等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（第一課時） 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

（第一課時）教學(xué)目標(biāo)：1.能夠根據(jù)題意將不等關(guān)系用不等式表示出來.2.能夠利用作差法判斷兩個數(shù)（式）的大小關(guān)系.教學(xué)重點：能夠利用作差法判斷兩個數(shù)（式）的大小關(guān)系.教學(xué)難點：能在在實際情景中建立不等式(組).情境引入在現(xiàn)實世界和日常生活中，大量存在著相等關(guān)系和不等關(guān)系，例如多與少、大與小、長與短、高與矮、遠(yuǎn)與近、快與慢、漲與跌、輕與重、不超過或不少于等．類似于這樣的問題，反映在數(shù)量關(guān)系上，就是相等與不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．用不等號（如>、<、≥、≤）連接的式子就是不等式。新知探索問題1你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關(guān)系嗎?（1）某路段限速40km/h；（2）某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，

蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%；（3）三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊；（4）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短．對于（1），設(shè)在該路段行駛的汽車的速度為vkm/h，“限速40km/h”就是v的大小不能超過40，于是0<v≤40．新知探索問題1你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關(guān)系嗎?（1）某路段限速40km/h；（2）某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，

蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%；（3）三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊；（4）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短．對于（2），由題意，得新知探索問題1你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關(guān)系嗎?（1）某路段限速40km/h；（2）某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，

蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%；（3）三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊；（4）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短．對于（3），設(shè)△ABC的三條邊為a，b，c，則a+b>c，a－b<c．新知探索問題1你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關(guān)系嗎?（1）某路段限速40km/h；（2）某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，

蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%；（3）三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊；（4）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短．對于（4），設(shè)C是直線AB外任意一點，CD垂直于AB，垂足為D，E是直線AB上不同于D的任意一點，則CD<CE

．CAEDB新知探索問題2你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關(guān)系嗎?某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本．據(jù)市場調(diào)查，雜志的單價每提高0.1元，銷售量就可能減少2000本．如何定價才能使提價后的銷售總收入不低于20萬元?設(shè)提價后雜志的定價為x元，則銷售的總收入為萬元，那么不等關(guān)系“銷售的收入不低于20萬元”用不等式可以表示為：①求出不等式①的解集，就能知道滿足條件的雜志的定價范圍。新知探索如何解上述不等式呢？與解方程要用等式的性質(zhì)一樣，解不等式要用不等式的性質(zhì)．為此，我們需要先研究不等式的性質(zhì)．在初中我們已經(jīng)通過具體實例歸納出了一些不等式的性質(zhì)．那么，這些性質(zhì)為什么是正確的？還有其他不等式的性質(zhì)嗎？回答這些問題要用到關(guān)于兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實．新知探索關(guān)于實數(shù)a,b大小的比較，有以下基本事實：如果a－b是正數(shù)，那么a>b；如果a－b等于0，那么a=b；如果a－b是負(fù)數(shù)，那么a<b．反之也成立．這個基本事實可以表示為：從上述基本事實可知：要比較兩個實數(shù)的大小,可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小．例題精講例1.比較(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大?。猓骸?x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)

=(x2+5x+6)-(x2+5x+4)

=2>0，∴(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4)．這里，我們借助多項式減法運算，得出一個明顯大于0的數(shù)（式）．這是解決不等式問題的常用方法．這種方法叫做作差法，其過程分為四個步驟：作差、變形、判號、結(jié)論。作差變形判號結(jié)論新知探索作差法比較大小的基本步驟：（1）作差：對要比較大小的兩個數(shù)(或式子)作差；（2）變形：對差進(jìn)行變形(通常方法有因式分解、通分、配方等，注意變形要到位才行)；（3）判斷符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號；（4）作出結(jié)論．課堂練習(xí)已知a>b且ab>0,證明證明：探究如圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去像一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客．你能在這個圖中找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？探究把上圖的“風(fēng)車”抽象成右圖,正方形ABCD中有4個全等的直角三角形.設(shè)直角三角形的兩直角邊的長分別為a，b.那么正方形的邊長為，這樣4個直角三角形的面積和為，正方形的面積為，由于正方形的面積大于4個直角三角形的面積和，我們就得到了一個不等式：當(dāng)且僅當(dāng)E、F、G、H四點重合即a=b時，四個直角三角形面積和等于正方形面積，即：DABCabE(FGH)探究重要不等式:一般地，?a,b∈R，有

a2+b2

≥2ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立另證：∵a2+b2－2ab

=(a－b)2

≥0,

∴a2+b2

≥2ab.

（