專項(xiàng)04 圓的切線的證明

專項(xiàng)04圓的切線的證明類型一見半徑,證垂直1，如圖,在☉O中,半徑OC垂直于弦AB,垂足為點(diǎn)E.(1)若OC=5,AB=8,求tan∠BAO;(2)若∠DAC=∠BAC,且點(diǎn)D在☉O的外部,判斷直線AD與☉O的位置關(guān)系,并加以證明.2，如圖,∠BAC=90°,點(diǎn)A在☉O上,過點(diǎn)O作BA的平行線交AC于點(diǎn)E,交過點(diǎn)C的直線于點(diǎn)D,且∠D=∠BCA.(1)求證:CD是☉O的切線;(2)若AB=2,BC=23,求CD的長(zhǎng).3，如圖,在☉O中,AB為☉O的直徑,點(diǎn)E在☉O上,D為BE的中點(diǎn),連接AE,BD并延長(zhǎng),交于點(diǎn)C.連接OD,在OD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F,連接BF,使∠CBF=12∠BAC(1)求證:BF為☉O的切線;(2)若AE=4,OF=92,求☉O的半徑類型二連半徑,證垂直4，如圖,已知A是☉O上一點(diǎn),半徑OC的延長(zhǎng)線與過點(diǎn)A的直線交于B點(diǎn),OC=BC,2AC=OB.(1)求證:AB是☉O的切線;(2)若∠ACD=45°,OC=2,求∠ADC的度數(shù)及弦CD的長(zhǎng).5，如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作☉O交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E.(1)求證:DE是☉O的切線;(2)若AB=AC=6,tan∠BAC=34,求DE的長(zhǎng)6，如圖,點(diǎn)A,B,C是☉O上的三點(diǎn),且點(diǎn)A是弦BC所對(duì)優(yōu)弧的中點(diǎn),過點(diǎn)A作EF∥BC.(1)如圖1,求證:EF是☉O的切線;(2)如圖2,作射線BO交AC于點(diǎn)G,交☉O于點(diǎn)I,交直線EF于點(diǎn)H,當(dāng)AG=3,CG=5時(shí),求sin∠AHB的值. 圖1 圖2類型三作垂直,證半徑7，如圖,點(diǎn)O為正方形ABCD對(duì)角線上一點(diǎn),以O(shè)為圓心,OA的長(zhǎng)為半徑的☉O與CD相切于點(diǎn)M(1)求證:BC與☉O相切;(2)若☉O的半徑為2,求正方形的邊長(zhǎng).8，如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AO平分∠CAB交BC于點(diǎn)O,以O(shè)C為半徑作☉O,直線AO交☉O于點(diǎn)E,D,連接CD(1)求證:AB是☉O的切線;(2)若2AC=3AE,☉O的直徑為5,求CD的長(zhǎng).

專項(xiàng)04圓的切線的證明答案全解全析1.解析(1)∵半徑OC垂直于弦AB,∴AE=BE=12AB=4,在Rt△OAE中,OA=5,AE=4,∴OE=OA2-AE2∴tan∠BAO=OEAE=3(2)AD與☉O相切.證明:∵半徑OC垂直于弦AB,∴AC=BC,∴∠AOC=2∠BAC,∵∠DAC=∠BAC,∴∠AOC=∠BAD,∵∠AOC+∠OAE=90°,∴∠BAD+∠OAE=90°,∴∠OAD=90°,∴OA⊥AD,∵OA是☉O的半徑,∴AD與☉O相切.2.解析(1)證明:∵∠BAC=90°,∴BC為☉O的直徑,∵BA∥OD,∴∠OEC=∠BAC=90°,∴OE⊥CA,∴∠D+∠DCE=90°,∵∠D=∠BCA,∴∠BCA+∠DCE=∠BCD=90°,∴BC⊥CD,∵BC為☉O的直徑,∴CD是☉O的切線.(2)∵AB=2,BC=23,∠BAC=90°,∴AC=BC2-AB2=(23)2-22又∠D=∠BCA,∴△DOC∽△CBA,∴DCAC=OCAB,即DC22=3.解析(1)證明:如圖,連接AD,∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB=90°.∵D為BE的中點(diǎn),∴BD=DE,∴∠BAD=∠CAD=12∠∵∠CBF=12∠BAC,∴∠CBF=∠∵∠BAD+∠ABD=90°,∴∠ABF=∠ABD+∠CBF=90°,∴AB⊥BF,∵OB是☉O的半徑,∴BF是☉O的切線.(2)如圖,連接BE,∵AB是☉O的直徑,∴∠AEB=90°.∵∠BOD=2∠BAD,∠BAC=2∠BAD,∴∠BOD=∠BAC,∵∠OBF=∠AEB=90°,∴△OBF∽△AEB,∴OB∶AE=OF∶AB,∴OB∶4=92∶2OB,∴OB2=9.∵OB>0,∴OB=3,∴☉O的半徑為4.解析(1)證明:如圖,連接OA,∵OC=BC,2AC=OB,OA=OC,∴OC=BC=AC=OA,∴△ACO是等邊三角形,∴∠O=∠OCA=∠OAC=60°.∵AC=CB,∴∠CAB=∠B.∵∠OCA是△ACB的外角,∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B,∴∠B=∠CAB=30°.∴∠OAB=∠CAB+∠OAC=30°+60°=90°,∴OA⊥AB,∵OA是☉O的半徑,∴AB是☉O的切線.(2)如圖,作AE⊥CD于點(diǎn)E,∵∠O=60°,∴∠ADC=12∠O=12×60°=30∵∠ACD=45°,AC=OC=2,∴AE=CE=2.∵∠ADC=30°,∴AD=2AE=22,∴DE=AD2-AE2=(25.解析(1)證明:如圖,連接OD,AD,∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB=90°,點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),∵AC=AB,∴點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),∴OD∥AC,∵DE⊥AC,∴OD⊥DE,∵OD是☉O的半徑,∴DE是☉O的切線.(2)設(shè)AC與☉O交于點(diǎn)F,連接BF,∵AB是☉O的直徑,∴∠BFA=90°,∵tan∠BAC=BFAF=34,∴不妨設(shè)BF=3k,AF=4k,則AB=5k,∵AB=6,∴5k=6,解得k=65,∴BF=185.∵DE⊥AC,BF∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),∴E為CF的中點(diǎn),∴DE是△CFB的中位線,∴DE=12BF=96.解析(1)證明:如圖①,連接AO,BO,CO,∵點(diǎn)A是弦BC所對(duì)優(yōu)弧的中點(diǎn),∴AB=AC,∴AB=AC,∵BO=CO,AO=AO,∴△ABO≌△ACO(SSS),∴∠BAO=∠CAO,∴AO⊥BC,∵EF∥BC,∴AO⊥EF,∵AO是☉O的半徑,∴EF是☉O的切線.(2)如圖②,連接AO并延長(zhǎng),交BC于M,易知AM⊥BC,AB=AC,∴BM=MC,∵EF∥BC,∴∠MBO=∠AHB,△AGH∽△CGB,∴AHBC=AGCG=35,∴AH2MB=35∵△AOH∽△MOB,∴MOOA=BMAH=56,∴MOOB=56,∴sin∠MBO=MOOB=56圖①圖②7.解析(1)證明:如圖,過O作OH⊥BC于H,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠ACB=∠ACD=45°,∵CD是☉O的切線,∴OM⊥CD,∴△OHC≌△OMC,∴OM=OH,∵OM為☉O的半徑,∴OH為☉O的半徑,∴BC與☉O相切.(2)∵☉O的半徑為2,∴OA=OM=2,易知四邊形OHCM是正方形,∴CM=OM=2,∴OC=CM2+OM2=(2)2+(2)2=2,∴AC=OA+OC=2+2,∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠B=90°,在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=2AB2,即AC=2AB,∴28.解析(1)證明:如圖,過點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F,∵∠ACB=90°,∴OC⊥AC,∵AO平分∠CAB,OF⊥AB,OC⊥AC,∴OF=OC,∵OC為☉O的半徑,∴OF為☉O的半徑,∴AB是☉O的切線.(2)如圖,連接CE,∵DE為☉O的直徑,∴∠DCE=90°.∵∠ACB=90°,∴∠ACE+∠ECB=∠ECB+∠BCD=90°,∴∠ACE=∠BCD.∵OC=OD,∴∠BCD=∠D,∴∠ACE=∠D.∵∠EAC=∠CAD,∴△AEC∽△ACD,∴CE