數(shù)學(xué)學(xué)案：預(yù)習(xí)導(dǎo)航余弦定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精預(yù)習(xí)導(dǎo)航1．理解用向量的工具推導(dǎo)余弦定理的過程,并能初步運(yùn)用余弦定理解斜三角形．2．掌握三角形的面積公式．3．能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理、面積公式等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量及幾何計(jì)算有關(guān)的三角形問題．1．余弦定理公式表達(dá)語(yǔ)言敘述推論a2＝b2＋c2－2bccosA三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍cosA＝b2＝a2＋c2－2accos_BcosB＝c2＝a2＋b2－2abcos_CcosC＝歸納總結(jié)：（1）余弦定理揭示了任意三角形邊角之間關(guān)系的客觀規(guī)律，是解三角形的重要工具；（2)余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例；（3）在余弦定理中，每一個(gè)等式均含有四個(gè)量，利用方程的觀點(diǎn)，可以知三求一；(4）運(yùn)用余弦定理時(shí),因?yàn)橐阎吳蠼?，或已知兩邊及夾角求另一邊,由三角形全等的判定定理知，三角形是確定的，所以解也是唯一的．【做一做1－1】在△ABC中，AB＝1，BC＝2，∠B＝60°，則AC的長(zhǎng)為________．解析：由余弦定理，得AC2＝12＋22－2×1×2×cos60°＝3．∴AC＝eq\r（3）．答案：eq\r(3)【做一做1－2】在△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，則∠C＝________．答案：60°2．余弦定理的應(yīng)用（1)利用余弦定理判斷三角形的形狀由余弦定理，當(dāng)邊c為最大邊時(shí)，如果c2＝a2＋b2,則△ABC為直角三角形；如果c2〈a2＋b2，則△ABC為銳角三角形;如果c2>a2＋b2，則△ABC為鈍角三角形．(2)利用余弦定理可以解決有關(guān)斜三角形的問題①已知三邊，求三個(gè)角；②已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個(gè)角;③已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角解斜三角形時(shí),也可用余弦定理，如已知a，b，∠A，可先用余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos_A,求出c,此時(shí)c的個(gè)數(shù)即為三角形解的個(gè)數(shù)．名師點(diǎn)撥：使用余弦定理求角時(shí)，一般在判斷三條邊的大小后，可先求最大角,也可先求最小角,如果最大角小于60°或最小角大于60°，可知三角形無解．【做一做2－1】在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，則該三角形的形狀為(）A．直角三角形B．等邊三角形C．銳角三角形D．鈍角三角形答案：D【做一做2－2】在△ABC中，已知c＝2acosB，則△ABC的形狀為________三角形．答案:等腰3．三角形的面積公式（1）S＝eq\f（1,2）a·ha(ha表示a邊上的高）；（2）S＝eq\f（1,2）absinC＝eq\f（1，2)bcsin_A＝eq\f（1，2)acsin_B；（3)S＝eq\f(1,2)r（a＋b＋c）（r為三角形的內(nèi)切圓半徑)；(4）S＝eq\r(p(p－a)(p－b）（p－c)）(其中p＝eq\f(1，2）(a＋b＋c））．【做一做3－1】在△ABC中，角A，B,C的對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為a，b,c，且a＝1