第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 單元檢測(cè)（含解析）-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期人教A版（2019）選擇性第一冊(cè)

第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元檢測(cè)-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)一、單選題1．若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于，則的值為（

）A．0 B． C． D．2a2．已知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則曲線在點(diǎn)，處的切線斜率為（

）A． B． C． D．3．，若，則等于（

）A． B．1 C． D．4．函數(shù)和的圖象有公共點(diǎn)P，且在點(diǎn)P處的切線相同，則這條切線的方程為（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)在區(qū)間上有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題7．下列選項(xiàng)正確的是（

）A．， B．，C．， D．，8．已知函數(shù)在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則（

）A．B．令，存在，使得為偶函數(shù)C．函數(shù)在上可能有3個(gè)或4個(gè)極值點(diǎn)D．函數(shù)在上單調(diào)遞增三、填空題9．設(shè)曲線在處的切線與直線垂直，則10．已知：當(dāng)無窮大時(shí)，的值為，記為.運(yùn)用上述結(jié)論，可得.11．設(shè)函數(shù)，其中.若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的最小值為.12．已知且，設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題13．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2).（i）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（ii）若在上恒成立，求的取值范圍.14．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)記作，即；同時(shí)，在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)為.若在區(qū)間上，，則稱函數(shù)具有性質(zhì).若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且函數(shù)具有性質(zhì)，則對(duì)于，有，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)是線性函數(shù)時(shí)成立.若函數(shù)具有性質(zhì)，且存在常數(shù)m，，使得.(1)證明：具有性質(zhì).(2)證明：（i）；（ii）.(3)當(dāng)，時(shí)，函數(shù)具有性質(zhì)，求證：15．若斜率為的兩條平行直線，曲線滿足以下兩條性質(zhì)：（Ⅰ）分別與曲線至少有兩個(gè)切點(diǎn)；（Ⅱ）曲線上的所有點(diǎn)都在之間或兩條直線上．則稱直線為曲線的一對(duì)“雙夾線”，把“雙夾線”之間的距離稱為曲線在“方向上的寬度”，記為，已知曲線.(1)判斷時(shí)，曲線是否存在“雙夾線”，并說明理由；(2)若，試問：和是否是函數(shù)的一對(duì)“雙夾線”？若是，求此時(shí)的值；若不是，請(qǐng)說明理由；(3)對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，函數(shù)是否都存在“雙夾線”？若是，求的所有取值構(gòu)成的集合；若不是，請(qǐng)說明理由.16．若變量滿足：，且，其中且，則稱是的“型函數(shù)”.(1)已知是的“2型函數(shù)”，求該函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)已知是的“型函數(shù)”.（i）求的最小值；（ii）求證：.參考答案：題號(hào)12345678答案DDBDBBABCABD1．D【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)的定義直接計(jì)算可求解.【詳解】.故選：D.2．D【分析】由題意結(jié)合函數(shù)圖象變換整理新函數(shù)，利用對(duì)稱性可得其奇偶性，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系，可得答案.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，且為奇函數(shù)，所以，解得，故，且，故切線斜率為.故選：D.3．B【分析】求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由條件列方程求.【詳解】由題意可得：，若，即，則，解得．故選：B．4．D【分析】設(shè)切點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（），先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義列方程組，可得，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定其解，最后根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程.【詳解】由，，則，，設(shè)切點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（），則根據(jù)題意可得，得，即，設(shè)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以方程有唯一解，所以切點(diǎn)P坐標(biāo)為，切線斜率，則切線方程為.故選：D.5．B【分析】求導(dǎo)，根據(jù)fx在區(qū)間上有極值，由在區(qū)間上有不等根求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有極值，所以在區(qū)間上有變號(hào)根，即在區(qū)間上有變號(hào)根，令，則，令，得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增；所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，又，，所以，則，又當(dāng)時(shí)，，遞增，無極值，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：B6．B【分析】由題設(shè)易得，整理題設(shè)為，設(shè)，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而轉(zhuǎn)化問題為在上恒成立，設(shè)，，進(jìn)而結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，進(jìn)而求解即可.【詳解】由題設(shè)，顯然，由，即，即，設(shè)，，則，而，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，，則，令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，又，所以a的取值范圍是.故選：B.7．ABC【分析】對(duì)于ABC，由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式即可判斷；對(duì)于D，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，從而得解.【詳解】對(duì)于A，，則，故A正確；對(duì)于B，，則，故B正確；對(duì)于C，，則，故C正確；對(duì)于D，，則，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.8．ABD【分析】利用二倍角和輔助角公式化簡(jiǎn)得到，根據(jù)在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，可確定，進(jìn)而解得，再根據(jù)其范圍結(jié)合函數(shù)圖象和平移知識(shí)等逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，，因?yàn)樵谏嫌星覂H有4個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，∴，故A正確；對(duì)于B，，為偶函數(shù)，則，即，∵∴取，為偶函數(shù),滿足題意，故B正確；對(duì)于C，x∈0,π，∵，，∴函數(shù)在上可能有4個(gè)或5個(gè)極值點(diǎn)，故C不正確；對(duì)于D，若，則，∵，∴，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.故D正確；故選：ABD.9．1【分析】由直線的斜率求出切線的斜率，導(dǎo)函數(shù)在切點(diǎn)處的值即為切線斜率，建立等式，求得的值.【詳解】直線的斜率，∵切線與直線垂直，∴切線的斜率，，當(dāng)時(shí)，，∴，故答案為：1.10．.【分析】利用換元法和對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)將所求式子化簡(jiǎn)為的結(jié)構(gòu)，即可求得.【詳解】令，則，，則，因?yàn)?，則.故答案為：.11．【分析】根據(jù)不等式恒成立的等價(jià)形式，先求得的最小值，然后分離常數(shù)得恒成立，令求其最大值，從而得到的取值范圍，進(jìn)而求得最小值.【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，等價(jià)于，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，令，，當(dāng)時(shí)，h'x>0，當(dāng)時(shí)，h'x<0，，，的最小值為.故答案為：12．【分析】根據(jù)已知求導(dǎo)函數(shù)，再構(gòu)造新函數(shù)，應(yīng)用，兩種情況分類討論求出參數(shù)即可.【詳解】，且，令，，若時(shí)，單調(diào)遞增，則若，則單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，因?yàn)榇嬖?，所以單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，因?yàn)樗苑謩e為y=fx的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，不合題意；若時(shí)，單調(diào)遞減，若，則，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，因?yàn)榇嬖?，所以，，即，故，所以，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，因?yàn)樗苑謩e為y=fx的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，符合題意；所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是分類討論后求解，得出，對(duì)的計(jì)算求解.13．(1)在上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增.(2)（i）；（ii）【分析】（1）求出，就、分類討論后可得函數(shù)的單調(diào)性.（1）（i）求出，討論其符號(hào)可得函數(shù)的最小值；（ii）求出函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)得該函數(shù)恒為正，從而就、分類討論二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可得的增減性，故可得時(shí)不等式恒成立.【詳解】（1），若，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，則，而，若在上恒成立，故同理可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）,當(dāng)時(shí)，，則，其中，因在0,+∞上為增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；故.（ii），設(shè)，則，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，故在為增函數(shù)，故，若，則即在上恒成立，故即在上為增函數(shù)，故，故在上為增函數(shù)，故恒成立.若，t2a=2a+而，故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，故在為減函數(shù)，故時(shí)，，故在為減函數(shù)，故時(shí)，，這與題設(shè)矛盾，綜上，.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：含參數(shù)的不等式恒成立問題，注意結(jié)合端點(diǎn)效應(yīng)分類討論，有時(shí)需要多次求導(dǎo)討論各階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，從而得到上階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，注意兩者之間的對(duì)應(yīng)性.14．(1)證明見解析(2)（i）證明見解析（ii）證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)，結(jié)合新概念證明即可；（2）運(yùn)用前問的證明結(jié)論，記函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為Fx.結(jié)合新概念，逐個(gè)計(jì)算證明即可；（3）構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，得到具有性質(zhì).記函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為，證明得到，取，，，，可得結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，（因?yàn)椋?，故具有性質(zhì).（2）由（1）得，具有性質(zhì).記函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為Fx.（i）由得，，可得，，得.（ii）由得，，得.（3）構(gòu)造輔助函數(shù)，則，（因?yàn)椋?，故具有性質(zhì).記函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為，由得，，得，又，所以，取，，，，可得，.15．(1)存在，理由見解析；(2)是，；(3)答案見解析.【分析】（1）由定義結(jié)合三角函數(shù)圖像得到“雙夾線”；（2）利用導(dǎo)函數(shù)等于斜率，求出的切點(diǎn)坐標(biāo)，驗(yàn)證切點(diǎn)個(gè)數(shù)，在用作差法得出函數(shù)圖像在兩直線之間，由定義得出；（3）由（2）的思路可知令即可找到切線方程及切點(diǎn)坐標(biāo)，再由作差法驗(yàn)證函數(shù)在這兩條直線之間，由定義得出及其范圍.【詳解】（1）曲線：，由正弦函數(shù)的圖像可知：和為曲線的一對(duì)“雙夾線”，故曲線是存在“雙夾線”.（2）曲線：，，令，即，時(shí)，，點(diǎn)是曲線與的一個(gè)切點(diǎn)；時(shí)，，點(diǎn)是曲線與的一個(gè)切點(diǎn)；∴直線與曲線至少存在兩個(gè)切點(diǎn)，同理可得時(shí)，，點(diǎn)是曲線與的一個(gè)切點(diǎn)；時(shí)，，點(diǎn)是曲線與的一個(gè)切點(diǎn)；∴直線與曲線至少存在兩個(gè)切點(diǎn)，令，，則，，∴和是函數(shù)的一對(duì)“雙夾線”，.（3），則，∵，當(dāng)時(shí)，，則過點(diǎn)的切線方程為：，當(dāng)時(shí)，，過點(diǎn)的切線方程也為：，∴直線與至少存在兩個(gè)切點(diǎn)；同理可得，直線與相切于點(diǎn)和，∴直線與至少存在兩個(gè)切點(diǎn)；令，，則，，∴在兩條直線之間，故對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，函數(shù)都存在“雙夾線”，，的所有取值構(gòu)成的集合.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題出現(xiàn)的一個(gè)新的定義，根據(jù)定義先通過導(dǎo)函數(shù)與直線斜率相等找到至少兩個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)，再由作差法判定曲線一點(diǎn)在兩條直線之間.16．(1)(2)（i）（ii）證明見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的新定義可得到結(jié)果；（2）（i）根據(jù)函數(shù)的新定義以及基本不等式可求得最值；（ii）根據(jù)以及得到有關(guān)的一個(gè)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷單調(diào)區(qū)間，求最值，可證明不等