高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.4等比數(shù)列一導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修5

2.4等比數(shù)列（一）【教學(xué)目標(biāo)】1.通過實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念并學(xué)會(huì)簡(jiǎn)潔應(yīng)用.2.駕馭等比中項(xiàng)的概念并會(huì)應(yīng)用.3.駕馭等比數(shù)列的通項(xiàng)公式并了解其推導(dǎo)過程．【教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情景老師首先提出問題：通過學(xué)生對(duì)課本的預(yù)習(xí)，讓學(xué)生通過觀看《2.4等比數(shù)列（一）》課件“情景導(dǎo)入”部分，從世界雜交水稻之父—袁隆平的實(shí)例及四個(gè)生活中遇到的問題入手，通過相互溝通，既可感受袁隆平對(duì)中國(guó)和全世界作出的杰出貢獻(xiàn)，從而激發(fā)學(xué)生的愛國(guó)熱忱，又能對(duì)等比數(shù)列的概念及簡(jiǎn)潔應(yīng)用形成初步的印象.二、自主學(xué)習(xí)教材整理1等比數(shù)列的定義閱讀教材P48～P49倒數(shù)第一行，完成下列問題．1．等比數(shù)列的概念(1)文字語言：假如一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．(2)符號(hào)語言：eq\f(an＋1,an)＝q(q為常數(shù)，q≠0，n∈N*)．2．等比中項(xiàng)(1)前提：三個(gè)數(shù)a，G，b成等比數(shù)列．(2)結(jié)論：G叫做a，b的等比中項(xiàng)．(3)滿意的關(guān)系式：G2＝ab.教材整理2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式閱讀教材P49倒數(shù)第1行～P51例3，完成下列問題．1．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式一般地，對(duì)于等比數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an，有公式an＝a1qn－1.這就是等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，其中a1為首項(xiàng)，q為公比．2．等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可整理為an＝eq\f(a1,q)·qn，而y＝eq\f(a1,q)·qx(q≠1)是一個(gè)不為0的常數(shù)eq\f(a1,q)與指數(shù)函數(shù)qx的乘積，從圖象上看，表示數(shù)列eq\f(a1,q)·qn中的各項(xiàng)的點(diǎn)是函數(shù)y＝eq\f(a1,q)·qx的圖象上的孤立點(diǎn)．三、合作探究問題1視察下列4個(gè)數(shù)列，歸納它們的共同特點(diǎn)．①1,2,4,8,16，…；②1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，eq\f(1,16)，…；③1,1,1,1，…；④－1,1，－1,1，….提示：從第2項(xiàng)起，每項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比是同一個(gè)常數(shù)．問題2在2,8之間插入一個(gè)數(shù)，使之成等比數(shù)列．這樣的實(shí)數(shù)有幾個(gè)？提示：設(shè)這個(gè)數(shù)為G.則eq\f(G,2)＝eq\f(8,G)，G2＝16，G＝±4.所以這樣的數(shù)有2個(gè)．問題3等差數(shù)列通項(xiàng)公式是如何推導(dǎo)的？你能類比推導(dǎo)首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？提示：等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)是借助累加消去中間項(xiàng)，等比數(shù)列則可用累乘．依據(jù)等比數(shù)列的定義得eq\f(a2,a1)＝q，eq\f(a3,a2)＝q，eq\f(a4,a3)＝q，…，eq\f(an,an－1)＝q(n≥2)．將上面n－1個(gè)等式的左、右兩邊分別相乘，得eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·…·eq\f(an,an－1)＝qn－1，化簡(jiǎn)得eq\f(an,a1)＝qn－1，即an＝a1qn－1(n≥2)．當(dāng)n＝1時(shí)，上面的等式也成立．∴an＝a1qn－1(n∈N*)．探究點(diǎn)1證明等比數(shù)列例1已知f(x)＝logmx(m＞0且m≠1)，設(shè)f(a1)，f(a2)，…，f(an)，…是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列．提示：由題意知f(an)＝4＋2(n－1)＝2n＋2＝logman，∴an＝m2n＋2，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(m2n＋1＋2,m2n＋2)＝m2，∵m＞0且m≠1，∴m2為非零常數(shù)，∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列．反思與感悟推斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列的方法是利用定義，即eq\f(an＋1,an)＝q(與n無關(guān)的常數(shù))．探究點(diǎn)2等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用命題角度1方程思想例2一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18，求它的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)．提示：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)是a1，公比是q，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝12，①,a1q3＝18，②))②÷①，得q＝eq\f(3,2)，將q＝eq\f(3,2)代入①，得a1＝eq\f(16,3).因此，a2＝a1q＝eq\f(16,3)×eq\f(3,2)＝8.綜上，這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)分別是eq\f(16,3)與8.反思與感悟已知等比數(shù)列{an}的某兩項(xiàng)的值，求該數(shù)列的其他項(xiàng)或求該數(shù)列的通項(xiàng)常用方程思想，通過已知可以得到關(guān)于a1和q的兩個(gè)方程，從而解出a1和q，再求其他項(xiàng)或通項(xiàng)．命題角度2等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例3某種放射性物質(zhì)不斷改變?yōu)槠渌镔|(zhì)，每經(jīng)過一年剩余的這種物質(zhì)是原來的84%，這種物質(zhì)的半衰期為多長(zhǎng)？(精確到1年，放射性物質(zhì)衰變到原來的一半所需時(shí)間稱為這種物質(zhì)的半衰期)提示：設(shè)這種物質(zhì)最初的質(zhì)量是1，經(jīng)過n年，剩余量是an，由條件可得，數(shù)列{an}是一個(gè)等比數(shù)列．其中a1＝0.84，q＝0.84，設(shè)an＝0.5，則0.84n＝0.5.兩邊取對(duì)數(shù)，得nlg0.84＝lg0.5，用計(jì)算器算得n≈4.答這種物質(zhì)的半衰期大約為4年．反思與感悟等比數(shù)列應(yīng)用問題，在實(shí)際應(yīng)用問題中較為常見，解題的關(guān)鍵是弄清晰等比數(shù)列模型中的首項(xiàng)a1，項(xiàng)數(shù)n所對(duì)應(yīng)的實(shí)際含義．探究點(diǎn)3等比中項(xiàng)例4若1，a,3成等差數(shù)列，1，b,4成等比數(shù)列，則eq\f(a,b)的值為()A．±eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．1D．±1提示：D[∵1，a,3成等差數(shù)列，∴a＝eq\f(1＋3,2)＝2，∵1，b,4成等比數(shù)列，∴b2＝1×4，b＝±2，∴eq\f(a,b)＝eq\f(2,±2)＝±1.]反思與感悟(1)隨意兩個(gè)實(shí)數(shù)都有唯一確定的等差中項(xiàng)；(2)只有同號(hào)的兩個(gè)實(shí)數(shù)才有實(shí)數(shù)等比中項(xiàng)，且肯定有2個(gè)．四、當(dāng)堂檢測(cè)1．在等比數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝64，則a3等于()A．16 B．16或－16C．32 D．32或－322．若等比數(shù)列的首項(xiàng)為4，末項(xiàng)為128，公比為2，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為()A．4B．8C．6D．323．已知等比數(shù)列{an}滿意a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7等于()A．64B．81C．128D．2434．45和80的等比中項(xiàng)為________．提示：1．C2.C3.A4.－60或60五、課堂小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)過哪些學(xué)問內(nèi)容?提示：1．等比數(shù)列的推斷或證明(1)利用定義：eq\f(an＋1,an)＝q(與n無關(guān)的常數(shù))．(2)利用等比中項(xiàng)：aeq