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文檔簡介
專題16反比例函數(shù)與幾何圖形綜合題
(與面積、其他有關(guān))
類型一與面積有關(guān)
1.(2022?山東泰安)如圖,點(diǎn)A在第一象限,軸,垂足為C,OA=245,tanA=1,
反比例函數(shù)>=上的圖像經(jīng)過。4的中點(diǎn)B,與AC交于點(diǎn)D.
⑴求k值;⑵求AOBD的面積.
319
2.(2022?四川瀘州)如圖,直線尸-5一與反比例函數(shù)y1的圖象相交于點(diǎn)A‘B,
己知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為6
⑴求6的值;(2)若點(diǎn)C是x軸上一點(diǎn),且AASC的面積為3,求點(diǎn)C的坐標(biāo).
3.(2022?四川樂山)如圖,己知直線1:y=x+4與反比例函數(shù)y=&(x〈0)的圖象交于點(diǎn)A(-
X
1,n),直線1'經(jīng)過點(diǎn)A,且與1關(guān)于直線x=-l對稱.(1)求反比例函數(shù)的解析式;(2)求
圖中陰影部分的面積.
4.(2022?甘肅武威)如圖,B,C是反比例函數(shù)y=上(k#0)在第一象限圖象上的點(diǎn),過
X
點(diǎn)B的直線y=x-l與x軸交于點(diǎn)A,CD,x軸,垂足為D,CD與AB交于點(diǎn)E,0A=AD,CD=3.
(1)求此反比例函數(shù)的表達(dá)式;(2)求4BCE的面積.
5.(2022?四川遂寧)已知一次函數(shù)(a為常數(shù))與x軸交于點(diǎn)A,與反比例函數(shù)
必=色交于B、C兩點(diǎn),B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2.
X
(1)求出一次函數(shù)的解析式并在圖中畫出它的圖象;
(2)求出點(diǎn)C的坐標(biāo),并根據(jù)圖象寫出當(dāng)%<當(dāng)時(shí)對應(yīng)自變量x的取值范圍;
(3)若點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱,求出4ACD的面積.
6.(2022?江蘇連云港)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=的圖
(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式;(2)求△POQ的面積.
7.(2022?重慶)已知一次函數(shù),=丘+。(左工0)的圖象與反比例函數(shù)y=:的圖象相交于點(diǎn)
(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式,并在圖中畫出這個(gè)一次函數(shù)的圖象;
(2)根據(jù)函數(shù)圖象,直接寫出不等式丘+的解集;
x
⑶若點(diǎn)C是點(diǎn)3關(guān)于y軸的對稱點(diǎn),連接AC,BC,求AABC的面積.
8.(2021?四川廣安市?中考真題)如圖,一次函數(shù)為=依+匕(左#0)的圖象與反比例函
數(shù)為=生(加H。)的圖象交于A(-l,n),5(3,—2)兩點(diǎn).
X
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)點(diǎn)尸在x軸上,且滿足△AB尸的面積等于4,請直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).
9.(2021?四川樂山市?中考真題)如圖,直線/分別交x軸,,軸于A、B兩點(diǎn),交反比
k
例函數(shù)y=—(4w0)的圖象于P、。兩點(diǎn).若AB=2BP,且AAOB的面積為4
(1)求左的值;
(2)當(dāng)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為—1時(shí),求△P。。的面積.
10.(2021?河南中考真題)如圖,大、小兩個(gè)正方形的中心均與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)0
重合,邊分別與坐標(biāo)軸平行,反比例函數(shù)y=勺的圖象與大正方形的一邊交于點(diǎn)A(l,2),
且經(jīng)過小正方形的頂點(diǎn)B.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)求圖中陰影部分的面積.
11.(2021?湖南株洲市?中考真題)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系。孫中,一次函數(shù)y=2%
的圖像/與函數(shù)y=々4>0,X>0)的圖像(記為「)交于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作A3y軸于點(diǎn)B,
且A3=l,點(diǎn)C在線段08上(不含端點(diǎn)),且OC=/,過點(diǎn)C作直線4//X軸,交/于
點(diǎn)、D,交圖像r于點(diǎn)E.
(1)求左的值,并且用含f的式子表示點(diǎn)。的橫坐標(biāo);
(2)連接?!?、BE、AE,記△O3E、△ADE的面積分別為H、S2,設(shè)。=號—S2,
求U的最大值.
12.(2021?四川資陽市?中考真題)如圖,已知直線丁=依+匕(左/0)與雙曲線丁=自相
X
交于4(",3)、5(3,〃)兩點(diǎn).
(1)求直線AB的解析式;
(2)連結(jié)AO并延長交雙曲線于點(diǎn)C,連結(jié)3C交x軸于點(diǎn)D,連結(jié)A。,求△A3。的面
積.
13.(2020?遂寧)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,己知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)B的坐標(biāo)為
(1,0),連結(jié)AB,以AB為邊在第一象限內(nèi)作正方形ABCD,直線BD交雙曲線y」(kWO)
X
于D、E兩點(diǎn),連結(jié)CE,交x軸于點(diǎn)F.
(1)求雙曲線y=K(kWO)和直線DE的解析式.
X
(2)求4DEC的面積.
14.(2020?泰安)如圖,已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)丫=巴的圖象交于點(diǎn)A
X
(3,a),點(diǎn)B(14-2a,2).
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若一次函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)。的對稱點(diǎn),求4ACD的面積.
15.(2020?棗莊)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=3+5和y=-2x的圖象相交于
點(diǎn)A,反比例函數(shù)y=V的圖象經(jīng)過點(diǎn)A.
X
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)設(shè)一次函數(shù)y=;x+5的圖象與反比例函數(shù)y=K的圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為B,連接0B,求
2x
△AB0的面積.
16.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=x+l的圖象與x軸,y軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A,
點(diǎn)B,與反比例函數(shù)丁=幺(左力0)的圖象交于C,D兩點(diǎn),軸于點(diǎn)E,連接OE,
X
AC=3A/2.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△€£血的面積.
17.已知一次函數(shù)y=丘+6與反比例函數(shù)y=—的圖象交于4-3,2)、3(1,〃)兩點(diǎn).
x
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)求AAOB的面積;
(3)點(diǎn)P在x軸上,當(dāng)為等腰三角形時(shí),直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).
18..如圖,反比例函數(shù)y=X與一次函數(shù)y=—%—(左+1)的圖象在第二象限的交點(diǎn)為4,
X
在第四象限的交點(diǎn)為C,直線A0(。為坐標(biāo)原點(diǎn))與函數(shù)y=月的圖象交于另一點(diǎn)3.過
點(diǎn)4作V軸的平行線,過點(diǎn)3作%軸的平行線,兩直線相交于點(diǎn)E,的面積為6.
k
(1)求反比例函數(shù)y=—的表達(dá)式;
x
(2)求點(diǎn)A,C的坐標(biāo)和△AOC的面積.
19.如圖,在直角坐標(biāo)系中,直線y尸ax+b與雙曲線丫2=x(kWO)分別相交于第二、四象
x
2
限內(nèi)的A(m,4),B(6,n)兩點(diǎn),與x軸相交于C點(diǎn).已知0C=3,tanZACO=-.
3
(1)求y,y,對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求AAOB的面積;
(3)直接寫出當(dāng)x<0時(shí),不等式ax+b>上的解集.
X
20.如圖,一次函數(shù)丫=履+6的圖像與反比例函數(shù)y=—(x<0)的圖像交于
x
4(—3,"),5(—1,—3)兩點(diǎn),過點(diǎn)A作ACLOP于點(diǎn)C.
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)求四邊形ABOC的面積.
21.如圖在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)>=丘+6的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(O,T)、3(2,0)交反比
例函數(shù)y=生(%〉0)的圖像于點(diǎn)C(3,a),點(diǎn)尸在反比例函數(shù)的圖像上,橫坐標(biāo)為〃
X
(0<n<3),尸Q//y軸交直線A6于點(diǎn)Q,。是V軸上任意一點(diǎn),連接尸。、QD.
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)求VDPQ面積的最大值.
Q
22.如圖,正比例函數(shù)〉=丘的圖像與反比例函數(shù)丁=—(%>0)的圖像交于點(diǎn)4(。,4).點(diǎn)B
為X軸正半軸上一點(diǎn),過B作X軸的垂線交反比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)C,交正比例函數(shù)的圖像
于點(diǎn)D.
(1)求a的值及正比例函數(shù)y=履的表達(dá)式;
(2)若BD=10,求38的面積.
23.如圖,已知一次函數(shù)為=履+6與反比例函數(shù)為=—的圖象在第一、三象限分別交于
x
A(6,l),3(a,—3)兩點(diǎn),連接Q4,0B.
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)AAOB的面積為;
(3)直接寫出%〉為時(shí)x的取值范圍.
24.如圖,反比例函數(shù)%=—(x>0)和一次函數(shù)%=依+。的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A(L4)和點(diǎn)
35,2).
(1)m=,n=
(2)求一次函數(shù)的解析式,并直接寫出%<%時(shí)x的取值范圍;
m
(3)若點(diǎn)P是反比例函數(shù)%=一(%〉0)的圖象上一點(diǎn),過點(diǎn)P作PM_Lx軸,垂足為M,
x
則△尸的面積為.
312
25.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知一次函數(shù)y=—九+/?的圖象與反比例函數(shù)y二—
2%
的圖象相交于A,B兩點(diǎn).且點(diǎn)A的坐標(biāo)為6).
(1)求該一次函數(shù)的解析式;
(2)求AAOB的面積.
26.在平面直角坐標(biāo)系x0y中,反比例函數(shù)y=一(%>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)43,4),過點(diǎn)A
x
的直線>=履+6與x軸、y軸分別交于3,。兩點(diǎn).
(2)若AAOB的面積為ABOC的面積的2倍,求此直線的函數(shù)表達(dá)式.
27.如圖,反比例函數(shù)y=X(kw0,x>0)的函數(shù)與y=2x的圖象相交于點(diǎn)C,過直線上一點(diǎn)
x
A(a,8)作AABLy軸交于點(diǎn)B,交反比函數(shù)圖象于點(diǎn)D,且AB=4BD.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)求四邊形OCDB的面積.
28.如圖,己知一次函數(shù)>=履+匕的圖象與反比例函數(shù)y=—的圖象交于點(diǎn)A(3,a),點(diǎn)
x
5(14—2a,2).
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若一次函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)0的對稱點(diǎn),求的面積.
29.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=g%+5和y=-2%的圖象相交于點(diǎn)
A,反比例函數(shù)y=2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A.
x
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;
1人
(2)設(shè)一次函數(shù)y=-x+5的圖象與反比例函數(shù)y=—的圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為3,
2x
連接08,求AABO的面積.
30.如圖,已知點(diǎn)4-2,-2)在雙曲線丁=月上,過點(diǎn)4的直線與雙曲線的另一支交于點(diǎn)
x
B(l,a).
(1)求直線A5的解析式;
(2)過點(diǎn)3作BCLx軸于點(diǎn)C,連結(jié)AC,過點(diǎn)C作CD,AB于點(diǎn)。.求線段CD的
長.
類型二與其他有關(guān)
31.(2022?江蘇蘇州)如圖,一次函數(shù)丁=米+2/工0)的圖像與反比例函數(shù)
y=尤>0)的圖像交于點(diǎn)4(2,〃),與y軸交于點(diǎn)B,與x軸交于點(diǎn)C(Y,O).
X
7
⑴求k與m的值;(2)尸(。,0)為x軸上的一動點(diǎn),當(dāng)4APB的面積為萬時(shí),求a的值.
32.(2022?湖北黃岡)如圖,已知一次函數(shù)yi=kx+b的圖像與函數(shù)y?=—(x>0)的圖
像交于A(6,B(1,n)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,將直線AB沿y軸向上平移t個(gè)單
位長度得到直線DE,DE與y軸交于點(diǎn)F.
⑴求外與力的解析式;(2)觀察圖像,直接寫出y1<yz時(shí)x的取值范圍;
⑶連接AD,CD,若4ACD的面積為6,則t的值為.
2
33.(2022?湖南株洲)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系電中,點(diǎn)A、3分別在函數(shù)%=—(x<0)、
x
k
左>。)的圖象上,點(diǎn)C在第二象限內(nèi),4。,彳軸于點(diǎn)尸,8。,丫軸于點(diǎn)。,連
接AB、PQ,已知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為一2.
(1)求點(diǎn)A的橫坐標(biāo);(2)記四邊形APQ8的面積為S,若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2,試用含%的代
數(shù)式表示S.
34.(2021?四川瀘州市?中考真題)一次函數(shù)丫=1?+6(kWO)的圖像與反比例函數(shù)y=—
x
的圖象相交于A(2,3),B(6,n)兩點(diǎn)
(1)求一次函數(shù)的解析式
(2)將直線AB沿y軸向下平移8個(gè)單位后得到直線1,1與兩坐標(biāo)軸分別相交于M,N,與
反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)P,Q,求絲的值
MN
35.(2021?山東東營市?中考真題)如圖所示,直線>=左逮+6與雙曲線y=2交于A、
X
B兩點(diǎn),已知點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為-3,直線AB與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)。(0,-2),04=百,
tanZAOC=—.
2
(1)求直線AB的解析式;
(2)若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn),△OCP的面積是△0D6的面積的2
倍,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)直接寫出不等式匕x+的解集.
36.(2021?山東聊城市?中考真題)如圖,過C點(diǎn)的直線丫=-;x-2與x軸,y軸分別
k
交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn),且BC=AB,過點(diǎn)C作CH,x軸,垂足為點(diǎn)H,交反比例函數(shù)y=—(x
>0)的圖象于點(diǎn)D,連接0D,ZiODH的面積為6
(1)求k值和點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)如圖,連接BD,0C,點(diǎn)E在直線y=-gx-2上,且位于第二象限內(nèi),若4BDE的面
積是△OCD面積的2倍,求點(diǎn)E的坐標(biāo).
k
37.(2021?湖北黃岡市?中考真題)如圖,反比例函數(shù)丁=一上的圖象與一次函數(shù)丁二儂+〃
%
的圖象相交于4(。,—1),3(—1,3)兩點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)N(r,O)是正半軸上的一個(gè)動點(diǎn),過點(diǎn)N作NMLx軸交
反比例函數(shù)y='的圖象于點(diǎn)M,連接CN,OM.若S四邊形COMN〉3,求t的取值范圍.
X
|vn
38.(2021?山東泰安市?中考真題)如圖,點(diǎn)P為函數(shù)y=—x+1與函數(shù)y=—(x〉0)圖
2x
象的交點(diǎn),點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4,軸,垂足為點(diǎn)B.
(2)點(diǎn)M是函數(shù)y=—(x〉0)圖象上一動點(diǎn),過點(diǎn)M作皿3P于點(diǎn)D,若
tanZPMD=—,求點(diǎn)M的坐標(biāo).
2
39.(2020?成都)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,反比例函數(shù)y=三(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(3,
4),過點(diǎn)A的直線y=kx+b與x軸、y軸分別交于B,C兩點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若△AOB的面積為△BOC的面積的2倍,求此直線的函數(shù)表達(dá)式.
40.(2020?荷澤)如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=巴的圖象相交于A(1,
X
2),B(n,-1)兩點(diǎn).
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)直線AB交x軸于點(diǎn)C,點(diǎn)P是x軸上的點(diǎn),若4ACP的面積是4,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
T
41.(2020?綏化)如圖,在矩形0ABC中,AB=2,BC=4,點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn),反比例函數(shù)
yi=-(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D,交BC邊于點(diǎn)E,直線DE的解析式為y2=mx+n(mWO).
X
(1)求反比例函數(shù)y-人(x>0)的解析式和直線DE的解析式;
X
(2)在y軸上找一點(diǎn)P,使4PDE的周長最小,求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,4PDE的周長最小值是—逐+g_.
k
42.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)yi=ax+b的圖象與反比例函數(shù)丫2=—的圖象
X
交于點(diǎn)A(l,2)和B(—2,m).
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)請直接寫出力>丫2時(shí),X的取值范圍;
(3)過點(diǎn)B作BE//X軸,ADLBE于點(diǎn)D,點(diǎn)C是直線BE上一點(diǎn),若AC=2CD,求點(diǎn)
C的坐標(biāo).
43.如圖所示,一次函數(shù)y=+w0)的圖象與反比例函數(shù)y=-(k^0)的圖象交于
第二、四象限的點(diǎn)4(—2,和點(diǎn)6優(yōu),—1),過A點(diǎn)作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)C,△AOC
的面積為4.
(1)分別求出。和b的值;
k
(2)結(jié)合圖象直接寫出"a+〃〉一中x的取值范圍;
(3)在y軸上取點(diǎn)尸,使P5-Q4取得最大值時(shí),求出點(diǎn)尸的坐標(biāo).
44.如圖,已知點(diǎn)4(1,2)、鞏5,〃)(〃>0),點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動點(diǎn),反比例函數(shù)
y=:(x>0)的圖像經(jīng)過點(diǎn)P.小明說:“點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)B的過程中,k值逐漸增大,
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A位置時(shí)k值最小,在點(diǎn)B位置時(shí)k值最大.”
(1)當(dāng)〃=1時(shí).
①求線段AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式.
②你完全同意小明的說法嗎?若完全同意,請說明理由;若不完全同意,也請說明理由,并
求出正確的k的最小值和最大值.
(2)若小明的說法完全正確,求n的取值范圍.
45.如圖,一次函數(shù)>=履+6的圖象與反比例函數(shù)y='的圖象相交于A(l,2),
兩點(diǎn).
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)直線A3交x軸于點(diǎn)。,點(diǎn)p是x軸上的點(diǎn),若△ACP的面積是4,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).
46.如圖,已知反比例函數(shù)丁=月的圖象與直線丁=奴+人相交于點(diǎn)4—2,3),B(l,m).
(1)求出直線丁=ax+b的表達(dá)式;
(2)在x軸上有一點(diǎn)P使得△P4B的面積為18,求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
k
47.如圖,在矩形Q43c中,筋=2,5。=4,點(diǎn)D是邊的中點(diǎn),反比例函數(shù)芳=勺。>0)
尤
的圖象經(jīng)過點(diǎn)D,交5c邊于點(diǎn)E,直線OE的解析式為為=7加+〃(根。0)?
k
(1)求反比例函數(shù)%=勺《>0)的解析式和直線OE的解析式;
X
(2)在y軸上找一點(diǎn)P,使的周長最小,求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,的周長最小值是
48.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xQy中,反比例函數(shù)y=:(x〉O)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A[4,1],
點(diǎn)3在V軸的負(fù)半軸上,AB交x軸于點(diǎn)C,。為線段AB的中點(diǎn).
(1)m=,點(diǎn)。的坐標(biāo)為;
(2)若點(diǎn)。為線段上的一個(gè)動點(diǎn),過點(diǎn)。作。石〃y軸,交反比例函數(shù)圖像于點(diǎn)E,
求△QDE面積的最大值.
專題16反比例函數(shù)與幾何圖形綜合題
(與面積、其他有關(guān))
類型一與面積有關(guān)
1.(2022?山東泰安)如圖,點(diǎn)A在第一象限,4。,%軸,垂足為(;,04=2百,tanA=;,
k
反比例函數(shù)>=—的圖像經(jīng)過。4的中點(diǎn)B,與AC交于點(diǎn)D.
x
⑴求k值;⑵求的面積.
3
【答案】(1)2(2)1
【分析】(1)在RMACO中,ZACO=90°,tanA=;,再結(jié)合勾股定理求出OC=2,AC=4,
得到A(2,4),再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出3(1,2),求出%值即可;
(2)在平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積,找平行于坐標(biāo)軸的邊為底,根據(jù)AD〃y軸,選擇
AD為底,利用S40BD=S^OAD~S&BAD代值求解即可得出面積.
(1)解:根據(jù)題意可得,
在R/AACO中,ZACO=90°,tanA=-,
2
:.AC=2OC,
OC2+(2OC)2=(2A/5)2,
/.OC=2,AC=4,
.?.A(2,4),
???的中點(diǎn)是B,
二3(1,2),
:.k=2;
⑵解:當(dāng)%=2時(shí),y=1,
,AD=4—1=3,
=1X13
?*S&OBD=^△OA£)—S4BAD~3x2——x3x^2—1^=—.
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì),涉及到勾股定理,三角函數(shù)求線段長,中點(diǎn)坐
標(biāo)公式、待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式中的3平面直角坐標(biāo)系中三角形面積的求解,熟練掌
握反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.
3I?
2.(2022?四川瀘州)如圖,直線y=-彳犬+人與反比例函數(shù)y=—的圖象相交于點(diǎn)A,B,
2x
已知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為6
⑴求b的值;(2)若點(diǎn)。是1軸上一點(diǎn),且△ABC的面積為3,求點(diǎn)。的坐標(biāo).
【答案】(l)b=9(2)C(4,0),或C(8,0)
123
【分析】(1)把y=6代入y=—得到x=2,得到A(2,6),把A⑵6)代入y=-7工+人得到
x2
b=9;
[3八
y=——x+9
(2)解方程組;2,得到x=2(舍去),或x=4,12y=q=3,得到B(4,3),設(shè)C(x,0),
IN4
y二一
lX
直線與X軸交點(diǎn)為D,過點(diǎn)A作AE±x軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BF±x軸于點(diǎn)F,得到AE=6,BF=4,
根據(jù)>=一5%+9=0時(shí),x=6,得到D(6,0),推出。。二K一6],根據(jù)S/BC=-
113
=^CDAE--CDBF=-|x-6|=3,求得x=3,或x=9,得到C(4,0),或C(8,0).
3I?
(1)解:??,直線>=-71+匕與反比例函數(shù)》=一的圖象相交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為6,
2x
x=2,
x
AA(2,6),
3
6——x2+Z7,b=9;
2
3
y=——x+9
3I?
2即->+9=上,
122x
y=—
X
,x=2(舍去),或x=4,
.-^-
..yy43
AB(4,3),
設(shè)C(x,O),直線與x軸交點(diǎn)為D,過點(diǎn)A作AELx軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BFLx軸于點(diǎn)F,
則AE=6,BF=3,
3
y=——%+9=。時(shí),x=6,
2
???D(6,0),
CD=|x—6|,
??0AABC一Q殍CD
=-CDAE--CDBF
22
=;CD(AE-BF)
=||x-6|(6-3)
=|k-6|,
,?eS^ABC=3,
3
—|x-6|=3,x—6=±2,
/.x=4,或x=8,
AC(4,0),或C(8,0)?
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù),三角形面積,解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握
一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì),待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,三角形面積計(jì)算公式.
k
3.(2022?四川樂山)如圖,己知直線1:y=x+4與反比例函數(shù)y=£(x<0)的圖象交于點(diǎn)A(-
x
1,n),直線1'經(jīng)過點(diǎn)A,且與1關(guān)于直線x=-l對稱.(1)求反比例函數(shù)的解析式;(2)求
圖中陰影部分的面積.
【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為y=-±3;
x
(2)圖中陰影部分的面積為7.
【分析】(1)先求得點(diǎn)A的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求解即可;
(2)先求得直線1'的解析式為y=-x+2,再根據(jù)圖中陰影部分的面積=S4ABC-S40CD求
解即可.
⑴解:?.?直線1:y=x+4經(jīng)過點(diǎn)A(-l,n),.,=-1+4=3,
點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,3),
?反比例函數(shù)y=-(x<0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-l,3),
X
3
...k=TX3=-3,???反比例函數(shù)的解析式為y=-一;
(2)解:?.?直線1'經(jīng)過點(diǎn)A,且與1關(guān)于直線x=T對稱,
設(shè)直線1'的解析式為y=-x+m,
把A(T,3)代入得3=l+m,解得m=2,
二直線1'的解析式為y=-x+2,
直線1:y=x+4與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為B(-4,0),
直線1':y=-x+2與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為C(2,0),與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為D(0,2),
圖中陰影部分的面積=SZ\ABC-SAOCD=-X6X3--X2X2=9-2=7.
22
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式,一次函數(shù)的性質(zhì),反比例函數(shù)點(diǎn)的
坐標(biāo)特征,正確地求得反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.
4.(2022?甘肅武威)如圖,B,C是反比例函數(shù)y=&(k#0)在第一象限圖象上的點(diǎn),過
X
點(diǎn)B的直線y=x-l與x軸交于點(diǎn)A,CD,x軸,垂足為D,CD與AB交于點(diǎn)E,0A=AD,CD=3.
(1)求此反比例函數(shù)的表達(dá)式;(2)求4BCE的面積.
【答案】⑴/⑵1
X
【分析】(1)根據(jù)直線y=x-l求出點(diǎn)A坐標(biāo),進(jìn)而確定OA,AD的值,再確定點(diǎn)C的坐標(biāo),
代入反比例函數(shù)的關(guān)系式即可;
(2)求出點(diǎn)E坐標(biāo),進(jìn)而求出EC,再求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)在第一象限的交點(diǎn)B的坐
標(biāo),由三角形的面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可.
⑴解:當(dāng)y=0時(shí),即xT=O,x=l,
即直線y=x-l與x軸交于點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),
;.OA=1=AD,
又;CD=3,
.,.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,3),
而點(diǎn)C(2,3)在反比例函數(shù)y=七的圖象上,
X
/.k=2X3=6,
...反比例函數(shù)的圖象為y=-
X;
y=x-l(-
x=3
(2)解:方程組6的正數(shù)解為
y=-[y=2
IX
:.點(diǎn)、B的坐標(biāo)為(3,2),
當(dāng)x=2時(shí),y=2-l=l,
...點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,1),即DE=1,
.?.EC=3-1=2,
.?.SABCE=1X2X(3-2)=1,
答:Z\BCE的面積為1.
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)以及待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式,將一次函
數(shù)、反比例函數(shù)的關(guān)系式聯(lián)立方程組是求出交點(diǎn)坐標(biāo)的基本方法,將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的
長是正確解答的關(guān)鍵.
5.(2022?四川遂寧)已知一次函數(shù)%=公-1(a為常數(shù))與x軸交于點(diǎn)A,與反比例函數(shù)
%=9交于仄C兩點(diǎn),B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2.
(1)求出一次函數(shù)的解析式并在圖中畫出它的圖象;
(2)求出點(diǎn)C的坐標(biāo),并根據(jù)圖象寫出當(dāng)%<%時(shí)對應(yīng)自變量x的取值范圍;
(3)若點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱,求出4ACD的面積.
【答案】(1)%=尤-1,畫圖象見解析
(2)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,2);當(dāng)時(shí),x<—2或0<x<3
⑶^AACD=2
【分析】(1)根據(jù)B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2且在反比例函數(shù)的圖象上,可以求得點(diǎn)B的坐標(biāo),
X
然后代入一次函數(shù)解析式,即可得到一次函數(shù)的解析式,再畫出相應(yīng)的圖象即可;
(2)將兩個(gè)函數(shù)解析式聯(lián)立方程組,即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo),然后再觀察圖象,即可寫出當(dāng)
yi<y2時(shí)對應(yīng)自變量x的取值范圍;
(3)根據(jù)點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱,可以寫出點(diǎn)D的坐標(biāo),然后點(diǎn)A、D、C的坐標(biāo),
即可計(jì)算出4ACD的面積.
(1)解::B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2且在反比例函數(shù)及=9的圖象上,
X
丫2二二二-3,
—2
???點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2,-3),
??,點(diǎn)B(-2,-3)在一次函數(shù)yi=ax-1的圖象上,
-3-aX(-2)-1,
解得a=l,
???一次函數(shù)的解析式為y=x-l,
Vy=x-1,
.??x=0時(shí),y=T;x=l時(shí),y=0;
???圖象過點(diǎn)(0,-1),(1,0),
函數(shù)圖象如圖所示;
..?一次函數(shù)y1=ax-l(a為常數(shù))與反比例函數(shù)y?=9交于B、C兩點(diǎn),B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2,
X
.,.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,2),
由圖象可得,當(dāng)yi<y?時(shí)對應(yīng)自變量x的取值范圍是x<-2或0Vx<3;
⑶解:?.?點(diǎn)B(-2,-3)與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱,
...點(diǎn)D(2,3),
作DE,x軸交AC于點(diǎn)E,
將x=2代入y=x-l,得y=l,
,QAArnQAanr+QAnrr(3-1)x(2-1)(3-1)x(3-2)
..SAACD=SAADE+SADEC=------------1-------------=2,
22
即4ACD的面積是2.
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,利用數(shù)
形結(jié)合的思想解答.
6.(2022?江蘇連云港)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOv中,一次函數(shù)y=ox+b(awO)的圖
像與反比例函數(shù)y=?左二0)的圖像交于尸、。兩點(diǎn).點(diǎn)尸(T,3),點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為一2.
(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式;(2)求△尸。。的面積.
【答案】⑴尸-上12,y=-白1+1(2)5
x2
【分析】(1)通過點(diǎn)P坐標(biāo)求出反比例函數(shù)解析式,再通過解析式求出點(diǎn)Q坐標(biāo),從而解出
PQ一次函數(shù)解析式;
(2)令PQ與〉軸的交點(diǎn)為M,則三角形POQ的面積為0M乘以點(diǎn)P橫坐標(biāo)除以2加上0M乘
以點(diǎn)Q橫坐標(biāo)除以2即可.
(1)將P(T,3)代入y=解得左=—12,
???反比例函數(shù)表達(dá)式為y=-上12
X
io
當(dāng)尸-2時(shí),代入)=—工,解得%=6,即。(6,—2).
將P(-4,3)、0(6,-2)代入y=ox+Z>("0),
1
-4a+b=3Cl——
得6?=-2,解得2.
b=l
.?.一次函數(shù)表達(dá)式為>=x+1.
(2)設(shè)一次函數(shù)的圖像與y軸交點(diǎn)為M,
?;P(T,3),<2(6,-2),
S△P=S&POM+S&QOM=+—xlx6=5.
【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式、求一次函數(shù)和反比例
函數(shù)圍成的三角形面積,掌握拆分法是解本題關(guān)鍵.
7.(2022?重慶)已知一次函數(shù),=丘+。(左工0)的圖象與反比例函數(shù)y=:的圖象相交于點(diǎn)
A(l,m),B(n,-2).
(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式,并在圖中畫出這個(gè)一次函數(shù)的圖象;
4
(2)根據(jù)函數(shù)圖象,直接寫出不等式b+的解集;
x
⑶若點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn),連接AC,BC,求AABC的面積.
【答案】⑴y=2無+2,圖見解析⑵一2Vx<0或x>l⑶12
【分析】(1)把A。,機(jī)),3(",-2)分別代入y=g得到m,n的值,得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo),
利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的表達(dá)式,并畫出圖象即可;
(2)由函數(shù)圖象可知,當(dāng)-2<x<0或%>1時(shí),一次函數(shù)丁=履+/人工0)的圖象在反比例
4
函數(shù)y=—的圖象的上方,即可得到答案;
x
(3)根據(jù)點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn),求出點(diǎn)C的坐標(biāo),得到BC的長,進(jìn)一步求出三角
形的面積即可.
(1)解:把A(1,M,8(〃,—2)分別代入>=:得,
T,一2」
1n
角軍得m=4,n=-2,
.?.點(diǎn)A(1,4),點(diǎn)B(-2,-2),
把點(diǎn)A(1,4),點(diǎn)B(-2,-2)代入一次函數(shù)y=Ax+b(ZwO)得,
k+b=4-
-2k+b=-2"
k=2
解得
b=2'
工一次函數(shù)的表達(dá)式是y=2x+2,
這個(gè)一次函數(shù)的圖象如圖,
(2)解:由函數(shù)圖象可知,當(dāng)-2<x<0或x>l時(shí),一次函數(shù),=履+6化wO)的圖象在反比
4
例函數(shù)y=—的圖象的上方,
4
*,*不等式kx+b>—的解集為—2<x<0或%>1;
x
(3)解:??,點(diǎn)。是點(diǎn)區(qū)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-2,-2),
???點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2,-2),
???BC=2—(-2)=4,
^^ABC=-X4X6=12.
【點(diǎn)睛】此題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題,主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一次
函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題、三角形的面積,熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)是解
題的關(guān)鍵.
8.(2021?四川廣安市?中考真題)如圖,一次函數(shù)為=依+匕(左。0)的圖象與反比例函
數(shù)為=-(?牛0)的圖象交于A(—L〃),5(3,-2)兩點(diǎn).
X
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)點(diǎn)尸在x軸上,且滿足A46尸的面積等于4,請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)%=—2%+4,y2=;(2)(1,0)或(3,0)
x
【分析】
(1)根據(jù)點(diǎn)B坐標(biāo)求出m,得到反比例函數(shù)解析式,據(jù)此求出點(diǎn)A坐標(biāo),再將A,B代入一
次函數(shù)解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,0),求出直線AB與x軸交點(diǎn),再結(jié)合4ABP的面積為4得到關(guān)
于a的方程,解之即可.
【詳解】
解:(1)由題意可得:
點(diǎn)B(3,-2)在反比例函數(shù)%二一圖像上,
%
-2=—,則川二-6,
3
A
???反比例函數(shù)的解析式為%=-一,
X
將A(-1,n)代入%=-9,
x
得:n=----=6,即A(-1,6),
—1
將A,B代入一次函數(shù)解析式中,得
-2=3k+b\k=-2
<,,,,解得:\,,,
6=-k+b[6=4
...一次函數(shù)解析式為%=—2x+4;
(2);點(diǎn)P在x軸上,
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,0),
..?一次函數(shù)解析式為%=-2X+4,令y=0,則x=2,
直線AB與x軸交于點(diǎn)(2,0),
由4ABP的面積為4,可得:
-x(^yA-yB^x\a-2\=4,即:x8x|q_2|=4,
解得:a=l或a=3,
...點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)或(3,0).
【點(diǎn)睛】
本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)相交的有關(guān)問題;通常先求得反比例函數(shù)解析式;較復(fù)雜三
角形的面積可被x軸或y軸分割為2個(gè)三角形的面積和.
9.(2021?四川樂山市?中考真題)如圖,直線/分別交x軸,,軸于A、3兩點(diǎn),交反比
k
例函數(shù)y=—(左。0)的圖象于?、。兩點(diǎn).若AB=2BP,且△AQ5的面積為4
x
(1)求左的值;
(2)當(dāng)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為—1時(shí),求△尸。。的面積.
【答案】⑴-6;(2)8
【分析】
(1)過P作尸石垂直于工軸,垂足為E,證明△ABOSAAQE.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可
SARn4
得49=20£,T3=3,由此可得S“PE=9,5,0=3.再由反比例函數(shù)比例系數(shù)k
3MPE”
的幾何意義即可求得k值.
(2)先求得「(-1,6),3(0,4),再利用待定系數(shù)法求得直線PB的解析式為y=-2尤+4.與
反比例函數(shù)的解析式聯(lián)立方程組,解方程組求得。(3,-2).再根據(jù)S.poQ=S“POB+S3B即
可求解.
【詳解】
垂足為E,
/.AABOS^AP
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