湖南省永州市祁陽(yáng)市第一中學(xué)2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2024-2025學(xué)年祁陽(yáng)一中第一學(xué)期期中考試試題高三數(shù)學(xué)2024.11.13注意事項(xiàng)：1．本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷．2．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分．3．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合，再利用集合間的包含關(guān)系，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，由，可得，又，則.故選：A2.若，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法，化簡(jiǎn)整理為標(biāo)準(zhǔn)型，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)與虛部的定義，可得答案.【詳解】，則，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部是.故選：B.3.已知和的夾角為，且，則（）A. B. C.3 D.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.【詳解】故選：C4.設(shè)是兩個(gè)平面，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】作出滿足條件的圖，舉出反例，排除ABD選項(xiàng)，作出滿足條件的圖，并證明，得到C選項(xiàng)正確.【詳解】A選項(xiàng)：如圖：在正方體中，，此時(shí)與夾角為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：如圖：在正方體中，，此時(shí)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：如圖：在正方體中：，此時(shí)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：如圖：過(guò)作平面，使得，，∵，∴，則，又∵，∴，∴，C選項(xiàng)正確.故選：C.5.已知，都是銳角，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】運(yùn)用兩角和與差的正弦公式展開，化切為弦得，代入即可求解.【詳解】由題意，又，所以，即，所以，所以.故選：D6.設(shè)，分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出點(diǎn)的坐標(biāo)，借助向量坐標(biāo)運(yùn)算求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程求解即得.【詳解】令橢圓半焦距為c，依題意，，由，得，則，而點(diǎn)在橢圓上，于是，解得，所以的離心率為.故選：A7.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，，則一定正確的是（）A.的周期為2 B.圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.為偶函數(shù) D.為奇函數(shù)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性、對(duì)稱性及周期性對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可.【詳解】為奇函數(shù)，得，即，則為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；且圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；可知，函數(shù)周期為4，故A錯(cuò)誤；，又圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，知，所以，得關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，故D正確.故選：D.8.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.466 B.467 C.932 D.933【答案】B【解析】【分析】方法一：根據(jù)的范圍，確定的范圍，結(jié)合已知條件以及函數(shù)的零點(diǎn)，得且，分別驗(yàn)證、、確定的范圍，求出的最大值，代入函數(shù)解析式即可求解；方法二：利用換元的令，根據(jù)的范圍，確定的范圍，由，得出的范圍，結(jié)合圖象性質(zhì)，以及已知條件，最終確定的最大值，代入函數(shù)解析式即可求解.【詳解】方法一：由題意，函數(shù)，可得函數(shù)的周期為，因?yàn)椋傻?，又由函?shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且滿足，且，可得，即，且，當(dāng)時(shí)，，解得，所以；當(dāng)時(shí)，，解得，所以；當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)解集為空集，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.所以，得，，則，解得，令，則有，解得，即，因?yàn)?，所以共?67個(gè)零點(diǎn).方法二：由題意，函數(shù)，可得函數(shù)的周期為，因?yàn)?，可設(shè)，則，又函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，可得，所以，則由圖象性質(zhì)，可知，得，即.或者，得，即.所以最大為，得.，則，解得.令，則有：，解得：，即，因?yàn)椋怨灿?67個(gè)零點(diǎn).故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于區(qū)間長(zhǎng)度為定值的動(dòng)區(qū)間，若區(qū)間上至少含有個(gè)零點(diǎn)，需要確定含有個(gè)零點(diǎn)的區(qū)間長(zhǎng)度，一般和周期相關(guān).二.多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列關(guān)于平面向量的說(shuō)法中正確的是（）A.不共線，且，則.B.若向量，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是C.已知，則在上的投影的坐標(biāo)為D.已知點(diǎn)為的垂心，則【答案】BD【解析】【分析】求得三向量間的關(guān)系判斷選項(xiàng)A；求得的取值范圍判斷選項(xiàng)B；求得在上的投影的坐標(biāo)判斷選項(xiàng)C；求得三者間的關(guān)系判斷選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：不共線，且，則，則即.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：向量，且與的夾角為鈍角，則，解之得或或則的取值范圍是.判斷正確；選項(xiàng)C：在上的投影向量為，則在上的投影的坐標(biāo)為.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：點(diǎn)為的垂心，則,則，則，由可得，則，即，由，可得，則,即，故判斷正確.故選：BD10.為加強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)健康，某中學(xué)積極組織學(xué)生參加課外體育活動(dòng).現(xiàn)操場(chǎng)上甲、乙兩人玩投籃游戲，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若投中，則繼續(xù)投籃，若未投中，則換另一人投籃.假設(shè)甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為，由擲兩枚硬幣的方式確定第一次投籃的人選（一正一反向上是甲投籃，同正或同反是乙投籃），以下選項(xiàng)正確的是（）A.第一次投籃的人是甲的概率為B.已知第二次投籃的人是乙的情況下，第一次投籃的人是甲的概率為C.第二次投籃的人是甲的概率為D.設(shè)第次投籃的人是甲的概率為，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式可判斷A選項(xiàng)，結(jié)合條件概率的公式可判斷B選項(xiàng)，根據(jù)概率的加法公式及對(duì)立事件的概率公式可判斷C和D選項(xiàng).【詳解】擲兩枚硬幣向上的結(jié)果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共有種情況，記事件：向上的結(jié)果一正一反，記事件：向上的結(jié)果同正或同反，則，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)事件：第一次投籃的人是甲，事件：第二次投籃的人是乙，則,，則，所以B選項(xiàng)正確，對(duì)于C選項(xiàng)，第二次投籃的人是甲的概率為，所以C選項(xiàng)正確，對(duì)于D選項(xiàng)，由已知，當(dāng)時(shí)，，即，所以D選項(xiàng)正確；故選：BCD.11.如圖，圓錐的底面直徑和母線長(zhǎng)均為6，其軸截面為，為底面半圓弧上一點(diǎn)，且，，，則（）A.當(dāng)時(shí)，直線與所成角的余弦值為B.當(dāng)時(shí)，四面體的體積為C當(dāng)且面時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，算出各個(gè)線段長(zhǎng)度，將異面直線通過(guò)轉(zhuǎn)化化為同面直線，根據(jù)余弦定理求解即可；對(duì)于B，根據(jù)題意先計(jì)算出四面體的體積，又因四面體中一個(gè)底面積是原來(lái)的四分之一，故可求解；對(duì)于C，法一：根據(jù)中位線定理，即可判斷，法二：構(gòu)建空間坐標(biāo)系，將各點(diǎn)表示出來(lái)，同時(shí)設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z，根據(jù)向量運(yùn)算法則，根據(jù)可求解；對(duì)于D，法一：求出所需線段，根據(jù)余弦定理可求出，代入求解即可，法二：解出，同時(shí)，根據(jù)，則，即可求解.【詳解】由題意可知是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，，，.時(shí)，為的中點(diǎn)，取得，為直線與所成角或其補(bǔ)角，又根據(jù)余弦定理可得，再根據(jù)余弦定理可求得,所以,，.則，故A正確；在中，，，得，，且，則四面體的體積為.，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，故四面體體積為四面體體積的四分之一，得四面體體積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于CD選項(xiàng)：【法一】當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，則，所以面過(guò)作交于，所以面，此時(shí)為的中點(diǎn),又因相較于點(diǎn)，所以面面，得面，所以，故C正確；當(dāng)時(shí)，，面內(nèi)過(guò)作交于，則面，面，故此時(shí)得到的，中，，由余弦定理得，，，得，則，故D正確.故選：ACD【法二】則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與垂直的直線為軸，分別以、所在直線為軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意得，，，，，，得，，，對(duì)于C，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z則，，可取.面時(shí)，得，解得.故C正確.對(duì)于D，，由得，，.故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知某學(xué)校參加學(xué)科節(jié)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽的8人的成績(jī)（單位：分）為：，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意，利用百分位數(shù)的定義和計(jì)算方法，即可求解.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序得，因?yàn)?，所以?5百分位數(shù)是.故答案為：.13.已知，且，則_____________.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)條件，利用換底公式得到，從而得到或，即可求解.【詳解】因?yàn)椋淼玫?，解得或，所以或，故答案為：?14.設(shè)，是雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是右支上一點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，且，使得，則的離心率為______．【答案】2【解析】【分析】設(shè)在第一象限，則點(diǎn)也在第一象限，根據(jù)得到，由兩種方法求解的面積，得到方程，求出，結(jié)合，求出，由兩點(diǎn)間距離公式得到，求出，故，代入雙曲線方程，求出，得到離心率.【詳解】不妨設(shè)在第一象限，則點(diǎn)也在第一象限，設(shè)，，因?yàn)?，所以，故，，又，故，解得，由雙曲線定義得，故，，又，又，故，故，又，故，，故，將代入中，得，解得，所以的離心率為.故答案為：2【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得離心率(離心率的取值范圍).四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，為等邊三角形且垂直于底面.（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）法一：先證，再由線面垂直的判定定理證明面，即可得證；法二：建系，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算代入計(jì)算，即可證明；（2）法一：建系，由面面角的向量求法，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；法二：由面面角的定義，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】法一：證明：如圖所示，取中點(diǎn)，為等邊三角形，，又面垂直于底面，交線為，得面，又面.底面為直角梯形，，，，，，所以，，，所以，得，又，得面，面，所以.法二：取中點(diǎn)，為等邊三角形且垂直于底面，交線為，則，得面，又因?yàn)?，，，可設(shè)，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與平行的直線為軸，分別以、所在直線為軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，得，，，得，，所以，得.【小問2詳解】法一：由（1）知面，不妨設(shè)，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與平行的直線為軸，分別以、所在直線為軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，得，，，，，；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，可??；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，可取.設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的正弦值為.法二：不妨設(shè)，為等邊三角形且垂直于底面，交線為，底面為直角梯形，，，所以面，又，得面，面，得面面，交線為，取的中點(diǎn)，則，等邊邊長(zhǎng)為2，則，，則面，則點(diǎn)到面的距離等于點(diǎn)到面的距離為，因?yàn)槊妫?，，均為直角三角形，，得，?作，可得，所以平面與平面夾角的正弦值為.16.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，．（1）求；（2）若角的平分線交邊于點(diǎn)，，求面積的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結(jié)合兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)即可得解；（2）根據(jù)角平分線性質(zhì)，求得和，再將轉(zhuǎn)化為與的關(guān)系，利用基本不等式求解即可.【小問1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，則，即，又，所以，所以，又，所以，所以，所以；【小問2詳解】如圖，由題意及第（1）問知，，且，∴，∴，化簡(jiǎn)得，∵，，∴由基本不等式得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴，∴，故的面積的最小值為.17.在數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為，且（且）.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用的關(guān)系得，結(jié)合累乘法可得通項(xiàng)；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得出，由錯(cuò)位相減法得，再分離參數(shù)，根據(jù)基本不等式計(jì)算即可.【小問1詳解】因?yàn)椋?，整理得，所以，以上個(gè)式子相乘得，.當(dāng)時(shí)，，符合上式，所以.【小問2詳解】.所以，①，②①②得，，所以.由得：，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的取值范圍是.18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，判斷在上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（3）設(shè)，在的圖象上有一點(diǎn)列，直線的斜率為，求證：．【答案】（1）在上單調(diào)遞減，理由見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用多次求導(dǎo)的方法來(lái)判斷出在上的單調(diào)性.（2）利用多次求導(dǎo)的方法，結(jié)合恒成立，列不等式來(lái)求得的取值范圍.（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，得到，求得的不等關(guān)系式，然后根據(jù)分組求和法以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式證得不等式成立.【小問1詳解】在上單調(diào)遞減，理由如下：當(dāng)時(shí)，，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立①，當(dāng)時(shí)，②，，設(shè)，時(shí)，，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，，要使①恒成立，由于②，則需恒成立，所以恒成立，所以，.此時(shí)，在0,+∞上單調(diào)遞增，，在0,+∞上單調(diào)遞增，，在0,+∞上單調(diào)遞增，使得恒成立.綜上所述，的取值范圍是.【小問3詳解】由（2）可知，當(dāng)，時(shí)，恒成立，即時(shí)，恒成立，下證：，時(shí)，，由上述分析可知，，即，則，所以，，即得證【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性：首先對(duì)函數(shù)進(jìn)行多次求導(dǎo)，通過(guò)分析導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)在不同區(qū)間的單調(diào)性，這一步為后續(xù)的不等式恒成立條件的推導(dǎo)奠定了基礎(chǔ).結(jié)合不等式求參數(shù)范圍：通過(guò)設(shè)定不等式恒成立，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，逐步推導(dǎo)出參數(shù)的取值范圍.利用等比數(shù)列和斜率關(guān)系進(jìn)行證明：在小問3中，通過(guò)對(duì)等比數(shù)列的求和以及利用斜率條件，成功證明了所需的不等式.19.