第05講 新高考新結(jié)構(gòu)命題下的數(shù)列解答題綜合訓(xùn)練（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第05講新高考新結(jié)構(gòu)命題下的數(shù)列解答題綜合訓(xùn)練（15類核心考點(diǎn)精講精練）在新課標(biāo)、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推進(jìn)。這不僅僅是一場考試形式的變革，更是對(duì)教育模式和教育理念的全面革新。當(dāng)前的高考試題設(shè)計(jì)，以“三維”減量增質(zhì)為核心理念，力求在減少題目數(shù)量的同時(shí)，提升題目的質(zhì)量和考查的深度。這具體體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：三考題目設(shè)計(jì)著重考查學(xué)生的知識(shí)主干、學(xué)習(xí)能力和學(xué)科素養(yǎng)，確保試題能夠全面、客觀地反映學(xué)生的實(shí)際水平。三重強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生思維深度、創(chuàng)新精神和實(shí)際應(yīng)用能力的考查，鼓勵(lì)學(xué)生不拘泥于傳統(tǒng)模式，展現(xiàn)個(gè)人的獨(dú)特見解和創(chuàng)造力。三突出試題特別突出對(duì)學(xué)生思維過程、思維方法和創(chuàng)新能力的考查，通過精心設(shè)計(jì)的題目，引導(dǎo)學(xué)生深入思考和探索，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力。面對(duì)新高考新結(jié)構(gòu)試卷的5個(gè)解答題，每個(gè)題目的考查焦點(diǎn)皆充滿變數(shù)，無法提前預(yù)知。數(shù)列版塊作為一個(gè)重要的考查領(lǐng)域，其身影可能悄然出現(xiàn)在第15題中，作為一道13分的題目，難度相對(duì)較為適中，易于學(xué)生入手。同樣不能忽視的是，解三角形版塊也可能被置于第18、19題這樣的壓軸大題中，此時(shí)的分值將提升至17分，挑戰(zhàn)學(xué)生的解題能力和思維深度，難度自然相應(yīng)加大。面對(duì)如此多變的命題趨勢，教師在教學(xué)備考過程中必須與時(shí)俱進(jìn)。不僅要深入掌握不同題目位置可能涉及的知識(shí)點(diǎn)及其命題方式，更要能夠靈活應(yīng)對(duì)，根據(jù)試題的實(shí)際情況調(diào)整教學(xué)策略。本文基于新高考新結(jié)構(gòu)試卷的特點(diǎn)，結(jié)合具體的導(dǎo)數(shù)解答題實(shí)例，旨在為廣大師生提供一份詳盡的導(dǎo)數(shù)解答題綜合訓(xùn)練指南，以期在新高考中取得更好的成績?？键c(diǎn)一、構(gòu)造等差數(shù)列1．（2024·河北衡水·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)積．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)的積記為，且滿足.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.4．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.5．（2024·新疆·一模）非零數(shù)列滿足，且．(1)設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和．考點(diǎn)二、構(gòu)造等比數(shù)列1．（2024·四川成都·二模）已知數(shù)列的首項(xiàng)為3，且滿足.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列.2．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求．3．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．(1)求證數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)若數(shù)列的前m項(xiàng)和，求m的值，7．4．（2024·全國·模擬預(yù)測）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的最大項(xiàng)為，求的值．5．（2024·全國·模擬預(yù)測）數(shù)列的前項(xiàng)和滿足．(1)令，求的通項(xiàng)公式；(2)令，設(shè)的前項(xiàng)和為，求證：．考點(diǎn)三、等差數(shù)列前n頂和1．（23-24高三上·陜西咸陽·階段練習(xí)）等差數(shù)列中，已知是其前項(xiàng)和，,求與2．（23-24高三上·遼寧·階段練習(xí)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的最小值.3．（23-24高二上·甘肅金昌·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的最小值及取得最小值時(shí)n的值．4．（23-24高三上·遼寧朝陽·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求使成立的n的取值集合.5．（2023·山西·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，求的最小值.考點(diǎn)四、等比數(shù)列前n項(xiàng)和1．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的公比，記其前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的前項(xiàng)和.3．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）在數(shù)列中，且滿足（且）．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．4．（20-21高一下·貴州黔東南·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若是等比數(shù)列，且，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.5．（23-24高二上·北京·期中）已知數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足，，設(shè)，且是等差數(shù)列.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和.考點(diǎn)五、裂項(xiàng)相消求和1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的各項(xiàng)均不小于1，前項(xiàng)和為是公差為1的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2024·山西臨汾·二模）已知數(shù)列滿足．(1)計(jì)算，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．3．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前10項(xiàng)和．4．（2024·河北邯鄲·二模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．5．（23-24高二下·四川成都·期中）已知數(shù)列滿足：（）．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)（），數(shù)列前項(xiàng)和為，試比較與的大小并證明．考點(diǎn)六、錯(cuò)位相減求和1．（2024·浙江寧波·二模）已知等差數(shù)列的公差為2，記數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．3．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）記為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．4．（2024·四川涼山·二模）設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足（），數(shù)列滿足．(1)求，的通項(xiàng)公式．(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．考點(diǎn)七、周期與類周期求和1．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的前2023項(xiàng)和S．2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足（為實(shí)數(shù)），，求．6．3．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，，．(1)證明：數(shù)列為常數(shù)列；(2)求數(shù)列的前2024項(xiàng)和．4．（22-23高三上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，．(1)求，，，并寫出一個(gè)符合題意的的通項(xiàng)公式（不需要證明）；(2)設(shè)，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．5．（22-23高三上·山東青島·期中）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且，.(1)已知，求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前2023項(xiàng)和.考點(diǎn)八、奇偶并項(xiàng)求和1．（2024·福建莆田·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，且成等比數(shù)列，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2024·河北石家莊·二模）已知數(shù)列滿足(1)寫出;(2)證明:數(shù)列為等比數(shù)列;(3)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.等比數(shù)列是正項(xiàng)遞增數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)和數(shù)列的通項(xiàng)；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.4．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知數(shù)列滿足，．(1)記，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)求的前項(xiàng)和，并證明．5．（2023·山東·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，設(shè)．(1)求的通項(xiàng)公式，并證明：；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．考點(diǎn)九、數(shù)列與不等式1．（2024·河北秦皇島·二模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.2．（2024·江蘇·三模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為.(1)若是公差為的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，求；(2)若，求證：.3．（23-24高二下·福建福州·期中）記數(shù)列的前項(xiàng)和，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．4．（23-24高二下·江西吉安·期末）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：．5．（2024·天津·模擬預(yù)測）數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，數(shù)列是等比數(shù)列，，，，，．(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)的前n項(xiàng)和，求證：．考點(diǎn)十、數(shù)列與極限、放縮1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．2．（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，證明：的前項(xiàng)和.3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，證明：．4．（23-24高三上·河北·期末）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知為等比數(shù)列，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，設(shè)，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．5．（2021·貴州貴陽·模擬預(yù)測）數(shù)列中，，，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.（1）求使成立的的取值范圍；（2）若，求的表達(dá)式；（3）若，求.考點(diǎn)十一、數(shù)列與參數(shù)綜合1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.3．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列滿足.①求數(shù)列的前n項(xiàng)和；②若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（2024·江蘇無錫·二模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和.若對(duì)任意的恒成立，求k的取值范圍.5．（2024·天津·二模）設(shè)是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和，是等比數(shù)列，且，，.(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)若對(duì)于任意的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.考點(diǎn)十二、數(shù)列與三角綜合1．（2022·江西贛州·一模）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求.2．（2024·浙江臺(tái)州·二模）已知數(shù)列滿足，.(1)求（只需寫出數(shù)值，不需要證明）；(2)若數(shù)列的通項(xiàng)可以表示成的形式，求，.3．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）求證：；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．4．?dāng)?shù)列可以看作是定義在正整數(shù)集的特殊函數(shù)，具有函數(shù)的性質(zhì)特征，有些周期性的數(shù)列和三角函數(shù)緊密相連.記數(shù)列2，，，2，，，2，，-1，…為，三角形式可以表達(dá)為，其中，，.（1）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求，，及；（2）求數(shù)列的三角形式通項(xiàng)公式.5．已知函數(shù)，方程在上的解按從小到大的順序排成數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的表達(dá)式．考點(diǎn)十三、數(shù)列與概率綜合1．（23-24高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）某商場擬在周末進(jìn)行促銷活動(dòng)，為吸引消費(fèi)者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動(dòng)，游戲規(guī)則如下：該游戲進(jìn)行10輪，若在10輪游戲中，參與者獲勝5次就送2000元禮券，并且游戲結(jié)束：否則繼續(xù)游戲，直至10輪結(jié)束．已知該游戲第一次獲勝的概率是，若上一次獲勝則下一次獲勝的概率也是，若上一次失敗則下一次成功的概率是．記消費(fèi)者甲第次獲勝的概率為，數(shù)列的前項(xiàng)和，且的實(shí)際意義為前次游戲中平均獲勝的次數(shù)．(1)求消費(fèi)者甲第2次獲勝的概率；(2)證明：為等比數(shù)列；并估計(jì)要獲得禮券，平均至少要玩幾輪游戲才可能獲獎(jiǎng)．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）某商場為促銷設(shè)計(jì)了一項(xiàng)回饋客戶的抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：有放回地從裝有大小相同的4個(gè)紅球和2個(gè)黑球的袋中任意抽取一個(gè)，若第一次抽到紅球則獎(jiǎng)勵(lì)40元的獎(jiǎng)券，抽到黑球則獎(jiǎng)勵(lì)20元的獎(jiǎng)券；第二次開始，每一次抽到紅球則獎(jiǎng)券數(shù)額是上一次獎(jiǎng)券數(shù)額的2倍，抽到黑球則獎(jiǎng)勵(lì)20元的獎(jiǎng)券．記顧客甲第n次抽獎(jiǎng)所得的獎(jiǎng)券數(shù)額的數(shù)學(xué)期望為．(1)求及的分布列；(2)寫出與的遞推關(guān)系式，并證明為等比數(shù)列；(3)若顧客甲一共有6次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求該顧客所得的所有獎(jiǎng)券數(shù)額的期望值．（參考數(shù)據(jù)：）3．（2023高三·全國·專題練習(xí)）某工廠在2020年的“減員增效”中對(duì)部分人員實(shí)行分流，規(guī)定分流人員第一年可以到原單位領(lǐng)取工資的100％，從第二年起，以后每年只能在原單位按上一年工資的領(lǐng)取工資．該廠根據(jù)分流人員的技術(shù)特長，計(jì)劃創(chuàng)辦新的經(jīng)濟(jì)實(shí)體，該經(jīng)濟(jì)實(shí)體預(yù)計(jì)第一年屬投資階段，第二年每人可獲得b元收入，從第三年起每人每年的收入可在上一年的基礎(chǔ)上遞增50％，如果某人分流前工資收入為每年a元，分流后進(jìn)入新經(jīng)濟(jì)實(shí)體，第n年的收入為元．(1)求的通項(xiàng)公式．(2)當(dāng)時(shí)，這個(gè)人哪一年的收入最少？最少為多少？(3)當(dāng)時(shí)，是否一定可以保證這個(gè)人分流一年后的收入永遠(yuǎn)超過分流前的年收入？4．（23-24高二下·陜西西安·期末）某品牌女裝專賣店設(shè)計(jì)摸球抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，每位顧客只用一個(gè)會(huì)員號(hào)登陸，每次消費(fèi)都有一次隨機(jī)摸球的機(jī)會(huì).已知顧客第一次摸球抽中獎(jiǎng)品的概率為；從第二次摸球開始，若前一次沒抽中獎(jiǎng)品，則這次抽中的概率為，若前一次抽中獎(jiǎng)品，則這次抽中的概率為．記該顧客第次摸球抽中獎(jiǎng)品的概率為．(1)求的值；(2)探究數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求該顧客第幾次摸球抽中獎(jiǎng)品的概率最大，請給出證明過程．5．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）在足球比賽中，有時(shí)需通過點(diǎn)球決定勝負(fù)．(1)撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向射門，門將(也稱為守門員)也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向來撲點(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)的分布列和期望；(2)好成績的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲?乙?丙三名前鋒隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外人中的人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外人中的人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接?。浀诖蝹髑蛑扒蛟诩啄_下的概率為，易知．①試證明：為等比數(shù)列；②設(shè)第次傳球之前球在乙腳下的概率為，比較與的大小．考點(diǎn)十四、數(shù)列與導(dǎo)數(shù)綜合1．已知函數(shù)．（1）若，求a的值；（2）設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n，，求m的最小值．2．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．3．已知函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明:；（3）試比較與，并證明你的結(jié)論．4．（22-23高二下·四川成都·期末）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求的取值范圍；(3)若數(shù)列滿足，記為數(shù)列的前項(xiàng)和．證明：．5．（2024·廣西來賓·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足：，，其中為數(shù)列的前n項(xiàng)和．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)m為正整數(shù)，若存在首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比