福建省三明市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

三明市2023-2024學(xué)年第一學(xué)期普通高中期末質(zhì)量檢測(cè)高二數(shù)學(xué)試題本試卷共6頁(yè)．滿分150分．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫(xiě)自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名．考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，得，從而可得答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，即，解?故選：A.2.雙曲線的焦距為（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得出，計(jì)算出，即可求出焦距.【詳解】因?yàn)殡p曲線方程為，所以，因?yàn)?，所以，所以雙曲線的焦距為4.故選：D3.等比數(shù)列中，若，，則（）A.10 B.16 C.24 D.32【答案】B【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，建立方程組，求出，借助通項(xiàng)公式求出即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比是，因，所以，解得,所以.故選：B.4.兩條平行線，間的距離等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩平行線間的距離公式求解即可.【詳解】由題意知：，：，即，因?yàn)閮芍本€平行，所以距離為，故A正確.故選：A.5.如圖，在四面體中，，，且（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合空間向量基本定理及線性運(yùn)算求解即可.【詳解】，即故選：D.6.已知，，若直線上存在點(diǎn)P使得，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意分析可得直線與圓有公共點(diǎn)（公共點(diǎn)不能是、），結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系分析運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)橹本€上存在點(diǎn)使得，所以點(diǎn)在以，為直徑圓上，但點(diǎn)不能是、，由，為直徑的圓，可得圓心為,半徑為，即圓,要使得，只需直線與圓有公共點(diǎn)，但公共點(diǎn)不能是,，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以，解得，當(dāng)直線與圓有公共點(diǎn)為,時(shí)，則直線為軸，即.綜上所述：實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選:B.7.已知數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，若，，，則（）A.150 B.100 C.200 D.5050【答案】C【解析】【分析】利用之間得關(guān)系，結(jié)合累乘法求出，再表示出，利用，再求和即可.【詳解】結(jié)合題意可得：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有，由可得，即，易知，所以，又滿足，故.所以，易知，所以.故選：C.8.拋物線具有以下光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對(duì)稱軸．從拋物線的焦點(diǎn)F發(fā)出的兩條光線分別經(jīng)拋物線反射，若這兩條光線均在拋物線對(duì)稱軸同側(cè)且與x軸的夾角均為60°，兩條反射光線之間的距離為，則p＝（）A1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意作出圖形，設(shè)：，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元，即可求出，同理求出，從而可求解.【詳解】根據(jù)題意作出下圖，兩條光線分別為，可設(shè)：，與聯(lián)立消元得，解得、，∴，同理設(shè)：，與聯(lián)立消元得，解得、，∴，∴，∴，故B正確.故選：B.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則下列各項(xiàng)的值一定為m的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)求出可判斷AB；結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)公式可判斷CD正確.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，若，則，故A錯(cuò)誤B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：BD.10.下列說(shuō)法中正確的是（）A.B.C.設(shè)函數(shù)，若，則D.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則【答案】BCD【解析】【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則求解即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:結(jié)合題意可得：,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B:結(jié)合題意可得：,故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C:,由，，解得，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D:結(jié)合題意可得：,，解得，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.11.以下四個(gè)命題表述正確的是（）A.直線恒過(guò)定點(diǎn)B.圓上有且僅有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于C.曲線與恰有四條公切線D.已知圓，P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向圓C引切線，其中A為切點(diǎn)，則的最小值為2【答案】ACD【解析】【分析】利用直線系方程求解直線所過(guò)定點(diǎn)可判斷A；求出圓心到直線的距離，結(jié)合圓的半徑可判斷B；由圓心距等于半徑之間的關(guān)系可判斷C；根據(jù)切線長(zhǎng)性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可判斷D．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:由，可得，聯(lián)立解得即該直線恒過(guò)定點(diǎn).故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B:由圓，可得圓心為，半徑為，所以到直線的距離為，故直線與圓相交,故到直線距離為的有兩條直線，一條與圓相切，一條與圓相交，因此圓上有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于.故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C:曲線可化為，故曲線是圓心為，半徑為的圓；曲線可化為，故曲線是圓心為，半徑為的圓；所以，故曲線與曲線外離，此時(shí)公切線的條數(shù)有且只有4條.故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D:由圓，可得圓心為，半徑為，所以,要使最小，只需最小，即只需到直線的距離，所以.故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.12.如圖，在底面是直角三角形的直三棱柱中，P是的中點(diǎn)，，，若平面過(guò)點(diǎn)P，且與平行，則（）A.異面直線與CP所成角的余弦值為B.三棱錐的體積是三棱柱體積的C.當(dāng)平面截棱柱的截面圖形為等腰梯形時(shí)該圖形的面積等于D.當(dāng)平面截棱柱的截面圖形為直角梯形時(shí)，該圖形的面積等于【答案】AC【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求解異面直線與的余弦值即可對(duì)A判斷；利用棱錐棱柱體積公式，即可對(duì)B判斷；作出平面α截棱柱的截面圖形結(jié)合條件可得截面的面積判斷CD.【詳解】對(duì)于A，由題可知兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，所以所以異面直線與所成角的余弦值為，故A正確；對(duì)于B，，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，分別為的中點(diǎn)，則，，，，，所以，，，所以，，則共面，又，平面，平面，所以平面，則四邊形為平面α截棱柱的截面圖形，所以四邊形是等腰梯形，且高為，當(dāng)不是中點(diǎn)時(shí)，不平行平面，則四邊形不是梯形，等腰梯形有且僅有一個(gè)，，故C正確；對(duì)于D，如圖，分別為的中點(diǎn)，則，，，，，所以，，則共面，又，平面，平面，所以平面，所以可得四邊形為平面α截棱柱的截面圖形，由題可知，，，平面，平面，所以平面，所以平面，又平面，所以，故四邊形是直角梯形，當(dāng)不是中點(diǎn)時(shí)，不平行平面，則四邊形不是梯形，直角梯形有且僅有一個(gè)，其面積為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:通過(guò)作過(guò)點(diǎn)的平面，利用線面平行判定證明平面，且利用幾何知識(shí)證明了當(dāng)截面圖形為等腰梯形，直角梯形的唯一性，再利用面積公式從而可求解截面面積.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知點(diǎn)，，以線段AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】求出圓心坐標(biāo)和半徑可得.【詳解】因?yàn)閳A心的坐標(biāo)為，，所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.14.曲線處的切線方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】欲求出在處的切線的方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，從而解決問(wèn)題．【詳解】因?yàn)?，所以，時(shí)，，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以曲線在點(diǎn)處的切線的方程為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、直線方程的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．15.已知雙曲線的離心率為e，直線與雙曲線交于M，N兩點(diǎn)，若，則e的值是______．【答案】【解析】【分析】聯(lián)立與，求出，從而得到，列出方程，求出，得到離心率.【詳解】聯(lián)立與得，解得，當(dāng)時(shí)，，由勾股定理得，所以，解得，所以離心率.故答案為：16.任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1：若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需經(jīng)過(guò)8個(gè)步驟變成1（簡(jiǎn)稱為8步“雹程”）．現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），，若“冰雹猜想”中，則m所有可能的取值集合為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)運(yùn)算規(guī)則逆向?qū)ふ医Y(jié)果即可.【詳解】若，則，則，若，則或，當(dāng)時(shí)，則，則或；當(dāng)時(shí)，則，則；綜上所述：m所有可能取值集合為.故答案為：.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，解方程組即可求得結(jié)果;（2）由（1）可知，從而利用分組求和即可求出.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，解得，所以．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，所以．18.在四棱錐中，底面是矩形，，分別是棱，的中點(diǎn)．（1）證明：平面PAE：（2）若平面，且，，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，即可證明，從而得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算即可s【小問(wèn)1詳解】證明：如圖，取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，所以且，又因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，為的中點(diǎn)，所以且，所以且，故四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．【小?wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，由于軸平面，則平面的一個(gè)法向量為，顯然二面角為銳二面角，設(shè)其二面角的平面角為，則，所以二面角的余弦值為．19.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線l，直線l與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓右焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)，從而可求解.（2）根據(jù)題意求出直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立后，利用根與系數(shù)關(guān)系從而可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意得，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問(wèn)2詳解】由題意可得直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得，設(shè)，，則，故．20.在如圖所示的多面體中，四邊形為菱形，且為銳角．在梯形中，，，，平面平面．（1）證明：平面;（2）若，，是否存在實(shí)數(shù)，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，則求出，若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在；【解析】【分析】（1）利用面面垂直得到平面，進(jìn)而得到，再結(jié)合線面垂直的判定定理證明即可;（2）由可得，并建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法表示出線面角，從而求得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面，平面平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?所以，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，又，平面，所以平面，【小?wèn)2詳解】設(shè)，取中點(diǎn),連接,易得,因?yàn)槠矫?，所以平?因?yàn)?，所以．因?yàn)闉殇J角，所以，所以為等邊三角形，所以，．以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，設(shè)平面CEF的一個(gè)法向量，則，即，取，可得，，故，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得直線與平面所成角的正弦值為，，設(shè)，由,得，即，則．設(shè)直線與平面所成的角為，則，解得，即或，又因?yàn)?，所以，故存在?shí)數(shù)，使得直線與平面所成角的正弦值為.21.已知數(shù)列滿足：．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】21.證明見(jiàn)解析，22.【解析】【分析】（1）由可得，進(jìn)而可證明數(shù)列是等比數(shù)列，求得，利用累加法計(jì)算可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先求出通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法求和即可.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是以首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，【小問(wèn)2詳解】解：由題意可知，所以，所以，所以①將①式兩邊同時(shí)乘以，得，②①②得：所以故數(shù)列的前項(xiàng)和，22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，、為拋物線上不同的兩點(diǎn)，，且于點(diǎn)．（1）求的值；（2）過(guò)軸上一點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，、在的準(zhǔn)線上的射影分別為、，為的焦點(diǎn)，若，求中點(diǎn)的軌跡方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，根據(jù)題意可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求出的值；（2）設(shè)的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，根據(jù)可求出的值，設(shè)的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，結(jié)合斜率公式可求得點(diǎn)的軌跡方程.【小問(wèn)1詳解】解：由及，得直線的斜率，則直線的方程為，即，設(shè)、，聯(lián)立可得，則，由韋達(dá)定理得，于是，由，得，即，即，解得．【小問(wèn)2詳解】解：由（1）得拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)、，則，，由，得，所以或，又因?yàn)椋裕O(shè)的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)與軸不垂直，即時(shí)，由，