專題07 銳角三角比的概念及其幾何應(yīng)用4種壓軸題型全攻略（解析版）

專題07銳角三角比的概念及其幾何應(yīng)用4種壓軸題型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一銳角三角比的概念的辨析】 1【考點二銳角三角比的互相轉(zhuǎn)換】 2【考點三銳角三角比在網(wǎng)格圖形中的有關(guān)計算】 2【考點四銳角三角比在幾何計算中的應(yīng)用】 3【過關(guān)檢測】 4【典型例題】【考點一銳角三角比的概念的辨析】【例題1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，下列等式中成立的是（）A．sinA＝ B．cosB＝ C．tanB＝ D．tanA＝【答案】B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義逐項進行判斷即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，由銳角三角函數(shù)的定義可得，A.sinA＝，故選項錯誤，不符合題意；B.cosB＝，故選項正確，符合題意；C.tanB＝，故選項錯誤，不符合題意；D.tanA＝，故選項錯誤，不符合題意．故選：B．【點睛】此題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義．【變式1】在中，，設(shè)，，所對的邊分別是a，b，c，則下列各等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進行判斷即可．【詳解】解：由題意可得：，，，∴，，，，故A選項成立，B，C，D不成立，故選A．【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)，理解銳角三角函數(shù)的定義是正確解答的關(guān)鍵．【變式2】如果的各邊長都縮小為原來的倍，那么銳角A的正弦、余弦值是（）A．都擴大為原來的2倍 B．都縮小為原來的C．沒有變化 D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理、正弦、余弦的概念解答．【詳解】三角形各邊長度都縮小為原來的倍，∴得到的三角形與原三角形相似，∴銳角A的大小不變，∴銳角A的正弦、余弦值不變，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，正弦與余弦的定義，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】在中，，，垂足為D，則下列式子中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義直接逐個判斷即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，∵在中，，，∴，故A正確，符合題意，，故B錯誤，不符合題意，，故C錯誤，不符合題意，，故D錯誤，不符合題意，故選A．【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是判斷不同直角三角形中的直角邊與斜邊．【考點二銳角三角比的互相轉(zhuǎn)換】【例題2】已知在中，，，則的值等于（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】由三角函數(shù)的定義可知，可設(shè)，由勾股定理求出，然后根據(jù)正切的定義代入求值即可．【詳解】解：∵，∴可設(shè)，則，∴，故選：D．【點睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，熟練掌握正弦定義：對邊與斜邊的比值；正切的定義：對邊與鄰邊的比值；是解本題的關(guān)鍵．【變式1】在中，、、對邊分別為、、，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得出，，即可得出答案.【詳解】解：由題知，，∴，∴，故選C.【點睛】本題是對三角函數(shù)知識的考查，熟練掌握銳角三家函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵.【變式2】如圖，在中，，CD、CE分別是斜邊AB上的高和中線，下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，，的余角相等即可判斷A，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即，可得，則，即可判斷B選項，根據(jù)A選項可得，即，即可判斷C，根據(jù)，可得,，即可判斷D選項．【詳解】解：，，故A選項正確，不符合題意；CD、CE分別是斜邊AB上的高和中線，，故B選項不正確，符合題意；，即，故C選項正確，不符合題意；，即,又故D選項正確，不符合題意．故選B．【點睛】本題考查了三角形中線，高線，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，銳角三角函數(shù)，找出圖中相等的角是解題的關(guān)鍵．【變式3】在中，a，b，c分別是的對邊，，下列各式不一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答即可．【詳解】解：在中，，a，b，c分別是的對邊，由得，，故A成立，D不成立，由得，，故B成立，由得，，故C成立，故選：D．【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊，余切為鄰邊比對邊．【考點三銳角三角比在網(wǎng)格圖形中的有關(guān)計算】【例題3】由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖形中，的頂點A、B、C都在格點上，則．【答案】【分析】先根據(jù)勾股定理求出，，，可知，再過點B作，然后根據(jù)勾股定理求出，即可得出答案．【詳解】根據(jù)勾股定理，得，，，∴．過點B作，交于點D，∴．在中，，∴．故答案為：．

【點睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式1】如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B、C三點都在格點上，則．

【答案】【分析】取的中點，連接，先根據(jù)勾股定理可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，然后根據(jù)正弦的定義即可得．【詳解】解：如圖，取的中點，連接，

，，又點是的中點，，，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題、等腰三角形的三線合一、正弦，熟練掌握正弦的求解方法是解題關(guān)鍵．【變式2】如圖，在的正方形網(wǎng)格中，的頂點A，B，C都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點，則．

【答案】/0.6【分析】如圖所示，過點A作于D，根據(jù)題意和網(wǎng)格的特點得到，利用勾股定理求出的長，再根據(jù)正弦的定義進行求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點A作于D，∵頂點A，B，C都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點，∴，∴，∴，故答案為：．

【點睛】本題主要考查了求角的正弦值，勾股定理，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式3】新定義：由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點．如圖，已知在的網(wǎng)格圖形中，的頂點A、B、C都在格點上，則；．【答案】4/【分析】由正方形面積減去三個直角三角形面積可求，過作于，用面積法可求的長，在中可得；【詳解】解：過作于，如圖：

由圖可得：，，，，，，故答案為：4，；【點睛】本題考查勾股定理，三角形面積，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理，三角形面積，求銳角三角函數(shù)．【考點四銳角三角比在幾何計算中的應(yīng)用】【例題4】如圖，已知在中，，分別是邊上的高，連接，那么和的周長比為．【答案】/【分析】根據(jù)三角形的高得出，證明，繼而證明，根據(jù)周長比等比相似比，結(jié)合，即可求解．【詳解】∵分別是邊上的高，∴，∵，∴，∴∴∵，∴，∴與的周長比，∵，∴與的周長比，故答案為：．【點睛】本題考查了余弦的定義，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式1】如圖，在菱形中，點是的中點，連接，交于點．，，則的長是．【答案】【分析】連接AC交BD于點O，根據(jù)菱形的性質(zhì)和已知條件，得出△BCE為直角三角形，求出，得出為等邊三角形，求出AC的長，再根據(jù)勾股定理求出BO的長，即可求出BD．【詳解】解：連接AC交BD于點O，如圖所示：四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，，∵點E為AB的中點，∴，∵，∴，∴△BCE為直角三角形，，∴，為等邊三角形，，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理及逆定理，根據(jù)題意判斷出△BCE為直角三角形，求出，是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足為點E，則DE的長為．【答案】【分析】由已知的，根據(jù)垂直的性質(zhì)得到，即三角形ADE為直角三角形，在此直角三角形中，根據(jù)正弦函數(shù)得到，將AD的值代入，利用特殊角的三角函數(shù)值，化簡即可求出DE．【詳解】解：∵，∴，在中，，，∴，則．故答案為：．【點睛】題目主要考查利用銳角三角函數(shù)解三角形及特殊角的三角函數(shù)值，菱形的性質(zhì)等，深刻理解銳角三角函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式3】如圖，在平面直角坐標系中，已知點，點，點在軸上，且點在點右方，連接，，若，則點的坐標為．

【答案】【分析】根據(jù)已知條件得出，根據(jù)等面積法得出，設(shè)，則，進而即可求解．【詳解】解：∵點，點，∴，，∵，∴，過點作于點，

∵，是的角平分線，∴∵∴設(shè)，則，∴解得：或（舍去）∴故答案為：．【點睛】本題考查了正切的定義，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一．選擇題1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，則cos∠ABC值是（

）．A．2 B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理求得AB的長度，然后利用銳角三角函數(shù)的定義解答．【詳解】解：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，∴AB＝，∴cos∠ABC＝，故選：B．【點睛】考查了勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義，注意：勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．2．如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場的一臺起重機的示意圖，該起重機的變幅索頂端記為點A，變幅索的底端記為點B，垂直地面，垂足為點D，，垂足為點C．設(shè)，下列關(guān)系式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】∵BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∵∠ABC=α，∴，故選：D．【點睛】本題考查了正弦三角函數(shù)的定義．在直角三角形中任意銳角∠A的對邊與斜邊之比叫做∠A的正弦，記作sin∠A．掌握正弦三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．3．如果等腰三角形的底角為30°，腰長為6cm，那么這個三角形的面積為（）A．4.5cm2 B．9cm2 C．18cm2 D．36cm2【答案】B【分析】作底邊上的高運用等腰三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)定義分別求三角形的高和底邊長，代入公式計算求解．【詳解】解：如圖，作底邊上的高AD，∵∠B＝30°，AB＝6cm，AD為高，∴AD＝ABsinB＝ABsin30°＝3，BD＝ABcosB＝6×＝3，∴BC＝2BD＝6，∴S△ABC＝，故選：B．【點睛】此題考查了等腰三角形的面積的求法和三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用等腰三角形中底邊上的高也是底邊上的中線求解．二.填空題4.已知：α是銳角，tanα＝，則sinα＝，cosα＝．【答案】；【分析】作出直角三角形,根據(jù)tanα＝設(shè)出邊長,再根據(jù)正弦值和余弦值的定義即可解題.【詳解】解：如下圖,設(shè)∠A=α∵tanα＝，∴BC=7k,AC=24k,∴直角三角形的斜邊AB=25k,（勾股定理）∴sinα＝，cosα＝．【點睛】本題考查了三角函數(shù)的定義,屬于簡單題,熟悉三角函數(shù)值的定義是解題關(guān)鍵.5．當時，．在中，是斜邊上的高，那么與的值相等的銳角三角函數(shù)是．【答案】，，，【分析】根據(jù)題意作出相應(yīng)圖形，然后利用正弦和余弦函數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：如圖所示，

∵是斜邊上的高，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：，，，．【點睛】題目主要考查正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義，理解三角函數(shù)的基本定義是解題關(guān)鍵．6.如圖，中，的平分線與的延長線交于點，與交于點，的平分線交于點，若，則的面積為．【答案】【分析】過點C作CM⊥EF，過點A作AN⊥DC，可得，可得，解得：BE=9，BH=，由sin∠AFN=sin∠CFM，得AN=，進而即可求解．【詳解】解：∵在中，AD∥BC，的平分線與的延長線交于點，∴∠DAE=∠BAE=∠AEB，∴BA=BE，∵的平分線交于點，∴BH⊥AE，過點C作CM⊥EF，過點A作AN⊥DC，∴CM∥BH，AH=EH=2+1=3，∴，∴，∵AB∥CD，∴∠CFE=∠BAE，∴∠CFE=∠AEB，∴CE=CF=3，∴ME=EF=×2=1，∴，∴，解得：BE=9，BH=，∴CD=AB=BE=9，∵∠AFN=∠CFM，∴sin∠AFN=sin∠CFM，即：,∴，解得：AN=，∴的面積=CD×AN=9×=．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，添加輔助線構(gòu)造相似三角形和直角三角形，是解題的關(guān)鍵．7．如圖，網(wǎng)格中的每一個正方形的邊長都是1，△ABC的每一個頂點都在網(wǎng)格的交點處，則sinC=．【答案】【分析】過A作AD垂直于BC，利用勾股定理求出AC的長，在直角三角形ACD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出sinC的值即可.【詳解】解：過A作AD垂直于BC于D，則AD=2，AC=，∴sinC=.故答案為.【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)定義，牢記銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵.8.在平面直角坐標系中，點，則m的值為．【答案】，．【分析】如圖，過點B作，交于點D，則過點B作軸，過點D作，過點C作，分別交于點E，F(xiàn)；分點C在x軸上方、下方種情況：（1）當點C在x軸下方時：可求證，從而，得，，所以點D的橫坐標為，縱坐標為；待定系數(shù)確定直線的解析式為，將點D的坐標代入，求得m；（2）當點C在x軸上方時，同理求解．【詳解】如圖，過點B作，交于點D，則過點B作軸，過點D作，過點C作，分別交于點E，F(xiàn)；當點C在x軸下方時，

∵∴而∴又∴∴而，∴，∴點D的橫坐標為，縱坐標為設(shè)直線的解析式為，將點代入得，，解得∴直線解析式為將點D的坐標代入，得解得，，或（舍去）所以當點C在x軸上方時，

同理可得∴而，∴，∴點D的橫坐標為，縱坐標為代入直線的解析式，得解得，或，（舍去）所以綜上，，或故答案為：，．【點睛】本題考查相似三角形判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；結(jié)合已知，添設(shè)輔助線構(gòu)造相似三角形，從而求出相關(guān)線段是解題的關(guān)鍵．9．如圖，菱形的邊，，E是的中點，F(xiàn)是邊上一點，將四邊形沿直線折疊，A的對應(yīng)點為，當?shù)拈L度最小時，的長是．【答案】【分析】由E是的中點可得，再根據(jù)題意可得點在以以E圓心、以半徑的弧上，則當C，E，在一條直線上時，有最小值；過過點，設(shè)，由勾股定理列方程可得先求得，進而求得；再運用勾股定理可得，然后利用折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)可得即可解答．【詳解】解：∵E是的中點，∴，∵將四邊形沿直線折疊，A的對應(yīng)點為，∴點在以以E圓心、以半徑的弧上，∴當C，E，在一條直線上時，有最小值，此時如圖：過點，設(shè)，∴，即，解得：，∴，∴∴∵菱形∴∴∵∴∴．故答案為．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、翻折的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、正切的定義等知識點，確定出取得最小值的條件是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在中，，作交邊于點D．若，則的值為．【答案】【分析】先求出，設(shè)，求出，在根據(jù)余弦的概念求出即可．【詳解】解：，，，設(shè)，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是求出的長度．11．如圖，把一個矩形紙片放入平面直角坐標系中，使分別落在x軸，y軸上，連接，將紙片沿翻折，點A落在點位置，若，，直線與y軸交于點F，則點F的坐標為．【答案】【分析】根據(jù)題意首先求出的長度，再證，由勾股定理可求出答案．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，，∵由翻折得到，，，又，，

，，，解得：，點F的坐標為，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、勾股定理，三角形全等，解題的關(guān)鍵是求出．12．（原創(chuàng)）如圖，在四邊形中，，連接，，，，則的面積為．【答案】【分析】過作交延長線于點，過作，由AAS可證，由此，在中，，由及勾股定理可求得，即，繼而根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】過作交延長線于點，過作，則，，，∴，在和中，，∴，∴，在中，，設(shè)AE=x，則CE=2x，，由勾股定理，得，即，解得，∴，∴的面積故答案為：．【點睛】此題考查了三角形的面積計算，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及正切的定義．作輔助線構(gòu)造全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．13．如圖，在邊長1為的正方形網(wǎng)格中，都在網(wǎng)格線上，其中在格點上，與相交于點，則．

【答案】/【分析】延長至點，連接，證明為直角三角形，求出的值，再結(jié)合即可獲得答案．【詳解】解：延長至點，連接，如下圖，

由題意可知，，，，∴，∴為直角三角形，∴，∵，∴故答案為：．【點睛】本題主要考查了解直角三角形、勾股定理以及勾股定理逆定理的應(yīng)用，結(jié)合題意正確添加輔助線是解題關(guān)鍵．14．如圖，在中，，、分別是邊、上的中線，且，垂足為點，那么．

【答案】【分析】連接，作于，與，設(shè)，由三角形中位線定理可得，，由矩形的判定與性質(zhì)可得，，通過證明可得，通過證明可得，從而得到，，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可求得，由勾股定理可得，最后根據(jù)正弦的定義進行計算即可．【詳解】解：如圖，連接，作于，與，設(shè)，，、分別是邊、的中點，為的中位線，，，于，與，，，四邊形是矩形，，，，、分別是邊、的中點，，，，在和中，，，，，，在和中，，，，，即，，，為等腰直角三角形，，，為等腰直角三角形，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理、正弦的定義、矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點，添加適當?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵．15．如圖，將三角板的直角頂點放置在直線上的點處，使斜邊，則的正弦值為．

【答案】【分析】根據(jù)題意，由三角板及平行線的性質(zhì)得到，從而根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，∵，∴，，故答案為：．【點睛】本題考查與三角板有關(guān)的角的三角函數(shù)值，涉及平行線的性質(zhì)，熟記三角板內(nèi)角度數(shù)及特殊角的三角函數(shù)值是解決問題的關(guān)鍵．16．如圖，在網(wǎng)格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若的項點均是格點，則的值是．

【答案】/【分析】延長到D，連接，由網(wǎng)格可得，即得，可求出答案．【詳解】解：延長到，連接，如圖：

∵，，，∴，∴，∴．故答案為：【點睛】本題考查網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形．17．如圖，在網(wǎng)格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若的頂點均是格點，則的值為