24.2.2 第3課時(shí) 切線長定理及三角形的內(nèi)切圓 人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)教案

24.2.2直線和圓的位置關(guān)系第3課時(shí)切線長定理及三角形的內(nèi)切圓教學(xué)目標(biāo)：1.掌握切線長的定義及切線長定理.初步學(xué)會(huì)運(yùn)用切線長定理進(jìn)行計(jì)算與證明.認(rèn)識(shí)三角形的內(nèi)切圓及其有關(guān)概念，會(huì)作一個(gè)三角形的內(nèi)切圓，掌握內(nèi)心的性質(zhì).教學(xué)重點(diǎn)：1.掌握切線長的定義及切線長定理.2.認(rèn)識(shí)三角形的內(nèi)切圓及其有關(guān)概念，會(huì)作一個(gè)三角形的內(nèi)切圓，掌握內(nèi)心的性質(zhì).教學(xué)難點(diǎn)：初步學(xué)會(huì)運(yùn)用切線長定理進(jìn)行計(jì)算與證明.教學(xué)導(dǎo)入SHAPE一、知識(shí)鏈接1.切線的判定定理和性質(zhì)定理是什么？2.角平分線的判定定理和性質(zhì)定理是什么？教學(xué)過程二、要點(diǎn)探究探究點(diǎn)1：切線長定理及應(yīng)用問題1上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了過圓上一點(diǎn)作已知圓的切線(如左圖所示)，如果點(diǎn)P是圓外一點(diǎn)，又怎么作該圓的切線呢？過圓外的一點(diǎn)作圓的切線，可以作幾條？要點(diǎn)歸納：切線上一點(diǎn)到切點(diǎn)之間的線段的長叫做這點(diǎn)到圓的切線長．問題2PA為⊙O的一條切線，沿著直線PO對(duì)折，設(shè)圓上與點(diǎn)A重合的點(diǎn)為B．圖中OB是⊙O的一條半徑嗎？PB是⊙O的切線嗎？PA.PB有何關(guān)系？∠APO和∠BPO有何關(guān)系？要點(diǎn)歸納：過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，兩條切線長相等.圓心與這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.推理驗(yàn)證已知，如圖PA.PB是⊙O的兩條切線，A.B為切點(diǎn).求證：PA=PB，∠APO=∠BPO.想一想：若連接兩切點(diǎn)A.B，AB交OP于點(diǎn)M.你又能得出什么新的結(jié)論？并給出證明.典例精析例1已知：如圖，四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA與⊙O分別相切與點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H.求證：AB+CD=AD+BC.變式訓(xùn)練如圖，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，且AB=10，CD=15，則四邊形ABCD的周長為______．例2為了測量一個(gè)圓形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用了如下辦法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個(gè)銳角為30°的三角板和一個(gè)刻度尺，按如圖所示的方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而可求得鐵環(huán)的半徑，若三角板與圓相切且測得PA=5cm，求鐵環(huán)的半徑．方法總結(jié)：切線長定理包括線段相等和角相等兩個(gè)結(jié)論，解題時(shí)應(yīng)有選擇地應(yīng)用，它是證明線段相等、角相等以及垂直關(guān)系的重要依據(jù).練一練PA.PB是⊙O的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，OA=3.若AP=4，則OP=；(2)若∠BPA=60°，則OP=.探究點(diǎn)2：三角形的內(nèi)切圓及作法互動(dòng)探究小明在一家木料廠上班，工作之余想對(duì)廠里的三角形廢料進(jìn)行加工：裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下的圓的面積盡可能大呢？問題1如果最大圓存在，它與三角形三邊應(yīng)有怎樣的位置關(guān)系？問題2如何求作一個(gè)圓，使它與已知三角形的三邊都相切？(1)如果半徑為r的☉I與△ABC的三邊都相切，那么圓心I應(yīng)滿足什么條件？(2)在△ABC的內(nèi)部，如何找到滿足條件的圓心I呢？做一做已知：△ABC.求作：和△ABC的各邊都相切的圓.要點(diǎn)歸納：與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.三角形內(nèi)切圓的圓心叫做這個(gè)三角形的內(nèi)心.這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的外切三角形.探究點(diǎn)3：三角形的內(nèi)心的性質(zhì)問題1如圖，☉O是△ABC的內(nèi)切圓，那么線段OA，OB，OC有什么特點(diǎn)？問題2如圖，分別過點(diǎn)O作AB.AC.BC的垂線，垂足分別為E，.F，G，那么線段OE，OF，OG之間有什么關(guān)系？要點(diǎn)歸納：三角形的內(nèi)心是三角形的三條角平分線的交點(diǎn).三角形的內(nèi)心到三角形的三邊距離相等.例3如圖，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，求∠BIC的度數(shù).例4(教材P100例2)△ABC的內(nèi)切圓☉O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AB=9，BC=14，CA=13，求AF，BD，CE的長.方法總結(jié)：關(guān)鍵是熟練運(yùn)用切線長定理，將相等線段轉(zhuǎn)化集中到某條邊上，從而建立方程.比一比：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心：三角形外接圓的圓心內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心課堂小結(jié)切線長定義切線上一點(diǎn)到切點(diǎn)之間的線段的長叫做這點(diǎn)到圓的切線長．切線長定理定理從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等.這一點(diǎn)與圓心的連線平分兩條切線的夾角.作用提供了證線段和角相等的新方法輔助線作法①分別連接圓心和切點(diǎn)；②連接兩切點(diǎn)；③連接圓心和圓外一點(diǎn).三角形內(nèi)切圓有關(guān)概念與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三角角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心到三角形的三邊距離相等.應(yīng)用運(yùn)用切線長定理，將相等線段轉(zhuǎn)化集中到某條邊上，從而建立方程.當(dāng)堂檢測1.如圖，PA，PB是☉O的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B，如果AP=4，∠APB=40°，則∠APO=，PB=.第1題圖第2題圖2.如圖，☉O為△ABC的內(nèi)切圓，AC=10，AB=8，BC=9，點(diǎn)D，E分別為BC，AC上的點(diǎn)，且DE為☉O的切線，則△CDE的周長為________.3.如圖，在△ABC中，點(diǎn)I是內(nèi)心，(1)若∠ABC=50°，∠ACB=70°，∠BIC=.(2)若∠A=80°，則∠BIC=度.(3)若∠BIC=100°，則∠A=度.(4)試探索：∠A與∠BIC之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？4.如圖，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于E，與AC相切于點(diǎn)D.求證：DE∥OC.5.如圖，△ABC中，I是內(nèi)心，∠A的平分線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D.求證：DI＝DB.參考答案自主學(xué)習(xí)知識(shí)鏈接切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.角平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.課堂探究二、要點(diǎn)探究探究點(diǎn)1：切線長定理及應(yīng)用問題1：連接OP，以O(shè)P的中點(diǎn)為圓心，OP的一半為半徑作圓，與☉O交于點(diǎn)A，B，連接PA，PB，直線PA，PB即為所求做的切線.過圓外的一點(diǎn)，可以作圓的兩條切線.問題2：OB是☉O的一條半徑，PB是☉O的切線，PA=PB，∠APO=∠BPO.推理驗(yàn)證：證明：∵PA，.PB是☉O的兩條切線，∴OA⊥PA，OB⊥PB.∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP，∴PA=PB，∠APO=∠BPO.想一想解：OP垂直平分AB.證明：∵PA，PB是⊙O的切線，點(diǎn)A，B是切點(diǎn)∴PA=PB，∠OPA=∠OPB∴△PAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線.∴OP垂直平分AB.典例精析例1證明：∵AB.BC.CD.DA與⊙O分別相切與點(diǎn)E.F、G、H，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.∴AB+CD=AD+BC.變式訓(xùn)練50例2解：設(shè)鐵環(huán)的圓心為O，AB與⊙O相切于點(diǎn)Q，連接OP、OA.OQ.∵AP、AQ為⊙O的切線，∴AO為∠PAQ的平分線，即∠PAO=∠QAO.又∠PAQ＝180°－60°=120°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OA=2PA=10，∴OP=SKIPIF1<0即鐵環(huán)的半徑為SKIPIF1<0練一練：（1）5（2）6探究點(diǎn)2：三角形的內(nèi)切圓及作法問題1最大的圓與三角形三邊都相切問題2圓心I應(yīng)是三角形的三條角平分線的交點(diǎn).作三角形任意兩個(gè)角的平分線，其交點(diǎn)即為所求作的圓心I.做一做作法：1.作∠B和∠C的平分線BM和CN，交點(diǎn)為O.2.過點(diǎn)O作OD⊥BC，垂足為D.3.以O(shè)為圓心，OD為半徑作圓O.☉O就是所求的圓.探究點(diǎn)3：三角形的內(nèi)心的性質(zhì)問題1線段OA，OB，OC分別是∠CAB，∠ABC，∠BCA的平分線.問題2OE=OF=OG例3解：連接IB，IC.∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∴BI，CI分別是∠ABC，∠ACB的平分線，在△IBC中，∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-SKIPIF1<0(∠ABC+∠ACB)=180°-SKIPIF1<0（43°+61°）=128°.例4解：設(shè)AE=x，則AF=x.∴CD=CE=AC-AE=13-x，BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC，可得(13-x)+(9-x)=14，解得x=4.∴AF=4，BD=5，CE=9.比一比：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心：三角形外接圓的圓心三角形三邊中垂線的交點(diǎn)1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的內(nèi)部．內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心三角形三條角平分線的交點(diǎn)1.到三邊的距離相等；2.OA.OB.OC分別平分∠BAC.∠ABC.∠ACB3.內(nèi)心在三角形內(nèi)部．當(dāng)堂檢測1.20°42.113.（1）120（2）130（3）20（4）∠BIC=90°+SKIPIF1<0∠A4.方法一證明：連接BD，∵AC切⊙O于點(diǎn)D，BC切⊙O于點(diǎn)B，∴DC=BC，OC平分∠DCB．∴OC⊥BD．∵BE為⊙O的直徑，∴DE⊥BD．∴DE∥OC．方法二證明：連接OD，∵AC切⊙O點(diǎn)D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠B=90°.在Rt△OCD和Rt△OCB中，O