數(shù)學(xué)學(xué)案：預(yù)習(xí)導(dǎo)航函數(shù)與方程

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精預(yù)習(xí)導(dǎo)航課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1.了解函數(shù)零點(diǎn)的定義，并會(huì)求簡單函數(shù)的零點(diǎn)．2．掌握判斷一元二次方程根的存在及個(gè)數(shù)的方法．3．了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，能根據(jù)具體函數(shù)的圖象，借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解.1．函數(shù)的零點(diǎn)(1)定義：一般地,如果函數(shù)y＝f(x)在實(shí)數(shù)α處的值等于零，即f(α）＝0,則α叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)．（2）性質(zhì):①當(dāng)函數(shù)的圖象通過零點(diǎn)且穿過x軸時(shí)，函數(shù)值變號(hào)．②兩個(gè)零點(diǎn)把x軸分為三個(gè)區(qū)間，在每個(gè)區(qū)間上所有函數(shù)值保持同號(hào)．思考1如何正確認(rèn)識(shí)零點(diǎn)？提示：函數(shù)y＝f（x）的零點(diǎn)是個(gè)實(shí)數(shù)，在函數(shù)圖象上應(yīng)該是函數(shù)y＝f（x）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，雖稱為“點(diǎn)”，但不是一個(gè)點(diǎn)．2．二次函數(shù)的零點(diǎn)與對(duì)應(yīng)二次方程的實(shí)根個(gè)數(shù)之間的關(guān)系思考2二次函數(shù)沒有零點(diǎn)的等價(jià)說法是什么？提示:二次函數(shù)f(x）＝ax2＋bx＋c(a≠0),當(dāng)Δ＝b2－4ac＜0時(shí)，函數(shù)y＝f（x）沒有零點(diǎn)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)．思考3二次函數(shù)的零點(diǎn)最多只有兩個(gè)嗎？所有的二次函數(shù)都有零點(diǎn)嗎?提示:二次函數(shù)的零點(diǎn)最多只有兩個(gè)，因?yàn)槎魏瘮?shù)對(duì)應(yīng)的一元二次方程最多只有兩個(gè)根．并不是所有的二次函數(shù)都有零點(diǎn)，這是因?yàn)椴皇撬械囊辉畏匠潭加袑?shí)數(shù)根,如函數(shù)y＝x2＋2x＋2就沒有零點(diǎn)．3．零點(diǎn)存在的判斷方法及分類（1)零點(diǎn)存在的判斷方法:如果函數(shù)y＝f（x)在一個(gè)區(qū)間［a，b]上的圖象不間斷,并且在它的兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)，即f（a)·f（b）＜0,則這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上，至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在一點(diǎn)x0∈(a，b），使f(x0）＝0。（2）分類:思考4對(duì)于函數(shù)f（x），若滿足f（a)·f（b）＜0，則f(x）在區(qū)間（a，b)內(nèi)一定有零點(diǎn)嗎?若f（x)在區(qū)間(a,b）內(nèi)有零點(diǎn)，則f（a)·f（b)＜0一定成立嗎？提示:對(duì)于函數(shù)f(x)，若滿足f(a)·f(b)＜0，則f(x)在區(qū)間（a，b）內(nèi)不一定有零點(diǎn),如圖(1）所示；若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a,b）內(nèi)有零點(diǎn)，則不一定有f(a）·f（b)＜0，如圖(2）所示．4．求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的一種計(jì)算方法——二分法(1）二分法的定義：對(duì)于在區(qū)間［a，b]上連續(xù)不斷且f(a）·f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x），通過不斷地把函數(shù)f（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．(2）“二分法”求函數(shù)零點(diǎn)的一般步驟：已知函數(shù)y＝f(x)定義在區(qū)間D上，求它在D上的一個(gè)零點(diǎn)x0的近似值x，使它滿足給定的精確度．用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的一般步驟：①在D內(nèi)取一個(gè)閉區(qū)間［a0，b0]?D，使f(a0）與f（b0）異號(hào)，即f（a0)·f（b0）＜0，零點(diǎn)位于區(qū)間[a0，b0］中．②取區(qū)間［a0,b0]的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為x0＝（a0＋b0)．計(jì)算f(x0）和f（a0）,并判斷：如果f(x0)＝0，則x0就是f(x)的零點(diǎn)，計(jì)算終止；如果f（a0）·f(x0)＜0，則零點(diǎn)位于區(qū)間[a0，x0］中，令a1＝a0,b1＝x0;如果f(a0）·f(x0）＞0，則零點(diǎn)位于區(qū)間[x0，b0]中，令a1＝x0，b1＝b0.③取區(qū)間[a1，b1］的中點(diǎn),則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為x1＝(a1＋b1）．計(jì)算f(x1)和f（a1），并判斷：如果f(x1)＝0，則x1就是f(x）的零點(diǎn)，計(jì)算終止;如果f（a1)·f（x1)＜0，則零點(diǎn)位于區(qū)間［a1,x1］上，令a2＝a1,b2＝x1;如果f(a1)·f(x1）＞0，則零點(diǎn)位于區(qū)間［x1，b1]上,令a2＝x1，b2＝b1；……繼續(xù)實(shí)施上述步驟，直到區(qū)間［an，bn]，函數(shù)的零點(diǎn)總位于區(qū)間[an，bn］上，當(dāng)區(qū)間的長度bn－an不大于給定的精確度時(shí)，這個(gè)區(qū)間［an，bn]中的任何一個(gè)數(shù)都可以作為函數(shù)y＝f(x）的近似零點(diǎn)，計(jì)算終止．思考5用二分法能求函數(shù)f（x）＝（x－3）2的零點(diǎn)的近似值嗎?提示：不能．二分法是用來解決在閉區(qū)間上連續(xù),且兩端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)的函數(shù)的零點(diǎn)近似值的方