《自動控制原理 》課件第5章

第5章控制系統(tǒng)的頻率特性法5.1頻率特性的基本概念

5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制

5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.5控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性第5章控制系統(tǒng)的頻率特性法5.6用頻率特性分析系統(tǒng)品質(zhì)5.7系統(tǒng)傳遞函數(shù)的實驗確定法5.8MATLAB在頻域分析中的應(yīng)用本章小結(jié)習題

從工程角度考慮，控制系統(tǒng)的性能用時域特性度量最為直觀。但是，一個控制系統(tǒng)，特別是高階系統(tǒng)的時域特性是很難用解析法確定的。尤其在系統(tǒng)設(shè)計方面，到目前為止還沒有直接按時域指標進行系統(tǒng)設(shè)計的通用方法。

頻率特性法是一種工程上廣為采用的分析和綜合系統(tǒng)的間接方法。它是一種圖解方法，利用系統(tǒng)的頻率響應(yīng)圖以及頻率響應(yīng)與時域響應(yīng)之間的某些關(guān)系進行系統(tǒng)的分析和設(shè)計。

頻率特性法不用求解系統(tǒng)的特征根，只要求出系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性就可以迅速判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且系統(tǒng)的頻率特性可用實驗方法測出來，這對于那些難以用解析法確定其數(shù)學模型的系統(tǒng)來說是非常有用的。用頻率特性法設(shè)計系統(tǒng)還可以考慮噪聲的影響，并且在一定的前提條件下，對某些非線性系統(tǒng)也適用。

本章主要介紹頻率特性的基本概念、典型環(huán)節(jié)的頻率特性及系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、頻率特性與時域響應(yīng)的關(guān)系。

5.1.1頻率特性的定義

設(shè)一個RC網(wǎng)絡(luò)如圖5-1所示，其輸入電壓和輸出電壓分別為ur(t)和uc(t)，其相應(yīng)的拉氏變換分別為Ur(s)和Uc(s)。該電路的傳遞函數(shù)為

(5-1)

式中：T為時間常數(shù)，T＝RC。5.1頻率特性的基本概念

圖5-1RC網(wǎng)絡(luò)若ur(t)＝Ursinωt，當初始條件為零時，輸出電壓的拉氏變換為

對上式取拉氏反變換有

(5-2)式(5-2)的第一項為暫態(tài)分量，第二項為穩(wěn)態(tài)分量。當t→∞時，暫態(tài)分量趨于0，這時電路的穩(wěn)態(tài)輸出為

(5-3)

式中：Uc為輸出電壓的幅值， jc為輸出電壓的相角，jc＝－arctanωT。

由式(5-3)可知，網(wǎng)絡(luò)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍然是一個同頻率的正弦信號，但幅值和相角發(fā)生了變化，其變化取決于頻率ω。這一結(jié)論可以推廣到任意線性定常系統(tǒng)。

如果用A(ω)表示輸出、輸入正弦信號的幅值比，即

(5-4)

用φ(ω)表示輸出、輸入正弦信號的相角差，即

(5-5)則不難發(fā)現(xiàn)，A(ω)和φ(ω)只與系統(tǒng)參數(shù)及正弦輸入信號的頻率有關(guān)。在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)給定的情況下，A(ω)和φ(ω)僅僅是ω的函數(shù)。因此，稱

為RC網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性；j(ω)＝－arctanωT為RC網(wǎng)絡(luò)的相頻特性。

若頻率ω連續(xù)取不同的值，可繪出RC網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性曲線和相頻特性曲線如圖5-2所示?？梢?，當輸入電壓的頻率ω較低時，輸出電壓與輸入電壓幅值幾乎相等，兩電壓間的相角滯后也不大。隨著ω的增高，輸出電壓的幅值迅速減小，相角滯后亦隨之增加。當ω→∞時，輸出電壓的幅值趨向于0，而相角滯后接近90°。

由于輸入、輸出信號(穩(wěn)態(tài)時)均為正弦函數(shù)，故可用電路理論的符號法將其表示為復(fù)數(shù)形式，即輸入為

輸出為 則輸出與輸入之比為

圖5-2RC網(wǎng)絡(luò)的頻率特性曲線(a)幅頻特性；(b)相頻特性

(5-6)

由式(5-6)可知，輸出與輸入之比既有幅值A(chǔ)(ω)，又有相角φ(ω)，因此，在復(fù)平面上構(gòu)成了一個完整的向量，即

(5-7)

稱為頻率特性，通常用G(jω)表示，即

(5-8)綜上所述，可對頻率特性的定義作如下陳述：線性定常系統(tǒng)在正弦信號作用下，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之比對頻率的關(guān)系特性稱為系統(tǒng)的頻率特性，記為G(jω)，即

(5-9)

5.1.2頻率特性和傳遞函數(shù)的關(guān)系

設(shè)系統(tǒng)的輸入信號、輸出信號分別為r(t)和c(t)，其拉氏變換分別為R(s)和C(s)，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

設(shè)傳遞函數(shù)具有如下形式：

(5-10)

式中：p1，p2，…，pn為傳遞函數(shù)的極點。為方便討論并且不失一般性，設(shè)所有極點均為互異實數(shù)，即沒有重根。

若輸入信號為正弦函數(shù)，即

r(t)＝Rsinωt

其拉氏變換為

(5-11)

則有

(5-12)

式中：Ci，B1，B2均為待定常數(shù)。

對式(5-12)求拉氏反變換，可得輸出為

(5-13)對于穩(wěn)定系統(tǒng)，閉環(huán)極點均為負實數(shù)。當t→∞時，則有

所以，輸出的穩(wěn)態(tài)分量為

(5-14)

式中：

(5-15)

(5-16)由于G(jω)為復(fù)數(shù)，可寫為

(5-17)

而且，G(jω)與G(－jω)是共軛的，故G(－jω)可寫成

(5-18)

將式(5-17)、(5-18)分別代入式(5-15)、(5-16)得

再將B1，B2之值代入式(5-14)，則有

(5-19)

式中：A(ω)＝C/R＝|G(jω)|，恰好是系統(tǒng)的幅頻特性；而φ(ω)＝j(luò)c－jr＝∠G(jω)，也恰好是系統(tǒng)的相頻特性。因此，系統(tǒng)的頻率特性與傳遞函數(shù)之間存在如下關(guān)系：

(5-20)需要指出的是，頻率特性只適用于線性定常系統(tǒng)，否則不能使用拉氏變換。上述理論是在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下推出來的，如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，則暫態(tài)分量不趨向于0，系統(tǒng)響應(yīng)也不趨向于穩(wěn)態(tài)分量，無法觀察系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。但理論上，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量總是可以分離出來的，并不依賴于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。另外，由G(jω)＝G(s)|s＝j(luò)ω可知，系統(tǒng)的頻率特性包含了系統(tǒng)的全部運動規(guī)律，因此也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學模型，并成為系統(tǒng)頻域分析的理論根據(jù)。5.1.3正弦輸入信號下穩(wěn)態(tài)誤差的計算

當r(t)＝Rsinωt時，有

輸入函數(shù)在虛軸上不解析。因此，這種情況下不能用終值定理求解系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，但此時可用頻率特性法進行分析。

【例5-1】

某系統(tǒng)如圖5-3所示。已知r(t)＝5sin2t，試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

解由結(jié)構(gòu)圖可求得系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)為

所以有

圖5-3例5-1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖此題ω＝2rad/s，所以

則有

即

5.1.4頻率特性的表示方法

在工程分析和設(shè)計中，通常把線性系統(tǒng)的頻率特性繪制成曲線，再運用圖解法進行研究。頻率特性曲線一般有以下四種。

1)一般坐標特性曲線

此時，系統(tǒng)的幅頻特性A(ω)和相頻特性j(ω)分開繪制，而且橫坐標和縱坐標的刻度都是常用的線性刻度。例如，RC網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性和相頻特性曲線，見圖5-2。

2)極坐標特性曲線

極坐標特性曲線也稱做幅相頻率特性曲線。以橫軸為實軸、縱軸為虛軸，構(gòu)成復(fù)數(shù)平面。對于任一給定的頻率ω，頻率特性值為復(fù)數(shù)。若將頻率特性表示為實數(shù)與虛數(shù)和的形式，則實部為實數(shù)坐標值，虛部為虛數(shù)坐標值。若將頻率特性表示為復(fù)數(shù)指數(shù)形式，則為復(fù)平面上的向量，而向量的長度為頻率特性的幅值，向量與實軸正方向的夾角等于頻率特性的相角。在系統(tǒng)幅相頻率特性曲線中，頻率ω為參變量，一般用小箭頭表示ω增大時幅相曲線的變化方向。

由于幅頻特性為ω的偶函數(shù)，相頻特性為ω的奇函數(shù)，則ω從0→＋∞和ω從0→－∞的幅相曲線關(guān)于實軸對稱。因此，一般只繪制ω從0→＋∞的幅相曲線，而且稱ω從0→－∞的幅相曲線為ω從0→＋∞幅相曲線的鏡像曲線。當ω的取值為－∞到＋∞時，幅相曲線又稱為奈奎斯特(Nyquist)曲線。

例如，RC網(wǎng)絡(luò)組成的慣性環(huán)節(jié)，其頻率特性可表示為

圖5-4慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線當ω＝0時，A(0)＝1，φ(0)＝0°；當ω→∞時，A(∞)＝0，φ(∞)＝－90°。由此繪制出的頻率特性是一個圓心在(0.5，j0)、半徑為0.5的半圓，如圖5-4所示。

3)對數(shù)頻率特性曲線

對數(shù)頻率特性曲線又稱為伯德(Bode)圖，它由對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)相頻特性曲線組成，是工程中廣泛使用的一組曲線。

對數(shù)頻率特性曲線的橫坐標表示頻率ω，單位為弧度/秒(rad/s)，但按lgω線性分度。對數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標按下式進行線性分度，單位是分貝(dB)。

L(ω)＝20lgA(ω)

(5-21)

對數(shù)相頻特性曲線的縱坐標按φ(ω)進行線性分度，單位為度(°)。由此構(gòu)成的坐標系稱為半對數(shù)坐標系。

對數(shù)分度和線性分度如圖5-5所示。在線性分度中，當變量增大或減小1時，坐標間距離變化一個單位長度；而在對數(shù)分度中，當變量增大10倍或減小為原來的1/10時，稱為十倍頻程(dec)，坐標間距離變化一個單位長度。

圖5-5對數(shù)分度與線性分度(a)對數(shù)分度；(b)線性分度在工程設(shè)計和繪圖中，采用Bode圖法具有十分明顯的優(yōu)點：

(1)頻率ω(橫坐標)按對數(shù)分度，實現(xiàn)了非線性壓縮，便于在較大頻率范圍內(nèi)反映頻率特性的變化情況。而且這種對數(shù)分度使低頻部分排列稀疏，分辨精細，而高頻部分排列密集，分辨粗略，這正符合工程的實際需要。

(2)對數(shù)幅頻特性采用［20lg|G(jω)|］，將幅值的乘除運算化為加減運算，大大簡化了繪圖過程，使設(shè)計和分析變得相對容易。

例如，RC網(wǎng)絡(luò)組成的慣性環(huán)節(jié)，其對數(shù)頻率特性可表示為

取T＝1，其對數(shù)頻率特性曲線如圖5-6所示。

圖5-6 的Bode圖

4)對數(shù)幅相特性曲線

將對數(shù)幅頻特性和相頻特性合并為一條曲線，稱做對數(shù)幅相特性曲線。橫坐標為相頻特性j(ω)，

縱坐標為對數(shù)幅頻特性L(ω)，頻率ω作為參變量標在曲線上相應(yīng)點的旁邊，此曲線又稱為尼柯爾斯圖。圖5-7為T＝0.5時RC網(wǎng)絡(luò)的對數(shù)幅相特性曲線。

上述四種頻率特性曲線中，極坐標特性曲線和對數(shù)頻率特性曲線最為常用。

圖5-7RC網(wǎng)絡(luò)的對數(shù)幅相特性曲線

在第2章中曾經(jīng)述及，控制系統(tǒng)通常由若干典型環(huán)節(jié)組成，常見的典型環(huán)節(jié)有比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)、二階微分環(huán)節(jié)和延遲環(huán)節(jié)等。

下面分別討論典型環(huán)節(jié)的頻率特性。

1.比例環(huán)節(jié)

比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G(s)＝K，其頻率特性表達式為

5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性

G(jω)＝K

(5-22)

顯然有A(ω)＝K，j(ω)＝0°。

1)幅相頻率特性

由于比例環(huán)節(jié)的頻率特性可表示為

G(jω)＝Kej0°

(5-23)

因此，其幅相頻率特性曲線僅僅是實軸上的一個固定點(K，j0)，如圖5-8所示。

圖5-8比例環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線

2)對數(shù)頻率特性

由式(5-23)可知

L(ω)＝20lgK

(5-24)

j(ω)＝0°

(5-25)

可見，比例環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性是一條高度等于20lgK分貝的水平線，而對數(shù)相頻特性為一條與橫坐標相重合的直線，如圖5-9所示。

圖5-9比例環(huán)節(jié)的Bode圖

2.積分環(huán)節(jié)

積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G(s)＝1/s，其相應(yīng)的頻率特性表達式為

(5-26)

顯然有A(ω)＝1/ω，φ(ω)＝－90°。

1)幅相頻率特性

由于積分環(huán)節(jié)的頻率特性可表示為

(5-27)

因此，其幅相頻率特性曲線沿負虛軸從無窮遠處指向原點，即曲線與負虛軸相重合，如圖5-10所示。

圖5-10積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線

2)對數(shù)頻率特性

由式(5-27)可知

(5-28)

上式是一個線性方程，在Bode圖上表現(xiàn)為一條斜線，其斜率為－20dB/dec。這就意味著積分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性是一條通過橫軸ω＝1rad/s點，且斜率為每十倍頻程下降20dB的斜線，見圖5-11。需要說明的是，斜率－20dB/dec通常用［－20］表示。

圖5-11積分環(huán)節(jié)的Bode圖積分環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性由下式所描述：

j(ω)＝－90°

(5-29)

式中：不論ω取何值，j(ω)恒為－90°，是一條縱坐標為－90°的水平線，如圖511所示。

3.微分環(huán)節(jié)

微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G(s)＝s，其相應(yīng)的頻率特性表達式為

G(jω)＝j(luò)ω

(5-30)

顯然有A(ω)＝ω，j(ω)＝90°。

1)幅相頻率特性

由于微分環(huán)節(jié)的頻率特性可表示為

G(jω)＝ωej90°

(5-31)

因此，其幅相頻率特性沿正虛軸從原點指向無窮遠處，即曲線與正虛軸相重合，如圖5-12所示。

圖5-12微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線

2)對數(shù)頻率特性

由式(5-31)可知

L(ω)＝20lgω

(5-32)

這說明微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性與積分環(huán)節(jié)相比只差一負號，是一條通過橫軸ω＝1rad/s點，且斜率為每十倍頻程增加20dB的斜線，通常用［＋20］表示，如圖5-13所示。微分環(huán)節(jié)與積分環(huán)節(jié)以零分貝線互為鏡像。

微分環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性由下式所描述：

(5-33)

圖5-13微分環(huán)節(jié)的Bode圖式中：φ(ω)恒為90°，與頻率ω無關(guān)，是一條縱坐標為90°的水平線，如圖513所示。

4.慣性環(huán)節(jié)

慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G(s)＝1/(Ts＋1)，其相應(yīng)的頻率特性表達式為

(5-34)

顯然有

1)幅相頻率特性

參考RC網(wǎng)絡(luò)，見圖5-4。

2)對數(shù)頻率特性

由式(5-34)可知

(5-35)

在時間常數(shù)T已知的情況下，將ω由0→∞取值，并計算出相應(yīng)的L(ω)值，即可繪出慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線，如圖5-14所示。這種方法的特點是所繪曲線精確，但很費時，工程上一般不采用，而是代之以簡便的近似方法，即用漸近線分段表示對數(shù)幅頻特性。漸近線近似法的思路如下：在低頻段，ω很小。當 即ωT<<1時，式(5-35)可略去根號內(nèi)的ω2T2項，這時對數(shù)幅頻特性可近似為L(ω)

≈0dB這是一條與橫坐標ω軸相重合的水平線，稱為低頻漸近線。

圖5-14慣性環(huán)節(jié)的Bode圖在高頻段，ω很大。當 即ωT>>1時，式(5-35)可略去根號內(nèi)的1，于是，對數(shù)幅頻特性可近似為 L(ω)≈－20lgωT

(5-36)

這是一個線性方程，意味著 的高頻段可用一條斜率為［－20］的斜線來表示，稱為高頻漸近線。由式(5-36)還可看出，當 時，L(ω)＝0dB，即高頻漸近線在 時正好與低頻漸近線相交，交點處的頻率稱為轉(zhuǎn)折頻率。因此，漸近線由兩段曲線組成，以

為轉(zhuǎn)折點。漸近線與實際的L(ω)曲線之間的最大誤差發(fā)生在轉(zhuǎn)折頻率處，其值約為3dB，如圖5-14所示。

可見，用漸近線代替實際對數(shù)幅頻特性曲線，誤差并不大，若需要繪制精確的對數(shù)幅頻特性時，可按誤差對漸近線加以修正。誤差曲線如圖5-15所示。

圖5-15慣性環(huán)節(jié)的誤差曲線慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性為

j(ω)＝－arctanωT

(5-37)

當ω＝0時，j

(ω)＝0°；當

時，j(ω)＝－45°；當ω＝∞時，j(ω)＝－90°。由于對數(shù)相角是ωT的反正切函數(shù)，因此對數(shù)相頻特性關(guān)于(

j(ω)＝－45°)這一點是奇對稱的，如圖5-14所示。

順便指出，慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性均是ω和T乘積的函數(shù)。對于不同時間常數(shù)的慣性環(huán)節(jié)，對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性左右移動，但其形狀保持不變。

5.一階微分環(huán)節(jié)

一階微分環(huán)節(jié)的典型實例是工業(yè)上常用的比例-微分控制器。其傳遞函數(shù)為

G(s)＝τs＋1

式中：τ是時間常數(shù)。其相應(yīng)的頻率特性表達式為

G(jω)＝1＋jωτ

(5-38)

顯然有

1)幅相頻率特性

由于一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性可表示為

(5-39)

因而，其幅相頻率特性曲線是一條由(1，j0)點出發(fā)、平行于虛軸而一直向上引伸的直線，如圖5-16所示。

圖5-16一階微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線

2)對數(shù)頻率特性

由式(5-39)可知

(5-40)

可見，一階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性與慣性環(huán)節(jié)相比也是只差一個負號，二者的對數(shù)幅頻特性曲線也關(guān)于零分貝線互為鏡像。其漸近線由兩段組成，低頻段斜率為［0］，高頻段斜率為［＋20］，以 為轉(zhuǎn)折頻率。最大誤差同樣發(fā)生在轉(zhuǎn)折頻率處，其值約為3dB，如圖5-17所示。

圖5-17一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖一階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性為

j(ω)＝arctanωτ

(5-41)

當ω＝0時，j(ω)＝0°；當ω＝∞時，j(ω)＝90°。同樣與慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性差一負號，因此關(guān)于(

j

(ω)＝45°)這一點是奇對稱的，如圖5-17所示。

6.振蕩環(huán)節(jié)

振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

其相應(yīng)的頻率特性為

(5-42)顯然有

(5-43)

與

(5-44)

1)幅相頻率特性

根據(jù)式(5-43)和式(5-44)，以阻尼比ζ為參變量，頻率ω由0→∞取一系列數(shù)值，計算出相應(yīng)的幅值和相角，即可繪制出振蕩環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線，如圖5-18所示。

當ω＝0時，幅值A(chǔ)(ω)＝1，相角φ(ω)＝0°，所有特性曲線均起始于(1，j0)點。當ω＝ωn時，

φ(ωn)＝－90°，特性曲線與負虛軸相交；阻尼比越小，虛軸上的交點離原點越遠。當ω→∞時，A(ω)→0，

φ(ω)→－180°，特性曲線在第三象限沿負實軸趨向坐標原點。

圖5-18振蕩環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線

2)對數(shù)頻率特性

這時有

(5-45)

阻尼比ζ取不同的數(shù)值，可作出振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線簇如圖5-19所示。但工程上仍然采用漸近線，方法如下：

低頻段：當ω<<ωn，即 時，式(5-45)中略去ω/ωn項，近似取

L(ω)≈－20lg1＝0dB (5-46)

這是一條與橫坐標ω軸相重合的水平線。

高頻段：當ω>>ωn，即 時，同時略去1和2ζω/ωn項，近似取

(5-47)

式(5-47)表明，高頻段是一條斜率為－40的直線，并在轉(zhuǎn)折頻率ωn處與作為低頻漸近線的零分貝線銜接。

可見，振蕩環(huán)節(jié)的漸近線是由零分貝線和斜率為［－40］的斜線交接而成的，轉(zhuǎn)折頻率為ω＝ωn，如圖5-19所示(圖中粗線為漸近特性)。

圖5-19振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖用漸近線代替準確曲線，在ω＝ωn附近會導致較大的誤差。因為，當ω＝ωn時，由漸近線方程(5-47)得，L(ω)≈－40lg1＝0dB；而按準確方程(5-45)得，L(ω)＝－20lg(2ζ)。兩者之差(即誤差)與阻尼比ζ有關(guān)，只有當ζ＝0.5時，誤差才等于0。若ζ在0.3～0.7之間，誤差仍比較小，不超過3dB，所得頻率特性漸近線不必修正。若ζ超出上述范圍，則必須對曲線加以修正。振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性漸近線的誤差修正曲線如圖5-20所示。

圖5-20振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性漸近線的誤差修正曲線振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性仍用式(5-44)描述，對于不同的ζ值，作出的曲線簇如圖5-19所示。曲線的形狀因阻尼比ζ不同而異。但無論ζ取何值，曲線均存在下列關(guān)系：

當ω＝0時，j(ω)＝0°；

當ω＝ωn時，j(ωn)＝－90°；

當ω→∞時，j(ω)→－180°。

而且，由圖5-19可見，振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線關(guān)于(ω＝ωn，φ(ω)＝－90°)這一點奇對稱。

7.二階微分環(huán)節(jié)

二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

G(s)＝T2s2＋2ζTs＋1

其相應(yīng)的頻率特性為

G(jω)＝(1－T2ω2)＋j2ζTω

(5-48)

顯然有

(5-49)

(5-50)

1)幅相頻率特性

根據(jù)式(5-49)和式(5-50)，以阻尼比ζ為參變量，頻率ω由0→∞取一系列數(shù)值，計算出相應(yīng)的幅值和相角，即可繪出二階微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線，如圖5-21所示。

當ω＝0時，幅值A(chǔ)(ω)＝1，相角j(ω)＝0°，所有特性曲線均起始于(1，j0)點。當ω＝1/T時，A(1/T)＝2ζ，j(1/T)＝90°，特性曲線與正虛軸相交；阻尼比越大，虛軸上的交點離原點越遠。當ω→∞時，A(ω)→∞，j

(ω)

→180°，特性曲線在第二象限沿負實軸方向趨向于無窮遠處。

圖5-21二階微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線

2)對數(shù)頻率特性

由式(5-49)可知

(5-51)

顯然，二階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性與振蕩環(huán)節(jié)相比只差一個負號，特性曲線與振蕩環(huán)節(jié)互為鏡像，如圖5-22所示。轉(zhuǎn)折頻率為ω折＝1/T，其漸近線由兩段組成：

當ω＜ω折時，L(ω)＝0dB；當ω＞ω折時，L(ω)＝40

lgωT，斜率為［＋40］的斜線，如圖5-22所示(圖中粗線為漸近特性)。

圖5-22二階微分環(huán)節(jié)的Bode圖二階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性仍用式(5-50)描述，對于不同的ζ值，作出的曲線簇如圖5-22所示。曲線的形狀因阻尼比ζ不同而異。但無論ζ取何值，曲線均存在下列關(guān)系：

當ω＝0時，j(ω)＝0°；

當ω＝1/T時，j

(1/T)＝90°；

當ω→∞時，j(ω)→180°。而且，由圖5-22可見，二階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線關(guān)于(ω＝1/T，j(ω)＝90°)這一點奇對稱。

8.延遲環(huán)節(jié)

延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

G(s)＝e－τs

式中：τ為延遲時間。其相應(yīng)的頻率特性為

G(jω)＝e－jτω

(5-52)

顯然有A(ω)＝1，j(ω)＝－τω(rad)＝－57.3τω(°)。

圖5-23延遲環(huán)節(jié)的極坐標圖

1)幅相頻率特性

由于延遲環(huán)節(jié)的幅值為常數(shù)1，與ω無關(guān)，而相角與ω成正比。因此，延遲環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線為圓心在原點、半徑為1的單位圓，如圖5-23所示。

2)對數(shù)頻率特性

這時有 L(ω)＝20lg1＝0dB (5-53)

因此，延遲環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線為一條與0dB線重合的直線，而其對數(shù)相頻特性曲線隨ω增大而減小(0°→∞),如圖5-24所示。

圖5-24延遲環(huán)節(jié)的Bode圖

5.3.1開環(huán)幅相頻率特性的繪制(極坐標圖)

根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的表達式，可以通過取點、計算和作圖繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相特性曲線。本節(jié)著重介紹繪制開環(huán)幅相特性曲線的方法。

設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

5.3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制

(5-54)(1)ω→0時的低頻起始段。

當ω→0時，頻率特性Gk(jω)的低頻段表達式為

(5-55)

顯然，

可見，低頻起始段的幅值和相角均與積分環(huán)節(jié)的數(shù)目υ有關(guān)，或者說與系統(tǒng)的型別有關(guān)。υ不同，低頻起始段的差異很大，如：

0型系統(tǒng)，υ＝0：A(0)＝K，j(0)＝0°；

1型系統(tǒng)，υ＝1：A(0)＝∞，j(0)＝－90°；

2型系統(tǒng)，υ＝2：A(0)＝∞，j(0)＝－180°。

依此類推，圖5-25給出了0型、1型、2型和3型系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線起始段的一般形狀。

圖5-25開環(huán)幅相頻率特性曲線低頻段的一般形狀

(2)ω→∞的高頻終止段。

當ω→∞時，頻率特性Gk(jω)的高頻段表達式為

(5-56)

可見，開環(huán)幅相特性的高頻段是以確定的角度收斂于原點，如圖5-26所示。

圖5-26開環(huán)幅相頻率特性的高頻段

(3)確定幅相特性曲線與實軸的交點。

令I(lǐng)m［Gk(jω)］＝0，求得ω，代入Re［Gk(jω)］中，即可得到特性曲線與實軸的交點。

(4)確定幅相特性曲線與虛軸的交點。

令Re［Gk(jω)］＝0，求得ω，代入Im［Gk(jω)］中即可得到特性曲線與虛軸的交點。

用平滑的曲線將上述特殊點連接起來，就可以得到系統(tǒng)概略的開環(huán)幅相頻率特性曲線。

【例5-2】

已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試繪制系統(tǒng)的極坐標特性曲線。

解系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，υ＝1，而且n＝3，m＝0。所以有 Gk(j0)＝∞∠－90°

Gk(j∞)＝0∠－270°由于

令I(lǐng)m［Gk(jω)］＝0，即1－0.01ω2＝0，因此ω＝±10rad/s，取ω＝10rad/s。代入Re［G(jω)］中，有

即極坐標特性曲線與實軸的交點為(－0.4，j0)。

令Re［Gk(jω)］＝0，求得ω＝∞，即曲線僅在終點處與虛軸有交點。系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線如圖5-27所示。

圖5-27例5-2系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線5.3.2開環(huán)對數(shù)頻率特性的繪制(Bode圖)

設(shè)系統(tǒng)前向通道由兩個環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)分別為G1(s)、G2(s)，如圖5-28所示。則系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

Gk(s)＝G1(s)G2(s)

相應(yīng)的開環(huán)頻率特性為

圖5-28系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖由此得到系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為

可見，系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性等于各環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性之代數(shù)和，系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性等于各環(huán)節(jié)對數(shù)相頻特性之代數(shù)和。

推而廣之，若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為n個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積，則只要將n個環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性畫出，再進行疊加，即可求得系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性。

控制系統(tǒng)一般由多個環(huán)節(jié)組成，在繪制對數(shù)頻率特性時，應(yīng)先將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分解成典型環(huán)節(jié)乘積的形式，再進行繪制。下面介紹兩種常見的繪制系統(tǒng)Bode圖的方法。

1.環(huán)節(jié)曲線疊加法

【例5-3】

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

試繪制其開環(huán)對數(shù)頻率特性。

解將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)表示成時間常數(shù)的形式，即可見，系統(tǒng)由以下四個典型環(huán)節(jié)組成：

(1)比例環(huán)節(jié)G1(s)＝10：L1(ω)＝20lg10＝20dB，高度為20dB的直線；j1(ω)＝0°，與橫坐標軸重合。

(2)積分環(huán)節(jié) L2(ω)＝－20lgω，是一條過ω＝1rad/s、斜率為［－20］的直線；j2(ω)＝－90°，高度為－90°的直線。

(3)一階微分環(huán)節(jié)

是轉(zhuǎn)折頻率為2rad/s的一階微分環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線；

關(guān)于(ω＝2rad/s，j(ω)＝45°)點奇對稱。

(4)慣性環(huán)節(jié)

是轉(zhuǎn)折頻率為20rad/s的慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線；

關(guān)于(ω＝20rad/s，j(ω)＝－45°)點奇對稱。

先將L1(ω)～L4(ω)依次畫在對數(shù)幅頻特性坐標圖上，再把它們疊加起來求得開環(huán)對數(shù)幅頻特性L(ω)；同樣，先將j1(ω)～j4(ω)依次畫在對數(shù)相頻特性坐標圖上，再把它們疊加起來求得開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線j

(ω)。系統(tǒng)的Bode圖如圖5-29所示。

圖5-29例5-3系統(tǒng)Bode圖

2.順序斜率疊加法

由例5-3可知，由于開環(huán)傳遞函數(shù)是由若干個典型環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，而且典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線均為不同斜率的直線或折線，因此疊加后的開環(huán)對數(shù)幅頻特性仍為由不同斜率的線段所組成的折線群。所以，只要能確定低頻起始段的位置和斜率，并能確定線段轉(zhuǎn)折頻率以及轉(zhuǎn)折后線段斜率的變化量，就可以從低頻到高頻將整個系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線順序繪出。

1)低頻漸近線的確定

慣性、振蕩、一階微分、二階微分等環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性，在ω＜ω折時均為0dB。所以，系統(tǒng)低頻段(最低的轉(zhuǎn)折頻率以前)的對數(shù)幅頻特性只取決于積分環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)，即

(5-57)

式(5-57)表明，無論υ為何值，當ω＝1時，總有L(ω)＝20lgKdB(5-58)故低頻漸近線(或其延長線)在ω＝1rad/s處的高度必定是20lgKdB，其中K是系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)。

式(5-57)是線性方程，易知直線的斜率為［－20υ］，即低頻漸近線的斜率與積分環(huán)節(jié)的數(shù)目υ有關(guān)。因此，低頻漸近線為在ω＝1rad/s處，過20lgKdB、斜率為［－20υ］的斜線，如圖5-30所示。

圖5-30低頻段的斜率與υ的關(guān)系

2)轉(zhuǎn)折頻率及轉(zhuǎn)折后斜率變化量的確定

①慣性環(huán)節(jié)：轉(zhuǎn)折后斜率變化量為［－20］。

②振蕩環(huán)節(jié)：轉(zhuǎn)折后斜率變化量為［－40］。

③一階微分環(huán)節(jié)：轉(zhuǎn)折后斜率變化量為［－20］。

④二階微分環(huán)節(jié)：轉(zhuǎn)折后斜率變化量為［－40］。

根據(jù)上述特點，可歸納出繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性的一般步驟和方法如下：

(1)將系統(tǒng)開環(huán)頻率特性Gk(jω)寫成時間常數(shù)形式，且為典型環(huán)節(jié)頻率特性乘積的形式。

(2)求出各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，并從小到大依次標在對數(shù)坐標圖的橫坐標軸上。

(3)按開環(huán)放大倍數(shù)K計算20lgK的分貝值，過(ω＝1rad/s，L(ω)＝20lgK)這一點，繪出斜率為－20υ的直線，此即為低頻段的漸近線(或其延長線)。

(4)從低頻漸近線開始，沿ω軸從左到右，即沿著頻率增大的方向，每遇到一個轉(zhuǎn)折頻率，

對數(shù)幅頻特性L(ω)就按對應(yīng)典型環(huán)節(jié)的特性改變相應(yīng)的斜率，直到經(jīng)過全部轉(zhuǎn)折頻率為止。

(5)對數(shù)相頻特性j(ω)可直接利用相頻特性表達式逐點計算而得。

【例5-4】

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試繪制其Bode圖。

解

(1)由題意知υ＝1，K＝10，所以有20lgK＝20dB。

(2)轉(zhuǎn)折頻率依次為：ω1＝2rad/s，ω2＝4rad/s，ω3＝10rad/s。

(3)低頻漸近線為過(ω＝1rad/s，20dB)這一點、斜率為［－20］的斜線。畫到ω1＝2rad/s時，斜率變?yōu)椋郏?0］；畫到ω2＝4rad/s時，斜率變?yōu)椋郏?0］。畫到ω3＝10rad/s時，斜率再次變?yōu)椋郏?0］。至此，已繪制出系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性漸近線L(ω)，如圖5-31所示。圖5-31例5-4系統(tǒng)的Bode圖

(4)系統(tǒng)的開環(huán)相頻特性表達式為

逐點計算結(jié)果如表5-1所示。

根據(jù)表5-1所給數(shù)據(jù)繪制的系統(tǒng)開環(huán)相頻特性曲線如圖5-31所示。表5-1例5-4系統(tǒng)開環(huán)相頻特性5.3.3最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)

在s右半平面上沒有零、極點的傳遞函數(shù)，稱為最小相位傳遞函數(shù)；否則，為非最小相位傳遞函數(shù)。具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)，而具有非最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)則稱為非最小相位系統(tǒng)。

“最小相位”和“非最小相位”的概念來源于網(wǎng)絡(luò)理論。它指出：在具有相同幅頻特性的一類系統(tǒng)中，當ω從0→∞時，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍最小，而非最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍通常要比前者大，故而得名。

例如，兩個系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為

顯然，G1(s)沒有位于右半s平面上的零、極點，故系統(tǒng)1是最小相位系統(tǒng)；而G2(s)則有一個位于右半s平面上的零點(z1＝1/τ)，故系統(tǒng)2屬于非最小相位系統(tǒng)。

兩系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性的表達式分別為

兩系統(tǒng)的Bode圖如圖5-32所示。可見，兩系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性相同，但相頻特性則差異甚大。在ω從0→∞的整個頻率區(qū)間內(nèi)，φ1(ω)由0°開始，經(jīng)歷一個不太大的相角滯后，然后又回到0°，相角變化范圍很小。而系統(tǒng)2的相角φ2(ω)則從0°開始，一直變至－180°，顯然比φ1(ω)的變化范圍大得多。

圖5-32最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的Bode圖最小相位系統(tǒng)的相頻特性j(ω)與幅頻特性A(ω)之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系，當ω→∞時，j(∞)＝－90°(n－m)。因此，對系統(tǒng)進行校正時，只需畫出其對數(shù)幅頻特性L(ω)，而系統(tǒng)的穩(wěn)定性由幅頻特性來確定即可。對于非最小相位系統(tǒng)，必須分別畫出相頻特性j(ω)與幅頻特性L(ω)，而且j(∞)≠－90°(n－m)。

另外，由于延時環(huán)節(jié)的相頻特性j(ω)在ω從0→∞變化時由0°→－∞變化，因此屬于非最小相位系統(tǒng)。

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是由H.Nyquist于1932年提出的，在1940年后得到了廣泛的應(yīng)用。這一判據(jù)是利用系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，它不同于代數(shù)判據(jù)，可認為是一種幾何判據(jù)。5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5.4.1奈氏判據(jù)的數(shù)學基礎(chǔ)

Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的理論基礎(chǔ)是復(fù)變函數(shù)理論中的幅角定理，又稱映射定理。

1.輔助函數(shù)

對于圖5-33所示的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，易知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(5-59)

式中：Nk(s)和Mk(s)分別為s的n階和m階多項式，n≥m；且Nk(s)為開環(huán)特征多項式。

圖5-33控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(5-60)

式中：Nb(s)為閉環(huán)特征多項式。

設(shè)輔助函數(shù)為

(5-61)

由式(5-61)可知：第一，輔助函數(shù)F(s)的極點等于系統(tǒng)的開環(huán)極點，而F(s)的零點等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點；第二，F(xiàn)(s)的零、極點個數(shù)相等；第三，F(xiàn)(s)與開環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)只差常數(shù)1。

2.映射定理

在式(5-61)中，s為復(fù)變量，以s復(fù)平面上的s＝σ＋jω來表示。F(s)為復(fù)變函數(shù)，以F(s)復(fù)平面上的F(s)＝u＋jv來表示。

根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論可知，若對于s平面上除了有限奇點(不解析的點)之外的任一點s，復(fù)變函數(shù)F(s)為解析函數(shù)，即單值、連續(xù)的正則函數(shù)，那么，對于s平面上的每一點，在F(s)平面上必有一個對應(yīng)的映射點，如圖5-34所示。因此，如果在s平面上作一條封閉曲線Γ，并使其不通過F(s)的任一奇點，則在F(s)平面上必有一條對應(yīng)的映射曲線?！?，如圖5-35所示。

圖5-34點映射關(guān)系

圖5-35s平面與F(s)平面的映射關(guān)系我們感興趣的不是映射曲線的形狀，而是它包圍坐標原點的次數(shù)和運動方向，因為二者與系統(tǒng)的穩(wěn)定性密切相關(guān)。

由式(5-61)可知，F(xiàn)(s)在s平面上的零點對應(yīng)F(s)平面上的原點，而F(s)在s平面上的極點對應(yīng)F(s)平面上的無窮遠處。當s繞F(s)的零點順時針旋轉(zhuǎn)一周時，對應(yīng)在F(s)平面上則為繞原點順時針旋轉(zhuǎn)一周；當s繞F(s)的極點順時針旋轉(zhuǎn)一周時，對應(yīng)在F(s)平面上則是繞無窮遠處順時針旋轉(zhuǎn)一周，而對于原點則為逆時針旋轉(zhuǎn)一周。

映射定理：設(shè)s平面上不通過F(s)任何奇點的封閉曲線Γ包圍s平面上F(s)的z個零點和p個極點。當s以順時針方向沿著封閉曲線Γ移動一周時，則在F(s)平面上相對應(yīng)于封閉曲線Γ的映射曲線Γ′將以順時針方向圍繞原點旋轉(zhuǎn)N圈：N＝z－p；或?！湟阅鏁r針方向圍繞原點旋轉(zhuǎn)N圈：N＝p－z，如圖536所示。

圖5-36映射定理5.4.2奈奎斯特判據(jù)

由于F(s)的零點等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點，而系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是特征根均位于s左半平面上，即F(s)的零點都位于s左半平面上。因此，需要檢驗F(s)是否具有位于s右半平面的零點。為此，選擇一條包圍整個s右半平面的按順時針方向運動的封閉曲線Γ，稱為奈氏回線，如圖5-37所示。Γ曲線由以下三段組成：

圖5-37s平面上的奈氏回線①正虛軸s＝j(luò)ω：ω＝0→∞。

②半徑為無限大的右半圓：s＝R·ejθ，R→∞，θ＝90°→－90°。

③負虛軸s＝j(luò)ω：ω＝－∞→0。

設(shè)F(s)在右半s平面有z個零點和p個極點，根據(jù)映射定理，當s沿著奈氏回線順時針移動一周時，在F(s)平面上的映射曲線Γ′將按順時針方向繞原點旋轉(zhuǎn)N＝z－p圈。

已知系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是z＝0。因此，當s沿奈氏回線順時針移動一周時，在F(s)平面上的?！淙魢@原點順時針旋轉(zhuǎn)N＝－p圈(即逆時針旋轉(zhuǎn)p圈)，則系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。

由于Gk(s)＝F(s)－1，因此F(s)的Γ′曲線圍繞原點運動相當于Gk(jω)的封閉曲線繞(－1，j0)點運動。而且對應(yīng)于三段奈氏回線，映射曲線Gk(jω)為：

①ω＝0→＋∞。

②半徑R→∞，而開環(huán)傳遞函數(shù)的分母階次n大于或等于分子階次m，所以Gk(∞)為零或常數(shù)。這表明，s平面上半徑為無窮大的右半圓，映射到Gk(s)平面上為原點或(K，j0)點，這對于Gk(jω)曲線是否包圍(－1，j0)點無影響。

③ω＝－∞→0。顯然，Gk(s)＝G(s)H(s)的封閉曲線即為ω＝－∞→＋∞時的奈奎斯特曲線。

F(s)的極點等于開環(huán)極點，所以p就是開環(huán)極點在s右半平面上的個數(shù)。因此，若s沿著奈氏回線順時針移動一周，在Gk(s)平面上的奈奎斯特曲線繞(－1，j0)點順時針旋轉(zhuǎn)N＝－p圈，且Gk(s)在s右半平面的極點恰好為p，則系統(tǒng)穩(wěn)定。

奈氏判據(jù)：設(shè)Gk(s)在s右半平面的極點數(shù)為p，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：在Gk(s)平面上的幅相特性曲線Gk(jω)及其鏡像當ω從－∞→＋∞變化時，將逆時針繞(－1，j0)點旋轉(zhuǎn)p圈，即N＝p(5-62)當系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)在s平面的原點及虛軸上沒有極點時，奈奎斯特判據(jù)敘述如下：

(1)若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，則p＝0。若Gk(jω)曲線及其鏡像不包圍(－1，j0)點，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。

(2)若系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定，則p≠0。若Gk(jω)曲線及其鏡像逆時針包圍(－1，j0)點p圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。

(3)若閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，則系統(tǒng)在s右半平面的特征根數(shù)目為z＝p－N(5-63)式中：N為開環(huán)幅相特性曲線Gk(jω)及其鏡像以逆時針包圍(－1，j0)點的圈數(shù)。5.4.3開環(huán)傳遞函數(shù)中有積分環(huán)節(jié)時奈氏判據(jù)的應(yīng)用

若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

則Gk(s)在原點具有υ重極點，而F(s)的極點等于Gk(s)的極點。所以，F(xiàn)(s)在原點具有υ重極點。這時，奈氏回線經(jīng)過原點即經(jīng)過了F(s)不解析的點，故不能直接應(yīng)用圖5-37所示的奈氏回線。這時可對奈氏回線稍作改動，就可以既不經(jīng)過原點又能包圍右半s平面。具體方法是：以原點為圓心作一半徑為無窮小ε的右半圓逆時針繞過原點，如圖5-38所示。修正后的奈氏回線由四段組成：

圖5-38修正的奈氏回線①由j0＋沿正虛軸到＋j∞。

②半徑為無限大的右半圓：s＝R·ejθ，R→∞，θ＝90°→－90°。

③由－j∞到j(luò)0－的負虛軸。

④半徑為無窮小的右半圓：s＝ε·ejj，ε→0，φ＝－90°→90°。

對應(yīng)于上述四段奈氏回線，在Gk(s)平面上的映射曲線即奈奎斯特曲線為：

①ω＝0＋→＋∞。

②Gk(s)平面上的原點或(K，j0)點。

③ω＝－∞→0－。

④ω＝0－→0＋，映射在Gk(s)平面上就是沿著半徑為無窮大的圓弧按順時針方向從

如圖5-39所示。

圖5-39含有積分環(huán)節(jié)的Gk(jω)曲線及其鏡像因此，在開環(huán)幅相特性曲線Gk(jω)及其鏡像曲線上補一個無窮大圓弧，即從鏡像曲線終點ω＝0－順時針補一個半徑為無窮大、轉(zhuǎn)角為υπ的大圓弧，與Gk(jω)曲線的起點ω＝0＋連接，再應(yīng)用奈氏判據(jù)，條件不變。

【例5-5】

某系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線Gk(jω)如圖5-40中的曲線①所示，系統(tǒng)為1型。已知系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，即p＝0。試判斷其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解先繪制Gk(jω)的鏡像曲線如圖5-40中的曲線②所示，再補大圓弧如圖5-40中的曲線③所示?？梢?，Gk(jω)曲線及其鏡像不包圍(－1，j0)點，即N＝0。則z＝p－N＝0，即p＝N，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖5-40例5-5奈氏曲線

【例5-6】

某系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線Gk(jω)如圖5-41中的曲線①所示，系統(tǒng)為2型。已知系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，即p＝0。試判斷其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解先繪制Gk(jω)的鏡像曲線如圖5-41中的曲線②所示，再補大圓弧如圖5-41中的曲線③所示。可見，Gk(jω)曲線及其鏡像順時針包圍(－1，j0)點兩周，即N＝－2，則z＝p－N＝2，故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個位于右半s平面的根。

圖5-41例5-6奈氏曲線

順便指出，在利用極坐標圖判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，為簡便起見，往往只要畫出ω＝0→＋∞變化的幅相特性曲線就可作出判斷。由于頻率變化范圍縮小一半，故前述的有關(guān)公式及圖形需作適當修改，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件即式(5-62)應(yīng)修改為

(5-64)閉環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，其在右半s平面上的極點數(shù)即式(5-63)應(yīng)修改為

(5-65)

為判斷Gk(jω)曲線是否包圍(－1，j0)點，只繪出開環(huán)幅相特性曲線Gk(jω)是不夠的，因為這時Gk(jω)曲線是開口的。為組成封閉曲線，可從坐標原點沿著實軸向ω＝0處作一條輔助線。若開環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)中含有積分環(huán)節(jié)，則需要補畫一半的大圓弧，即負轉(zhuǎn)

再判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定如圖5-42所示。

在使用ω＝0→＋∞變化的幅相特性曲線進行穩(wěn)定性判斷時，有時會遇到如圖5-43所示的情況。此時，Gk(jω)曲線只逆時針包圍(－1，j0)點半圈，可記作N′＝0.5，而p＝1，所以有

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖5-42在極坐標圖上加輔助線

圖5-43系統(tǒng)開環(huán)半閉環(huán)曲線5.4.4對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

對數(shù)頻率特性的穩(wěn)定判據(jù)，實際上是奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的另一種形式，即利用系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線(Bode圖)來判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而Bode圖又可通過實驗獲得，因此在工程上獲得了廣泛的應(yīng)用。

系統(tǒng)開環(huán)幅相特性(Nyquist曲線)與系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性(Bode圖)之間存在著一定的對應(yīng)關(guān)系。

(1)Nyquist圖中，幅值|G(jω)H(jω)|＝1的單位圓，與Bode圖中的零分貝線相對應(yīng)。

(2)Nyquist圖中單位圓以外，即|G(jω)H(jω)|＞1的部分，與Bode圖中零分貝線以上部分相對應(yīng)；單位圓以內(nèi)，即0＜|G(jω)H(jω)|＜1的部分，與零分貝線以下部分相對應(yīng)。

(3)Nyquist圖中的負實軸與Bode圖相頻特性圖中的－π線相對應(yīng)。

(4)Nyquist圖中發(fā)生在負實軸上(－∞，－1)區(qū)段的正、負穿越，在Bode圖中映射成為在對數(shù)幅頻特性曲線L(ω)＞0dB的頻段內(nèi)，沿頻率ω增加方向，相頻特性曲線φ(ω)從下向上穿越線－π，稱為正穿越；而從上向下穿越－π線，稱為負穿越。

Nyquist圖與Bode圖的對應(yīng)關(guān)系如圖5-44所示。順便指出，對于圖5-43中的B點為一次正穿越，而對于A點則記作半次負穿越。

綜上所述，采用對數(shù)頻率特性曲線(Bode圖)時，奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可表述為：設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)在s右半平面的極點數(shù)為p，當ω由0→＋∞變化時，在開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線L(ω)>0dB的頻段內(nèi)，相頻特性曲線j(ω)對－π線的正穿越與負穿越次數(shù)之差為

則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。

圖5-44Nyquist圖與Bode圖的對應(yīng)關(guān)系(a)Nyquist圖；(b)Bode圖

從奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可知，若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)沒有右半s平面的極點，且閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么開環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線在(－1，j0)點的右側(cè)且離(－1，j0)點越遠，則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越高；反之，開環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線離(－1，j0)點越近，則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越低。5.5控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性這就是通常所說的相對穩(wěn)定性，即穩(wěn)定裕度。它通過奈氏曲線對(－1，j0)點的靠近程度來度量，其定量表示為幅值裕度hg和相角裕度γ。

圖5-45為穩(wěn)定系統(tǒng)的Nyquist曲線圖，圖5-46為對應(yīng)的Bode圖。

1.幅值裕度

幅值裕度用于表示Gk(jω)曲線在負實軸上相對于(－1，j0)點的靠近程度。Gk(jω)曲線與負實軸相交點的頻率為ωg，稱做相位穿越頻率。此時，ωg處的相角j(ωg)＝－180°，幅值為A(ωg)，如圖5-45所示。開環(huán)頻率特性幅值A(chǔ)(ωg)的倒數(shù)稱為幅值裕度，用hg表示，即

(5-66)對于幅值裕度也可在對數(shù)頻率特性曲線上確定，圖5-45中的相位穿越頻率ωg在Bode圖中對應(yīng)相頻特性上相角為－180°的頻率，如圖5-46所示。這時，幅值裕度用分貝數(shù)Lg來表示，即

(5-67)

幅值裕度的物理意義：穩(wěn)定系統(tǒng)在相位穿越頻率ωg處幅值增大hg倍或L(ω)曲線上升Lg分貝，系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；若大于hg倍，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。或者說，在不破壞系統(tǒng)穩(wěn)定的條件下，開環(huán)頻率特性的幅值尚可允許增大的倍數(shù)。圖5-45幅值裕度hg和相角裕度γ的定義

圖5-46穩(wěn)定裕度在Bode圖上的表示

2.相角裕度

為了表示系統(tǒng)相角變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，引入相角裕度的概念。在圖5-45中，Gk(jω)曲線與單位圓相交點的頻率為ωc，稱為幅值穿越頻率，又稱為截止頻率或剪切頻率。此時，|Gk(jωc)|＝1，相角為j(ωc)。

相角裕度是指幅相頻率特性的幅值|Gk(jωc)|＝1時的向量與負實軸的夾角，用γ表示，見圖5-45。按定義有

(5-68)通常情況下，對于穩(wěn)定系統(tǒng)，γ＞0；對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，γ＜0。為使最小相位系統(tǒng)穩(wěn)定，相角裕度必須為正值。

對于相角裕度，同樣也可在對數(shù)頻率特性上確定，圖5-45中的截止頻率ωc在Bode圖中對應(yīng)幅頻特性上幅值為零分貝的頻率，即為對數(shù)幅頻特性L(ω)與橫軸交點處的頻率，如圖546所示。則相角裕度就是對數(shù)相頻特性上對應(yīng)截止頻率ωc處的相角與－π線的差值。

相角裕度的物理意義：穩(wěn)定系統(tǒng)在截止頻率ωc處相角滯后增大γ度，系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定；若超過γ度，則系統(tǒng)不穩(wěn)定?；蛘哒f，在不破壞系統(tǒng)穩(wěn)定的條件下，尚可允許增大的開環(huán)頻率特性的滯后相角。

幅值裕度和相角裕度通常作為設(shè)計和分析系統(tǒng)的頻域指標，一般系統(tǒng)要求γ＝30°～60°，hg≥2，即Lg≥6dB。

【例5-7】

某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試分別計算K＝2和K＝20時系統(tǒng)的幅值裕度Lg和相角裕度γ。

解系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，轉(zhuǎn)折頻率分別為ω1＝1rad/s和ω2＝5rad/s。

(1)K＝2時，20lgK＝6dB，開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線如圖5-47(a)所示。由漸近法知 所以故有

又因為

所以解得ωg＝2.24rad/s，則有

即

系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

(2)K＝20時，20lgK＝26dB，開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線如圖5-47(b)所示。

由漸近法知 所以 rad/s＝4.47rad/s，則有

而ωg仍為2.24rad/s，則有

即

所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。圖5-47例5-7系統(tǒng)Bode圖(a)K＝2時的Bode圖；(b)K＝20時的Bode圖

以上結(jié)果表明，系統(tǒng)在K＝2時，Lg＞0，γ＞0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；在K＝20時，Lg＜0，γ＜0，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。顯然，開環(huán)放大倍數(shù)K越小，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度越大，但同時將導致系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差加大，另外系統(tǒng)的動態(tài)過程也不令人滿意。

5.6.1閉環(huán)頻率特性及其特征量

由于系統(tǒng)的開環(huán)和閉環(huán)頻率特性之間有著確定的關(guān)系，因而可以通過開環(huán)頻率特性求取系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性。對于單位反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為

對應(yīng)的閉環(huán)頻率特性為5.6用頻率特性分析系統(tǒng)品質(zhì)

(5-69)

上式描述了開環(huán)頻率特性和閉環(huán)頻率特性之間的關(guān)系。如果已知Gk(jω)曲線上的一點，就可由式(5-69)確定閉環(huán)頻率特性曲線上的一點。用這種方法逐點繪制閉環(huán)頻率特性曲線，顯然是既繁瑣又很費時間。為此，過去工程上用圖解法繪制閉環(huán)頻率特性曲線的工作，現(xiàn)在已由計算機MATLAB軟件來代替，從而大大提高了繪圖的效率和精度。

圖5-48系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性一般系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性如圖5-48所示。圖中，M(0)為頻率特性的零頻幅值；ωb為頻率特性的帶寬頻率，它是系統(tǒng)的幅頻值為零頻幅值的0.707倍時的頻率，0≤ω≤ωb通常稱為系統(tǒng)的頻帶寬度；Mr為頻率特性的諧振峰值，

ωr為頻率特性的諧振頻率。

需要指出，系統(tǒng)的頻帶寬度反映了系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)輸入信號的能力。頻帶寬度越寬，暫態(tài)響應(yīng)的速度越快，調(diào)節(jié)時間也就越短。但是，頻帶寬度越寬，系統(tǒng)抗高頻干擾的能力越低。因此，系統(tǒng)時，對于頻帶寬度的確定必須兼顧到系統(tǒng)的響應(yīng)速度和抗高頻干擾的要求。

設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(5-70)式中：G0(s)不含有積分和比例環(huán)節(jié)，且 則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(5-71)

當υ＝0時，閉環(huán)幅頻特性的零頻值為

(5-72)當υ≥1時，閉環(huán)幅頻特性的零頻值為

(5-73)

0型系統(tǒng)與1型及1型以上系統(tǒng)零頻值的差異，反映了它們跟隨階躍輸入時穩(wěn)態(tài)誤差的不同，

前者有穩(wěn)態(tài)誤差的存在，而后者則沒有穩(wěn)態(tài)誤差產(chǎn)生。5.6.2頻域性能指標與時域性能指標的關(guān)系

1.開環(huán)頻域指標與時域指標的關(guān)系

1)二階系統(tǒng)

典型二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其相應(yīng)的開環(huán)頻率特性為

(5-74)

(1)γ與σ%的關(guān)系。

系統(tǒng)的開環(huán)幅頻特性和相頻特性分別為

(5-75)

(5-76)

在ω＝ωc時，A(ωc)＝|Gk(jωc)|＝1，即

解之得

(5-77)

此時，可求得

(5-78)

圖5-49二階系統(tǒng)σ%、γ、Mr與ζ的關(guān)系曲線將式(5-77)代入式(5-78)得

(5-79)

從而得到γ與ζ的關(guān)系，其關(guān)系曲線如圖5-49所示。

在時域分析中，知

(5-80)

為了便于比較，將式(5-80)的關(guān)系也繪于圖5-49中。

由圖明顯看出，γ越大，σ%越?。沪迷叫?，σ%越大。為使二階系統(tǒng)不至于振蕩得太劇烈以及調(diào)節(jié)時間太長，一般希望30°≤γ≤60°

(2)γ、ωc與ts的關(guān)系在時域分析中，有

(5-81)

將式(5-77)代入式(5-81)得

(5-82)由式(5-79)和式(5-82)可得

(5-83)

2)高階系統(tǒng)

對于高階系統(tǒng)，開環(huán)頻域指標與時域指標之間沒有準確的關(guān)系式。但是大多數(shù)實際系統(tǒng)中，開環(huán)頻域指標γ和ωc能反映暫態(tài)過程的基本性能。為了說明開環(huán)頻域指標與時域指標的近似關(guān)系，介紹如下兩個經(jīng)驗公式：

(5-84)

(5-85)式中

(5-86)

將式(5-84)和式(5-85)表示的關(guān)系繪成曲線如圖5-50所示。可以看出，超調(diào)量σ%隨相角裕度γ的減小而增大；調(diào)節(jié)時間ts隨γ的減小而增大，但隨ωc的增大而減小。

圖5-50高階系統(tǒng)σ%、ts與γ的關(guān)系曲線

2.閉環(huán)頻域指標與時域指標的關(guān)系

1)二階系統(tǒng)

典型二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(5-87)

其相應(yīng)的閉環(huán)頻率特性為

(5-88)(1)Mr與σ%的關(guān)系。

典型二階系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性為

(5-89)

其諧振頻率為

(5-90)

其幅頻特性峰值即諧振峰值為

(5-91)當ζ＞0.707時，ωr為虛數(shù)，說明不存在諧振峰值，幅頻特性單調(diào)衰減；當ζ＝0.707時，ωr＝0，Mr