4.2.5正態(tài)分布課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版選擇性

人教B版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊(cè)第四章概率與統(tǒng)計(jì)4.2.5正態(tài)分布課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.理解正態(tài)曲線的概念及性質(zhì).2.理解正態(tài)分布的均值、方差及其含義.3.了解3σ原則,會(huì)用正態(tài)分布解決實(shí)際問(wèn)題.4.體會(huì)正態(tài)曲線、正態(tài)分布的發(fā)現(xiàn)過(guò)程,提升數(shù)學(xué)抽象和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)正態(tài)分布

(1)由圖可以得到函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于哪條直線對(duì)稱(chēng)?提示:直線x=72.(2)當(dāng)函數(shù)f(x)取得最大值時(shí),x的值是什么?由此可以得到μ的值是什么?提示:x=72,μ=72.(3)由以上的討論得到函數(shù)f(x)的解析式是什么?2.(1)正態(tài)曲線的概念:一般地,函數(shù)φ(x)=

(x∈R)對(duì)應(yīng)的圖象稱(chēng)為

正態(tài)曲線

(也因形狀而被稱(chēng)為“鐘形曲線”,φ(x)也常常記為φμ,σ(x)).(2)正態(tài)曲線的性質(zhì):①正態(tài)曲線關(guān)于

x=μ對(duì)稱(chēng)(即

μ決定正態(tài)曲線對(duì)稱(chēng)軸的位置),具有中間高、兩邊低的特點(diǎn);②正態(tài)曲線與x軸所圍成的圖形面積為

1;③σ決定正態(tài)曲線的“胖瘦”:σ越大

,說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)差越大,數(shù)據(jù)的集中程度越弱,所以曲線越“胖”,σ越小

,說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)差越小,數(shù)據(jù)的集中程度越強(qiáng),所以曲線越“瘦”.(3)正態(tài)分布的概念:一般地,如果隨機(jī)變量X落在區(qū)間[a,b]內(nèi)的概率,總是等于φμ,σ(x)對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間[a,b]內(nèi)圍成的面積,則稱(chēng)X服從參數(shù)為μ與σ的正態(tài)分布,記作

X~N(μ,σ2),此時(shí)φμ,σ(x)稱(chēng)為X的概率密度函數(shù).此時(shí)μ是X的均值,而σ是X的標(biāo)準(zhǔn)差,σ2是X的方差.(4)“3σ”原則:如果X~N(μ,σ2),那么P(X≤μ)=P(X≥μ)=50%;P(|X-μ|≤σ)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.3%;P(|X-μ|≤2σ)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4%;P(|X-μ|≤3σ)=P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%.最后的式子意味著,X約有

99.7%的可能會(huì)落在距均值3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi),也就是說(shuō)只有約0.3%的可能會(huì)落入這一范圍之外(這樣的事件可看成小概率事件),這一結(jié)論通常稱(chēng)為正態(tài)分布的“3σ原則”.(5)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:μ=0且σ=1的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.如果

X~N(0,1),那么對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,通常記Φ(a)=P(X<a),也就是說(shuō)Φ(a)表示N(0,1)對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間(-∞,a)內(nèi)所圍的面積.3.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2)(σ>0),P(ξ≤4)=0.84,則P(ξ≤0)等于(

)A.0.16 B.0.32

C.0.68

D.0.84解析:∵隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),∴μ=2.又P(ξ≤4)=0.84,∴P(ξ≥4)=1-0.84=0.16,∴P(ξ≤0)=P(ξ≥4)=0.16.答案:A【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在它后面的括號(hào)里畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)函數(shù)φμ,σ(x)中參數(shù)μ,σ的意義分別是樣本的均值與方差.(×)(2)正態(tài)曲線是單峰的,其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ,σ的變化而變化的.(×)(3)正態(tài)曲線可以關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).(√)合作探究釋疑解惑探究一正態(tài)曲線【例1】

一條正態(tài)曲線如圖所示,試根據(jù)圖象寫(xiě)出該正態(tài)分布的密度函數(shù)解析式,求出總體隨機(jī)變量的均值和方差.反思感悟1.要特別注意σ是隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差.2.用待定系數(shù)法求正態(tài)分布的密度函數(shù)解析式,關(guān)鍵是確定參數(shù)μ與σ的值.3.當(dāng)x=μ時(shí),正態(tài)分布的密度函數(shù)取得最大值,最大值為

.【變式訓(xùn)練1】

已知σ取三個(gè)不同值σ1,σ2,σ3的三種正態(tài)曲線如圖所示,則σ1,σ2,σ3的大小關(guān)系是(

)A.σ1>1>σ2>σ3>0B.0<σ1<σ2<1<σ3C.σ1>σ2>1>σ3>0D.0<σ1<σ2=1<σ3σ2=1.由正態(tài)曲線的性質(zhì)可知,當(dāng)μ一定時(shí),曲線的形狀由σ確定.σ越小,曲線越“瘦高”;σ越大,曲線越“矮胖”,于是有0<σ1<σ2=1<σ3.答案:D探究二利用正態(tài)分布求概率【例2】

設(shè)X~N(1,22),試求:(1)P(-1≤X≤3);(2)P(3≤X≤5);(3)P(X≥5).解:因?yàn)閄~N(1,22),所以μ=1,σ=2.(1)P(-1≤X≤3)=P(1-2≤X≤1+2)≈68.3%.(2)因?yàn)镻(3≤X≤5)=P(-3≤X≤-1),延伸探究例2條件不變,若P(X≥c+1)=P(X≤c-1),求c的值.解:因?yàn)閄~N(1,22),所以對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng).又P(X≥c+1)=P(X≤c-1),反思感悟利用正態(tài)分布求概率的兩種方法(1)對(duì)稱(chēng)法:由于正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱(chēng),因此關(guān)于直線x=μ對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上概率相等.(2)“3σ”法:利用X落在區(qū)間[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]上的概率分別約是68.3%,95.4%,99.7%求解.【變式訓(xùn)練2】

已知隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),其密度函數(shù)在區(qū)間(-∞,80)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(80,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,且P(72≤X≤88)≈68.3%.求:(1)參數(shù)μ,σ的值;(2)P(64≤X≤72).解:(1)由題意可知,正態(tài)曲線關(guān)于直線x=80對(duì)稱(chēng),故μ=80.又P(72≤X≤88)≈68.3%,所以80-σ=72,即σ=8.(2)因?yàn)镻(64≤X≤96)=P(80-2×8≤X≤80+2×8)≈95.4%,P(72≤X≤88)≈68.3%,探究三正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【例3】

設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中,某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)X~N(110,202),且試卷滿(mǎn)分為150分,這個(gè)班的學(xué)生共54人,估計(jì)這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(即90分以上)的人數(shù)和130分以上的人數(shù).解:由題意可知,μ=110,σ=20,則P(90≤X≤130)≈68.3%,P(X≥90)=1-P(X≤90)≈84.15%.54×84.15%≈45(人),故及格的人數(shù)約為45.因?yàn)镻(X≥130)=P(X≤90)≈15.85%,所以54×15.85%≈9(人).故130分以上的人數(shù)約為9.解決此類(lèi)問(wèn)題一定要靈活運(yùn)用3σ原則,將所求概率向P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,利用特定值求出相應(yīng)的概率.同時(shí)要充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性和曲線與x軸之間的面積為1這一特殊性質(zhì).反思感悟【變式訓(xùn)練3】

在某次數(shù)學(xué)考試中,考生的成績(jī)?chǔ)畏囊粋€(gè)正態(tài)分布,即ξ~N(90,100).(1)試估計(jì)考試成績(jī)?chǔ)挝挥趨^(qū)間[70,110]上的概率;(2)若這次考試共有2000名考生,試估計(jì)考試成績(jī)位于區(qū)間[80,100]上的考生大約有多少人.(1)由于正態(tài)變量在區(qū)間[μ-2σ,μ+2σ]上取值的概率約是95.4%,而該正態(tài)分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,因此估計(jì)考試成績(jī)?chǔ)挝挥趨^(qū)間[70,110]上的概率是95.4%.(2)由μ=90,σ=10,得μ-σ=80,μ+σ=100.因?yàn)檎龖B(tài)變量在區(qū)間[μ-σ,μ+σ]上取值的概率約是68.3%,所以考試成績(jī)?chǔ)挝挥趨^(qū)間[80,100]上的概率約是68.3%.因?yàn)橐还灿?

000名考生,所以考試成績(jī)?cè)赱80,100]上的考生大約有2

000×68.3%=1

366(人).【思想方法】

正態(tài)分布問(wèn)題中的轉(zhuǎn)化思想【典例】

在某市組織的一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中全體參賽學(xué)生的成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(60,100),已知成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的學(xué)生有15人.(1)試估計(jì)此次參加競(jìng)賽的學(xué)生總數(shù)共有多少人?(2)若計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽成績(jī)排在前228名的學(xué)生,問(wèn)受獎(jiǎng)學(xué)生的分?jǐn)?shù)線大約是多少?解:(1)設(shè)學(xué)生的成績(jī)?yōu)閄,共有n人參加競(jìng)賽.因?yàn)閄~N(60,100),所以μ=60,σ=10,因?yàn)?.0228<0.5,所以x0>60.所以P(120-x0≤X≤x0)=1-2P(X≥x0)≈95.4%,所以x0≈60+20=80.故受獎(jiǎng)學(xué)生的分?jǐn)?shù)線約為80分.方法點(diǎn)睛解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是利用正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性,將所求問(wèn)題向P(|X-μ|≤σ),P(|X-μ|≤2σ),P(|X-μ|≤3σ)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,進(jìn)而利用“3σ原則”求解問(wèn)題.【變式訓(xùn)練】

假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N(800,502)的隨機(jī)變量,記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)800≤X≤900的概率為p0,則p0=

.

解析:由X~N(800,502),知μ=800,σ=50.又P(700≤X≤900)≈95.4%,答案:47.7%隨堂練習(xí)1.(多選題)把一條正態(tài)曲線a沿著橫軸方向向右平移2個(gè)單位,得到一條新的曲線b.下列說(shuō)法正確的是(

)A.曲線b仍然是正態(tài)曲線B.曲線a和曲線b的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等C.曲線b對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量的均值比曲線a對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量的均值大2D.曲線b對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量的方差比曲線a對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量的方差大2答案:ABC2.已知正態(tài)分布N(0,1)在區(qū)間(-2,-1)和(1,2)內(nèi)取值的概率分別為P1,P2,則P1與P2的大小關(guān)系為(

)A.P1=P2 B.P1<P2C.P1>P2 D.不確定答案:A3.在某項(xiàng)測(cè)量中,測(cè)量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(1,σ2)(σ>0).若X在區(qū)間(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4,則X在區(qū)間(0,2)內(nèi)取值的概率為

.

解析:因?yàn)閄服從正態(tài)分布N(1,σ2),所以X在區(qū)間(0,1)與(1,2)內(nèi)取值的概率相同,均為0.