數(shù)學(xué)學(xué)案：預(yù)習(xí)導(dǎo)航二維形式的柯西不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精預(yù)習(xí)導(dǎo)航1．認(rèn)識(shí)柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義．2．通過運(yùn)用柯西不等式分析解決一些簡(jiǎn)單問題．1．二維形式的柯西不等式(1）若a,b，c,d都是實(shí)數(shù),則(a2＋b2)（c2＋d2）≥（ac＋bd)2，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時(shí)，等號(hào)成立．(2）二維形式的柯西不等式的推論：（a＋b)（c＋d)≥（eq\r(ac)＋eq\r(bd）)2（a,b，c，d為非負(fù)實(shí)數(shù));eq\r（a2＋b2)·eq\r(c2＋d2）≥｜ac＋bd|（a，b，c，d∈R）；eq\r(a2＋b2)·eq\r（c2＋d2)≥｜ac｜＋｜bd｜（a,b，c,d∈R）．【做一做1】已知a，b＞0,且a＋b＝1，則(eq\r(4a＋1)＋eq\r（4b＋1))2的最大值是(）A．2eq\r(6)B．eq\r（6)C．6D．12解析：（eq\r（4a＋1)＋eq\r（4b＋1）)2＝（1×eq\r(4a＋1）＋1×eq\r（4b＋1)）2≤（12＋12）(4a＋1＋4b＝2[4（a＋b）＋2]＝2×（4×1＋2）＝12，當(dāng)且僅當(dāng)eq\r（4b＋1）＝eq\r(4a＋1），即a＝b＝eq\f（1,2）時(shí)等號(hào)成立．答案:D2．柯西不等式的向量形式設(shè)α，β是兩個(gè)向量，則|α·β|≤｜α|｜β|，當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使α＝kβ時(shí)，等號(hào)成立．【做一做2】設(shè)a＝(－2，1，2），｜b|＝6，則a·b的最小值為__________,此時(shí)b＝__________。解析:根據(jù)柯西不等式的向量形式，有｜a·b|≤|a|·｜b|，∴|a·b|≤eq\r（(－2)2＋12＋22）×6＝18，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)k,使a＝kb時(shí)，等號(hào)成立．∴－18≤a·b≤18?！郺·b的最小值為－18，此時(shí)b＝－2a答案：－18(4，－2，－4)3．二維形式的三角不等式（1)設(shè)x1，y1,x2，y2∈R，那么eq\r(x\o\al(2，1)＋y\o\al（2，1))＋eq\r（x\o\al(2，2)＋y\o\al(2，2)）≥eq\r（（x1－x2)2＋(y1－y2)2）.（2)推論：eq\r（(x1－x3）2＋（y1－y3）2)＋eq\r(（x2－x3)2＋（y2－y3)2）≥eq\r（（x1－x2)2＋（y1－y2)2）(x1，x2，x3