相關(guān)性與Copula函數(shù)

10.1RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20091.1相關(guān)系數(shù)變量V1

和

V2

的相關(guān)系數(shù)被定義為變量V1

和

V2

的協(xié)方差被定義為因此相關(guān)系數(shù)又可以寫為:10.2RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20091.2相關(guān)系數(shù)和相關(guān)性E(V2)V1(a)E(V2)V1(b)E(V2)V1(c)10.3RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20091.2相關(guān)系數(shù)和相關(guān)性（續(xù)）相關(guān)系數(shù)只能刻畫兩個變量的線性相關(guān)性。兩個變量之間的相關(guān)性不一定是線性的相關(guān)性。10.4RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20091.3零相關(guān)如果兩個變量的相關(guān)系數(shù)為0，就意味著變量毫無關(guān)聯(lián)嗎？答案是否定的！例如,有V1

=–1;0;+1有均等的可能;若

V1=–1或

V1=+1則V2

=+1;若V1

=0則V2

=0;在這里我們可以清楚地看到V2和V1有某種關(guān)聯(lián)性，但相關(guān)系數(shù)為零.10.5RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20091.3獨(dú)立與零相關(guān)如果兩個變量中，其中任意一個變量的信息（觀測值）不會影響另一個變量的分布，那么兩個變量在統(tǒng)計(jì)上被定義為獨(dú)立。

精確地講，如果對于所有的x等式成立,

獨(dú)立一定零相關(guān)而零相關(guān)不一定獨(dú)立。

其中f(?)是概率密度函數(shù)，則V1

和

V2相互獨(dú)立。10.6RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20092.協(xié)方差模型假定變量X

和

Y

在第i天結(jié)束時的價(jià)值為Xi

和

Yi

，變量X

和

Y

在第i天的收益率為第i天的協(xié)方差covi=E(xiyi)–E(xi)E(yi)常常假定變量每天的預(yù)期收益為0，因此這意味著變量X及Y在第i天的協(xié)方差可以被簡化為E(xiyi).10.7RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20092.1協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)則變量X

和

Y在第i天的相關(guān)系數(shù)為其中varx,i

和

vary,i

是變量X

和

Y的第i天變化的方差，10.8RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20092.2協(xié)方差模型在

EWMA中，同樣可以采用與更新方差類似的方式更新協(xié)方差:在GARCH(1,1)中,X

和

Y

協(xié)方差的更新由下式給出:10.9RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20092.3協(xié)方差矩陣的半正定矩陣性方差協(xié)方差矩陣Ω

滿足內(nèi)部一致性條件，如果此矩陣為半正定矩陣，也就是對于任意向量w,以下不等式成立10.10RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull2009例考慮一下矩陣:可以這么這個矩陣不滿足內(nèi)部一致性:第1個變量和第2個變量均同第3個變量高度相關(guān)，但是第1、2個變量之間無關(guān)，.如果令w

=

(1,1,–1),可以驗(yàn)證此矩陣不滿足半正定條件.10.11RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20093.1二元正態(tài)分布我們假定兩個變量V1

和

V2服從二元正態(tài)分布.變量V1

和

V2的無條件期望值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為μ1,μ2eσ1,σ2,相關(guān)系數(shù)為

ρ.

假設(shè)已知V1

有一個觀測值

v1.根據(jù)以上信息,變量

V2

也服從正態(tài)分布，

其均值為

標(biāo)準(zhǔn)差為10.12RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull2009假設(shè)變量U1,U2,...,UN

均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布..在單因子模型中，每個Ui

(i=1,2,...,N)均同一個共同的因子F及另外一個相互獨(dú)立的因子有關(guān)，準(zhǔn)確地講:在多因子模型中，這個表達(dá)式變?yōu)?3.2因子模型10.13RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20093.2因子模型（續(xù)）假設(shè)N

個變量,Ui

(i=1,2,...,N),均服從一個多元正態(tài)分布,則需要顧及

N

×(N

–1)/2

[=(N

×N–N)/2]個相關(guān)系數(shù).如果滿足這些變量滿足因子模型的假設(shè)，則待估計(jì)參數(shù)的個數(shù)減至N

個.10.14RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20094.1高斯

Copula模型問題：已知兩個隨機(jī)變量，V1

和V2，不服從多元正態(tài)分布的變量之間的相關(guān)關(guān)系，并且已經(jīng)估計(jì)出它們的邊際分布。想通過假設(shè)它們的相關(guān)性而得到他們聯(lián)合分布情況。10.15RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20094.1高斯

Copula模型（續(xù)）假設(shè)變量U1

和U2服從正態(tài)分布，相關(guān)系數(shù)為

ρ.第一步：將V1

，V2,與

U1,U2建立對于關(guān)系：把變量V1

轉(zhuǎn)化為一個服從正態(tài)分布的變量,U1,分位數(shù)與分位數(shù)之間的一一映射.

注：實(shí)際上為正態(tài)分布，因?yàn)?0.16RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20094.1高斯

Copula模型（續(xù)）同理把變量V2

轉(zhuǎn)化為一個服從正態(tài)分布的變量,U2,分位數(shù)與分位數(shù)之間的一一映射.

可稱為Copula函數(shù)。

第二步通過U1，

U2的聯(lián)合分布定義V1，V2的聯(lián)合分布函數(shù)：10.17RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20094.1高斯

Copula模型（續(xù)）這種用Copula函數(shù)構(gòu)造的V1，V2聯(lián)合分布能保證V1，V2的邊際分布不變！10.18RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20094.2通過Copula函數(shù)定義V1

和

V2

的聯(lián)合分布CorrelationAssumptionV1V2U1MappingU2Mapping10.19RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull2009例假定V1

和

V2的邊際分布上圖所示的為三角分布.兩個變量均介于0?1.V1

及

V2

和U1

及

U2

之間的映射為分位數(shù)與分位數(shù)

之間的一一映射.V1V210.20RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull2009例當(dāng)V1<0.1時，對應(yīng)于累積概率為底為0.1高為1的三邊形面積.因此等于0.05(=?×0,1

×1),也就是

5%.V1=0.1的值被映射到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布5%的分位數(shù)，其值為–1,64.以此類推.V1Percentile

U10,15,00-1,640,220,00-0,840,338,75-0,29.........10.21RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull2009例當(dāng)V2

<0.1時，對應(yīng)于累積概率為底為0.1高為0.2的三邊形面積.因此等于0.02(=?×0.1

×0.2),也就是

2%.V2=0.1的值被映射到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布2%的分位數(shù)，其值為–2.05.以此類推.V2Percentile

U20,12,00-2,050,28,00-1,410,318,00-0,92.........10.22RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull2009例假設(shè)U1

和

U2

之間的相關(guān)系數(shù)為0.5.上表顯示出V1

和V2之間的聯(lián)合分布.V1<0,1及V2<0,1的概率同

U1<–1,64及

U2<–2,05.的概率相同.如果

ρ=0,5在二元正態(tài)的情形下，這一概率僅僅為0,006.V1V20,10,20,30,40,50,60,70,80,90,10,0060,0170,0280,0370,0440,0480,0490,0500,0500,20,0130,0430,0810,1200,1570,1810,1930,1980,2000,30,0170,0610,1240,1970,2740,3310,3640,3810,387..............................10.23RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20094.3其他Copula函數(shù)高斯Copula函數(shù)只是定義了V1及V2相關(guān)結(jié)構(gòu)的某一種形式，還有許多其他Copula函數(shù)可以用于描述相關(guān)結(jié)構(gòu).其中一種Copula函數(shù)被稱為Student

t-copula函數(shù).這種Studentt-copula函數(shù)同髙斯Copula函數(shù)類似，其不同之處只是U1

和

U2被假定為服從二元學(xué)生t分布.10.24RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20094.4因子Copula模型在多元Copula模型中，市場分析員常常假定變量Ui

之間的相關(guān)性由某種因子來決定。.當(dāng)只有一個因子時，

Ui被定義為其中，因子

F

和

Zi分別服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.Zi之間相互獨(dú)立，F(xiàn)與Zi之間也相互獨(dú)立.

10.25RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20095違約相關(guān)性(DefaultCorrelation)兩家公司之間的違約相關(guān)性(defaultcorrelation)

以一個衡量他們差不多同時違約的測度.Ladefaultcorrelationèimportanteaifinidelriskmanagementquandosianalizzanoibeneficidelladiversificazione.èancheimportanteaifinidellavalutazionedialcuniderivaticreditizi.10.26RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull2009高斯Copula函數(shù)的單因子模型定義Ti為公司i的違約時間.Qi=Prob(Ti<T)為Ti的累積概率分布.Ti

與

Ui

(標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)分位數(shù)之間進(jìn)行一一對應(yīng)的映射.當(dāng)U

=N–1[Qi(T)]時，Prob(Ti

<T)=Prob