全國(guó)統(tǒng)考2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)2.7函數(shù)的圖像學(xué)案理含解析北師大版

2.7函數(shù)的圖像必備學(xué)問(wèn)預(yù)案自診學(xué)問(wèn)梳理1.利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖像的流程2.函數(shù)圖像間的變換(1)平移變換對(duì)于平移,往往簡(jiǎn)單出錯(cuò),在實(shí)際推斷中可熟記口訣:左加右減,上加下減.(2)對(duì)稱(chēng)變換(3)伸縮變換y=f(x)y=f(ax),y=f(x)y=Af(x).1.函數(shù)圖像自身的軸對(duì)稱(chēng)(1)f(-x)=f(x)?函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);(2)函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于x=a對(duì)稱(chēng)?f(a+x)=f(a-x)?f(x)=f(2a-x)?f(-x)=f(2a+x);(3)若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,且有f(a+x)=f(b-x),則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=a+b2.函數(shù)圖像自身的中心對(duì)稱(chēng)(1)f(-x)=-f(x)?函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);(2)函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于(a,0)對(duì)稱(chēng)?f(a+x)=-f(a-x)?f(x)=-f(2a-x)?f(-x)=-f(2a+x);(3)函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,b)成中心對(duì)稱(chēng)?f(a+x)=2b-f(a-x)?f(x)=2b-f(2a-x);(4)若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,且滿(mǎn)意條件f(a+x)+f(b-x)=c(a,b,c為常數(shù)),則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)a+b3.兩個(gè)函數(shù)圖像之間的對(duì)稱(chēng)關(guān)系(1)函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=b-a2對(duì)稱(chēng)((2)函數(shù)y=f(x)與y=f(2a-x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng);(3)函數(shù)y=f(x)與y=2b-f(-x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0,b)對(duì)稱(chēng);(4)函數(shù)y=f(x)與y=2b-f(2a-x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱(chēng).考點(diǎn)自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)將函數(shù)y=f(x)的圖像先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=f(x+1)+1的圖像.()(2)當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),函數(shù)y=|f(x)|與y=f(|x|)的圖像相同.()(3)函數(shù)y=f(x)與y=-f(-x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).()(4)若函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)意f(1+x)=f(1-x),則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng).()(5)若函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)意f(x-1)=f(x+1),則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng).()2.(2024山東師大附中月考)函數(shù)y=log2|x|的圖像大致是()3.(2024天津,3)函數(shù)y=4xx24.(2024浙江,4)函數(shù)y=xcosx+sinx在區(qū)間[-π,π]上的圖像可能是()5.已知函數(shù)f(x)=2x-x-1,則不等式f(x)>0的解集是()A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)關(guān)鍵實(shí)力學(xué)案突破考點(diǎn)作函數(shù)的圖像【例1】作出下列函數(shù)的圖像:(1)y=|lgx|;(2)y=2x+2;(3)y=x2-2|x|-1;(4)y=x+2解題心得作函數(shù)圖像的一般方法(1)干脆法.當(dāng)函數(shù)表達(dá)式(或變形后的表達(dá)式)是熟識(shí)的基本初等函數(shù)時(shí),就可依據(jù)這些函數(shù)的特征干脆作出.(2)圖像變換法.變換包括平移變換、伸縮變換、對(duì)稱(chēng)變換、翻折變換.(3)描點(diǎn)法.當(dāng)上面兩種方法都失效時(shí),則可采納描點(diǎn)法.為了通過(guò)描少量點(diǎn),就能得到比較精確的圖像,經(jīng)常須要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)作出.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1作出下列函數(shù)的圖像:(1)y=10|lgx|;(2)y=|x-2|·(x+1);(3)y=x+2考點(diǎn)函數(shù)圖像的識(shí)辨(多考向探究)考向1知式判圖【例2】(2024山東濰坊一模,5)函數(shù)f(x)=x-sinxex+e-考向2知圖判式【例3】(2024河北滄州一模,理5)已知函數(shù)f(x)的圖像如圖所示,則f(x)可以為()A.f(x)=x3B.f(x)=eC.f(x)=2x-xD.f(x)=e考向3知圖判圖【例4】已知定義在區(qū)間[0,2]上的函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示,則y=-f(2-x)的圖像為()解題心得函數(shù)圖像辨識(shí)的入手方面(1)從函數(shù)的定義域推斷圖像“左右”的位置;從函數(shù)的值域推斷圖像的“上下”位置.(2)從函數(shù)的單調(diào)性推斷圖像的改變趨勢(shì).(3)從函數(shù)的奇偶性推斷圖像的對(duì)稱(chēng)性.(4)從函數(shù)的周期性推斷圖像的循環(huán)往復(fù).(5)必要時(shí)可求導(dǎo)探討函數(shù)性質(zhì),從函數(shù)的特征點(diǎn),解除不合要求的圖像.利用上述方法,可解除、篩選錯(cuò)誤與正確的選項(xiàng).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)(2024全國(guó)1,理5)函數(shù)f(x)=sinx+xcosx+x2(2)(2024山東青島5月模擬,4)下列函數(shù)的解析式(其中e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))與所給圖像最符合的是()A.y=sin(ex+e-x) B.y=sin(ex-e-x)C.y=tan(ex-e-x) D.y=cos(ex+e-x)(3)已知函數(shù)y=f(x)和函數(shù)y=g(x)的圖像,則函數(shù)y=f(x)·g(x)的部分圖像可能是()考點(diǎn)函數(shù)圖像的應(yīng)用(多考向探究)考向1與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍【例5】(2024全國(guó)1,理9)已知函數(shù)f(x)=eg(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是()A.[-1,0) B.[0,+∞)C.[-1,+∞) D.[1,+∞)解題心得將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根,構(gòu)造方程兩邊的函數(shù),通過(guò)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)滿(mǎn)意已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù),求出參數(shù)的取值范圍.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3已知f(x)=12|x|,x≤1,-x2A.-∞,12∪[1,2) B.C.(1,2) D.[1,2)考向2已知函數(shù)不等式求參數(shù)的范圍【例6】(2024湖南永州二模,理9)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=2-|x+2|.若對(duì)隨意的x∈[-1,2],f(x+a)>f(x)成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(0,2) B.(0,2)∪(-∞,-6)C.(-2,0) D.(-2,0)∪(6,+∞)解題心得有關(guān)函數(shù)不等式的問(wèn)題,經(jīng)常轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的上、下關(guān)系來(lái)解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2024全國(guó)2,理12)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,滿(mǎn)意f(x+1)=2f(x),且當(dāng)x∈(0,1]時(shí),f(x)=x(x-1).若對(duì)隨意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-89,則m的取值范圍是(A.-∞,94 B.-∞,73C.-∞,52 D.-∞,83考點(diǎn)函數(shù)圖像對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用【例7】已知定義域在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)意f(x+1)+f(1-x)=2.當(dāng)x>1時(shí),f(x)=1x-1.則關(guān)于x的方程f(x)+2a=0沒(méi)有負(fù)實(shí)數(shù)根時(shí),實(shí)數(shù)aA.(-∞,-1]∪-12,+∞B.(0,1)C.-1,-12∪-12,+∞D(zhuǎn).-2,-12∪-12,0解題心得由f(-x)=-f(x)?y=f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),f(-x)=-f(x)?f(0-x)=-f(0+x),當(dāng)把0換成a時(shí),則有f(a-x)=-f(a+x)?函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱(chēng),推廣可得f(a+x)=2b-f(a-x)?函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱(chēng).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(2024北京海淀一模,7)已知函數(shù)f(x)=|x-m|與函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).若g(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)遞減,則m的取值范圍為()A.[-1,+∞) B.(-∞,-1]C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]1.作圖的方法有:(1)干脆法,利用基本初等函數(shù)作圖;(2)圖像變換法,如平移變換、對(duì)稱(chēng)變換、伸縮變換等;(3)描點(diǎn)法,為使圖像精確,可通過(guò)探討函數(shù)的性質(zhì)如定義域、值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性等了解圖像的大體形態(tài).2.識(shí)圖題與用圖題的解決方法:(1)識(shí)圖:對(duì)于給定函數(shù)的圖像,要從圖像的左右、上下分布范圍、改變趨勢(shì)、對(duì)稱(chēng)性等方面探討函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性,留意圖像與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系.(2)用圖:要用函數(shù)的思想指導(dǎo)解題,即方程、不等式的問(wèn)題用函數(shù)圖像來(lái)解.1.確定函數(shù)的圖像,肯定要從函數(shù)的定義域及性質(zhì)動(dòng)身.2.識(shí)圖問(wèn)題經(jīng)常結(jié)合函數(shù)的某一性質(zhì)或特別點(diǎn)進(jìn)行解除.3.要留意一個(gè)函數(shù)的圖像自身對(duì)稱(chēng)和兩個(gè)不同的函數(shù)圖像對(duì)稱(chēng)的區(qū)分.2.7函數(shù)的圖像必備學(xué)問(wèn)·預(yù)案自診學(xué)問(wèn)梳理2.(1)y=f(x)-k(2)函數(shù)y=-f(-x)的圖像考點(diǎn)自診1.(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×2.C函數(shù)y=log2|x|為偶函數(shù),作出x>0時(shí)y=log2x的圖像,圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),故選C.3.A∵函數(shù)y=4xx2+1為奇函數(shù),∴解除選項(xiàng)C,D.再把x=1代入得y=42=2>0,4.A因?yàn)閒(-x)=(-x)cos(-x)+sin(-x)=-(xcosx+sinx)=-f(x),x∈[-π,π],所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù),故解除C,D,當(dāng)x∈0,π2時(shí),xcosx+sinx>0,所以解除B5.D因?yàn)閒(x)=2x-x-1,所以f(x)>0等價(jià)于2x>x+1,在同始終角坐標(biāo)系中作出y=2x和y=x+1的圖像.如圖,兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),(1,2),不等式2x>x+1的解為x<0或x>1.所以不等式f(x)>0的解集為(-∞,0)∪(1,+∞).故選D.關(guān)鍵實(shí)力·學(xué)案突破例1解(1)y=lgx,(2)y=2x+2的圖像是將y=2x的圖像向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度.其圖像如圖2.(3)y=x2-(4)因?yàn)閥=1+3x-1,先作出即得y=x+2x對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1解(1)當(dāng)x≥1時(shí),lgx≥0,y=10|lgx|=10lgx=x;當(dāng)0<x<1時(shí),lgx<0,y=10|lgx|=10-lgx=10lg故y=x圖1這是分段函數(shù),每段函數(shù)的圖像可依據(jù)正比例函數(shù)或反比例函數(shù)圖像作出,如圖1.(2)當(dāng)x≥2,即x-2≥0時(shí),y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=x-當(dāng)x<2,即x-2<0時(shí),y=-(x-2)·(x+1)=-x2+x+2=-x-所以y=x圖2這是分段函數(shù),每段函數(shù)的圖像可依據(jù)二次函數(shù)的圖像作出,如圖2.(3)y=x+2x+3=1-1x+3圖3例2A當(dāng)x∈(0,π)時(shí),x>sinx,此時(shí)f(x)=x-sinxex例3A首先對(duì)4個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行奇偶性推斷,可知f(x)=ex-e-xx為偶函數(shù),不符合題意,解除選項(xiàng)B;其次對(duì)其在(0,+∞)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行推斷,f(x)=e|x|x在(0,+∞)上無(wú)零點(diǎn),不符合題意,解除選項(xiàng)D;然后進(jìn)行單調(diào)性推斷,f(x)=例4By=f(x)y=f(-x)y=f(2-x)y=-f(2-x).故選B.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)D(2)D(3)A(1)由f(-x)=-f(x)及區(qū)間[-π,π]關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),得f(x)是奇函數(shù),其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),解除選項(xiàng)A.又fπ2=1+π2π22=4+2ππ2>(2)當(dāng)x=0時(shí),y=sin(e0+e0)=sin2>0,故解除選項(xiàng)A;y=sin(e0-e0)=0,故解除選項(xiàng)B;y=tan(e0-e0)=0,故解除選項(xiàng)C;y=cos(e0+e0)=cos2<0,符合題意.故選D.(3)由已知圖像可知,函數(shù)f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),所以函數(shù)y=f(x)·g(x)是奇函數(shù),故解除選項(xiàng)B;當(dāng)x∈-π,-π2時(shí),f(x)·g(x)<0,當(dāng)x∈-π2,0時(shí),f(x)·g(x)>0,同時(shí)y=f(x)·g(x)在x=0處無(wú)定義,故選A.例5C要使得方程g(x)=f(x)+x+a有兩個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于方程f(x)=-x-a有兩個(gè)不同的實(shí)根,即函數(shù)y=f(x)的圖像與直線(xiàn)y=-x-a的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),從圖像可知,必需使得直線(xiàn)y=-x-a位于直線(xiàn)y=-x+1的下方,所以-a≤1,即a≥-1.故選C.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3B關(guān)于x的方程a=f(x)恰有兩個(gè)不同的實(shí)根,等價(jià)于y=a,y=f(x)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn),畫(huà)出y=a,y=f(x)的圖像,如圖,由圖可知,當(dāng)a∈0,12∪[1,2)時(shí),y=a,y=f(x)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn),此時(shí),關(guān)于x的方程a=f(x)恰有兩個(gè)不同的實(shí)根,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是0例6D因?yàn)閤<0時(shí),f(x)=2-|x+2|,又因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù),作出函數(shù)f(x)的圖像如下圖,y=f(x+a)的圖像可以看成是y=f(x)的圖像向左(a>0時(shí))或向右(a<0時(shí))平移|a|個(gè)單位長(zhǎng)度而得.當(dāng)a>0時(shí),y=f(x)的圖像至少向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度(不含6個(gè)單位長(zhǎng)度)才能滿(mǎn)意f(x+a)>f(x)成立,當(dāng)a<0時(shí),y=f(x)的圖像向右平移至多2個(gè)單位長(zhǎng)度(不含2個(gè)單位長(zhǎng)度)才能滿(mǎn)意f(x+a)>f(x)成立(對(duì)隨意的x∈[-1,2]),故a∈(-2,0)∪(6,+∞).故選D.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4B∵f(x+1)=2f(x),∴f(x)=2f(x-1).∵當(dāng)x∈(0,1]時(shí),f(x)=x(x-1),∴f(x)的圖像如圖所示.∵當(dāng)2<x≤3時(shí),f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3),∴令4(x-2)(x-3)=-89,整理得9x2-45x+56=即(3x-7)(3x-8)=0,解得x1