解題技巧：矩形、菱形、正方形中折疊、旋轉(zhuǎn)問題壓軸題五種模型全攻略（原卷版）

專題07解題技巧專題：矩形、菱形、正方形中折疊、旋轉(zhuǎn)問題壓軸題五種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一矩形中的折疊問題】 1【考點(diǎn)二菱形中的折疊問題】 13【考點(diǎn)三正方形中的折疊問題】 20【考點(diǎn)四矩形、菱形、正方形折疊后求周長(zhǎng)、面積問題】 28【考點(diǎn)五矩形、菱形、正方形中旋轉(zhuǎn)問題】 36【典型例題】【考點(diǎn)一矩形中的折疊問題】例題：（2023上·江西九江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，將沿折疊，點(diǎn)D剛好落在對(duì)角線上的點(diǎn)F．(1)若，，求的長(zhǎng)．(2)若，求證：．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·山東菏澤·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，將矩形紙片沿折疊，得到，與交于點(diǎn)．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2023上·陜西西安·八年級(jí)?？计谥校╅L(zhǎng)方形ABCD中，，，將其沿折疊，點(diǎn)A，B分別落到點(diǎn)與點(diǎn)處，恰好點(diǎn)C在上，且，則線段的長(zhǎng)度為（

）A．5 B． C． D．3．（2023上·山東東營(yíng)·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)為射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把沿直線折疊，當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)剛好落在線段的垂直平分線上時(shí)，則的長(zhǎng)為．4．（2024上·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，，是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），將沿折疊，當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在矩形任意一邊所在的直線上時(shí)，的長(zhǎng)為．5．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在矩形中，，，點(diǎn)E是上一點(diǎn).將沿折疊后，得到.點(diǎn)F在矩形內(nèi)部，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)E是中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)如圖②，在（1）的條件下，當(dāng)矩形變化為平行四邊形時(shí)，求證：；(3)如圖③，在矩形中，當(dāng)點(diǎn)F落在矩形對(duì)角線上時(shí)，的長(zhǎng)是6．（2023上·遼寧阜新·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，有一矩形紙片，，，如圖1，將紙片折疊使落在邊上，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，折痕為．如圖2，再將以為折痕向右折疊，與交于點(diǎn)．(1)求的值；(2)四邊形的面積為________；(3)如圖3，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)剛好落在上，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則旋轉(zhuǎn)的角度為________度；【考點(diǎn)二菱形中的折疊問題】例題：（2023下·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，菱形中，，M為邊上的一點(diǎn)，將菱形沿折疊后，點(diǎn)A恰好落在的中點(diǎn)E處，則．

【變式訓(xùn)練】1．（2023下·山西長(zhǎng)治·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，，將邊沿折疊得到交于點(diǎn)，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，的大小為（

）

A． B． C． D．2．（2023上·廣東深圳·九年級(jí)深圳中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，若菱形的面積為，，將菱形折疊，使點(diǎn)A恰好落在菱形對(duì)角線的交點(diǎn)O處，折痕為，則cm．

3．（2022下·安徽六安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，以為對(duì)稱軸將折疊得到，再折疊與重合，折痕為且交于點(diǎn)F．

（1）；（2）若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．4．（2023下·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，點(diǎn)在邊上，將沿折疊，點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求四邊形的面積．【考點(diǎn)三正方形中的折疊問題】例題：（2023上·遼寧沈陽·八年級(jí)沈陽市第一三四中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知在正方形中，，．將正方形折疊，使點(diǎn)B落在邊的中點(diǎn)Q處，點(diǎn)A落在P處，折痕為．已知長(zhǎng)為．

(1)求線段和線段的長(zhǎng)；(2)連接，．【變式訓(xùn)練】1.（2023下·天津北辰·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，將正方形紙片折疊，使邊均落在對(duì)角線上，得折痕，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2023上·江蘇南京·八年級(jí)南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校?？茧A段練習(xí)）如圖，將邊長(zhǎng)為2的正方形折疊，使得點(diǎn)A落在的中點(diǎn)E處，折痕為，點(diǎn)F在邊上，則．3．（2023上·江西吉安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，正方形紙片的邊長(zhǎng)為12，E是邊上一點(diǎn)，連接，折疊該紙片，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)G，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕，點(diǎn)F在上．若，則的長(zhǎng)為．4．（2023上·四川成都·九年級(jí)?？计谥校┚C合與實(shí)踐（1）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，諸葛小組將正方形紙片沿過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在正方形內(nèi)部的點(diǎn)處，折痕為，再將紙片沿過點(diǎn)的直線折疊，使與重合，折痕為，求的正切值；（2）【拓展探究】如圖2，孔明小組繼續(xù)將正方形紙片沿繼續(xù)折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在折痕上的點(diǎn)處，連接交于點(diǎn)，若，求線段的長(zhǎng)；（3）【遷移應(yīng)用】如圖3，在矩形中，點(diǎn)分別在邊上，將矩形沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)恰好在同一直線上，若點(diǎn)為的三等分點(diǎn)，，請(qǐng)求出線段的長(zhǎng)．【考點(diǎn)四矩形、菱形、正方形折疊后求周長(zhǎng)、面積問題】例題：（2023上·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，知形紙片，，，沿對(duì)角線折疊，點(diǎn)落到處，交于點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是．【變式訓(xùn)練】1．（2022上·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)期末）如圖①，小剛沿菱形紙片ABCD各邊中點(diǎn)的連線裁剪得到四邊形紙片EFGH，再將紙片EFGH按圖②所示的方式分別沿MN、PQ折疊，當(dāng)PNEF時(shí)，若陰影部分的周長(zhǎng)之和為16，△AEH，△CFG的面積之和為12，則菱形紙片ABCD的一條對(duì)角線BD的長(zhǎng)為．2．（2023下·浙江金華·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，菱形紙片的邊長(zhǎng)為，，將菱形沿，GH折疊，使得點(diǎn)B，D兩點(diǎn)重合于對(duì)角線上的點(diǎn)P（如圖2）．若，則六邊形的面積為．

3．（2023上·河南周口·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片折疊起來，使其對(duì)角頂點(diǎn)與重合，與重合，若長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為8，寬為4，(1)求的長(zhǎng)；(2)求陰影部分的面積．4．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，矩形，將矩形折疊使重合，折痕交于E，交于F，

(1)求證：四邊形為菱形；(2)若，，求菱形的周長(zhǎng)．5．（2023上·陜西咸陽·九年級(jí)校考階段練習(xí)）在中，，．

(1)如圖1，將沿直線折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在邊上，求證：四邊形是菱形；(2)如圖2，若是矩形：①按（1）中操作進(jìn)行，求證：四邊形是正方形；②在矩形中折疊出一個(gè)菱形，并使菱形以為對(duì)角線且各個(gè)頂點(diǎn)都在矩形的邊上，如圖3，求菱形的面積．【考點(diǎn)五矩形、菱形、正方形中旋轉(zhuǎn)問題】例題：（2023上·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到矩形，點(diǎn)在上，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．連接、．

(1)四邊形是怎樣的特殊四邊形？證明你的結(jié)論；(2)若長(zhǎng)為2，則的長(zhǎng)為時(shí)，四邊形為菱形．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·廣東珠?！ぞ拍昙?jí)珠海市九洲中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，，將矩形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于90度）得到矩形．

(1)如圖①，若在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)E落在對(duì)角線上，分別交于點(diǎn)M，N，①求證：；②求的長(zhǎng)；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的情況，若直線經(jīng)過線段的中點(diǎn)，連接，求的面積．2．（2021下·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖①，菱形和菱形有公共頂點(diǎn)A，點(diǎn)，分別落在邊，上，連接，．(1)求證：；(2)將菱形繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．設(shè)旋轉(zhuǎn)角，且，，．①如圖②，當(dāng)時(shí)，則線段的長(zhǎng)度是多少？②連接，當(dāng)為直角三角形時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為多少度？3．（2024上·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【問題情境】已知四邊形和四