信號(hào)與系統(tǒng)教案第2章

1第二章連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析§2.0引言§2.1微分方程式的建立與求解§2.2系統(tǒng)的沖激響應(yīng)§2.3卷積的圖解和卷積積分限的確定§2.4卷積積分的性質(zhì)2§2.0引言3系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的時(shí)域表示

時(shí)域分析方法:不涉及任何變換，直接求解系統(tǒng)的微分、積分方程式，這種方法比較直觀，物理概念比較清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域方法的基礎(chǔ)。

本課程中我們主要討論輸入、輸出描述法。4系統(tǒng)分析過程經(jīng)典法:前面電路分析課里已經(jīng)討論過，但與

(t)有關(guān)的問題有待進(jìn)一步解決——h(t)；卷積積分法:

任意激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)可通過沖激響應(yīng)來求。(新方法)5本章主要內(nèi)容LTI系統(tǒng)完全響應(yīng)的求解；沖激響應(yīng)h(t)的求解；卷積的圖解說明；卷積的性質(zhì)；零狀態(tài)響應(yīng)：

。6§2.1微分方程式的建立與求解7主要內(nèi)容物理系統(tǒng)的模型微分方程的列寫n階線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法復(fù)習(xí)求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法8許多實(shí)際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來模擬。若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間而改變，則該系統(tǒng)可以用線性常系數(shù)微分方程來描述。一．微分方程的列寫9根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。對(duì)于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束列寫系統(tǒng)的微分方程。

元件特性約束：表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關(guān)系以及四端元件互感的初、次級(jí)電壓與電流的關(guān)系等等。網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束：由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系,KCL，KVL。10二．求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法分析系統(tǒng)的方法：列寫方程，求解方程。

求解方程時(shí)域經(jīng)典法就是：齊次解+特解。

11經(jīng)典法求解微分方程N(yùn)階常系數(shù)線性微分方程y(t)=yh(t)+yp(t)

齊次解特解12齊次解是齊次微分方程的解131415161718

齊次解：由特征方程→求出特征根→寫出齊次解形式特解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系數(shù)的特解函數(shù)式→代入原方程，比較系數(shù)定出特解。注意常數(shù)情況經(jīng)典法求解小結(jié)

全解：齊次解+特解，由初始條件定出齊次解系數(shù)ci。19系統(tǒng)響應(yīng)劃分自由響應(yīng)＋強(qiáng)迫響應(yīng)

(Natural+forced)零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)

(Zero-input+Zero-state)

暫態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(Transient+Steady-state)20

也稱固有響應(yīng)，由系統(tǒng)本身特性決定，與外加激勵(lì)形式無關(guān)。對(duì)應(yīng)于齊次解。

形式取決于外加激勵(lì)。對(duì)應(yīng)于特解。(1)自由響應(yīng)：強(qiáng)迫響應(yīng)：21

是指激勵(lì)信號(hào)接入一段時(shí)間內(nèi)，完全響應(yīng)中暫時(shí)出現(xiàn)的有關(guān)成分，隨著時(shí)間t增加，它將消失。對(duì)應(yīng)于齊次解。

隨著時(shí)間t增加，呈現(xiàn)等幅振蕩的那部分響應(yīng)分量即得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量。對(duì)應(yīng)于特解。(2)暫態(tài)響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：當(dāng)激勵(lì)是階躍函數(shù)或有始的周期函數(shù)2223二、0-和0+值

我們一般將激勵(lì)信號(hào)加入的時(shí)刻定義為t=0，響應(yīng)為時(shí)的方程的解，初始條件

初始條件的確定是要解決的問題。t=0-時(shí)，激勵(lì)未接入，y(0-)、y’(0-)…，反映系統(tǒng)的歷史情況。求解微分方程時(shí)，要先從y(j)(0-)y(j)(0+)24實(shí)例例2.1-3描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為已知1、將激勵(lì)代入微分方程根據(jù)微分方程奇異函數(shù)對(duì)等原理所以可設(shè)25可得2、3、將y(t)與各階導(dǎo)數(shù)代入系統(tǒng)的微分方程，根據(jù)奇異函數(shù)對(duì)等原理求出中的待定系數(shù)264、當(dāng)激勵(lì)含有沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)及其導(dǎo)數(shù)可能從0-值到0+發(fā)生跳變。27三

零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)28

沒有外加激勵(lì)信號(hào)的作用，只由起始狀態(tài)（起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能）所產(chǎn)生的響應(yīng)。

不考慮原始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能的作用（起始狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵(lì)信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)。

零輸入響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：29經(jīng)典法求解零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)30313233

求解非齊次微分方程是比較煩瑣的工作，所以引出卷積積分法。系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)=激勵(lì)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積，即342.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)一、沖激響應(yīng)

由單位沖激函數(shù)δ(t)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)，記為h(t)。h(t)=T[{0},δ(t)]35由于沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)僅在t=0處作用，而在t>0的區(qū)間恒為零。也就是說，激勵(lì)信號(hào)的作用是在t=0的瞬間給系統(tǒng)輸入了若干能量，貯存在系統(tǒng)的各貯能元件中，而在t>0系統(tǒng)的激勵(lì)為零，只有沖激引入的那些貯能在起作用，因而，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)由上述貯能唯一地確定。36

例1

描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其沖激響應(yīng)h(t)。解

根據(jù)h(t)的定義有

h”(t)+5h’(t)+6h(t)=δ(t)h’(0-)=h(0-)=0

先求h’(0+)和h(0+)。37因方程右端有δ(t)，故利用奇異函數(shù)對(duì)等原理。h”(t)中含δ(t)，可設(shè)h”(t)=aδ

(t)+r0(t),從-

到t積分得

h’(t)和h(t)，將其代入微分方程，求得a=1,而后對(duì)h”(t)和h’(t)從0-到0+積分，得

h’(0+)-h’(0-)=ah(0+)-h(0-)=0故h(0+)=h(0-)=0,h’(0+)=a+h’(0-)=1對(duì)t>0時(shí)，有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=0故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為一齊次解。微分方程的特征根為-2，-3。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為

h(t)=(C1e-2t+C2e-3t)ε(t)代入初始條件求得C1=1,C2=-1,所以

h(t)=(e-2t-e-3t)ε(t)38

例2

描述某系統(tǒng)的微分方程為

y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f”(t)+2f’(t)+3f(t)求其沖激響應(yīng)h(t)。解根據(jù)h(t)的定義有

h”(t)+5h’(t)+6h(t)=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)(1)h’(0-)=h(0-)=0

先求h’(0+)和h(0+)。由方程可知，h”(t)中含δ”(t)故令h”(t)=aδ”(t)+bδ’(t)+cδ(t)+r0(t)

積分可得

h’(t)=aδ’(t)+bδ(t)+r1(t)

h(t)=aδ(t)+r2(t)

代入式(1)，有39aδ”(t)+bδ’(t)+cδ(t)+r0(t)+5[aδ’(t)+bδ(t)+r1(t)]+6[aδ(t)+r2(t)]=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)整理得aδ”(t)+(b+5a)δ’(t)+(c+5b+6a)δ(t)+r0(t)+5r1(t)+6r2(t)=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)利用δ(t)系數(shù)匹配，得a=1，b=-3，c=12所以h(t)=δ(t)+r2(t)（2）

h’(t)=δ’(t)-3δ(t)+r1(t)（3）

h”(t)=δ”(t)-3δ’(t)+12δ(t)+r0(t)（4）對(duì)式(3)從0-到0+積分得h(0+)–h(0-)=–3對(duì)式(4)從0-到0+積分得h’(0+)–h’(0-)=12故h(0+)=–3，h’(0+)=1240微分方程的特征根為–2，–3。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為

h(t)=C1e–2t+C2e–3t

，t>0代入初始條件h(0+)=–3，h’(0+)=12求得C1=3，C2=–6,所以

h(t)=3e–2t–6e–3t,t>0結(jié)合式(2)得

h(t)=δ(t)+(3e–2t–6e–3t)ε(t)對(duì)t>0時(shí)，有h”(t)+6h’(t)+5h(t)=0二、階躍響應(yīng)g(t)=T[ε(t)，{0}]由于δ(t)與ε(t)為微積分關(guān)系，故412.3卷積積分一、信號(hào)的時(shí)域分解與卷積積分1.信號(hào)的時(shí)域分解(1)預(yù)備知識(shí)問

f1(t)=?

p(t)直觀看出42(2)任意信號(hào)分解“0”號(hào)脈沖高度f(0),寬度為△，用p(t)表示為：f(0)△p(t)“1”號(hào)脈沖高度f(△),寬度為△，用p(t-△)表示為：

f(△)△p(t-△)“-1”號(hào)脈沖高度f(-△)、寬度為△，用p(t+△)表示為：f(-△)△p(t+△)432.任意信號(hào)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)f(t)根據(jù)h(t)的定義：δ(t)

h(t)由時(shí)不變性：δ(t

-τ)h(t-τ)f(τ)δ(t

-τ)由齊次性：f(τ)h(t-τ)由疊加性：‖f(t)‖yf(t)卷積積分443.卷積積分的定義已知定義在區(qū)間（–∞，∞）上的兩個(gè)函數(shù)f1(t)和f2(t)，則定義積分為f1(t)與f2(t)的卷積積分，簡(jiǎn)稱卷積；記為

f(t)=f1(t)*f2(t)注意：積分是在虛設(shè)的變量τ下進(jìn)行的，τ為積分變量，t為參變量。結(jié)果仍為t的函數(shù)。

45例：f(t)=et,（-∞<t<∞)，h(t)=(6e-2t–1)ε(t)，求yf(t)。解：yf(t)=f(t)*h(t)當(dāng)t<τ，即τ>t時(shí)，ε(t-τ)=046二、卷積的圖解法卷積過程可分解為四步：（1）換元：t換為τ→得f1(τ)，f2(τ)（2）反轉(zhuǎn)平移：由f2(τ)反轉(zhuǎn)→f2(–τ)右移t→f2(t-τ)（3）乘積：f1(τ)f2(t-τ)（4）積分：τ從–∞到∞對(duì)乘積項(xiàng)積分。注意：t為參變量。下面舉例說明。47例f(t),h(t)

如圖所示，求yf(t)=h(t)*f(t)

。[解]

采用圖形卷積。f(t-τ)f(τ)反折f(-τ)平移t①t<0時(shí),f(t-τ)向左移f(t-τ)h(τ)=0，故

yf(t)=0②0≤t≤1

時(shí),f(t-τ)向右移③1≤t≤2時(shí)⑤3≤t時(shí)f(t-τ)h(τ)=0，故

yf(t)=0h(t)函數(shù)形式復(fù)雜換元為h(τ)。

f(t)換元f(τ)④2≤t≤3

時(shí)048圖解法一般比較繁瑣，但若只求某一時(shí)刻卷積值時(shí)還是比較方便的。確定積分的上下限是關(guān)鍵。例：f1(t)、f2(t)如圖所示，已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求f(2)=？f1(-τ)f1(2-τ)解：（1）換元（2）f1(τ)得f1(–τ)（3）f1(–τ)右移2得f1(2–τ)（4）f1(2–τ)乘f2(τ)（5）積分，得f(2)=0（面積為0）494.相乘5.積分求函數(shù)的面積。求響應(yīng)，必須：1.換元（t)5011t0130.5t0110130.50解：51-1-30.50-1+t-3+t0.50(1)當(dāng)-1+t<0即t<1時(shí)，-1+t-3+t011y(t)=0移動(dòng)距離

t前沿坐標(biāo)-1+t兩函數(shù)無公共的非零區(qū)域52011-3+t-1+t-3+t-1+t01153-3+t-1+t-3+t-1+t011011540.51234552.4卷積積分的性質(zhì)

卷積積分是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，它有許多重要的性質(zhì)（或運(yùn)算規(guī)則），靈活地運(yùn)用它們能簡(jiǎn)化卷積運(yùn)算。下面討論均設(shè)卷積積分是收斂的（或存在的）。一、卷積代數(shù)滿足乘法的三律：交換律：f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)2.

分配律：f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)3.

結(jié)合律：[f1(t)*f2(t)]*f3(t)]=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]56(1)交換律如，輸入和沖激響應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式互換位置，則零狀態(tài)響應(yīng)不變。57證：58(2)分配律利用卷積的定義比較容易得到兩個(gè)子系統(tǒng)并聯(lián)5960兩次卷積運(yùn)算是二重積分，變換積分次序可得。(3)結(jié)合律兩個(gè)子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)61由第二章第三節(jié)，任意信號(hào)的分解，記為二、奇異函數(shù)的卷積特性62即：任意函數(shù)與單位沖激函數(shù)的卷積仍為該函數(shù)本身。1.f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)證：即：即：任意函數(shù)與延遲沖激函數(shù)的卷積只是把該函數(shù)延遲了時(shí)間，而其波形不變。此性質(zhì)稱為沖激函數(shù)的重現(xiàn)性。2.f(t)*ε(t)63沖激函數(shù)三個(gè)常用性質(zhì)小結(jié)：1.篩選性：(抽樣性)2.加權(quán)性：3.重現(xiàn)性：(“照相”)寫詳細(xì)，為64-221A0(1)(1)tt0023-1-2At解：這類題只需要畫圖即可。65解：f1(t)=ε

(t)–ε

(t–2)f1(t)*f2(t)=ε

(t)*f2(t)–ε

(t–2)*f2(t)

ε

(t)*f2(t)=tε

(t)三、卷積的時(shí)移特性若f(t)=f1(t)*f2(t)，則f1(t–t1)*f2(t–t2)=f1(t–t1–t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t–t1–t2)=f(t–t1–t2)

例：f1(t)如圖,f2(t)=ε(t)，求f1(t)*f2(t)利用時(shí)移特性，有ε

(t–2)*f2(t)=(t–2)ε(t–2)f1(t)*f2(t)=tε(t)–(t–2)ε(t–2)66例：f1(t),f2(t)如圖，求f1(t)*f2(t)解：f1(t)=2ε

(t)–2ε

(t–1)f2(t)=ε

(t+1)–ε

(t–1)f1(t)*f2(t)=2

ε

(t)*ε

(t+1)–2

ε

(t)*ε

(t–1)–2ε

(t–1)*ε

(t+1)+2ε

(t–1)*ε

(t–1)由于ε

(t)*ε

(t)=tε

(t)據(jù)時(shí)移特性，有f1(t)*f2(t)=2(t+1)ε

(t+1)-2(t–1)ε

(t–1)–2tε

(t)+2(t–2)ε

(t–2)67(1)卷積的微分性質(zhì)三、卷積的微積分性質(zhì)68(2)卷積的積分性質(zhì)(3)卷積的微積分性質(zhì)當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，表示求導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，當(dāng)為負(fù)整數(shù)時(shí)，表示求重積分的次數(shù)。69注意：應(yīng)用微積分性質(zhì)時(shí)，被積分的函數(shù)應(yīng)為可積函數(shù)，被求導(dǎo)的函數(shù)在處應(yīng)為零值。f(t)=f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)杜阿密爾積分

70例1：f1(t)=1，f2(t)=e–t