27.6 正多邊形與圓 同步練習

27.6正多邊形與圓一、單選題1．下列圖形為正多邊形的是（）A． B． C． D．2．正十邊形的中心角是（

）A．18° B．36° C．72° D．144°3．有一個正n邊形的中心角是36°，則n為（

）A．7 B．8 C．9 D．104．正六邊形的邊長與邊心距的比是（

）A． B．1：2 C． D．5．如圖，螺母的外圍可以看作是正六邊形ABCDEF，已知這個正六邊形的半徑是2，則它的周長是（）A．6 B．12 C．12 D．246．若一個圓內(nèi)接正多邊形的中心角是，則這個正多邊形的邊數(shù)是（

）A．10 B．9 C．8 D．67．如圖，在正六邊形ABCDEF中，△BCD的面積為4，則△BCF的面積為（）

A．16 B．12 C．8 D．68．如圖，五邊形ABCDE是的內(nèi)接正五邊形，AF是的直徑，則的度數(shù)是（

）A．36° B．72° C．54° D．60°9．如圖，在正六邊形中，點是邊的中點，是邊上任意一點，若正六邊形的面積是，則的值是（

）A． B．C． D．由于點的位置不確定，所以的值不確定10．如圖，把正六邊形各邊按同一方向延長，使延長的線段與原正六邊形的邊長相等，順次連接這六條線段外端點可以得到一個新的正六邊形，…，重復上述過程，經(jīng)過2020次后，所得到的正六邊形的邊長是原正六邊形邊長的（

）

A．倍 B．倍 C．倍 D．倍二、填空題11．正九邊形一個內(nèi)角的度數(shù)為．12．如果正六邊形的邊心距為3，那么它的半徑是．13．如圖，在的內(nèi)接正六邊形中，°．14．如圖，正八邊形ABCDEFGH中，∠GBF=度．15．如圖，如果AB、AC分別是圓O的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正方形的一條邊，BC一定是圓O的內(nèi)接正n邊形的一條邊，那么n=．16．如圖，六邊形是的內(nèi)接正六邊形，記的周長為，正六邊形的周長為，則的值為．17．公元263年左右，我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)當正多邊形的邊數(shù)無限增加時，這個正多邊形面積可無限接近它的外接圓的面積，因此可以用正多邊形的面積來近似估計圓的面積，如圖，是正十二邊形的外接圓，設正十二邊形的半徑的長為1，如果用它的面積來近似估計的面積，那么的面積約是．18．六個帶角的直角三角板拼成一個正六邊形，直角三角板的最短邊為1，求中間正六邊形的面積．三、解答題19．正六邊形的半徑為4．求這個正六邊形的周長和面積．20．如圖，正六邊形內(nèi)接于，半徑為．

(1)求的長度；(2)若G為的中點，連接，求的長度．21．如圖，已知．

(1)用尺規(guī)作圖作的內(nèi)接正六邊形（不寫作法、保留作圖痕跡）；(2)若的半徑為2，求所作正六邊形的面積．22．在圖中，試分別按要求畫出圓O的內(nèi)接正多邊形．

23．如圖，已知、、是的內(nèi)接正十邊形的邊，連接、、，求證：．

24．如圖，正方形內(nèi)接于，為的中點．

(1)作等邊三角形，使點，分別在和上（用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)在（1）的條件下，求的度數(shù)；(3)若正方形的邊長為4，求（1）中等邊三角形的邊長．25．在下列正多邊形中，是中心，定義：為相應正多邊形的基本三角形．如圖1，是正三角形的基本三角形；如圖2，是正方形的基本三角形；如圖3，為正邊形…的基本三角形．將基本繞點逆時針旋轉角度得．（1）若線段與線段相交點，則：圖1中的取值范圍是________；圖3中的取值范圍是________；（2）在圖1中，求證（3）在圖2中，正方形邊長為4，，邊上的一點旋轉后的對應點為，若有最小值時，求出該最小值及此時的長度；（4）如圖3，當時，直接寫出的值．

27.6正多邊形與圓一、單選題1．下列圖形為正多邊形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正多邊形的定義：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形可得答案．【解析】根據(jù)正多邊形的定義，得到D中圖形是正五邊形．故選D．【點睛】本題考查了正多邊形，關鍵是掌握正多邊形的定義．2．正十邊形的中心角是（

）A．18° B．36° C．72° D．144°【答案】B【分析】正多邊形的每個中心角相等，且其和是360°，故一個中心角的度數(shù)為360°除以正多邊形的邊數(shù)．【解析】正十邊形的每個中心角相等，且其和是360°，故一個中心角的度數(shù)為：360°÷10=36°故選：B【點睛】本題考查了求正多邊形中心角，這時要清楚正多邊形的中心角都相等且它們的和組成一個周角．3．有一個正n邊形的中心角是36°，則n為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】根據(jù)正多邊形的中心角和為360°計算即可．【解析】解：，故選：D．【點睛】本題考查的是正多邊形和圓，熟知正多邊形的中心角的和是360°是解題的關鍵．4．正六邊形的邊長與邊心距的比是（

）A． B．1：2 C． D．【答案】C【分析】本題主要考查正多邊形邊長的計算問題，熟練掌握多邊形轉化為解直角三角形是解題關鍵．可設正六邊形的邊長為2，欲求邊長、邊心距之比，可通過作圖形，構造直角三角形，解直角三角形即可得出．【解析】解：如圖所示，設邊長多邊形為正六邊形，，在中，，，即邊長與邊心距之比.故選：C5．如圖，螺母的外圍可以看作是正六邊形ABCDEF，已知這個正六邊形的半徑是2，則它的周長是（）A．6 B．12 C．12 D．24【答案】C【分析】如圖，先求解正六邊形的中心角，再證明是等邊三角形，從而可得答案．【解析】解：如圖，為正六邊形的中心，為正六邊形的半徑，為等邊三角形，正六邊形ABCDEF的周長為故選：【點睛】本題考查的是正多邊形與圓，正多邊形的半徑，中心角，周長，掌握以上知識是解題的關鍵．6．若一個圓內(nèi)接正多邊形的中心角是，則這個正多邊形的邊數(shù)是（

）A．10 B．9 C．8 D．6【答案】B【分析】根據(jù)正多邊形的中心角的計算公式計算即可．【解析】解：設這個多邊形的邊數(shù)是，由題意得，，解得，，∴這個正多邊形的邊數(shù)是9，故選：B．【點睛】本題考查的是正多邊形和圓的有關知識，掌握正多邊形的中心角的計算公式是解題的關鍵．7．如圖，在正六邊形ABCDEF中，△BCD的面積為4，則△BCF的面積為（）

A．16 B．12 C．8 D．6【答案】C【分析】利用正六邊形的性質可得出：△BCD與△BCF同底，其高的比為：2：1，即可得出答案．【解析】解：△BCD與△BCF同底，其高的比為：2：1，∵△BCD的面積為4，∴△BCF的面積為：8．故選C．【點睛】此題考查的是正多邊形和圓的題目，利用正六邊形的性質，得出△BCD與△BCF高的比是解題關鍵．8．如圖，五邊形ABCDE是的內(nèi)接正五邊形，AF是的直徑，則的度數(shù)是（

）A．36° B．72° C．54° D．60°【答案】C【分析】利用正五邊形的性質和圓周角定理即可得到結論．【解析】解：∵AF是⊙O的直徑，五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形，∴，，∠BAE＝108°，∴，∴∠BAF＝∠BAE＝54°，∴∠BDF＝∠BAF＝54°，故選：C．【點睛】本題考查正多邊形與圓，圓周角定理等知識，解題的關鍵靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．9．如圖，在正六邊形中，點是邊的中點，是邊上任意一點，若正六邊形的面積是，則的值是（

）A． B．C． D．由于點的位置不確定，所以的值不確定【答案】A【分析】本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積，根據(jù)正六邊形的性質，得出，即可求解，掌握正六邊形的性質是解題的關鍵．【解析】解：如圖，連接，過點作交于點，交于點，連接，則，∵，，，∴，∵，∴，故選：．10．如圖，把正六邊形各邊按同一方向延長，使延長的線段與原正六邊形的邊長相等，順次連接這六條線段外端點可以得到一個新的正六邊形，…，重復上述過程，經(jīng)過2020次后，所得到的正六邊形的邊長是原正六邊形邊長的（

）

A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】C【分析】先根據(jù)正六邊形的性質得出∠1的度數(shù)，再根據(jù)AD=CD=BC判斷出△ABC的形狀及∠2的度數(shù)，求出AB的長，進而可得出，經(jīng)過2020次后，即可得出所得到的正六邊形的邊長．【解析】∵此六邊形是正六邊形，

∴∠1=180°-120°=60°，∵AD=CD=BC，∴△BCD為等邊三角形，∴BD=AC，∴△ABC是直角三角形又∵BC=AC，∴∠2=30°，∴AB=BC=CD，同理可得，經(jīng)過2次后，所得到的正六邊形是原正六邊形邊長的倍，，∴經(jīng)過2020次后，所得到的正六邊形的邊長是原正六邊形邊長的倍．【點睛】本題考查了正多邊形和圓，正多邊形內(nèi)角的性質，直角三角形的判定，含30度角的直角三角形的性質等，能總結出規(guī)律是解此題的關鍵．二、填空題11．正九邊形一個內(nèi)角的度數(shù)為．【答案】140°【分析】正多邊形的每個內(nèi)角相等，每個外角也相等，而每個內(nèi)角等于減去一個外角，求出外角即可求解．【解析】正多邊形的每個外角（為邊數(shù)），所以正九邊形的一個外角正九邊形一個內(nèi)角的度數(shù)為故答案為：140°．【點睛】本題考查的是多邊形的內(nèi)角和，多邊形的外角和為，正多邊形的每個內(nèi)角相等，通過計算1個外角的度數(shù)來求得1個內(nèi)角度數(shù)是解題關鍵．12．如果正六邊形的邊心距為3，那么它的半徑是．【答案】【分析】連接，作于，由正六邊形的性質得出，，得出，由勾股定理求出，得出即可．【解析】解：如圖所示：

連接、，作于，則，，，∴，∴設，則，由勾股定理可得，，解得：，∴，即它的半徑為，故答案為：．【點睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質、勾股定理等知識；熟練掌握正六邊形的性質，運用勾股定理求出是解決問題的關鍵．13．如圖，在的內(nèi)接正六邊形中，°．【答案】【分析】首先求出正六邊形的內(nèi)角和，然后根據(jù)正六邊形每個內(nèi)角都相等即可求出的度數(shù)．【解析】解：∵多邊形是正六邊形，∴正六邊形的內(nèi)角和為，∴正六邊形的每個內(nèi)角度數(shù)為．∴．故答案為：．【點睛】此題考查了正六邊形的內(nèi)角度數(shù)，解題的關鍵是熟知多邊形內(nèi)角和公式．多邊形內(nèi)角和=．14．如圖，正八邊形ABCDEFGH中，∠GBF=度．【答案】22.5°【分析】正八邊形內(nèi)接于圓，可求得GF所對的圓心角為45°，進而可求得GF所對的圓周角的度數(shù)．【解析】解：∵多邊形為正八邊形∴正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于圓∴GF所對的圓心角為45°∴GF所對的圓周角∠GBF為22.5°故答案為：22.5°．【點睛】本題主要考查了正多邊形與圓，同弧所對的圓周角與圓心角的關系，解題的關鍵是掌握正多邊形與圓的關系．15．如圖，如果AB、AC分別是圓O的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正方形的一條邊，BC一定是圓O的內(nèi)接正n邊形的一條邊，那么n=．【答案】12【分析】連接OA、OB、OC，如圖，利用正多邊形與圓，分別計算⊙O的內(nèi)接正方形與內(nèi)接正三角形的中心角得到∠AOC=90°，∠AOB=120°，則∠BOC=30°，然后計算即可得到n的值．【解析】解：連接OA、OB、OC，如圖，∵AC，AB分別為⊙O的內(nèi)接正方形與內(nèi)接正三角形的一邊，∴∠AOC==90°，∠AOB==120°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=30°，∴n==12，即BC恰好是同圓內(nèi)接一個正十二邊形的一邊．故答案為：12．【點睛】本題考查了正多邊形與圓：把一個圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓；熟練掌握正多邊形的有關概念．16．如圖，六邊形是的內(nèi)接正六邊形，記的周長為，正六邊形的周長為，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查了正六邊形的性質，含30°角的直角三角形的性質，設正六邊形的邊長為a，利用含角的直角三角形的性質求出，從而得出的長，進而解決問題．【解析】解：設正六邊形的邊長為a，連接，交于H，如下圖：∵六邊形是的內(nèi)接正六邊形，∴，，，∴∴，∴∴，由正六邊形的性質知，是等邊三角形，∴，故答案為：．17．公元263年左右，我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)當正多邊形的邊數(shù)無限增加時，這個正多邊形面積可無限接近它的外接圓的面積，因此可以用正多邊形的面積來近似估計圓的面積，如圖，是正十二邊形的外接圓，設正十二邊形的半徑的長為1，如果用它的面積來近似估計的面積，那么的面積約是．【答案】【分析】設為正十二邊形的邊，連接，過作于，由正十二邊形的性質得出，由直角三角形的性質得出，求出的面積，即可得出答案．【解析】解：設為正十二邊形的邊，連接，過作于，如圖所示：，的面積正十二邊形的面積，的面積正十二邊形的面積，故答案為：．【點睛】本題考查了正多邊形和圓、正十二邊形的性質、直角三角形的性質以及三角形面積等知識；熟練掌握正十二邊形的性質是解題的關鍵．18．六個帶角的直角三角板拼成一個正六邊形，直角三角板的最短邊為1，求中間正六邊形的面積．【答案】．【分析】由六個帶角的直角三角板拼成一個正六邊形，直角三角板的最短邊為1，可以得到中間正六邊形的邊長為1，做輔助線以后，得到△ABC、△CDE、△AEF為以1為邊長的等腰三角形，△ACE為等邊三角形，再根據(jù)等腰三角形與等邊三角形的性質求出邊長，求出面積之和即可．【解析】解：如圖所示，連接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，在正六邊形ABCDEF中，∵直角三角板的最短邊為1，∴正六邊形ABCDEF為1，∴△ABC、△CDE、△AEF為以1為邊長的等腰三角形，△ACE為等邊三角形，∵∠ABC=∠CDE=∠EFA=120?，AB=BC=CD=DE=EF=FA=1，∴∠BAG=∠BCG=∠DCE=∠DEC=∠FAE=∠FEA=30?，∴BG=DI=FH=，∴由勾股定理得：AG=CG=CI=EI=EH=AH=，∴AC=AE=CE=，∴由勾股定理得：AI=，∴S=，故答案為：．【點睛】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質、正多邊形形與圓以及等邊三角形的性質，關鍵在于知識點：在直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半的應用．三、解答題19．正六邊形的半徑為4．求這個正六邊形的周長和面積．【答案】這個正六邊形的周長為24，面積為．【分析】先由正多邊形的性質求出，然后證明出是等邊三角形，過點O作交于點M，利用垂徑定理得到，根據(jù)勾股定理得到，從而求出的面積，然后根據(jù)正六邊形的面積等于的面積的6倍可求出正六邊形的面積，根據(jù)正六邊形的周長即可求出正六邊形的周長．【解析】如圖，由題意得：，又∵，∴是等邊三角形，過點O作交于點M，∴，∴，∴，∴正六邊形的面積，∴正六邊形的周長．【點睛】本題考查正多邊形和圓及垂徑定理，等邊三角形的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是證明出是等邊三角形．20．如圖，正六邊形內(nèi)接于，半徑為．

(1)求的長度；(2)若G為的中點，連接，求的長度．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，，根據(jù)正六邊形的性質可得，再根據(jù)圓的半徑都相等可得是等邊三角形，進而可求解．（2）連接，，由為的直徑，得，利用勾股定理及中點的性質即可求解．【解析】（1）解：連接，，如圖：

六邊形是正六邊形，，又，是的半徑，且半徑為，，是等邊三角形，．（2）連接，，如圖：

則為的直徑，，，由（1）得：，在中，，，G為的中點，，在中，，．【點睛】本題考查了正多邊形的性質、等邊三角形的判定及性質、勾股定理及圓周角，熟練掌握基礎知識，借助適當?shù)妮o助線解決問題是解題的關鍵．21．如圖，已知．

(1)用尺規(guī)作圖作的內(nèi)接正六邊形（不寫作法、保留作圖痕跡）；(2)若的半徑為2，求所作正六邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）在上任取一點A，然后過點A畫的直徑，以點A為圓心，圓的半徑為半徑依次在圓上畫出交點，則六邊形滿足條件；（2）連接、，過O點作于G點，則，利用正六邊形的性質得到，則可判斷為等邊三角形，接著計算出的面積，然后把的面積乘以6得到正六邊形的面積．【解析】（1）解：正六邊形如圖所示：

（2）連接，過點作，垂足為，則，．正六邊形的面積．【點睛】本題主要考查了圓和內(nèi)接多邊形，首先確定六邊形的度數(shù)或邊長關系，再結合圓的度數(shù)作圖，利用內(nèi)接六邊形的小三角形為正三角形是解題的關鍵．22．在圖中，試分別按要求畫出圓O的內(nèi)接正多邊形．

【答案】見解析【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質分別畫出圓內(nèi)接正方形、正八邊形、正六邊形及正三角形即可．【解析】解：如圖所示：

【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓的關系，熟知圓內(nèi)接正多邊形的性質是解答本題的關鍵．23．如圖，已知、、是的內(nèi)接正十邊形的邊，連接、、，求證：．

【答案】見解析【分析】利用正十邊形的性質，圓心角與圓周角關系定理，同旁內(nèi)角互補，兩直線平行證明．【解析】證明：如圖，連接，，、、為的內(nèi)接正十邊形的邊，

，，．，，．，．【點睛】本題考查了正十邊形的性質，圓心角與圓周角關系定理，同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，熟練掌握正十邊形的性質，圓心角與圓周角關系定理，是解題的關鍵．24．如圖，正方形內(nèi)接于，為的中點．

(1)作等邊三角形，使點，分別在和上（用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)在（1）的條件下，求的度數(shù)；(3)若正方形的邊長為4，求（1）中等邊三角形的邊長．【答案】(1)見解析(2)；(3)等邊三角形的邊長為．【分析】（1）如圖所示，連接并延長交于，以為圓心，為半徑畫圓，交于點，，點，即為所求；（2）利用等邊三角形的性質及圓周角定理求得，，據(jù)此即可求解；（3）如圖，作輔助線，構建直角三角形，先根據(jù)勾股定理計算半徑的長，再利用勾股定理求的長，可得等邊三角形的邊長．【解析】（1）解：如圖所示，連接并延長交于，以為圓心，為半徑畫圓，交于點，，點，即為所求，即得到等邊三角形．

（2）解：連接，∵是等邊三角形，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴；（3）解：如圖，連接，過O作于N，

∵，∴，中，，∴，中，，，∴，∴，∴，∴等邊三角形的邊長為．【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：作等邊三角形，圓內(nèi)接三角形，還考查了正方形和等邊三角形的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考壓軸題．25．在下列正多邊形中，是中心，定義：為相應正多邊形的基本三角形．如圖1，是正三角形的基本三角形；如圖2，是正方形的基本三角形；如圖3，為正邊形…的基本三角形．將基本繞點逆時針