2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)綜壓軸題之關(guān)于線段周長問題（解析版）

2025年中考復(fù)習(xí)二次函數(shù)綜壓軸題專題訓(xùn)練一一關(guān)于線段周長問題

1.如圖，拋物線^^4與工軸交于4B兩點(diǎn)(點(diǎn)人在點(diǎn)口的左側(cè))，與"軸交于點(diǎn)C,連接

OO

(1)求三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是線段上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作刀軸于點(diǎn)河，交8C于點(diǎn)N求線段PN長

的最大值.

【答案乂1)4—2,0),3(6,0),。(0,4);線段5。所在直線的函數(shù)表達(dá)式?/=一為+4,(2)3

O

【分析】⑴分別令/=0,g=0,解方程即可得到48,C三點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出線段

所在直線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵根據(jù)題意，結(jié)合⑴線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,—專加+卜+吼點(diǎn)N的坐標(biāo)

為(m,—，n+4),由PN=PM—NM——^-m2+-^m+4—(―1~?n+4)=—1-(m-3)2+3,利用二次函數(shù)的

OOOOO

性質(zhì)解答即可.

【詳解】(1)解:在"=―9c2+(_啰+4中，

OO

令1=0,則g=4,

?,?點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,4),

令g=0,則一+a/+4=0,

OO

即為2—4劣—12=0,

解得:x=—2或o=6,

??,點(diǎn)A在點(diǎn)石的左側(cè)，

???點(diǎn)人的坐標(biāo)為(一2,0),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(6,0),

設(shè)線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式為g=krc+b,

將點(diǎn)8(6,0),。(0,4)代入g=far+b,得,

解得:卜=4,

[6=4

???線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式為g=—￡■力+4;

(2)解：。.?點(diǎn)P在拋物線y=―+A.x+4上，

oo

上設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,—+,

OO

???加_L力軸交于點(diǎn)N,

???點(diǎn)N的坐標(biāo)為(nz,―|-m+4),

o???

???點(diǎn)P在線段石。上方的拋物線上，

0VmV6且PN=PM—NM=一■^-m2++4—(—|-m+4)=―^-(m—3)2+3,

oooo

?.?一：<0,且0<機(jī)<6,

o

.?.當(dāng)m=3時(shí)，PN有最大值，線段PN長的最大值為3.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性

質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題.

2.已知關(guān)于c的二次函數(shù)4=a/+2ac+3.

(1)若該函數(shù)圖象經(jīng)過(—1,4).

①求a的值；

②設(shè)拋物線與①軸正半軸交于點(diǎn)8,交沙軸于點(diǎn)。，點(diǎn)P是直線T=-1上的動(dòng)點(diǎn)，求P8+PC的最小值.

(2)在—2W①41時(shí),該函數(shù)的最大值與最小值之差為12,求a的值.

【答案】⑴①a=-l;②32，⑵a=±3

【分析】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式、點(diǎn)的對稱性等，其中

(2),要注意分類求解，避免遺漏.

(1)①將點(diǎn)(—1,4)代入拋物線表達(dá)式即可求解；

②點(diǎn)B關(guān)于函數(shù)對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A,連接AC交2=一1于點(diǎn)P,則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，進(jìn)而求解；

(2)當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，則拋物線在頂點(diǎn)處取得最小值，在a：=1時(shí)取得最大值，當(dāng)c=1時(shí)夕=aa?+

2ax+3=3a+3,當(dāng)①=-1時(shí)，y=ax2+2ax+3=a—2a+3=—a+3,則3a+3—(—a+3)=8,即可求解，

當(dāng)a<0時(shí)，同理可解.

【詳解】⑴①將點(diǎn)(—1,4)代入拋物線表達(dá)式得：4=a—2a+3,,斗

解得a=T;

②由①知，拋物線的表達(dá)式為y2rr+3,對稱軸為c=—1,(\

設(shè)拋物線與力軸的另外一個(gè)交點(diǎn)為4,//f'J\

令y=_/2—2T+3=0,解得=-3,02=],-----~7~!----1------

A?O\\x

故點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(一3,0)、(1,0),/：\

令/=0,解得。=3,。(0,3),

由拋物線的表達(dá)式知，函數(shù)的對稱軸為直線力=—1,即點(diǎn)P在函數(shù)的對稱

軸上，

???點(diǎn)石關(guān)于函數(shù)對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)連接交力=—1于點(diǎn)F,則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，

即+PC=Q4+PC=AC為最小，

故PB+PC的最小值4C=VOA2+OC2=A/32+32=3A/2;

(2)拋物線g=ax2+2ax+3的對稱軸為直線/=—1,

貝|J力=1比/=—2距離對稱軸更遠(yuǎn)，

當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，則拋物線在N=—1時(shí)取得最小值，在力=1時(shí)取得最大值，

當(dāng)/=1時(shí)，最小值為y=ax2+2ax+3=3a+3,

當(dāng)x=—1時(shí)，最大值為y=ax2+2ax+3=a—2a+3=—a+3,

???該函數(shù)的最大值與最小值之差為12,

3a+3—(—a+3)—12,解得a=3

當(dāng)QV0時(shí)，拋物線開口向下，則拋物線在頂點(diǎn)處取得最大值，在/=1時(shí)取得最小值，

該函數(shù)的最大值與最小值之差為12,???

—a,+3—(3<z+3)—12,解得a=-3;

故a=土3.

3.如圖，二次函數(shù)的圖象交必軸于4B兩點(diǎn)，交夕軸于點(diǎn)。，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0),頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,9).

(1)求二次函數(shù)的解析式和直線3。的函數(shù)解析；

(2)根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍.

(3)P是線段口。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作c軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M,當(dāng)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)時(shí)，求線

段長度的最大值.

【答案】(1)9——x2+4：x+5,y——x+5

(2)icV0或a;>5

(3)最大值為牛

【分析】(1)可設(shè)拋物線解析式為頂點(diǎn)式，由B點(diǎn)坐標(biāo)可求得拋物線的解析式，則可求得D點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系

數(shù)法可求得直線BD解析式；

(2)根據(jù)圖象即可求得使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的土的取值范圍；

(3)設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出PM的長度,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值.

本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，方程思想等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握二次函數(shù)的性質(zhì)

【詳解】(1)解：,??拋物線的頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,9),

可設(shè)拋物線解析式為y=a(x—2)2+9,

?.?點(diǎn)5(5,0)在該拋物線的圖象上，

.-.0=a(5-2)2+9,

解得a——1,

：.拋物線解析式為y=—(多一2)2+9,即夕——X2+4a;+5,

,點(diǎn)。在沙軸上，令,=0可得沙=5,

二。點(diǎn)坐標(biāo)為(0,5),

可設(shè)直線BD解析式為夕=far+5,

把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可得5%+5=0,

解得％=—1,

直線解析式為?/=一0+5;

(2)解：?.?且直線與二次函數(shù)的圖象交B(5,0),D(0,5)這兩點(diǎn)

結(jié)合圖象：一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍是rrV0或a;>5,

故答案為：cV0或2>5;

(3)解：設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為m(m>0),

則P(m,—m2+4m+5),???

PM=-rn2+4m+5—（—m+5）=—m2+5m=—（m—-1-）+

：.當(dāng)=長度的最大值為爭.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a^+bx-3的圖像交力軸于點(diǎn)A（-V3,0）和點(diǎn)5（373,0），交y

軸于點(diǎn)C,連接BC.

⑴求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖1,點(diǎn)P是直線下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作4軸的平行線交直線BC于點(diǎn)點(diǎn)E是直線

8。上一點(diǎn)，且在PD右側(cè),滿足DE=DP,求ADEP周長的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶將拋物線y=ax?+近—3沿方向平移2個(gè)單位后,得到一個(gè)新的拋物線y',點(diǎn)河為新拋物線y'

上一點(diǎn)，點(diǎn)“關(guān)于直線8c的對稱點(diǎn)為M'，連接,當(dāng)ACM'M=60°時(shí),直接寫出所有符合條

件的點(diǎn)河的橫坐標(biāo).

【答案】（1）9=2個(gè)①—3

OO

⑵4DEP的周長最大值為9Q?。?p（3浮,—彗）；

⑶符合條件的點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為3個(gè)付或逐或3%簡或—氓.

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；

⑵過點(diǎn)E作EF_LPD交PD的延長線于點(diǎn)F,求出直線BC的解析式，設(shè)P（巾,《病一帶皂小一3）,則

等m—3）,用m表示PD,DF,EF,PE的長度,根據(jù)ADEP周長=2PD+PE列出函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)二

次函數(shù)的性質(zhì)解答；

⑶根據(jù)平移的性質(zhì)得到新的拋物線解析式為式=家一5,推出△C7W是等邊三角形，設(shè)”（九,E—5）,

分兩種情況:當(dāng)點(diǎn)加在y軸右側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M在y軸左側(cè)時(shí)，分別求出n的值

【詳解】⑴將點(diǎn)A（—，^,0）和點(diǎn)_B（3，^,0）代入。=°力2+6力—3中，得

f3d—A/3b—3=0

[27a+3V3b-3=0

解得二

該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y--^-x2-—3;

oo

（2）過點(diǎn)E作EF_LPD交PD的延長線于點(diǎn)F,???

設(shè)直線的解析式為y=kx+t,

(3V3k+t=0

\t=-3，

k

解得=4

t=-3

直線BC的解析式為沙=卑2一3,

o

設(shè)P(nz,"|-?n2-2f3),貝U_D(nz,普m-3),

DE=DP=—3—=--^-m2+V3m,

o\Jo/J

??,B(3V3,0),C(0,-3),

.-.0^^373,0(7=3,

:.tanZBCO=，舄=V3,

C/O

NBCO=60°,

?：PD//OC,

：."DC=60°

,/DE=DP

：.APED=ADPE=30°,ZFDE=60°,NDEF=30°,

2

DF=±DE=-^m+--m,EF=V^DF=一暇加+3,

26262

PE=2￡!F=-4加+3m

o

/./\DEP周長=2PD+PE

=2(^-m2+V3m^)--^y-m2+3m

2+四9(2+佝

m—

3+4

.?.當(dāng)m=哈時(shí)，ADEP的周長最大，最大值為9(2丁),此時(shí)p(弓￡,一?)；

(3)y--^-x2—^--x-3=^-(x—V3)2—4

ooo

???將拋物線g=a/+版一3沿石。方向平移2個(gè)單位后，得至||一個(gè)新的拋物線yf,

：.拋物線g=Q/+b/一3向左平移個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度,

新的拋物線解析式為yf=-^-x2—5,

o

?.?點(diǎn)”關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)為M',ACM'M^60°,

/.△CMM，是等邊三角形，

設(shè)M(n,—5),

當(dāng)點(diǎn)河在g軸右側(cè)時(shí),如圖，過點(diǎn)M作MH_LCA少于點(diǎn)

???/MCM，=60°,/MCB=ZBCMf=30°,

???ZOCMA=90°,

CH—之一5一(—3)—一2,

OO???

?.1■九2—2—V3n

o

解得n=3V3+V51（負(fù)值舍去）.

當(dāng)點(diǎn)加在點(diǎn)此時(shí)，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為一3,

此時(shí)-|-n2—5=—3,解得n—負(fù)值舍去）；

當(dāng)點(diǎn)”在沙軸左側(cè)時(shí)，如圖，過點(diǎn)焰作M3H±CM'于點(diǎn)H,

CH———3——5）——+2,

I91—

—~TI+2——y/3n

O

解得n=公鏟IL（正值舍去）.

當(dāng)點(diǎn)Af在點(diǎn)M時(shí)，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為一3,

此時(shí)-^-n2—5=—3,解得n=—，^（正值舍去）：

O

綜上,符合條件的點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為3個(gè)庖或0或3%庖或—氓.

【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)的綜合題，解直角三角形，考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,二次函數(shù)與幾何圖形，二次

函數(shù)的最值，正確理解二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=—/+be+c=與c軸交于點(diǎn)4（—5,0），口（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y

軸交于點(diǎn)點(diǎn)（0,5）.

⑴求該拋物線的解析式；

（2）如圖1,若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求皿。面積的最大值；

（3）在對稱軸上找一點(diǎn)Q，使4BCQ的周長最小,求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（4）如圖2,若點(diǎn)河是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，入、C,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行

四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)河的坐標(biāo)，請說明理由.

【答案】(l)g=—①2—4〃+5

⑵爭

O

⑶Q(—2,3)

(4)存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-5,-16)或(-7,-16)

【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求解；

(2)證明4PHE是等腰直角三角形，則PE=華即可求解;

(3)AC與拋物線的對稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q,求出直線AC的解析式,進(jìn)而即可求解;

(4)當(dāng)AC為平行四邊形對角線時(shí)，則一5=2—2,解得：c=-3，即可求解；當(dāng)AM(AN)為平行四邊形對角線

時(shí)，同理可解.

【詳解】(1)解：丁點(diǎn)A(—5,0),(7(0,5)在拋物線y=—x2+匕/+c的圖象上,

f0=-25-5fc+cJb=_4

，解得

[5=c\c=5

：.拋物線的解析式為g=—療―4/+5;

(2)由(1)知，拋物線的表達(dá)式為：y=—x2—4：x+5,

令y=-x2—4/+5=0,解得：/=1或一5,

故點(diǎn)石(1,0);

①過P作PE_L于點(diǎn)E,過點(diǎn)P作PF_L力軸交AC于點(diǎn)H,如圖:

vA(-5,0),0(0,5),

???OA=OC,AC=V52+52=5A/2,

???ZVIO。是等腰直角三角形，

??.ZCAO=45°f

???PF_L2軸，

???4AHF=45°=/PHE,

???AFHE是等腰直角三角形，

?PE—^^-

.?V2'

：.當(dāng)PH最大時(shí)，PE最大，

設(shè)直線解析式為"=fcz;+5,

將4—5,0)代入得0=—5k+5,

：.k=l,

???直線解析式為g=i+5,

設(shè)F(m,—m2—4m+5),(—5VnzV0),則5),

PH—(—m2—4m+5)—(m+5)=—(m+-|-y+

*.*a=—1<0,

.?.當(dāng)山=—1時(shí)，PH的最大為苧，

此時(shí)PE最大為姿2,即點(diǎn)p到直線A。的距離值最大；

O

△B4c面積的最大值=[AC?PE=Exx20=萼;

2288

⑶設(shè)點(diǎn)Q(-2,m)，點(diǎn)4(-5,0),C(0,5),

A與_B關(guān)于對稱軸對稱，???

連接AC與對稱軸的交于點(diǎn)Q,

設(shè)力。解析式為夕=for+6,

0——5k+b心=1

，解得

5=b[b=5

y=x+5,

當(dāng)x=-2時(shí)，夕=3,

Q(—2,3),

.?.點(diǎn)Q(—2,3);

(4)存在，理由如下：

y=—x2—4a;+5=—Q+2尸+9,

拋物線的對稱軸為直線2=—2,

設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(一2,神)，點(diǎn)河的坐標(biāo)為(①-x2-4rc+5),

分三種情況:①當(dāng)月。為平行四邊形對角線時(shí)，

則一5=c—2,解得：x=—3,

點(diǎn)河的坐標(biāo)為(-3,8);

②當(dāng)入川為平行四邊形對角線時(shí)，

則a?—5=—2，解得：2=3,

點(diǎn)”的坐標(biāo)為(3,-16);

③當(dāng)AN為平行四邊形對角線時(shí)，

貝U—5—2=立，

解得：2=—7,

點(diǎn)”的坐標(biāo)為(-7,-16);

綜上，點(diǎn)”的坐標(biāo)為：(一3,8)或(3,—16)或(一7,—16).

【點(diǎn)睛］本題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函

數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì).熟知幾何圖形的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

6.綜合探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中.直線y=A;c(A;￥O)與拋物線沙=a/+c(a￥O)交于A(8,6),B兩點(diǎn)，點(diǎn)口

的橫坐標(biāo)為一2.

⑴求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P是直線AB下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作c軸的平行線,與直線交于點(diǎn)C.連接PO,設(shè)

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為7n.

①若點(diǎn)P在c軸上方，當(dāng)成為何值時(shí)，OC=CP；

②若點(diǎn)尸在立軸下方，求可。。周長的最大值.

【答案】⑴？/=梟2一2

O???

(2)①當(dāng)7n=4+yiU時(shí),oc=cp；②中。。周長的最大值為9

【分析】本題考查了二次函數(shù)的線段周長綜合，待定系數(shù)法求解析式，勾股定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題

的關(guān)鍵.

(1)先求出直線4B的解析式為g=■力,再得出B(-2,—去)，結(jié)合4(8,6)，代入y=a/+C(QWO),進(jìn)行計(jì)算

即可作答.

⑵①先設(shè)P(m,n),則當(dāng)加一2=,所以PC—m—因?yàn)镺C—CP,所以=m—^-n,且-1-m2—2

83338

幾，化簡計(jì)算，得m=4+^^，故當(dāng)Tn=4+W10^時(shí)，Q(J—CP；②當(dāng)點(diǎn)、P在x軸下方時(shí)，一2VmV4,n

oo

2

<0,同理得OC=CP,。。=+n?=-1-n,代入得OP+PC+OC--1-m+2+m—^-n—,化簡

J，3o33

計(jì)算，即可作答.

【詳解】⑴解:將點(diǎn)4(8,6)代入y=kc,

得8k=6,解得%=總，

/.直線AB的解析式為夕=%

當(dāng)x=-2時(shí)，g=,x(—2)=—|~,

/.B(-2,—

64a+c=6

將點(diǎn)?4(8,6),8(—2,—分別代入y—ax?+c,得

4a+c——'

a=

解得l

c=-2’

：.拋物線的解析式為y=-^-X2—2;

o

⑵①設(shè)PgM，則-^-m2—2=n,

o

??,過點(diǎn)P作力軸的平行線，與直線AB交于點(diǎn)C,

n,n,

4

PC=m——n,

o

令"-2=0,

解得力=4或力=—4.

②當(dāng)點(diǎn)P在力軸上方時(shí)，4VnzV8,n>0,

4V，25

???OC=CP,OCYn)+n=■§■九'

.54

??—n=m--n,

oo

,1

..n——-m,

o

，-2=%

"2=

o

，加二串也或機(jī)二生”(舍去)

OO???

...當(dāng)m=4+^^時(shí)，OC=CP；

o

②由①得P(m,n),

X2_-

mlib2N-nIb

89

當(dāng)點(diǎn)P在1軸下方時(shí)，一2VnzV4,7iV0,

.??點(diǎn)CITTI,?!),

2222

OC――^-n,OP—Vm+n=A/m+f-5-m—2y=-^-m+2,

3Vvo78

41

*.*PC=m——n,m9—2=n,

38

.?.OP+PC,+OC,=^m2+2+m-4n-vn

833

m2-2)+2=-j(m-2)2+9,

/.當(dāng)m=2時(shí)，八/3。。的周長最大，最大值為9.

7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線夕=a/+be+4與c軸交于點(diǎn)4(4,0),風(fēng)―|~,0),與沙軸交于點(diǎn)C.

⑴求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)。是OC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為2軸上一點(diǎn)，尸為對稱軸上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)，沿O—E

—F—C運(yùn)動(dòng)，若要使點(diǎn)P走過的路徑最短，請求出點(diǎn)E、F坐標(biāo),并求出最短路徑；

(3)如圖2,直線夕=工與拋物線交于點(diǎn)問拋物線上是否存在點(diǎn)Q(點(diǎn)河除外)，使得AQCA=

NMCA?若存在，請求出點(diǎn)Q坐標(biāo);若不存在，說明理由.

【答案】⑴y=-"^-x2+^-x+4

OO

⑵石管,0)、9序,1),最短路徑長6.5

⑶存在，Q(7,—17)

【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求解；

⑵作點(diǎn)。關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn),4),作點(diǎn)。(0,2)關(guān)于2軸的對稱點(diǎn)G(O,—2),連接CN交x軸

于點(diǎn)E交拋物線對稱軸于點(diǎn)F,則此時(shí)，點(diǎn)E、F符合題設(shè)要求，此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑最小，進(jìn)而求解；

(3)先求出點(diǎn)河⑶3),由AQCA=AMCA,得到CN=CM,根據(jù)勾股定理列式計(jì)算，進(jìn)而求解?.??

此題主要考查了反比例函數(shù)解析式求法以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及利用對稱求最小值問題以及

相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用相似得出。點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.

【詳解】⑴解：:已知拋物線y=ax'+bx+4與6軸交于點(diǎn)A(4,0),—■會(huì)，。),

設(shè)拋物線的表達(dá)式為：n=a(x—4)(T+1.5)=Q(/—2.5力-6)=ax2—2.5ax—6a,

y—ax2++4

6a=4,

貝I。=一京

o

則拋物線的表達(dá)式為：y=—力+4;

⑵解:如圖1,由拋物線的表達(dá)式g=―+^-x+4知,

OO

其對稱軸為直線/=--------=—

2x(4)4

?"=一。/+日2+4

OO

，1=0,g=4

則C(0,4)

作點(diǎn)。關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)N,

倍,4)

?.?點(diǎn)。是OC的中點(diǎn)

0(0,2)

作點(diǎn)。關(guān)于2軸的對稱點(diǎn)G,

G(0,—2)

連接CN交2軸于點(diǎn)E交拋物線對稱軸于點(diǎn)F

則此時(shí)，點(diǎn)E、F符合題設(shè)要求，此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑最小，

理由：?.?點(diǎn)。關(guān)于2軸的對稱點(diǎn)G,點(diǎn)。關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)N

:.ED=GE,CF=NF,

則DE+EF+CF=GE+EF+NF=GN,

此時(shí)GN的長度滿足點(diǎn)P走過的路徑最短

設(shè)直線NG的表達(dá)式為y^kox+bo

把N仔,4),G(O,—2)分別代入方加+仇,得，#=孰+瓦

21一2=瓦

解得卜。=春

［瓦=-2

直線NG的表達(dá)式為：y=~^~x—2,

5

當(dāng)/=六時(shí)，。=率/-2=1,

45

即點(diǎn)*件,1),

令g=￥■力一2=0,則

56

則點(diǎn)風(fēng)點(diǎn),0),???

???N(1~,4),G(O,-2)

NG=J(-(4+2)2=號=6.5,

即點(diǎn)E、F坐標(biāo)分別為：后傳,0)、鳳1~,1),

/.最短路徑長6.5;

⑶解：存在，理由：

依題意[夕=一告/+梟+4

X---6+4

OO

解得:x=—2(舍去)或3,

則點(diǎn)M(3,3),

設(shè)直線CQ交OM于點(diǎn)N(m,m),

由點(diǎn)。(0,4)、A(4,0)知，OC=OA

A/CAO=45°,

而直線V=力和a;軸正半軸的夾角為45°,

AOMA=180°-45°-45°=90°

則AC±MN,

AQCA=NMCA,則CN=CM,

則m2+(m-4)2=(0—3)2+(4-3)2,

解得:m—3(舍去)或1,

則點(diǎn)

設(shè)直線ON的表達(dá)式為沙=%何+上

把點(diǎn)(7(0,4)、N(l,l)分別代入g=kxx+瓦

尸，4=仇

仔(1=自+2，

解得憶，

%=一3

直線CW的表達(dá)式為：？/=-32；+4,

依題意，得卜=一梟2+青±+4

[y=-3x+4：

—3/+4=--+^-x+4

OO

解得：c=0(舍去)或7,

則點(diǎn)Q(7,—17).

8.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)4(—1,0),點(diǎn)5(2,3).

??

y

1V1V

lo\lo[

備用圖

⑴求此二次函數(shù)的解析式；

(2)當(dāng)一2W7W2時(shí),求二次函數(shù)夕=—/+bx+c的最大值和最小值；

⑶點(diǎn)河為此函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為小,過點(diǎn)河作MN//x軸，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為-m+3.已

知點(diǎn)河與點(diǎn)N不重合，且線段MN的長度隨成的增大而減小.

①求7n的取值范圍；

②當(dāng)MNW5時(shí),直接寫出線段MN與二次函數(shù)y=—/+版+《—1W2；<引的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)及對應(yīng)

的小的取值范圍.

【答案】(l)y=—x2+2x+3

(2)當(dāng)一2<,<2時(shí)，二次函數(shù)y=一/+皈+c的最大值為4,最小值為一5

(3)①小<~|■:1②,線段AW與Q二次函數(shù)9=—a?+bc+c(—1的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)的取值范圍

為一"或lWnz<g,有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍為—<m<1

【分析】⑴利用待定系數(shù)法計(jì)算即可得解；

(2)將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，得出拋物線開口向下，對稱軸為直線2=1,即當(dāng)c=1時(shí)，夕取最大值為4,

再結(jié)合2—1<1—(—2),計(jì)算即可得出答案；

⑶①表示出_MN=|-2?n+3],分—2m+3>0和—2m+3<0計(jì)算即可得出m的取值范圍；②由OVMNW

5得出一1Wm〈日，再利用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想求解即可.

【詳解】⑴解：:二次函數(shù)y=—x2+bN+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(—1,0),點(diǎn)B(2,3),

.f—1—5+c=0

At-4+25+c=3,

解得:產(chǎn)，

[c=3

二次函數(shù)的解析式為：+3;

(2)解：:y——劣2+2/+3——(x—I)?+4,

：.拋物線開口向下，對稱軸為直線N=1,

當(dāng)力=1時(shí)，"取最大值為4,

2-1<1-(-2),

/.當(dāng)x=—2時(shí)，y取最小值，一(一2)2+2X(—2)+3=—5,

???當(dāng)-2《力42時(shí)，二次函數(shù)g=—/+b力+c的最大值為4,最小值為一5;

⑶解:①由題意得：MN=|—m+3—m|=|-2m+3|,

當(dāng)一2館+3>0時(shí)，昭7=—2館+3,也的長度隨恒的增大而減小，滿足題意，

當(dāng)一2館+3Vo時(shí)，MN=2M—3,MN的長度隨加的增大而增大，不滿足題意，

—2??1+3>0,??

解得:

②???OVM7V45,

0V—21m+345,

解得:—

如圖，當(dāng)恒=1時(shí)，點(diǎn)“在最高點(diǎn)，7W與圖象有1個(gè)交點(diǎn),

直線N二,關(guān)于拋物線對稱軸直線力=1對稱后直線為X

???]VnzV1時(shí)，MN與圖象有2個(gè)交點(diǎn)，

???

綜上所述，線段AiN與二次函數(shù)y=—a;2+法+c(—的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍為一1

1,91

WTTZ<1或5，有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍為—<m<1.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，包括待定系數(shù)法二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的最值問題、二次函數(shù)

的圖象與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用，采用數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵.

9.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線沙=/+就+c(b和c是常數(shù))與比軸交于點(diǎn)4與夕軸交于點(diǎn)

C,且OB=OC=3.

⑴求b,c的值；

⑵如圖2,點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合)，過點(diǎn)P作PO，c軸于點(diǎn)。，尸。

與8。交于點(diǎn)Q.若PQ=20Q,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)二次函數(shù)夕=a?+bc+c的自變量a?滿足TnWrrWm+1時(shí)，此函數(shù)的最大值與最小值的差為3,

求此時(shí)m的值.

【答案】⑴6,c的值分別為一2,—3

(2)(2,-3)

⑶加的值為一1或2

【分析】此題是二次函數(shù)和一次函數(shù)綜合題，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵.

⑴求出B(3,0),。(0,—3),進(jìn)一步即可求出b,c的值;

(2)由(1)知拋物線的解析式為夕=/一22—3.設(shè)。。,廿一2力一3),則。?,0).求出直線BC的解析式為沙=

2一3,則Q也t—3),得到DQ=3-t,PQ=-t2+3t.根據(jù)PQ=2DQ得到方程，解方程即可求出答案；

(3)求出拋物線的對稱軸為直線2=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,—4).當(dāng)a?=小時(shí)，v=m2—2m—3,當(dāng):E=??I+1時(shí)，

y=(m+1)2—2(m+l)—3=m2—4.根據(jù)?it的取值范圍分段進(jìn)行求解即可.

【詳解】⑴解：???OB=00=3,

.?.B(3,0),G(0,-3),

/.c=-3.

把B(3,0)代入y=x2+bx—3,

得0=9+3b-3,

解得b=-2,

c的值分別為-2,-3

(2)由(1)知拋物線的解析式為y—x2—2x-3.

設(shè)2t—3),則。(t,0).

由B(3,0),C(0,—3),

設(shè)直線直線BC的解析式為V=+則色"?=°

解得｛二

???直線的解析式為夕=%一3,

:.3),

:.DQ—3—t,PQ—(t—3)—(t2-2t—3)=—i?+3九

PQ=2DQ,

—i?+=2(3—t),

整理，得)-5力+6=0,

解得'=2,右2=3(舍去).

當(dāng)力=2時(shí)，1?—2t—3=-3,

”(2,—3),

即當(dāng)PQ=2DQ時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,—3).

(3)由(1)知拋物線的解析式為y=x2—2x—3=(T—I)2—4,

則該拋物線的對稱軸為直線/=1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,—4).

當(dāng)力=m時(shí)，g=m2—2m—3,

當(dāng)力=nz+l時(shí)，g=(m+l)2—2(771+1)—3=m2—4.

當(dāng)m+l&l,即7n<0時(shí)，函數(shù)的最小值是7n2—4,函數(shù)的最大值是?77?—2TTI—3,

rri—2m—3—(m2—4)=-2nz+1=3,解得nz=-1;

當(dāng)1時(shí)，函數(shù)的最小值是m?—2m,—3,函數(shù)的最大值是？T?2一4,

m2—4—(m2—2m-3)=2m—1=3,解得m=2;

當(dāng)<m<1時(shí)，函數(shù)的最小值是一4,函數(shù)的最大值是—4,

/.m2—4—(—4)=3,解得?7i=四(舍去)或?7i二一四(舍去)；

當(dāng)0V?72V］時(shí)，函數(shù)的最小值是一4,函數(shù)的最大值是m2—2m—3,

m2—2m—3—(—4)=3,解得恒二，^+1(舍去)或??i=—四+1(舍去)；

綜上所述，此時(shí)館的值為一1或2.

10.如圖，拋物線沙=/+匕力+c與c軸交于4B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)人的坐標(biāo)為(―3,0),與g軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)

D(-2,-3)在拋物線上.

(1)求拋物線的解析式；

⑵拋物線的對稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P求出PA+PD的最小值；

(3)若拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)Q，使△ZBQ的面積為6,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).??

【答案】(1)9—X2+2X—3

(2)372

(3)(0,—3)或(—2,—3)或(—1+A/7,3)或(―1—,3)

【分析】本題是二次函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式、將軍飲馬最值問題、面積問題,解題關(guān)

鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求拋物線解析式，學(xué)會(huì)利用對稱解決最短問題，用方程的思想去思考問題.

(1)把4、。兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)沙="+紅+c,解方程組即可解決；

(2)利用軸對稱找到點(diǎn)P,用勾股定理即可解決；

(3)根據(jù)三角形面積公式，列出方程即可解決.

【詳解】⑴解：.?.二次函數(shù)沙="+H+c的圖象經(jīng)過人(一3,0),。(一2,-3),

.[9—3b+c=0

"l4-26+c=-3,

解得:尸R,

[c=-3

/.二次函數(shù)解析式為夕=/+2c—3;

⑵解：；拋物線沙="+2c—3的對稱軸為直線,=--^—=-1,。(一2,-3),<7(0,-3),

2X1

C、。關(guān)于拋物線的對稱軸為直線力=一1對稱，

：.PA+PD=PA+PCf

當(dāng)人、「、。共線時(shí)，24+「。最小，

連接AC與對稱軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)P,

.?.R4+P。的最小值為3V2;

⑶解：設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)(m,m2+2m—3),

令n=o,劣2+2劣—3=0,

解得：力=—3或1,

???點(diǎn)B坐標(biāo)(1,0),

??.AB=4,

S^ABQ—6,

X4?|m2+2m—3|=6,

|m2+2m—3|=3,

/.rn+2m—6=0或m+2m=0,

TTL=0或一2或-1+A/7或一1一T,

???點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,—3)或(-2,—3)或(-1+T,3)或(-1—A/7,3).

11.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角△48。的直角頂點(diǎn)。和另一個(gè)頂點(diǎn)4(—1,0)均在力軸上，47=

BC=5，拋物線y=ax2—2ax+c經(jīng)過A、8兩點(diǎn).

備用圖???

⑴求拋物線的解析式；

⑵若點(diǎn)P是電△ABC斜邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與4B重合),過點(diǎn)P作7軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q,當(dāng)線

段PQ的長度最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作c軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q,是否存在點(diǎn)P,使以P、Q、8、C

為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在,請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)：如果不存在，請說明理由.

【答案］⑴U=/—2劣一3

3+V55+V53-V55-V53+3V55+3V53-3V55-3V5

【分析】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，平行四邊形的分類，一元二次方程的解法等知識，解決問題的關(guān)

鍵是熟練掌握二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識.

(1)先求得B(4,5),然后將4口兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式，求得a,c的值，進(jìn)而求得結(jié)果；

⑵先求得直線的解析式,進(jìn)而設(shè)P(m,m+1),表示出Q坐標(biāo)，從而表示出PQ的表達(dá)式,進(jìn)一步求得結(jié)

果；

(3)可得出PQ/。/BC,=5,從而根據(jù)PQ=列出方程|—m2+3巾+41=5,進(jìn)而分別解方程一m2+

3m+4=5和方程-7?2+3m+4=—5,進(jìn)一步得出結(jié)果.

【詳解】⑴解：?.?A(-L,O),AC=5,

.??C(4,0),

：BC=5,

.\B(4,5),

把？1(—1,0),B(4,5)代入夕=ax2—2ax+c得：

.1Q+2Q+C=0

??(16a-8Q+C=5'

lc=—3

：.y=x2—2x—3;

⑵解:設(shè)直線AB的解析式為:y=k岔+b,

把力(一1,0),8(4,5)代入得:

.(-k+b=Q

'(4k+b=5'

ffc=l

=

?,?直線AB的解析式為g=c+l,

設(shè)P(nz,m+1),Q(m,m2—2m—3),

PQ=(m+1)—(m2—2m—3)=—m2+3m+4

.?.當(dāng)m=1■時(shí),PQ最L苧，

止3j./3￥315

當(dāng)館二5n時(shí)，5)-2Xy-3=--,

?山旦工.

⑶解：設(shè)_P(?n,7n+l),Q(m,m2—2m—3),

/.PQ=—m2+3m+4,??

???PQ〃BC,BC=5,

|—m2+3m+4|=5,

當(dāng)—m?+3m+4=5時(shí)，

3+V53-V5

mi=一2一，砧=2一一'

*_3+V5,_5+V5

-3m-n時(shí)+，771+n1=,

,43+湘5+勺

出_3-V5什_5-V5

.p/3-V55-V5\

,?氣2'2）'

當(dāng)一m?+3m+4=—5時(shí)，

3+3V53-3V5

g=,m4=,

出_3+3V5n+,[_5+3函