數(shù)學學案：例題與探究等比數(shù)列

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1已知a，b,c依次成等比數(shù)列，且x，y分別是a,b和b,c的等差中項,求的值.思路分析:從題意推測所求應為一常數(shù)，應用特殊化思想，令a，b,c分別為1，3，9,則x=2，y=6,則==2.解：已知a,b，c成等比數(shù)列，設其公比為q,則b=aq，c=bq,x，y分別為a,b和b，c的等差中項，則.∴.綠色通道：x=，似乎無法通分,但只要注意到a，b，c成等比數(shù)列，設公比為q,則b+c=q（a+b）就可以通分了.變式訓練（2006湖北高考,理2）若互不相等的實數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，c，a,b成等比數(shù)列，且a+3b+c=10,則a等于（)A.4B.2C。-2思路解析：由互不相等的實數(shù)a,b，c成等差數(shù)列,可設a=b-d，c=b+d。由a+3b+c=10，得b=2。所以a=2—d，c=2+d.又c，a，b成等比數(shù)列，則a2=bc，即（2—d)2=2(2+d）得d=6。所以a=-4。答案:D例2在等比數(shù)列｛an}中，Sn=48，S2n=60，求S3n。思路分析:由已知可列的兩個方程組成的方程組中有三個量a1,q,n,要獨立求出這三個量的值是不可能的，但進行整體代換則問題很快得到解決.解：設等比數(shù)列{an｝的公比為q,因Sn=48，S2n=60，所以q≠1，于是得方程組②÷①，得1+qn=，qn=。則q3n=。又1—qn=,代入①，=64,所以S3n=.綠色通道:整體代換,求比值的方法在處理數(shù)列問題及其他有關(guān)數(shù)學問題時經(jīng)常遇到.另外，還可以運用等比數(shù)列性質(zhì)做此題：若數(shù)列{an｝是等比數(shù)列,Sn是其前n項的和,k∈N+，那么Sk，S2k—Sk，S3k-S2k成等比數(shù)列。則有，則（S2n—Sn)2=Sn（S3n—S2n）,∴(60—48）2=48(S3n-60），得S3n=63。變式訓練1（2006全國高考Ⅱ,文18)設等比數(shù)列｛an}的前n項和為Sn，S4=1，S8=17，求通項公式an.思路分析：在求解過程中把q4-1看成一個整體，簡化運算。解：設{an｝的公比為q，由S4=1,S8=17,知q≠1，得=1,①=17.②由①②式，得=17.解得q4=16.所以q=2或q=-2.將q=2代入①式，得a1=.所以an=。將q=-2代入①式，得a1=。所以an=。變式訓練2（2006全國高考Ⅰ，文17)已知｛an｝為等比數(shù)列,a3=2,a2+a4=,求｛an}的通項公式.解:設等比數(shù)列｛an}的公比為q，則q≠0，a2=，a4=a3q=2q。所以,解得q=3或.當q=時,a1=18。所以an=18×（)n-1==2×33-n.當q=3時，a1=,所以an=×3n-1=2×3n—3.變式訓練3(2006重慶高考,理14）在數(shù)列｛an}中，若a1=1，an+1=2an+3(n≥1)，則該數(shù)列的通項an=____________.思路解析：在數(shù)列{an｝中，若a1=1,an+1=2an+3(n≥1）,∴an+1+3=2（an+3)(n≥1）,即｛an+3｝是以a1+3=4為首項,2為公比的等比數(shù)列?！郺n+3=4·2n-1=2n+1.∴該數(shù)列的通項an=2n+1—3。答案:2n+1—3例3已知等比數(shù)列的前n項和Sn=4n—1+a,則a的值為_____________。思路解析:∵S1=a1=1+a,S2=a1+a2=4+a，∴a2=3.∵S3=16+a,S3-S2=a3=12，∴q==4.由a2=a1q，得(1+a）4=3。∴a=。答案：綠色通道：注意到等比數(shù)列前n項和的結(jié)構(gòu)將有助于更快、更準確地求出a的值。變式訓練（2006遼寧高考，理9)在等比數(shù)列｛an｝中，a1=2，前n項和為Sn，若數(shù)列｛an+1｝也是等比數(shù)列，則Sn等于(）A.2n+1—2B.3nC.2nD.3n—1思路解析：因數(shù)列｛an}為等比數(shù)列，則an=2qn-1，因數(shù)列{an+1｝也是等比數(shù)列,則(an+1+1)2=(an+1）（an+2+1）an+12+2an+1=anan+2+an+an+2an+an+2=2an+1an（1+q2—2q)=0q=1,即an=2。所以Sn=2n.答案:C例4設等比數(shù)列｛an｝的公比為q,前n項和Sn＞0(n=1，2,…）。（1）求q的取值范圍;(2)設bn=an+2—an+1,記{bn}的前n項和為Tn，試比較Sn和Tn的大小.思路分析:根據(jù)Sn＞0，解不等式可求出q的取值范圍；(2)中可以利用bn=an+2-an+1，找到前n項和Tn與Sn的關(guān)系式,再比較大小時就較容易了,另外要注意分類討論.解:(1）因為{an}是等比數(shù)列，Sn＞0，可得a1=S1＞0,q≠0.當q=1時，Sn=na1＞0;當q≠1時，Sn=，即＞0(n=1，2,…)。上式等價于不等式組（n=1，2，…）.解①式,得q＞1；解②式，由于n可為奇數(shù)、可為偶數(shù),得—1＜q＜1。綜上，q的取值范圍是(-1,0）∪(0,+∞).（2)由bn=an+2an+1，得bn=an(q2q）?！郥n=（q2q)Sn。于是Tn—Sn=Sn（q2-q-1）=Sn(q+)（q-2）。又∵Sn＞0且—1＜q＜0或q＞0，當-1＜q＜或q＞2時，Tn—Sn＞0,即Tn＞Sn;當＜q＜2且q≠0時,Tn-Sn＜0，即Tn＜Sn;當q=或q=2時，Tn-Sn=0,即Tn=Sn.黑色陷阱：在求q的取值范圍，尤其是在解第二個不等式組時,容易忽視n為偶數(shù)的討論，這一點要重視;在比較Sn和Tn的大小時,上來就直接作差，這樣計算量大,且不直觀.變式訓練（2006四川高考,文17）數(shù)列｛an}的前n項和為Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1）。(1)求｛an}的通項公式；（2）等差數(shù)列｛bn}的各項為正,其前n項和為Tn，且T3=15，又a1+b1，a2+b2,a3+b3成等比數(shù)列，求Tn。思路分析:（1)利用Sn—Sn—1=an(n≥2）找出相鄰兩項之間的關(guān)系式，進而判斷數(shù)列是否為特殊數(shù)列，(2）關(guān)鍵是求出等差數(shù)列｛bn｝的首項和公差.解：(1）由an+1=2Sn+1,得an=2Sn-1+1(n≥2).兩式相減，得an+1-an=2an?！郺n+1=3an(n≥2)。又a2=2S1+1=3,∴a2=3a1.故｛an｝是首項為1,公比為3的等比數(shù)列.∴an=3n—1。（2)設{bn｝的公差為d,由T3=15，得b1+b2+b3=15，則b2=5。故可設b1=5—d,b3=5+d,又a1=1，a2=3，a3=9,由題意，得（5-d+1）（5+d+9）=(5+3)2。解得d1=2，d2=-10?！叩炔顢?shù)列｛bn}的各項為正,∴d＞0.∴d=2?！郻1=3?！郥n=3n+×2=n2+2n。問題探究問題怎樣靈活處理求通項公式的問題？導思:如果給出了數(shù)列的前幾項或能求出數(shù)列的前幾項,則可以根據(jù)前幾項的規(guī)律，觀察分析、歸納、猜想出數(shù)列的通項公式,然后再用數(shù)學歸納法證明之。但對于特殊數(shù)列則可直接求解。探究:如果已知數(shù)列為等差（或等比）數(shù)列，可直接根據(jù)等差（或等比）數(shù)列的通項公式,求得a1，d（或q),然后直接套公式即可。已知數(shù)列的前n項和求通項時，通常用公式an=S1,Sn—Sn—1,n=1,n≥2.用此公式時應當注意結(jié)論有兩種可能,一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”,即a1和an合為一個表達式.對于形如an+1=an+f(n)型或形如an+1=f(n）an型的數(shù)列,其中f(n）又是等差數(shù)列或等比數(shù)列，可以根據(jù)遞推公式,寫出n取1到n時的所有的遞推關(guān)系式,然后將它們分別相加（或相乘）即可得到通項公式.有些數(shù)列本身并不是等差或等比數(shù)列,但可以經(jīng)過適當?shù)淖冃?構(gòu)造出一個新的數(shù)列為等差或等比數(shù)列,從而利用這個