第6章 圖形的相似 綜合測試

第6章圖形的相似綜合測試(滿分100分，限時60分鐘)一、選擇題(每小題3分，共30分)1.下列線段中能成比例的是()A.3cm，5cm，7cm，9cm B.2cm，5cm，6cm，8cmC.3cm，6cm，9cm，18cm D.1cm，3cm，4cm，7cm2.若b是a和c的比例中項，則關(guān)于x的一元二次方程ax2-2bx+c=0的根的情況是()A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根 D.無法判斷3.(2022江蘇蘇州工業(yè)園星海實驗中學二模)《九章算術(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法.如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點E，如果測得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD=()A.2米 B.3米 C.12米 4.(2022山東濟南萊蕪期末)兩個相似多邊形的周長之比為1∶4，則它們的面積之比為()A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶165.(2018浙江杭州臨安中考)如圖，小正方形的邊長均為1，則下列選項中的三角形(陰影部分)與△ABC相似的是() A B C D6.如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(-3，6)、B(-9，-3)，以原點O為位似中心，相似比為1∶3，把△ABO縮小，則點B的對應點B'的坐標是()A.(-3，-1) B.(-1，2) C.(-9，1)或(9，-1) D.(-3，-1)或(3，1)7.(2022廣西百色中考)已知△ABC與△A'B'C'是位似圖形，相似比是1∶3，則△ABC與△A'B'C'的面積比是()A.1∶3 B.1∶6 C.1∶9 D.3∶18.(2021山東淄博中考)如圖，AB，CD相交于點E，且AC∥EF∥DB，點C，F(xiàn)，B在同一條直線上.已知AC=p，EF=r，DB=q，則p，q，r之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是()A.1r+1q=1p9.如圖，夜晚，小亮從點A經(jīng)過路燈C的正下方沿直線走到點B，他的影長y隨他與點A之間的距離x的變化而變化，那么表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖像大致為() A B C D10.(2022江蘇連云港中考)如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點A、B、D恰好都落在點O處，且點G、O、C在同一條直線上，同時點E、O、F在另一條直線上.小煒同學得出以下結(jié)論：①GF∥EC；②AB=435AD；③GE=6DF；④OC=22OF；⑤△COF∽△CEG.A.①②③ B.①③④ C.①④⑤ D.②③④二、填空題(每小題3分，共24分)11.(2023江蘇無錫江陰青陽中學月考)下列說法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的圓都相似.其中說法正確的序號是.

12.(2021四川攀枝花中考)若x6=y4=z3(x，y，z13.(2022陜西中考)在20世紀70年代，我國著名數(shù)學家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果.如圖，利用黃金分割法，所作EF將矩形窗框ABCD分為上、下兩部分，其中E為邊AB的黃金分割點，即BE2=AE·AB.已知AB為2米，則線段BE的長為米.

14.(2022上海青浦期末)如圖，點G為等邊三角形ABC的重心，連接GA，如果AG=2，那么BC=.

15.(2022安徽合肥巢湖二模)如圖，在鈍角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，動點D從A點出發(fā)到B點停止，動點E從C點出發(fā)到A點停止.點D運動的速度為1cm/s，點E運動的速度為2cm/s.如果兩點同時運動，那么當以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間是.

16.(2020山東濰坊中考)如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，以點O為圓心，2為半徑的圓與OB交于點C，過點C作CD⊥OB交AB于點D，點P是邊OA上的動點.當PC+PD最小時，OP的長為.

17.(2021遼寧大連中考)如圖，在正方形ABCD中，AB=2，點E在邊BC上，點F在邊AD的延長線上，AF=EF，設BE=x，AF=y，當0<x<2時，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為.

18.(2020江蘇揚州中考)如圖，在?ABCD中，∠B=60°，AB=10，BC=8，點E為邊AB上的一個動點，連接ED并延長至點F，使得DF=14DE，以EC，EF為鄰邊構(gòu)造?EFGC，連接EG，則EG的最小值為.三、解答題(共46分)19.(2021江蘇淮安中考)(6分)如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABC的頂點A、B、C都在格點上(兩條網(wǎng)格線的交點叫格點).請僅用無刻度的直尺按下列要求畫圖，并保留畫圖痕跡(不要求寫畫法).(1)將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點B的對應點為B1，點C的對應點為C1，畫出△AB1C1；(2)連接CC1，△ACC1的面積為；

(3)在線段CC1上畫一點D，使得△ACD的面積是△ACC1面積的1520.(2021廣西玉林中考)(8分)如圖，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB.(1)求證：△DFC∽△AED；(2)若CD=13AC，求S△21.(2021江蘇鹽城期末)(10分)如圖，小明想測量河對岸建筑物AB的高度，在地面上C處放置了一塊平面鏡，然后從C點向后退了2.4米至D處，小明的眼睛(E)恰好看到了鏡中建筑物頂端A的像，在D處做好標記，將平面鏡移至D處，小明再次從D點后退2.52米至F處，眼睛(G)恰好又看到了建筑物頂端A的像，已知小明眼睛距地面的高度ED，GF均為1.6米，求建筑物AB的高度.(注：圖中的左側(cè)α，β為入射角，右側(cè)的α，β為反射角)22.(2021江蘇蘇州中考)(10分)如圖，在矩形ABCD中，線段EF、GH分別平行于AD、AB，它們相交于點P，點P1、P2分別在線段PF、PH上，PP1=PG，PP2=PE，連接P1H、P2F，P1H與P2F相交于點Q.已知AG∶GD=AE∶EB=1∶2，設AG=a，AE=b.(1)四邊形EBHP的面積四邊形GPFD的面積(填“>”“=”或“<”)；

(2)求證：△P1FQ∽△P2HQ；(3)設四邊形PP1QP2的面積為S1，四邊形CFQH的面積為S2，求S1S23.(2021四川樂山中考)(12分)在等腰△ABC中，AB=AC，點D是BC邊上一點(不與點B、C重合)，連接AD.(1)如圖①，若∠C=60°，點D關(guān)于直線AB的對稱點為點E，連接AE，DE，則∠BDE=；

(2)若∠C=60°，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，連接BE.(i)在圖②中補全圖形；(ii)探究CD與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖③，若ABBC=ADDE=k，且∠ADE=∠C.試探究BE、BD、AC

第6章圖形的相似綜合測試答案全解全析1.CA.∵3×9≠5×7，∴此選項不符合題意；B.∵2×8≠5×6，∴此選項不符合題意；C.∵3×18=6×9，∴此選項符合題意；D.∵1×7≠3×4，∴此選項不符合題意.故選C.2.B∵b是a和c的比例中項，∴b2=ac，∴Δ=(-2b)2-4ac=4(b2-ac)=0，∴該一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根.故選B.3.B由題意知AB∥CD，則∠BAE=∠C，∠B=∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴ABCD=AECE，∴1CD=4.D根據(jù)相似多邊形的周長的比等于相似比，面積的比是相似比的平方，可知它們的面積比為1∶16.故選D.5.B由正方形的性質(zhì)可知，∠ACB=180°-45°=135°，A、C、D圖形中的鈍角都不等于135°，易知BC=2，AC=2，選項B中三角形的邊長分別為1，5和2，∵12=22，∴6.D∵以原點O為位似中心，相似比為1∶3，把△ABO縮小，∴點B(-9，-3)的對應點B'的坐標是(-3，-1)或(3，1).故選D.7.C∵△ABC與△A'B'C'是位似圖形，相似比是1∶3，∴△ABC與△A'B'C'的面積比是1∶9.故選C.8.C∵AC∥EF，∴EFAC=BFBC，∵EF∥DB，∴EFBD=CFBC，∴EFAC+9.A如圖，設身高GE=h，CF=l，AF=a，當x≤a時，在△OEG和△OFC中，∠GOE=∠COF(公共角)，∠AEG=∠AFC=90°，∴△OEG∽△OFC，∴OEOF=GECF，∴yy+∵a、h、l都是固定的常數(shù)，∴自變量x的系數(shù)是固定值，∴這個函數(shù)圖像肯定是一次函數(shù)圖像，即是直線，影長將隨著離燈光越來越近而越來越短，到燈下的時候，將是一個點，進而隨著離燈光的越來越遠而影長將越來越長.故選A.10.B由折疊性質(zhì)可得DG=OG=AG，AE=OE=BE，OC=BC，∠DGF=∠FGO，∠AGE=∠OGE，∠AEG=∠OEG，∠OEC=∠BEC，∴∠FGE=∠FGO+∠OGE=90°，∠GEC=∠OEG+∠OEC=90°，∴∠FGE+∠GEC=180°，∴GF∥CE，故①正確；設AD=2a，AB=2b，則DG=OG=AG=a，AE=OE=BE=b，∴CG=OG+OC=3a，在Rt△CGE中，CG2=GE2+CE2，∴(3a)2=a2+b2+b2+(2a)2，解得b=2a，∴AB=2AD，故②錯誤；設OF=DF=x，則CF=2b-x=22a-x，在Rt△COF中，x2+(2a)2=(22a-x)2，解得x=22a∴6DF=6×22a=在Rt△AGE中，GE=AG2∴GE=6DF，OC=22OF，故③④正確；無法證明∠FCO=∠GCE，∴無法判定△COF∽△CEG，故⑤錯誤.綜上，正確的是①③④，故選B.11.答案②③⑤解析①所有的等腰三角形邊不一定成比例，角不一定相等，故錯誤；②所有的正三角形都相似，正確；③所有的正方形都相似，正確；④所有的矩形邊不一定成比例，故錯誤；⑤所有的圓都相似，正確.故答案為②③⑤.12.答案3解析設x6=y4=z3=k(k≠0)，則x=6k，y=4k，z13.答案(-1+5)解析設BE=x米，則AE=(2-x)米，∵BE2=AE·AB，∴x2=2(2-x)，即x2+2x-4=0，解得x1=-1+5，x2=-1-5(舍去)，∴線段BE的長為(-1+5)米.故答案為(-1+5).14.答案23解析延長AG交BC于H，如圖，∵點G為等邊三角形ABC的重心，∴BH=CH，AG=2GH，∴GH=12AG=1，∴AH=AG+GH=3，∵△ABC為等邊三角形，AH為中線，∴AH⊥BC，∠B=60°，∴∠BAH=30°，∴AB=2BH，由勾股定理，得BH2+32=(2BH)2，∴BH=3(舍負)，∴BC=2BH=2315.答案3s或4.8s解析設運動ts時，以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似，則AD=tcm，CE=2tcm，∴AE=AC-CE=(12-2t)cm.①當D與B對應時，有△ADE∽△ABC，∴AD∶AB=AE∶AC，∴t∶6=(12-2t)∶12，∴t=3；②當D與C對應時，有△ADE∽△ACB，∴AD∶AC=AE∶AB，∴t∶12=(12-2t)∶6，∴t=4.8.故當以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間是3s或4.8s.16.答案3解析延長CO交☉O于點E，連接DE交OA于點P，連接PC(圖略)，此時PC+PD最小.∵CD⊥OB，∠AOB=90°，∴CD∥AO，∴BCBO=CDAO，∴24=CD3，∴CD=32.∵CD∥AO，∴EO17.答案y=4+解析如圖，過點F作FM⊥AE，垂足為M，∵AF=EF，∴AM=ME=12AE.在Rt△ABE中，AE=AB2+BE2=4+x2，∴AM=4+x22，在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠FAM=∠AEB，又∵∠B=∠AMF=90°，∴△ABE∽△FMA，∴AE18.答案93解析如圖，作CH⊥AB于點H，∵在?ABCD中，∠B=60°，BC=8，∴BH=4，∴CH=43.∵四邊形EFGC是平行四邊形，∴EF=CG，EF∥CG.∴△EOD∽△GOC.∴EOGO=DOOC=DECG.∵DF=14DE，∴DEEF=45.∴DECG=45.∴EG的最小值是93.19.解析(1)△AB1C1如圖所示.(2)由旋轉(zhuǎn)知AC=AC1，∠CAC1=90°，∵AC=AC1=12+22=5，∴△ACC1(3)連接EF交CC1于D，連接AD.∵CF∥C1E，∴△CFD∽△C1ED，∴CDC1D=CFC1E=14，∴CD=1520.解析(1)證明：∵DF∥AB，DE∥BC，∴∠DFC=∠ABF，∠AED=∠ABF，∴∠DFC=∠AED，∵DE∥BC，∴∠DCF=∠ADE，∴△DFC∽△AED.(2)∵CD=13AC，∴CD∴S△21.解析設AB=xm，BC=ym，根據(jù)題意知，△ABC∽△EDC，△ABD∽△GFD，∴xy=1.62.4①，xy+2.4=1.62.52答：建筑物AB的高度為32m.22.解析(1)∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°，∵GH∥AB，∴∠GHC=∠B=90°，∠PGD=∠A=90°，∵EF∥AD，∴∠HPF=∠PGD=90°，∴四邊形PFCH為矩形，同理可得，四邊形AGPE、四邊形GDFP、四邊形EPHB均為矩形，∵AG=a，AE=b，AG∶GD=AE∶EB=1∶2，∴PE=a，PG=b，GD=PF=2a，EB=PH=2b，∴四邊形EBHP的面積=PE·PH=2ab，四邊形GPFD的面積=PG·PF=2ab，∴四邊形EBHP的面積=四邊形GPFD的面積.(2)證明：由(1)知PE·PH=2ab，PG·PF=2ab，∵PP1=PG，PP2=PE，∴PP2·PH=PP1·PF，即PP又∵∠FPP2=∠HPP1，∴△PP2F∽△PP1H，∴∠PFP2=∠PHP1，∵∠P1QF=∠P2QH，∴△P1F