數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：向量數(shù)乘

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、向量數(shù)乘的概念及幾何意義1。對(duì)向量數(shù)乘定義的理解注意:①λa中的實(shí)數(shù)，叫做向量a的系數(shù).②關(guān)于對(duì)向量數(shù)乘λa的理解:我們可以把向量a的長(zhǎng)度擴(kuò)大（當(dāng)｜λ|〉1)時(shí)，也可以縮小（當(dāng)|λ|<1時(shí)），同時(shí)可以不改變向量a的方向(當(dāng)λ〉0時(shí)),也可以改變向量a的方向（當(dāng)λ〈0時(shí))。③向量數(shù)乘的特殊情況:當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0,而λ≠0，若a=0,也有λa=0.④實(shí)數(shù)與向量可以求積,但是不能進(jìn)行加減運(yùn)算,如λ+a,λ—a就無(wú)法運(yùn)算。2。向量數(shù)乘的幾何意義向量數(shù)乘的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或a的反方向放大或縮小。【例1】已知a,b是兩個(gè)非零向量，判斷下列各命題的真假,并說(shuō)明理由。(1)2a的方向與a的方向相同,且2a的模是（2)—2a的方向與5a的方向相反,且—2a的模是5（3)—2a與2(4）a—b與—（b-a）是一對(duì)相反向量;(5）若a,b不共線,則0a與b思路分析:利用λa中λ的作用.解：（1)真命題。∵2〉0,∴2a與a同向,且｜2a｜=2|（2）真命題。∵5>0,∴5a與a同向,且｜5a|=5|-2〈0，∴—2a與a反向，且｜-2a|=2∴-2a與5a反向，且｜—2a|=|(3）真命題.（4）假命題。-(b-a）=-b+a=a-b。（5)假命題.∵0a=0,0溫馨提示對(duì)數(shù)乘運(yùn)算的理解，關(guān)鍵是對(duì)數(shù)的作用的認(rèn)識(shí)，λ>0時(shí),λa與a同向，模是｜a｜的λ倍;λ〈0時(shí)，λa與a反向，模是|a|的—λ倍；λ=0時(shí),λa=0。各個(gè)擊破類題演練1如圖（1)，已知非零向量a,求作向量2a,a，-3a,a。思路分析：據(jù)向量數(shù)乘的定義作出圖形即可.作法：將向量a依次同向伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,同向縮短到原來(lái)的倍，反向伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍，反向縮短到原來(lái)的倍，得到圖（2)。變式提升1已知點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上，且。（1）用表示；(2）用表示.思路分析：本例已知中沒(méi)有涉及方向，但欲求結(jié)果中卻涉及了方向.因此,解答此類問(wèn)題，要把握好從單一的長(zhǎng)度要素向長(zhǎng)度，方向雙重要素的過(guò)渡。解:如圖①,由已知,點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上，且，∴,解得AB=3BC.同理，可得AC=4CB.(1)如圖②,向量與的方向相同，所以=3.(2）如圖③,向量與的方向相反，所以=—4.溫馨提示確定向量,有兩個(gè)方面的要求，一是指出向量的方向;二是指出向量的大小。二、向量數(shù)乘的運(yùn)算律及應(yīng)用設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，則(1）(λ+μ）a=λa+μa；（2)λ（μa)=(λμ）a；(3)λ(a+b）=λa+λb(分配律).【例2】設(shè)x,y為未知向量.（1)解方程5（x+a）+3(x-b）=0；（2）解方程組解：(1)原方程可化為5x+5a+3x—3b=0∴8x+5a-3b=0∴8x=3b—5a.∴x=b—a。(2）①×2—②得（x—2y)-(x-y)=2a—b，∴y=2a-b。∴y=b-a。代入①得x=a+b-a,∴x=2a+b—a=b-a。類題演練2化簡(jiǎn)下列各式:(1）［（2a+8b)—（4a—2b）］;（2)［（4a-3b）+b—(6a—7b)]。解:（1）原式=（a+4b—4a+2b)=[(1-4)a+（4+2）b]=（—3a+6b)=2b—a；(2）原式=（4a-3b+b—a+b）=[（4-)a+(-3++)b］=(a—b）=a—b.溫馨提示(1）實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)算問(wèn)題,必須按照實(shí)數(shù)與向量的積所滿足的運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算。(2）實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算，可對(duì)照實(shí)數(shù)與單項(xiàng)式的運(yùn)算進(jìn)行.變式提升2將［2（2a+8b）—4(4a-2bA.2a-bB.2b—aC.a-bD。b—思路分析:這是關(guān)于實(shí)數(shù)與向量的積的有關(guān)運(yùn)算問(wèn)題，只需按照實(shí)數(shù)和向量的積所滿足的運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算即可。解：原式=（4a+16b-16a+8b=［(4-16）a+(16+8)b]=-a+2b=2b-a。∴應(yīng)選B。答案：B三、向量的線性運(yùn)算向量的加法,減法和實(shí)數(shù)與向量積的綜合運(yùn)算,通常叫做向量的線性運(yùn)算(或線性組合).若一個(gè)向量c是由另一些向量的線性運(yùn)算得到的,我們說(shuō)這個(gè)向量c可以用另一些向量線性表示，如2a，-3a,-a都是a的線性表示，2a+3b，-3a+5b,a—b等都可以由a，【例3】梯形ABCD(如圖)中，AB∥CD且AB=2CD，M、N分別是DC與AB的中點(diǎn).若=a,=b,試用a,b表示和。解法一：連結(jié)CN，N為AB中點(diǎn).∵AN∥DC，AN=DC，∴ANCD為平行四邊形。有=-b.又∵=0,∴==b-a?！?=+=a—b。解法二：梯形ABCD中，有+=0，即a++（-a）+(-b)=0.可得=b-a。在四邊形ADMN中，=0,即b+a++（—a）=0.∴=a—b。溫馨提示解答本題應(yīng)注意應(yīng)用向量平行的充要條件以及封閉圖形,首尾順次連結(jié)的各向量和為0的結(jié)論。類題演練3如圖所示,△ABC的重心為G,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，=a,=b，=c，試用a，b，c表示。解：如圖，設(shè)AG交BC于點(diǎn)M,則M是BC的中點(diǎn).=b-a，=c—a,=c—b,=+=b-a+（c-b)=(c+b—2a）,=(c+b-2a）,所以=+=a+（c+b-2a)=(a+b+c）。變式提升3證明三角形的中位線平行于底邊且等于底邊的一半。思路分析：數(shù)學(xué)語(yǔ)言分為三種形式:文字語(yǔ)言，符號(hào)語(yǔ)言，圖形語(yǔ)言。解答用文字語(yǔ)言給出的數(shù)學(xué)問(wèn)題,必須用符號(hào)語(yǔ)言寫出已知，求(求證)，然后再去解（證明)，這是規(guī)矩.已知:如圖，DE是△ABC的中位線.求證: