福建省廈門市第十一中學2024-2025學年八年級上學期期中數學試卷

2024-2025學年福建省廈門十一中八年級（上）期中數學試卷一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分.每小題都有四個選項，其中有且只有一個選項正確）1．（4分）冬季奧林匹克運動會是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運動會，2022年北京冬奧會的聲音是人類命運共同體的贊歌，是對“更快、更高、更強、更團結”的奧運精神的中國宣揚．下列四個圖分別是四屆冬奧會圖標中的一部分，其中是軸對稱圖形的為（）A． B． C． D．2．（4分）下列運算正確的是（）A．5a2﹣3a＝2a B．2a+3b＝5ab C．（ab3）2＝a2b6 D．（a+2）2＝a2+43．（4分）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，E是BC邊上一點，連接AE，OE，則下列角中是△AEO的外角的是（）A．∠AEB B．∠AOD C．∠OEC D．∠EOC4．（4分）到△ABC的三條邊距離相等的點是△ABC的（）A．三條中線交點 B．三條角平分線交點 C．三條高的交點 D．三條邊的垂直平分線交點5．（4分）如圖，工人師傅設計了一種測零件內徑AB的卡鉗，卡鉗交叉點O為AA'、BB'的中點，只要量出A'B'的長度，就可以知道該零件內徑AB的長度．依據的數學基本事實是（）A．兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等 B．兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等 C．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例 D．兩點之間線段最短6．（4分）閱讀以下作圖步驟：①在OA和OB上分別截取OC，OD，使OC＝OD；②分別以C，D為圓心，以大于CD的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內交于點M；③作射線OM，連接CM，DM，如圖所示．根據以上作圖，一定可以推得的結論是（）A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DM C．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM7．（4分）已知a＝1631，b＝841，c＝461，則a，b，c的大小關系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a8．（4分）觀察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定規(guī)律排列的一組數：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示這組數的和是（）A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a9．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC邊上任意一點，將△ABM繞點A逆時針旋轉得到△ACN，點M的對應點為點N，連接MN，則下列結論一定正確的是（）A．AB＝AN B．AB∥NC C．∠AMN＝∠ACN D．MN⊥AC10．（4分）小梧要在一塊矩形場地上晾曬傳統工藝制作的蠟染布．如圖所示，該矩形場地北側安有間隔相等的7根柵欄，其中4根柵欄處與南側的兩角分別固定了高度相同的木桿a，b，c，d，e，f．這些木桿頂部的相同位置都有鉆孔，繩子穿過木桿上的孔可以被固定．小梧想用繩子在南側的兩條木桿e，f和北側的一條木桿上連出一個三角形，以晾曬蠟染布．小梧擔心手中繩子的總長度不夠，那么他在北側木桿中應優(yōu)先選擇（）A．a B．b C．c D．d二、填空題（本大題有6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）如圖，鋼架橋的設計中采用了三角形的結構，其數學道理是．12．（4分）若y2﹣6y﹣k是完全平方式，則k的值等于．13．（4分）如圖，點F在正五邊形ABCDE的內部，△ABF為等邊三角形，則∠AFC等于．14．（4分）如圖所示的正方形網格中，網格線的交點稱為格點．已知線段AB是等腰三角形△ABC的一邊，△ABC的三個頂點都在正方形網格的格點上，則這樣的等腰三角形的個數為．15．（4分）已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．如圖，若A、B兩點的坐標分別是A（0，4）、B（﹣2，0），則C點的坐標為．16．（4分）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC于點F，交CD于點E，連接EA，EA平分∠DEF．若BF＝7，DE＝3，求CE的長＝．三、解答題（本大題有9小題，共86分）17．（8分）（1）m3?m?m6+（﹣m4）2+4（﹣m2）4；（2）用乘法公式簡便計算：96×104．18．（8分）化簡求值：（2x+3y）2﹣（2x+3y）（2x﹣y），其中，y＝﹣2．19．（8分）已知：如圖，點D，E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE．求證：BD＝CE．20．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A（0，1），B（3，2），C（2，3）均在正方形網格的格點上．畫出△ABC關于x軸對稱的圖形△A1B1C1并寫出頂點A1，B1，C1的坐標．21．（8分）4張長為a、寬為b（a＞b）的長方形紙片，按如圖的方式拼成一個邊長為（a+b）的正方形，圖中空白部分的面積為S1，陰影部分的面積為S2．（1）若a＝3，b＝1，則S1＝．（2）若S1＝2S2，求a與b滿足關系：．22．（10分）觀察以下等式：第1個等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2個等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3個等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4個等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第5個等式：；（2）寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明．23．（10分）綜合與實踐：問題探究：（1）如圖1是古希臘數學家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9“平分一個已知角，”即：作一個已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在OA和OB上分別取點C和D，使得OC＝OD，連接CD，以CD為邊作等邊三角形CDE，則OE就是∠AOB的平分線．請寫出OE平分∠AOB的依據：；類比遷移：（2）小明根據以上信息研究發(fā)現：△CDE不一定必須是等邊三角形，只需CE＝DE即可，他查閱資料；我國古代已經用角尺平分任意角，做法如下：如圖3，在∠AOB的邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點M，N重合，則過角尺頂點C的射線OC是∠AOB的平分線，請說明此做法的理由；拓展實踐：（3）小明將研究應用于實踐．如圖4，校園的兩條小路AB和AC，匯聚形成了一個岔路口A，現在學校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等，試問路燈應該安裝在哪個位置？請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對應的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）24．（12分）將一個三角形沿著其中一個頂點及其對邊上的一點所在的直線折疊，若折疊后原三角形的一邊垂直于這條對邊，則稱這條直線是該三角形的“對垂線”．（1）如圖1，AD是等邊△ABC的對垂線，把△ABC沿直線AD折疊后，點B落在點B'處，求∠BAD的度數；（2）如圖2，在△ABC中，∠BAC＝90°，點D在邊BC上，且AB＝AD，若∠B＝2∠DAC，判斷直線AD是否是△ABC的對垂線，并說明理由．25．（14分）已知線段AB和點C，CA＝CD，CB＝CE，∠DCA＝∠ECB，AE，BD相交于點P．（1）如圖1，若點C在線段AB上，①求證：∠A＝∠D；②若∠DCA＝60°，求∠DPA的度數；（2）如圖2，點C是線段AB上方的一點，且保持∠DCA＝60°，連接PC．請問PC、PA、PD之間有什么關系？請證明．

2024-2025學年福建省廈門十一中八年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分.每小題都有四個選項，其中有且只有一個選項正確）1．（4分）冬季奧林匹克運動會是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運動會，2022年北京冬奧會的聲音是人類命運共同體的贊歌，是對“更快、更高、更強、更團結”的奧運精神的中國宣揚．下列四個圖分別是四屆冬奧會圖標中的一部分，其中是軸對稱圖形的為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：A，C，D選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；B選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：B．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（4分）下列運算正確的是（）A．5a2﹣3a＝2a B．2a+3b＝5ab C．（ab3）2＝a2b6 D．（a+2）2＝a2+4【答案】C【分析】直接利用積的乘方運算法則、合并同類項、完全平方公式分別判斷得出答案．【解答】解：A．5a2﹣3a無法合并，故此選項不合題意；B．2a+3b無法合并，故此選項不合題意；C．（ab3）2＝a2b6，故此選項符合題意；D．（a+2）2＝a2+4a+4，故此選項不合題意；故選：C．【點評】此題主要考查了積的乘方運算法則、合并同類項、完全平方公式，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．3．（4分）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，E是BC邊上一點，連接AE，OE，則下列角中是△AEO的外角的是（）A．∠AEB B．∠AOD C．∠OEC D．∠EOC【答案】D【分析】根據三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角解答即可．【解答】解：△AEO的外角是∠EOC，故選：D．【點評】此題考查三角形的外角問題，關鍵是根據三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角解答．4．（4分）到△ABC的三條邊距離相等的點是△ABC的（）A．三條中線交點 B．三條角平分線交點 C．三條高的交點 D．三條邊的垂直平分線交點【答案】B【分析】由于角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，而已知一點到△ABC的三條邊距離相等，那么這樣的點在這個三角形的三條角平分線上，由此即可作出選擇．【解答】解：∵到△ABC的三條邊距離相等，∴這點在這個三角形三條角平分線上，即這點是三條角平分線的交點．故選：B．【點評】此題主要考查了三角形的角平分線的性質：三條角平分線交于一點，并且這一點到三邊的距離相等．5．（4分）如圖，工人師傅設計了一種測零件內徑AB的卡鉗，卡鉗交叉點O為AA'、BB'的中點，只要量出A'B'的長度，就可以知道該零件內徑AB的長度．依據的數學基本事實是（）A．兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等 B．兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等 C．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例 D．兩點之間線段最短【答案】A【分析】根據點O為AA'、BB'的中點得出OA＝OA'，OB＝OB'，根據對頂角相等得到∠AOB＝∠A'OB'，從而證得△AOB和△A'OB'全等，于是有AB＝A'B'，問題得證．【解答】解：∵點O為AA'、BB'的中點，∴OA＝OA'，OB＝OB'，由對頂角相等得∠AOB＝∠A'OB'，在△AOB和△A'OB'中，，∴△AOB≌△A'OB'（SAS），∴AB＝A'B'，即只要量出A'B'的長度，就可以知道該零件內徑AB的長度，故選：A．【點評】本題考查了三角形全等的判定與性質，正確運用三角形全等的判定定理是解題的關鍵．6．（4分）閱讀以下作圖步驟：①在OA和OB上分別截取OC，OD，使OC＝OD；②分別以C，D為圓心，以大于CD的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內交于點M；③作射線OM，連接CM，DM，如圖所示．根據以上作圖，一定可以推得的結論是（）A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DM C．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM【答案】A【分析】由△OCM≌△ODM（SSS）推出∠1＝∠2；OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3；OD和DM不一定相等；CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3．【解答】解：A、以C，D為圓心畫弧的半徑相等，因此CM＝DM，又OC＝OD，OM＝OM，因此△OCM≌△ODM（SSS）得到∠1＝∠2，故A符合題意；B、因為OC、CM的長在變化，所以OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3，故B不符合題意；C、因為OD、DM的長在變化，所以OD和DM不一定相等，故C不符合題意；D、CM的位置在變化，所以CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3，故D不符合題意．故選：A．【點評】本題考查作圖—基本作圖，全等三角形的判定和性質，關鍵是由作圖得到△OCM≌△ODM（SSS）．7．（4分）已知a＝1631，b＝841，c＝461，則a，b，c的大小關系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a【答案】A【分析】把各數的底數轉為相同，再比較指數即可．【解答】解：a＝1631＝（24）31＝2124；b＝841＝（23）41＝2123；c＝461＝（22）61＝2122；∵124＞123＞122，∴2124＞2123＞2122，即a＞b＞c．故選：A．【點評】本題主要考查冪的乘方，有理數的大小，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．8．（4分）觀察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定規(guī)律排列的一組數：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示這組數的和是（）A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a【答案】C【分析】先歸納出該運算的規(guī)律，再將原算式變形后，運用該規(guī)律進行計算．【解答】解：∵2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝23﹣2；?∴2+22+23+24+……+2n＝2n+1﹣2，∴若250＝a，250+251+252+?+299+2100＝（2+22+23+……+2100）﹣（2+22+23+……+249）＝（2101﹣2）﹣（250﹣2）＝2101﹣2﹣250+2＝2101﹣250＝2×（250）2﹣250＝2a2﹣a，故選：C．【點評】此題考查了算式規(guī)律的歸納與應用能力，關鍵是能準確理解題意，并能進行正確地觀察、猜想、歸納．9．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC邊上任意一點，將△ABM繞點A逆時針旋轉得到△ACN，點M的對應點為點N，連接MN，則下列結論一定正確的是（）A．AB＝AN B．AB∥NC C．∠AMN＝∠ACN D．MN⊥AC【答案】C【分析】根據旋轉變換的性質、等邊三角形的性質、平行線的性質判斷即可．【解答】解：A、∵AB＝AC，∴AB＞AM，由旋轉的性質可知，AN＝AM，∴AB＞AN，故本選項結論錯誤，不符合題意；B、當△ABC為等邊三角形時，AB∥NC，除此之外，AB與NC不平行，故本選項結論錯誤，不符合題意；C、由旋轉的性質可知，∠BAC＝∠MAN，∠ABC＝∠ACN，∵AM＝AN，AB＝AC，∴∠ABC＝∠AMN，∴∠AMN＝∠ACN，本選項結論正確，符合題意；D、只有當點M為BC的中點時，∠BAM＝∠CAM＝∠CAN，才有MN⊥AC，故本選項結論錯誤，不符合題意．故選：C．【點評】本題考查的是旋轉變換、等腰三角形的性質、平行線的判定，掌握旋轉變換的性質是解題的關鍵．10．（4分）小梧要在一塊矩形場地上晾曬傳統工藝制作的蠟染布．如圖所示，該矩形場地北側安有間隔相等的7根柵欄，其中4根柵欄處與南側的兩角分別固定了高度相同的木桿a，b，c，d，e，f．這些木桿頂部的相同位置都有鉆孔，繩子穿過木桿上的孔可以被固定．小梧想用繩子在南側的兩條木桿e，f和北側的一條木桿上連出一個三角形，以晾曬蠟染布．小梧擔心手中繩子的總長度不夠，那么他在北側木桿中應優(yōu)先選擇（）A．a B．b C．c D．d【答案】C【分析】作E關于AG的對稱點E′，連接E′F，E′F的長度是繩子最短的長度，E′F所經過的點就是點C就是要選擇的木桿．【解答】解：如圖，作E關于AG的對稱點E′，連接E′F，交AG于點C，連接CE，則點C所在的木桿c應該優(yōu)先選擇．故選：C．【點評】本題考查了軸對稱的性質以及生活中的軸對稱現象，通過作軸對稱構造兩點之間的線段最短是解答本題的關鍵．二、填空題（本大題有6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）如圖，鋼架橋的設計中采用了三角形的結構，其數學道理是三角形具有穩(wěn)定性．【答案】見試題解答內容【分析】根據三角形具有穩(wěn)定性解答即可．【解答】解：這樣做的數學依據是三角形具有穩(wěn)定性，故答案為：三角形具有穩(wěn)定性．【點評】本題考查的是三角形的性質，熟記三角形具有穩(wěn)定性是解題的關鍵．12．（4分）若y2﹣6y﹣k是完全平方式，則k的值等于﹣9．【答案】﹣9．【分析】根據一次項系數進行配方，進而得出答案．【解答】解：∵y2﹣6y+9＝（y﹣3）2∴﹣k＝9，∴k＝﹣9．故答案為：﹣9．【點評】本題主要考查完全平方式，熟練掌握配方法是解題的關鍵．13．（4分）如圖，點F在正五邊形ABCDE的內部，△ABF為等邊三角形，則∠AFC等于126°．【答案】見試題解答內容【分析】根據等邊三角形的性質得到AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，由正五邊形的性質得到AB＝BC，∠ABC＝108°，等量代換得到BF＝BC，∠FBC＝48°，根據三角形的內角和求出∠BFC＝66°，根據∠AFC＝∠AFB+∠BFC即可得到結論．【解答】解：∵△ABF是等邊三角形，∴AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，在正五邊形ABCDE中，AB＝BC，∠ABC＝＝108°，∴BF＝BC，∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝48°，∴∠BFC＝（180°﹣∠FBC）＝66°，∴∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝126°，故答案為：126°．【點評】本題考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，熟記正多邊形的內角的求法是解題的關鍵．14．（4分）如圖所示的正方形網格中，網格線的交點稱為格點．已知線段AB是等腰三角形△ABC的一邊，△ABC的三個頂點都在正方形網格的格點上，則這樣的等腰三角形的個數為10．【答案】10．【分析】分三種情況：當AB＝AC時；當BA＝BC時；當CA＝CB時；即可解答．【解答】解：如圖：分三種情況：當AB＝AC時，以點A為圓心，以AB長為半徑作圓，交正方形網格的格點為C1，C2；當BA＝BC時，以點A為圓心，以BA長為半徑作圓，交正方形網格的格點為C3，C4；當CA＝CB時，作AB的垂直平分線，交正方形網格的格點為C5，C6；C7，C8，C9，C10；綜上所述：這樣的等腰三角形的個數為10，故答案為：10．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，分三種情況討論是解題的關鍵．15．（4分）已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．如圖，若A、B兩點的坐標分別是A（0，4）、B（﹣2，0），則C點的坐標為（4，2）．【答案】（4，2）．【分析】要求點C坐標，作CM⊥AO，只要利用全等三角形的性質求出OM、CM即可．【解答】解：如圖中，作CM⊥OA垂足為M，∵∠AOB＝∠BAC＝90°，∴∠BAO+∠CAM＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠CAM，在△ABO和△CAM中，，∴△ABO≌△CAM（AAS），∴MC＝AO＝4，AM＝BO＝2，MO＝AO﹣AM＝2，∴點C坐標（4，2）．故答案為：（4，2）．【點評】本題考查全等三角形的判定或性質、坐標與圖形的性質等知識，關鍵是構造全等三角形，作CM⊥OA垂足為M是證明角平分線的常用手段．16．（4分）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC于點F，交CD于點E，連接EA，EA平分∠DEF．若BF＝7，DE＝3，求CE的長＝4．【答案】4．【分析】由角平分線的性質得AF＝AD，再證明Rt△ABF≌△RtACD（HL），得出BF＝CD＝7，即可得出結論．【解答】解：∵∠D＝90°，∴AD⊥DE，∵EA平分∠DEF，∵AF⊥EF，∴AF＝AD；在Rt△ABF和△RtACD中，，∴Rt△ABF≌△RtACD（HL），∴BF＝CD＝7，∵DE＝3，∴CE＝CD﹣DE＝7﹣3＝4，故答案為：4．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．三、解答題（本大題有9小題，共86分）17．（8分）（1）m3?m?m6+（﹣m4）2+4（﹣m2）4；（2）用乘法公式簡便計算：96×104．【答案】（1）m10+5m8；（2）9984．【分析】（1）根據同底數冪的乘法、冪和乘方運算法則計算即可；（2）將原式寫出（100﹣4）（100+4）并利用平方差公式計算即可．【解答】解：（1）原式＝m10+m8+4m8＝m10+5m8．（2）原式＝（100﹣4）（100+4）＝1002﹣42＝10000﹣16＝9984．【點評】本題考查平方差公式、同底數冪的乘法、冪的乘方與積的乘方，掌握平方差公式、同底數冪的乘法、冪的乘方與積的乘方運算法則是解題的關鍵．18．（8分）化簡求值：（2x+3y）2﹣（2x+3y）（2x﹣y），其中，y＝﹣2．【答案】8xy+12y2，52．【分析】原式第一項利用完全平方公式展開，第二項利用多項式乘多項式展開后化簡，去括號合并得到最簡結果，將x與y的值代入計算，即可得到結果．【解答】解：（2x+3y）2﹣（2x+3y）（2x﹣y）＝4x2+12xy+9y2﹣（4x2﹣2xy+6xy﹣3y2）＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+2xy﹣6xy+3y2＝8xy+12y2，當，y＝﹣2時，原式＝8×+12×4＝4+48＝52．【點評】此題考查了整式的混合運算﹣化簡求值，涉及的知識有：完全平方公式，平方差公式，去括號法則，以及合并同類項法則，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．19．（8分）已知：如圖，點D，E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE．求證：BD＝CE．【答案】見試題解答內容【分析】過點A作AF⊥BC，垂足為F，利用等腰三角形的三線合一性質可得BF＝CF，DF＝EF，然后利用等式的性質進行計算，即可解答．【解答】證明：過點A作AF⊥BC，垂足為F，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，∵AD＝AE，AF⊥DE，∴DF＝EF，∴BF﹣DF＝CF﹣EF，∴BD＝CE．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．20．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A（0，1），B（3，2），C（2，3）均在正方形網格的格點上．畫出△ABC關于x軸對稱的圖形△A1B1C1并寫出頂點A1，B1，C1的坐標．【答案】作圖見解答過程；A1（0，﹣1），B1（3，﹣2），C1（2，﹣3）．【分析】（1）根據關于x軸對稱的點的坐標特征寫出頂點A1，B1，C1的坐標，然后描點即可；（2）用一個矩形的面積分別減去三個三角形的面積去計算△A1B1C1的面積．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；由圖可知，A1（0，﹣1），B1（3，﹣2），C1（2，﹣3）．【點評】本題考查了作圖﹣軸對稱變換，解答本題的關鍵是熟練掌握軸對稱的性質．21．（8分）4張長為a、寬為b（a＞b）的長方形紙片，按如圖的方式拼成一個邊長為（a+b）的正方形，圖中空白部分的面積為S1，陰影部分的面積為S2．（1）若a＝3，b＝1，則S1＝11．（2）若S1＝2S2，求a與b滿足關系：a2+4b2＝4ab．【答案】（1）11；（2）a＝2b．【分析】（1）根據題目條件計算5部分空白面積的和即可；（2）由題意列式a2+2b2＝2[（a+b）2﹣（a2+2b2）]并整理即可．【解答】解：（1）由題意得，S1＝2×[ab+（a+b）b]+（a﹣b）2＝ab+ab+b2+a2﹣2ab+b2＝a2+2b2，∴當a＝3，b＝1時，S1＝32+2×12＝＝9+2＝11，故答案為：11；（2）由（1）結果S1＝a2+2b2，可得，a2+2b2＝2[（a+b）2﹣（a2+2b2）]，整理得，a2﹣4ab+4b2＝0，即（a﹣2b）2＝0，∴a＝2b，故答案為：a＝2b．【點評】此題考查了運用完全平方公式的幾何背景解決問題的能力，關鍵是能根據圖形準確列式，并運用完全平方公式進行運算．22．（10分）觀察以下等式：第1個等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2個等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3個等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4個等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第5個等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；（2）寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明．【答案】（1）（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，（2）（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，證明過程見解答．【分析】（1）根據題目中等式的特點，可以寫出第5個等式；（2）根據題目中等式的特點，可以寫出猜想，然后將等式左邊和右邊展開，看是否相等，即可證明猜想．【解答】解：（1）因為第1個等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2個等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3個等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4個等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，第5個等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，故答案為：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；（2）第n個等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，證明：左邊＝4n2+4n+1，右邊＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2＝4n2+4n+1，∴左邊＝右邊．∴等式成立．【點評】本題考查數字的變化類、列代數式，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現式子的變化特點，寫出相應的等式和猜想，并證明．23．（10分）綜合與實踐：問題探究：（1）如圖1是古希臘數學家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9“平分一個已知角，”即：作一個已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在OA和OB上分別取點C和D，使得OC＝OD，連接CD，以CD為邊作等邊三角形CDE，則OE就是∠AOB的平分線．請寫出OE平分∠AOB的依據：SSS；類比遷移：（2）小明根據以上信息研究發(fā)現：△CDE不一定必須是等邊三角形，只需CE＝DE即可，他查閱資料；我國古代已經用角尺平分任意角，做法如下：如圖3，在∠AOB的邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點M，N重合，則過角尺頂點C的射線OC是∠AOB的平分線，請說明此做法的理由；拓展實踐：（3）小明將研究應用于實踐．如圖4，校園的兩條小路AB和AC，匯聚形成了一個岔路口A，現在學校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等，試問路燈應該安裝在哪個位置？請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對應的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見試題解答內容【分析】（1）由等邊三角形的性質得CE＝DE，再證△OCE≌△ODE（SSS），得∠COE＝∠DOE，即可得出結論；（2）證△OCM≌△OCN（SSS），得∠AOC＝∠BOC，即可得出結論；（3）先作∠BAC的平分線AK，再在AK上截取AE＝AD即可．【解答】解：（1）∵△CDE是等邊三角形，∴CE＝DE，又∵OC＝OD，OE＝OE，∴△OCE≌△ODE（SSS），∴∠COE＝∠DOE，∴OE是∠AOB的平分線，故答案為：SSS；（2）∵OM＝ON，CM＝CN，OC＝OC，∴△OCM≌△OCN（SSS），∴∠AOC＝∠BOC，∴射線OC是∠AOB的平分線；（3）如圖，點E即為所求的點．【點評】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質、角平分線定義以及尺規(guī)作圖等知識，熟練掌握角平分線定義和等邊三角形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵，屬于中考常考題型．24．（12分）將一個三角形沿著其中一個頂點及其對邊上的一點所在的直線折疊，若折疊后原三角形的一邊垂直于這條對邊，則稱這條直線是該三角形的“對垂線”．（1）如圖1，AD是等邊△ABC的對垂線，把△ABC沿直線AD折疊后，點B落在點B'處，求∠BAD的度數；（2）如圖2，在△ABC中，∠BAC＝90°，點D在邊BC上，且AB＝AD，若∠B＝2∠DAC，判斷直線AD是否是△ABC的對垂線，并說明理由．【答案】見試題解答內容【分析】（1）由“對垂線”的定義可得AB'⊥BC，△ABD≌△AB'D，則可得出