高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：概率統(tǒng)計(jì)綜合大題必刷100題

專題23概率統(tǒng)計(jì)綜合大題必刷100題

任務(wù)一:善良模式（基礎(chǔ)）「30題

1.醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)表明，X疾病在老年人中發(fā)病率較高.已知某地區(qū)老年人的男女比例為3：2,為了解X疾病

在該地區(qū)老年人中發(fā)病情況，按分層抽樣抽取100名老人作為樣本，對(duì)這100位老人是否患有X疾病進(jìn)行

統(tǒng)計(jì)，得條形圖如下所示.

圖一

（1）完成下列2X2列聯(lián)表，并判斷有沒有90%的把握認(rèn)為患X疾病與性別有關(guān)?

男性女性合計(jì)

患有X疾病

未患X疾病

合計(jì)

（2）在這100個(gè)樣本中,將未患X疾病老年人按年齡段[60,65）,[6年人），[70,75）,[75,80）,[80,85]分

成5組，得頻率分布直方圖如圖二所示.求未患病老年人的中位數(shù)（精確到小數(shù)點(diǎn)后一位）.

?n(ad-bcf,

附：K2-----------------------,其中〃=a+b+c+d.

(o+b)(c+d)(a+c)(b+d)

pg院）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

*2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）填表見解析；沒有90%的把握認(rèn)為患X疾病與性別有關(guān)；（2）中位數(shù)約為74.5.

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【分析】

（1）由分層抽樣確定樣本中老年男性、女性的人數(shù)，根據(jù)條形圖可知未患才疾病的男性、女性人數(shù)，進(jìn)

而寫出列聯(lián)表，由卡方公式求K?值，即可給出結(jié)論.

（2）由頻率直方圖中頻率和為1求參數(shù)a,根據(jù)中位數(shù)在直方圖中的性質(zhì)：其兩側(cè)面積相等，即可求中位

數(shù).

【詳解】

解：（1）由條形圖知男性共60人，女性共40人，

未患有X疾病男性有40人，未患有才疾病女性25人，完成2X2列聯(lián)表如下：

男性女性合計(jì)

患有X疾病201535

未患X疾病402565

合計(jì)6040100

計(jì)算：^J00X(20X25-40X15)^0J82<27()6

60x40x35x65

所以，沒有90%的把握認(rèn)為患X疾病與性別有關(guān).

（391S12A

（2）由頻率分布直方圖得：市+市+。+而+而卜5=1,

23

得a=M

325

設(shè)中位數(shù)為b,貝i」70<6<75.

2323231

（Z>-70）x——+5x——+5x——=-,得匹74.5

3253253252

即未患病老人的年齡中位數(shù)約為74.5.

2.品酒師需定期接受酒味鑒別功能測(cè)試，通常采用的測(cè)試方法如下：拿出〃（〃cN*且"24）瓶外觀相

同但品質(zhì)不同的酒讓品酒師品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序；經(jīng)過一段時(shí)間，等其記憶淡忘之后，再

讓其品嘗這〃瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序.這稱為一輪測(cè)試，根據(jù)一輪測(cè)試中的兩次排序的偏離

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程度的高低為其評(píng)分.現(xiàn)分別以％,%，。3,…，表示第一次排序時(shí)被排在1，2,3,”的〃種酒

在第二次排序時(shí)的序號(hào)，并令X=|l-4|+|2-%|+|3-蜀+…+則X是對(duì)兩次排序的偏離程度的

一種描述.下面取〃=4研究，假設(shè)在品酒師僅憑隨機(jī)猜測(cè)來排序的條件下，%,%,%，%等可能地為1，

2,3,4的各種排列，且各輪測(cè)試相互獨(dú)立.

(1)直接寫出X的可能取值，并求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)若某品酒師在相繼進(jìn)行的三輪測(cè)試中，都有XW2,則認(rèn)為該品酒師有較好的酒味鑒別功能.求出現(xiàn)

這種現(xiàn)象的概率，并據(jù)此解釋該測(cè)試方法的合理性.

【答案】(1)X的可能取值為0,2,4,6,8,分布列見解析，5；(2)二7,答案見解析.

216

【分析】

(1)先求出X的可能取值，根據(jù)古典概型計(jì)算公式，結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式進(jìn)行求解判斷即可.

【詳解】

解：(1)X的可能取值為0,2,4,6,8

尸(X=0)=±=-!-,尸(、=2)=與=!，尸(X=4)/+0+l=工,

A：24'''8''424

尸(x=6)/xG+g+G+i=(,尸(x=8)/：+i=1，所以X的分布列為

左4X'46

(2)記“在相繼進(jìn)行的三輪測(cè)試中都有XV2”為事件A,“在某輪測(cè)試中有XV2”為事件3,則

P(B)=P(X=0)+P{X=2)

2486

又各輪測(cè)試相互獨(dú)立，尸(⑷=P(BBB)=P(B)P(B)P(B)=

666216

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因?yàn)槭?）表示僅憑隨機(jī)猜測(cè)得到較低偏離程度的結(jié)果的概率，而尸Q）=工。0.0046,該可能性非常小，

所以我們可以認(rèn)為該品酒師確實(shí)有較好的酒味鑒別能力，不是靠隨機(jī)猜測(cè)，故這種測(cè)試合理.

3.隨著新冠疫情防控進(jìn)入常態(tài)化，人們的生產(chǎn)生活逐步步入正軌.為拉動(dòng)消費(fèi)，某市政府分批發(fā)行2億元

政府消費(fèi)券.為了解政府消費(fèi)券使用人群的年齡結(jié)構(gòu)情況，在發(fā)行完第一批政府消費(fèi)券后，該市政府采用

隨機(jī)抽樣的方法在全市市民中隨機(jī)抽取了200人，對(duì)是否使用過政府消費(fèi)券的情況進(jìn)行調(diào)查，部分結(jié)果如

下表所示，其中年齡在45歲及以下的人數(shù)占樣本總數(shù)的］,沒使用過政府消費(fèi)券的人數(shù)占樣本總數(shù)的心.

使用過政府消費(fèi)券沒使用過政府消費(fèi)券總計(jì)

45歲及以下90

45歲以上

總計(jì)200

（1）請(qǐng)將題中表格補(bǔ)充完整，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為該市市民是否使用政府消費(fèi)券與年齡有關(guān)？

（2）現(xiàn)從45歲及以下的樣本中按是否使用過政府消費(fèi)券進(jìn)行分層抽樣，抽取8人做進(jìn)一步訪談，然后再

從這8人中隨機(jī)抽取2人填寫調(diào)查問卷，則抽取的2人中恰好一個(gè)使用過政府消費(fèi)券，一個(gè)沒使用過政府

消費(fèi)券的概率為多少？

n(ad-bc)~

附：K-=,其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.150.100.050.025

k02.0722.7063.8415.024

3

【答案】（1）表格見解析，有；（2）

【分析】

（1）求出年齡在45歲及以下的人數(shù)，沒使用過政府消費(fèi)券的人數(shù)，再由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)可填寫列聯(lián)表，然

后計(jì)算K?可得結(jié)論;

（2）利用分層抽樣可知，抽取使用過政府消費(fèi)券的市民6人，沒有使用過政府消費(fèi)券的市民2人，設(shè)使

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用過政府消費(fèi)券的人為1,2,3,4,5,6,沒使用過政府消費(fèi)券的人為A,B,列出全部情況，根據(jù)古典

概型的概率計(jì)算公式即可得出結(jié)果.

【詳解】

3

解：(1)由題意得，總?cè)藬?shù)為200人，年齡在45歲及以下的人數(shù)為200x1=120人，

3

沒使用過政府消費(fèi)券的人數(shù)為200x==60人，完成表格如下：

使用過政府消費(fèi)券沒使用過政府消費(fèi)券總計(jì)

45歲及以下9030120

45歲以上503080

總計(jì)14060200

由列聯(lián)表可知-嗡察蒜普571,因?yàn)?">2.7。6,

所以有90%的把握認(rèn)為該市市民民是否使用政府消費(fèi)券與年齡有關(guān).

(2)由題意可知，

從45歲及以下的市民中采用分層抽樣的方法可以抽取使用過政府消費(fèi)券的市民6人，

沒有使用過政府消費(fèi)券的市民2人，

設(shè)使用過政府消費(fèi)券的人為1,2,3,4,5,6,沒使用過政府消費(fèi)券的人為A,B,則全部情況為：

12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56,1A,2A,3A,4A,5A,6A,1B,

23,3B,48,58,63,AB,共計(jì)28種情況，

其中，一個(gè)使用過政府消費(fèi)券，一個(gè)沒使用過政府消費(fèi)券的情況有12種，

所以恰好抽到“一個(gè)使用過政府消費(fèi)券，一個(gè)沒使用過政府消費(fèi)券”的概率為1焉2=q3.

4.為助力湖北新冠疫情后的經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇，某電商平臺(tái)為某工廠的產(chǎn)品開設(shè)直播帶貨專場(chǎng).為了對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行

合理定價(jià)，用不同的單價(jià)在平臺(tái)試銷，得到如下數(shù)據(jù)：

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單價(jià)X（元/件）88.28.48.68.89

銷量了（萬件）908483807568

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求丁關(guān)于X的線性回歸方程;

（2）若該產(chǎn)品成本是7元/件，假設(shè)該產(chǎn)品全部賣出，預(yù)測(cè)把單價(jià)定為多少時(shí)，工廠獲得最大利潤(rùn)？

2n伍__

（參考公式：回歸方程，=院+￡其中6=a=y-bxy

【答案】（1）y=-20x+250；（2）該產(chǎn)品的單價(jià)定為9.75元.

【分析】

⑴利用己知的數(shù)據(jù)先求出后，再求曲毛-力（％-班2（^,-X）2,然后利用公式求出3,再求出

從而可得到V關(guān)于x的線性回歸方程;

（2）設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為Z萬元，結(jié)合（1）可得￡="-7）（-20X+250）,化簡(jiǎn)后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可

求得答案

【詳解】

—8+8.2+8.4+8.6+8.8+9

解：⑴x=---------------------=8o.5,

6

-90+84+83+80+75+68°八

y=---------------------=80,

yi-y}=(8-8.5)(90-80)+(8.2-8.5)(84-80)+(8.4-8.5)(83-80)

+(8.6-8.5)(80-80)+(8.8-8.5)(75-80)+(9-8.5)(68-80)=-14,

6._.2

ZH-x)=(8-8.5)2+(8.2-8.5)2+(8.4-8.5)2+(8.6-8.5)2+(8.8-8.5)2

Z=1

+(9-8.5)2=0.7,

06/165

6

Z（x,-元）（乂-刃

-14

-------------------——=-20

￡（士一可-0.7

，=1

***a=>-加=80+20x8.5=250，

???回歸直線方程為歹=-20x+250.

（2）設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為上萬元，則￡=（x-7）（-20x+250）

--20（x-9.75）2+151.25,

該產(chǎn)品的單價(jià)定為9.75元時(shí)，工廠獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為151.25萬元.

5.為評(píng)估設(shè)備〃生產(chǎn)某種零件的性能，從設(shè)備〃生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取100個(gè)零件作為樣本，測(cè)

量其直徑后，整理得到下表：

直徑/初5758606162636465666768697072合計(jì)

件數(shù)11356193318442121100

經(jīng)計(jì)算，樣本的平均值“=64,標(biāo)準(zhǔn)差b=2.2,以頻率作為概率的估計(jì)值.

（1）為評(píng)估設(shè)備〃的性能，從樣本中任意抽取一個(gè)零件，記其直徑為X,并根據(jù)以下規(guī)則進(jìn)行評(píng)估（戶表

示相應(yīng)事件的頻率）：

@P（M-O-<X<M+CT）>0.6827；@P（u-2cr<X<u+2cr）>0.9545；@P（u-3<r<X<u0.9973.

若同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式，則設(shè)備〃的性能等級(jí)為甲；若滿足其中兩個(gè)不等式，則設(shè)備〃的性能等級(jí)為

乙；若僅滿足其中一個(gè)不等式，則設(shè)備〃的性能等級(jí)為丙；若全部不滿足，則設(shè)備〃的性能等級(jí)為丁.試

判斷設(shè)備〃的性能等級(jí).

（2）將直徑小于或等于u-2b或直徑大于〃+2b的零件認(rèn)為是次品.

①從設(shè)備〃的生產(chǎn)流水線上任意抽取2個(gè)零件，計(jì)算其中次品個(gè)數(shù)曠的數(shù)學(xué)期望；

②從樣本中任意抽取2個(gè)零件，計(jì)算其中次品個(gè)數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望￡億）

【答案】（1）設(shè)備〃的性能等級(jí)為丙；（2）①0.12；②Q12.

【分析】

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（1）由題意分別計(jì)算出三種情況的結(jié)果，即可判斷出性能等級(jí)；（2）①由題意可得次品共6個(gè)，次品率

為0.06,然后計(jì)算出數(shù)學(xué)期望，②先列出分布列，然后計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

(1)因?yàn)槭?〃-er<X<u+a)=尸(61.8<X<66.2)=0.8>0.6827,

尸(〃一2b<XM〃+2cr)=尸(59.6<X468.4)=0.94<0.9545,

P(ti-3<T<X<M+3cr)=P(57.4<X<70.6)=0.98<0.9973,

所以設(shè)備〃的性能等級(jí)為丙.

(2)易知樣本中次品共6個(gè)，可估計(jì)設(shè)備〃生產(chǎn)零件的次品率為0.06.

①由題意可知Y?8(2,0.06),于是￡(Y)=2x0.06=0.12.

②Z的分布列為

Z012

C2c2

P二94J

C2C2

JooGooJoo

C2C23

故E(Z)=0x/+lxk+2xL*=0.12.

^100^100^100/‘

6.某校高三年級(jí)共有學(xué)生1200人，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，所有學(xué)生的出生月份情況如表:

月份123456789101112

人數(shù)180110120160130100805090705060

（1）從該年級(jí)隨機(jī)選取一名學(xué)生，求該學(xué)生恰好出生在上半年（1-6月份）的概率;

（2）為了解學(xué)生考試成績(jī)的真實(shí)度，也為了保護(hù)學(xué)生的個(gè)人隱私，現(xiàn)從全體高三學(xué)生中隨機(jī)抽取120人

進(jìn)行問卷調(diào)查，對(duì)于每個(gè)參與調(diào)查的同學(xué)，先產(chǎn)生一個(gè)（0,1）范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)“，若aW0.4,則該同學(xué)回

答問題A,否則回答問題8,問題A：您是否出生在上半年（1-6月份）？，問題3：您是否在考試中有過

作弊行為？，假設(shè)在問卷調(diào)查過程中，問題只對(duì)參與者本人可見，且每個(gè)參與的同學(xué)均能如實(shí)回答問題且

相互獨(dú)立，若最后統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示回答“是”的人數(shù)為38,貝！|：

①求該年級(jí)學(xué)生有作弊情況的概率;

08/165

②若從該年級(jí)隨機(jī)選取10名同學(xué)，記其中有過作弊行為的人數(shù)為x,求x的數(shù)學(xué)期望E（x）和方差。（x）.

【答案】（1）（2）①,；②E（x）=,D（x）=!|.

【分析】

（1）利用古典概型的概率公式求解即可；

（2）①分別求出回答問題A和問題8的概率，設(shè)該年級(jí)學(xué)生有作弊情況的概率為P,求出回答問題A和問

題B的人數(shù)，列出關(guān)于尸的等式，求解即可；

②由題意，X服從二項(xiàng)分布，然后由數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算公式求解即可.

【詳解】

（1）由題意可得，該年級(jí)隨機(jī)選取一名學(xué)生，求該學(xué)生恰好出生在上半年（1-6月份）的概率為

180+110+120+160+130+100_2

1200-3；

（2）①回答問題A的概率為牛=|,回答問題3的概率為第=g,上半年出生的概率為：，

設(shè)該年級(jí)學(xué)生有作弊情況的概率為P，

22

故回答問題A的人數(shù)為120x=X7=32人，

53

3

回答問題8的人數(shù)為120x《.尸=72尸人，

所以32+72尸=38,解得尸=’,

12

所以該年級(jí)學(xué)生有作弊情況的概率為上；

12

②由題意，X服從二項(xiàng)分布，即X?

所以E（X）=10x』=，以丫）=10'/11一"卷.

12Oizizy/z

7.有一種雙人游戲，游戲規(guī)則如下：雙方每次游戲均從裝有5個(gè)球的袋中（3個(gè)白球和2個(gè)黑球）輪流摸出

1球（摸后不放回），摸到第2個(gè)黑球的人獲勝，同時(shí)結(jié)束該次游戲，并把摸出的球重新放回袋中，準(zhǔn)備下

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一次游戲.

(1)求先摸球者獲勝的概率；

(2)小李和小張準(zhǔn)備玩這種游戲，約定玩3次，第一次游戲由小李先摸球，并且規(guī)定某一次游戲輸者在

下一次游戲中先摸球.每次游戲獲勝得1分，失敗得0分.記3次游戲中小李的得分之和為X,求X的分布

列和數(shù)學(xué)期望￡(X).

41QR

【答案】(1)(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：葭.

【分析】

(1)按游戲進(jìn)行3輪或5輪進(jìn)行分類討論，由此求得先摸球者獲勝的概率.

(2)按照相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，計(jì)算出分布列并求得數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

(1)先摸球者獲勝，則游戲進(jìn)行3輪或5輪

31112311

3輪:白黑黑:英、3=6黑白黑：rrrw-

5輪：最后一球?yàn)楹谇颍核韵让蛘攉@勝的概率為J+J+1=?

X-zcJJ.UXUJJ

(2)。的所有可能取值為:0?1?2?3,

P（X=0）=

555555555125

尸（X=2）=，2XL，，LM，2=殳,

555555555125

32212

P（X=3）=-x-x-=

555125

分布列為:

0123

10/165

8485712

P

125125125125

8148c57cl2198

￡(X)=0x——+lx——+2x——+3x——=——

125125125125125

8.隨著改革開放的不斷深入，祖國(guó)不斷富強(qiáng)，人民生活水平逐步提高，為了進(jìn)一步改善民生，2019年1

月1日起我國(guó)實(shí)施了個(gè)人所得稅的新政策，新政策的主要內(nèi)容包括：①個(gè)稅起征點(diǎn)為5000元；②每月應(yīng)

納稅所得額（含稅）=（收入）-（個(gè)稅起征點(diǎn)）-（專項(xiàng)附加扣除）；③專項(xiàng)附加扣除包括贍養(yǎng)老人?子女教育?繼

續(xù)教育?大病醫(yī)療等.新個(gè)稅政策下贍養(yǎng)老人的扣除標(biāo)準(zhǔn)為：獨(dú)生子女每月扣除2000元，非獨(dú)生子女與其

兄弟姐妹按照每月2000元的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)偪鄢?，但每個(gè)人的分?jǐn)傤~度不能超過1000元；子女教育的扣除標(biāo)準(zhǔn)

為：每個(gè)子女每月扣除1000元（可由父母中的一方扣除，或者父母雙方各扣除500元）稅率表如下：

級(jí)數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率

1不超過3000元的部分3%

2超過3000元至12000元的部分10%

3超過12000元至25000元的部分20%

4超過25000元至35000元的部分25%

???…???

頻率

小組距

0.16----------------

0.14■

0.12——1—

0.10----------------------

0.08■

0.06----------------------------

0.04---------------------------------

0.02--------------------------------------

0-I~~~~~~~~――

3579111315千元)

（I）稅務(wù)部門在小李所在公司用分層抽樣方法抽取某月100位不同層次員工的稅前收入，并制成如圖的

頻率分布直方圖.

11/165

（i）請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該公司員工稅前收入的中位數(shù)；

（ii）同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表，在不考慮他們的專項(xiàng)附加扣除的情況下，甲？

乙兩位同學(xué)用如下兩種方法估計(jì)小李所在的公司員工該月平均納稅，請(qǐng)判斷哪位同學(xué)的方法是正確的，不

需說明理由.甲同學(xué)：0.24x0+0.32x30+0,2x90+0.12x290+0.08x490+0.04x690=129.2（元）；乙同學(xué)：

先計(jì)算收入的均值

x=0.24x4000+0.32x6000+0.2x8000+0.12x10000+0.08xl200+0.04x14000=7200（元），再利用均值計(jì)

算平均納稅為：（7200-5000）x0.03=66（元）

（2）為研究某城市月薪為20000元群體的納稅情況，現(xiàn)收集了該城市500名公司白領(lǐng)（每人至多1個(gè)孩子）

的相關(guān)資料，通過整理數(shù)據(jù)知道：這500人中有一個(gè)孩子符合子女教育專項(xiàng)附加扣除（假定由他們各自全

部扣除）的有400人，不符合子女教育專項(xiàng)附加扣除的人有100人，符合子女專項(xiàng)附加扣除的人中有300

人也符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除，不符合子女專項(xiàng)附加扣除的人中有50人符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除，

并且他們均不符合其他專項(xiàng)附加扣除（統(tǒng)計(jì)的500人中，任何兩人均不在一個(gè)家庭且為獨(dú)生子女）.若他們

的月收入均為20000元，依據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，試估計(jì)在新個(gè)稅政策下這類人群每月應(yīng)繳納個(gè)稅金額

X（單位：元）的分布列與期望.

【答案】（1）（i）中位數(shù)為6625千元；（ii）甲同學(xué)；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：1150.

【分析】

（1）（i）中位數(shù)落在第二組，設(shè)中位數(shù)為x千元，列出0.12x2+0.16（x-5）=0.5,解方程即可；（ii）利

用均值計(jì)算的公式即可得出答案.

（2）由題意得出X的所有可能取值為990,1190,1390,1590,再由題中數(shù)據(jù)求出各隨機(jī)變量的概率，列

出分布列，即可求出數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

（1）（i）由頻率分布直方圖知，中位數(shù)落在第二組，不妨設(shè)中位數(shù)為x千元，

則有0.12x2+016（x-5）=0.5,解得x=6.625（千元）

估計(jì)該公司員工收入的中位數(shù)為6625千元.

（ii）甲同學(xué)

（2）符合子女教育專項(xiàng)附加扣除且符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除的人群月應(yīng)納稅所得額

（含稅）為20000-5000-1000-2000=12000（元），

月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為90+900=990（元）；

12/165

符合子女教育專項(xiàng)附加扣除但不符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除的人群月應(yīng)納稅所得額（含稅）為

20000-5000-1000=14000（元）,

月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為90+900+400=1390（元）；

不符合子女教育專項(xiàng)附加扣除但符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除的人群月應(yīng)納稅所得額（含稅）為

20000-5000-2000=13000（元）,

月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為90+900+200=1190（元）；

不符合子女教育專項(xiàng)附加扣除且不符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除的人群月應(yīng)納稅所得額（含稅）為

20000-5000=15000（元）,

月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為90+900+600=1590（元）.

所以X的所有可能取值為990,1190,1390,1590,

Illi

產(chǎn)(X=990)=w，P(X=1190)=—,P(^=1390)=-,=1590)=—.

X的分布列為

X990119013901590

31]_1

P

510510

31

所以E(X)=990x1+1190x^+1390x-+1590x—=1150.

510

9.某市的教育主管部門對(duì)所管轄的學(xué)校進(jìn)行年終督導(dǎo)評(píng)估，為了解某學(xué)校師生對(duì)學(xué)校教學(xué)管理的滿意度

，分別從教師和不同年級(jí)的同學(xué)中隨機(jī)抽取若干師生，進(jìn)行評(píng)分（滿分100分），繪制如下頻率分布直方圖

（分組區(qū)間為[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]）,并將分?jǐn)?shù)從低到高分為四個(gè)等級(jí):

滿意度評(píng)分[0,60)[60,80)[80,90)[90,100]

滿意度等級(jí)不滿意基本滿意滿意非常滿意

己知滿意度等級(jí)為基本滿意的有340人.

（1）求表中。的值及不滿意的人數(shù)；

13/165

(2)記A表示事件”滿意度評(píng)分不低于80分”，估計(jì)A的概率;

(3)若師生的滿意指數(shù)不低于0.8,則該校可獲評(píng)“教學(xué)管理先進(jìn)單位”.根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)判斷

滿意度的平均分)

該校是否能獲評(píng)“教學(xué)管理先進(jìn)單位”？并說明理由.(注：滿意指數(shù)〃=

100

【答案】(1)a=0.036；60；(2)0.6；(3)可獲得，理由見解析.

【分析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖可得a=0.036,設(shè)不滿意的人數(shù)為x，再由比例可得

(0.002+0.004):(0.016+0.018)=x:340,即可得解；

(2)“滿意度評(píng)分不低于80分”的頻率為：(0.036+0.024)x10=0.6,即可得解;

(3)帶入師生的滿意指數(shù)為：7=0.804,即可得解.

【詳解】

(1)由頻率分布直方圖可知：

a=-^-(0.002+0.004+0.016+0.018+0.024)=0.036,

設(shè)不滿意的人數(shù)為員

則(0.002+0.004):(0.016+0.018)=x:340,

解得x=60,

故不滿意的人數(shù)為60.

(2)“滿意度評(píng)分不低于80分”的頻率為:

14/165

（0.036+0.024）x10=0.6,

因此，事件A的概率估計(jì)值為0.6.

（3）師生的滿意指數(shù)為：

45x0.02+55x0.04+65x0.16+75x0.18+85x0.36+95x0.24八

77二-----------------------------------------------------二0.804,

100

因?yàn)椤?0.8,

所以該?？色@得“教學(xué)管理先進(jìn)單位”的稱號(hào).

10.近幾年，快遞業(yè)的迅速發(fā)展導(dǎo)致行業(yè)內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)日趨激烈.某快遞網(wǎng)點(diǎn)需了解一天中收發(fā)一件快遞的平均

成本y（單位：元）與當(dāng)天攬收的快遞件數(shù)X（單位：千件）之間的關(guān)系，對(duì)該網(wǎng)點(diǎn)近5天的每日攬件量七（單

位：千件）與當(dāng)日收發(fā)一件快遞的平均成本%（單位；元）（?=1,2,3,4,5）數(shù)據(jù)進(jìn)行了初步處理，得到下

面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

樣件平均

成本，阮

8?

6?

■

4?

2

o246810每日撥件數(shù)

里V千件

￡（嗎f）（%-y）￡（x,-x）2￡（叱-可2

XyW

Z=1Z=1Z=1

45.160.415-13.22.028300.507

表中叫而

X

i5/=1

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，＞=。+為與＞=。+邑哪一個(gè)適宜作為y關(guān)于x的回歸方程類型？并根據(jù)判斷結(jié)果

X

及表中數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的回歸方程；

（2）各快遞業(yè)為提高快遞攬收量并實(shí)現(xiàn)總利潤(rùn)的增長(zhǎng)，除了提升服務(wù)質(zhì)量?提高時(shí)效保障外，價(jià)格優(yōu)惠也

是重要策略之一.已知該網(wǎng)點(diǎn)每天攬收快遞的件數(shù)x（單位：千件）與單件快遞的平均價(jià)格力（單位；元）之間

15/165

的關(guān)系是X=25-2（54V12）,收發(fā)一件快遞的利潤(rùn)等于單件的平均價(jià)格減去平均成本，根據(jù)（1）中建

立的回歸方程解決以下問題：

①預(yù)測(cè)該網(wǎng)點(diǎn)某天攬收2000件快遞可獲得的總利潤(rùn)；

②單件快遞的平均價(jià)格/為何值時(shí)，該網(wǎng)點(diǎn)一天內(nèi)收發(fā)快遞所獲利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大?

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（%,巧），（的，匕），…，（""#"），其回歸直線3=e+仇/的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分

別為2=a=v-[3u.

d-4_

【答案】（1）》=。+巴適宜作為y關(guān)于x的回歸方程類型，回歸方程為＞=—+3.5；（2）①總利潤(rùn)約為12000

xx

元；②平均價(jià)格方為8元.

【分析】

（1）點(diǎn)不在一條直線的近旁，但與雙曲線類似，可得回歸曲線類型.令卬=!，根據(jù)已知數(shù)據(jù)求得回歸方

X

程y=C+dw,即可得結(jié)論.

（2）①利用（1）的結(jié)論求出利潤(rùn)函數(shù)，令x=2可得估計(jì)利潤(rùn)值；②由二次函數(shù)性質(zhì)可得.

【詳解】

解：（1）y=c+4適宜作為y關(guān)于X的回歸方程類型.

X

1。2.028

令A(yù)-=w,貝ljy="w+c,d=-----=44,

x0.507

C=〉-2?W=5.16-4X0.415=3.5,

八____八4

**-y=4w+3.5?即所求回歸方程為＞=1-3.5；

x

＜25-r4\1

（2）設(shè)收發(fā)x千件快遞獲利z千元，貝”=?-＞卜=1——-3.5x=2r-^r2-4,XG[1,15],

①當(dāng)x=2時(shí)，z=12,故該網(wǎng)點(diǎn)某天攬收2000件快遞可獲得的總利潤(rùn)約為12000元；

②z=-9『+々，.??當(dāng)x=9即，=8時(shí)，z取最大值，故單件快遞的平均價(jià)格方為8元時(shí)，該網(wǎng)點(diǎn)一

16/165

天內(nèi)收發(fā)快遞所獲利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.

11.澳大利亞/rgy/e鉆石礦石全球最重要的粉鉆和紅鉆出產(chǎn)地，占全球供應(yīng)的90%.該鉆石礦曾發(fā)現(xiàn)一顆

28.84c%的寶石級(jí)鉆石原石［ArgyleOctavia\,為該礦區(qū)27年來發(fā)現(xiàn)最大的鉆石原石之一.如圖，這

顆鉆石擁有完整的正八面體晶形，其命名特別強(qiáng)調(diào)鉆石的正八面體特征一一［0c力av/a］在

拉丁語中是［第八］的意思.如圖設(shè)4為隨機(jī)變量，從棱長(zhǎng)為1的正八面體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱

相交時(shí)，4=0；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，4的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，4=2.

（1）求概率尸（&=0）；

（2）求J的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望￡（/.

69

【答案】（1）-；（2）分布列見解析，￡（^）=-.

【分析】

（1）12條棱中任取兩條共有C1對(duì)，兩條棱相交有6C；對(duì)，由古典概型概率計(jì)算公式即可求解；

（2）由（1）有P（J=0）,又兩條棱平行有6對(duì)，可求出P（J=1）,從而可用間接法求出尸（J=2）,進(jìn)而

可求分布列和數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

解：（1）若兩條棱相交，則交點(diǎn)必為正八面體6個(gè)頂點(diǎn)中的1個(gè),

又過任意頂點(diǎn)有4條棱，所以共有6C：對(duì)相交棱，

所以*4=。）=等=||6

C126611

（2）由題意，片的所有可能取值為0,1,2.

17/165

若兩條棱平行，則它們之間的距離為1,一共有6對(duì),

1

n

1

二尸0=2）=1-P（J=O）-P（J=1）=1-g-1rA

n所以4n的分布n列為:n

□E0

12.某快遞公司收取快遞費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過1kg的包裹收費(fèi)10元；重量超過1kg的包裹，除1kg收

費(fèi)10元之外，超過1kg的部分，每超出1kg（不足1kg,按1kg計(jì)算）需再收5元.該公司將最近承攬的100件

包裹的重量統(tǒng)計(jì)如表：

包裹重量（單位：kg）12345

包裹件數(shù)43301584

公司對(duì)近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計(jì)如表:

包裹件數(shù)范

0?100101~200201~300301-400401?500

圍

包裹件數(shù)（近

50150250350450

似處理）

天數(shù)6630126

以上數(shù)據(jù)已做近似處理，并將頻率視為概率.

（1）計(jì)算該公司未來1天攬件數(shù)在101?400之間的概率;

（2）①估計(jì)該公司對(duì)每件包裹收取的快遞費(fèi)的平均值；

18/165

②公司將快遞費(fèi)的三分之一作為前臺(tái)工作人員的工資和公司利潤(rùn)，剩余的用作其他費(fèi)用.目前前臺(tái)有工作

人員3人，每人每天攬件不會(huì)超過150件，且日工資為100元.公司正在考慮是否將前臺(tái)工作人員裁減1人,

試計(jì)算裁員前后公司每日利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望，并判斷裁員是否對(duì)提高公司利潤(rùn)更有利？

4

【答案】（1）j；（2）①15元；②裁員前期望值為1000元，裁員后期望值為975元，不利.

【分析】

（1）由頻率估計(jì)概率即可；

（2）①利用平均數(shù)公式直接求解即可；②根據(jù)題意及（2）（i）,攬件數(shù)每增加1，可使前臺(tái)工資和公司

利潤(rùn)增加15xg=5（元），然后分別求出裁員前后公司每日利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望比較即可

【詳解】

484

（1）樣本包裹件數(shù)在101?400之間的天數(shù)為48,頻率/=二==，

4

顯然未來1天中，包裹件數(shù)在101?400之間的概率為）

（2）（i）樣本中快遞費(fèi)用及包裹件數(shù)如下表：

包裹重量（單位：奴）12345

快遞費(fèi)（單位：元）1015202530

包裹件數(shù)43301584

故樣本中每件快遞收取的費(fèi)用的平均值為止13+15x30+20x15+25x8+30x4口，一、

-----------------------------二15（兀）,

100

故該公司對(duì)每件快遞收取的費(fèi)用的平均值可估計(jì)為15元

（ii）根據(jù)題意及（2）（i）,攬件數(shù)每增加1,可使前臺(tái)工資和公司利潤(rùn)增加15xg=5（元）,

將題目中的天數(shù)轉(zhuǎn)化為頻率，得

包裹件數(shù)范

0?100101-200201?300301~400401~500

圍

19/165

包裹件數(shù)近

50150250350450

似

天數(shù)6630126

頻率0.10.10.50.20.1

若不裁員，則每天可攬件的上限為450件，公司每日攬件數(shù)情況如下:

包裹件數(shù)近

50150250350450

似

實(shí)際攬件數(shù)

50150250350450

Y

頻率0.10.10.50.20.1

EY50x0.1+150x0.1+250x0.5+350x0.2+450x0.1=260

故公司平均每日利潤(rùn)的期望值為260x5-3x100=1000（元）；

若裁員1人，則每天可攬件的上限為300件，公司每日攬件數(shù)情況如下:

包裹件數(shù)近

50150250350450

似

實(shí)際攬件數(shù)

50150250300300

Z

頻率0.10.10.50.20.1

EZ50x0.1+150x0.1+250x0.5+300x0.2+300x0.1=235

故公司平均每日利潤(rùn)的期望值為235x5-2x100=975（元）

因975<1000，故公司將前臺(tái)工作人員裁員1人對(duì)提高公司利潤(rùn)不利.

13.由商務(wù)部和北京市人民政府共同舉辦的2020年中國(guó)國(guó)際服務(wù)貿(mào)易交易會(huì)（簡(jiǎn)稱服貿(mào)會(huì)）于9月4日

開幕，主題為“全球服務(wù)，互惠共享”.某高校為了調(diào)查學(xué)生對(duì)服貿(mào)會(huì)的了解情況，決定隨機(jī)抽取100名

20/165

學(xué)生進(jìn)行采訪.根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，采訪的學(xué)生中男女比例為3:2,已知抽取的男生中有10名不了解服貿(mào)會(huì),

抽取的女生中有25名了解服貿(mào)會(huì)，請(qǐng)你解答下面所提出的相關(guān)問題

(1)完成2x2列聯(lián)表，并回答“是否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生對(duì)服貿(mào)會(huì)的了解情況與性別有關(guān)”.

了解情況

了解不了解合計(jì)

性別

男生

女生

合計(jì)100

(2)若從被采訪的學(xué)生中利用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取3人在校內(nèi)開展一次“介

紹服貿(mào)會(huì)”的專題活動(dòng)，記抽取男生的人數(shù)為九求出J的分布列及數(shù)學(xué)期望.

n(ad-bcY

附：K=------------------------------,n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K...k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

9

【答案】(1)表格見解析，沒有；(2)分布列見解析，

【分析】

(1)根據(jù)已知，計(jì)算有關(guān)數(shù)據(jù)，填寫列聯(lián)表；代入公式計(jì)算求得A2的觀測(cè)值，看是否大于卜99%=0.01的

臨界值即可得到結(jié)論；

(2)先確定抽取的5人中男生有3人，女生有2人.然后利用超幾何分布求得分布列，并根據(jù)定義計(jì)算期

望.

【詳解】

(1)2x2列聯(lián)表如下：

了解情況了解不了解合計(jì)

21/165

性別

男生501060

女生25