物線C的方程,可以利用拋物線的定義求解.解:(1)設(shè)曲線y=f(x),因?yàn)閥′|x=-2=eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(-2+Δx)-f(-2),Δx)=0,所以直線l的斜率為0,其方程為y=-1.(2)因?yàn)閽佄锞€以點(diǎn)F(0,1)為焦點(diǎn),y=-1為準(zhǔn)線,所以可設(shè)拋物線方程為x2=2py,則有eq\f(p,2)=1,p=2.故拋物線C的方程為x2=4y。探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)混淆切點(diǎn)與切線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)【典型例題4】試求過(guò)點(diǎn)P(3,5)且與曲線y=x2相切的直線的方程.錯(cuò)解:因?yàn)楹瘮?shù)y=x2的導(dǎo)數(shù)為y′=2x,所以y′|x=3=2×3=6.所以切線方程為y-5=6(x-3),即y=6x-13。錯(cuò)因分析:沒(méi)有注意到點(diǎn)P不在曲線上,點(diǎn)P不是切點(diǎn),錯(cuò)解中把點(diǎn)P當(dāng)成了切點(diǎn),從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.正解:直線的斜率不存在時(shí)顯然不成立.函數(shù)y=x2的導(dǎo)數(shù)為y′=2x。設(shè)所求切線的切點(diǎn)為A(x0,y0),則y0=x20,切線斜率為y′|x=x0=2x0.因?yàn)榍芯€過(guò)P(3,5)和A(x0,y0)兩點(diǎn),所以其斜率為eq\f(y0-5,x0-3)=,所以2x0=,解得x0=1或x0=5,從而切點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1)或(5,25).當(dāng)切點(diǎn)為(1,1)時(shí),切線的斜率為2x0=2;當(dāng)切點(diǎn)為(5,25)時(shí),切線的斜率為2x0=10.所以所求切線有兩條,方程分別為y-1=2(x-1)或y-5=10(x-3),即y=2x-1或y=10x-25。點(diǎn)評(píng)
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