第10講 圖形類解三角形綜合（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第10講圖形類解三角形綜合（核心考點(diǎn)精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，分值為13-15分【備考策略】1.熟練掌握正余弦定理及面積公式解三角形2.在幾何圖形中能熟練使用相關(guān)定理求解【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容一般會(huì)在解答題中進(jìn)行命題考查，考查學(xué)生的圖形轉(zhuǎn)化及計(jì)算能力，需重點(diǎn)備考復(fù)習(xí)知識(shí)講解正弦定理（其中為外接圓的半徑）余弦定理，，三角形的面積公式，考點(diǎn)一、圖形類解三角形綜合考查1．（江蘇·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點(diǎn)D，使得，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.（2）方法一：根據(jù)的值，求得的值，由（1）求得的值，從而求得的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】（1）[方法一]：正余弦定理綜合法由余弦定理得，所以.由正弦定理得.[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法過點(diǎn)A作，垂足為E．在中，由，可得，又，所以．在中，，因此．（2）[方法一]：兩角和的正弦公式法由于，，所以.由于，所以，所以.所以.由于，所以.所以.[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+兩角差的正切公式法

在（1）的方法二的圖中，由，可得，從而．又由（1）可得，所以．[方法三]：幾何法+正弦定理法

在（1）的方法二中可得．在中，，所以．在中，由正弦定理可得，由此可得．[方法四]：構(gòu)造直角三角形法

如圖，作，垂足為E，作，垂足為點(diǎn)G．在（1）的方法二中可得．由，可得．在中，．由（1）知，所以在中，，從而．在中，．所以．【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：使用余弦定理求得，然后使用正弦定理求得；方法二：抓住45°角的特點(diǎn)，作出輔助線，利用幾何方法簡(jiǎn)單計(jì)算即得答案，運(yùn)算尤其簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；（2）方法一：使用兩角和的正弦公式求得的正弦值，進(jìn)而求解；方法二：適當(dāng)作出輔助線，利用兩角差的正切公式求解，運(yùn)算更為簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三：在幾何法的基礎(chǔ)上，使用正弦定理求得的正弦值，進(jìn)而得解；方法四：更多的使用幾何的思維方式，直接作出含有的直角三角形，進(jìn)而求解，也是很優(yōu)美的方法.2．（全國(guó)·高考真題）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為已知.（1）求角和邊長(zhǎng)；（2）設(shè)為邊上一點(diǎn)，且,求的面積.【答案】（1），；（2）.【詳解】試題分析：（1）先根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系求出從而可得的值，再根據(jù)余弦定理列方程即可求出邊長(zhǎng)的值；（2）先根據(jù)余弦定理求出，求出的長(zhǎng)，可得，從而得到，進(jìn)而可得結(jié)果.試題解析：（1），，由余弦定理可得，即，即，解得（舍去）或，故.(2)，，，，，.3．（四川·高考真題）如圖，A，B，C，D為平面四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角.（1）證明：（2）若求的值.【答案】（1）詳見解析；（2）.【詳解】（1）.（2）由，得.由（1），有連結(jié)BD，在中，有，在中，有，所以，則，于是.連結(jié)AC，同理可得，于是.所以.考點(diǎn)：本題考查二倍角公式、誘導(dǎo)公式、余弦定理、簡(jiǎn)單的三角恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.4．（2024·山東濟(jì)南·二模）如圖，已知平面四邊形中，.(1)若四點(diǎn)共圓，求；(2)求四邊形面積的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）在、中分別利用余弦定理表示出，再由四點(diǎn)共圓得到，即可求出；；（2）由（1）可得，再由面積公式得到，將兩式平方再相加得到，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】（1）在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，所以，因此，上述兩式相加得：，所以（負(fù)值已舍去）.（2）由（1）得：，化簡(jiǎn)得，則①，四邊形的面積，整理得，則②①②相加得：，即，由于，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)四邊形的面積最大，由，解得，故四邊形面積的最大值為.5．（23-24高三上·江西·期末）如圖，在△ABC中，AB=BC=2，D為△ABC外一點(diǎn)，AD=2CD=4，記∠BAD=α，∠BCD=β.(1)求的值；(2)若△ABD的面積為，△BCD的面積為，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理，進(jìn)行轉(zhuǎn)換即可；（2）根據(jù)題意，由（1）知，求出取得最大值，最大值為.【詳解】（1）在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，所以，所以，.（2）由題意知，，所以，由（1）知，，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.1．（湖南·高考真題）如圖，在平面四邊形中，,(1)求的值；(2)求的長(zhǎng)【答案】(1)(2)【分析】(1)在中已知兩邊與一角,利用余弦定理即可求出第三條邊的長(zhǎng)度,再利用余弦定理即可求出角的正弦值.(2)由(1)三角形的三條邊,根據(jù)正余弦直角的關(guān)系可得角的余弦值(或者利用正余弦之間的關(guān)系也可求的),角之和為,其中兩個(gè)角的正余弦值已知,則可以利用余弦的和差角公式求的角的余弦值,長(zhǎng)度已知,利用直角三角形中余弦的定義即可求的長(zhǎng).【詳解】如圖設(shè)(1)在中,由余弦定理可得,于是又題設(shè)可知,即,解得(舍去),在中,由正弦定理可得,即.(2)由題設(shè)可得,于是根據(jù)正余弦之間的關(guān)系可得,而,所以,在中,,所以.考點(diǎn)：正余弦定理正余弦和差角公式直角三角形正余弦之間的關(guān)系2．（湖南·高考真題）如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.

（1）求cos∠CAD的值；（2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【詳解】試題分析：(1)利用題意結(jié)合余弦定理可得；(2)利用題意結(jié)合正弦定理可得：.試題解析：（I）在中，由余弦定理得(II)設(shè)

在中，由正弦定理，

故點(diǎn)睛：在解決三角形問題中，面積公式S＝absinC＝bcsinA＝acsinB最常用，因?yàn)楣街屑扔羞呌钟薪?，容易和正弦定理、余弦定理?lián)系起來(lái).3．（2024·青海海西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，．(1)求；(2)若的面積為，求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式求出，再由正弦定理得解；（2）由三角形面積求出，再由余弦定理求出.【詳解】（1）由，則，又由，所以，又由，可得，在中，又由正弦定理得：，所以，可得；（2）由，可得，又由的面積為，有，可得，在中，由余弦定理有．4．（2024·山東菏澤·二模）已知在中，的面積為．(1)求角的度數(shù)；(2)若是上的動(dòng)點(diǎn)，且始終等于，記．當(dāng)取到最小值時(shí)，求的值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）設(shè)，則求解即可；（2）根據(jù)三角形面積公式結(jié)合正弦定理得到，根據(jù)角的范圍求解即可．【詳解】（1）設(shè)，則，又，因此，由為的內(nèi)角，所以.（2）由（1）知，，又，則，因此，在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，，顯然，則有，因此當(dāng)時(shí)，取到最小值，此時(shí)，即，所以的值.1．（23-24高三上·陜西漢中·階段練習(xí)）如圖，在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，，點(diǎn)D在邊BC上，且.

(1)求；(2)求線段AD的長(zhǎng).【答案】(1)(2)4【分析】（1）利用余弦定理與三角函數(shù)的平方關(guān)系即可得解；（2）利用正弦定理即可得解.【詳解】（1）根據(jù)題意得：，又，所以.（2）因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理可得?2．（23-24高三上·湖北·期末）如圖，在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，(1)求的面積；(2)求線段的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)求解即可；（2）解法1：在中根據(jù)余弦定理求出，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求，在中勾股定理求即可；解法2：由求得.【詳解】（1），而.（2）解法1：，，在中，，在等腰中，，Rt中，，.解法2：，由得，,即，解得.3．（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，，，，．(1)求；(2)若的面積為，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用正弦定理求出，再結(jié)合結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系即可求解；（2）先結(jié)合（1）及三角形面積公式求出，再根據(jù)余弦定理即可求解．【詳解】（1）在中，由正弦定理得，即，解得，又，所以．（2）結(jié)合（1）可得，則，又，即，解得，則由余弦定理得，又，所以．4．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，的面積為．

(1)求；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)面積得到方程，求出，在中，利用余弦定理求出，進(jìn)而求出，從而求出的值；（2）在中，由正弦定理得，結(jié)合（1）中，由角的范圍得到.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得，所以．在中，由余弦定理得，所以．在中，，所以，所以；（2）由（1）可得，在中，由正弦定理得，所以，且．由（1）可得，又，所以．5．（2024·江西南昌·一模）如圖，兩塊直角三角形模具，斜邊靠在一起，其中公共斜邊，，交于點(diǎn).(1)求；(2)求.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由銳角三角函數(shù)求出、，又，利用兩角和的余弦公式求出，最后由余弦定理計(jì)算可得；（2）解法1：首先求出，再由，利用面積公式計(jì)算可得；解法2：首先得到，再由計(jì)算可得.【詳解】（1）由已知，，，因?yàn)椋?，所以在中由余弦定理可?（2）解法1：因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，即，解?解法2：因?yàn)?，所以，又，，所以，又因?yàn)椋?，則，所以.6．（23-24高三上·廣東江門·階段練習(xí)）已知A，B，C，D四點(diǎn)逆時(shí)針排列于同一個(gè)圓O上，其中的面積為，．(1)求邊的長(zhǎng)；(2)當(dāng)圓心O在上時(shí)，求．【答案】(1)．(2)．【分析】（1）由已知，結(jié)合三角形面積公式及余弦定理求解即得.（2）由（1）的信息，結(jié)合圓的性質(zhì)求出即可得解.【詳解】（1）在中，的面積為，則，解得，而，于是，由余弦定理得.（2）由（1）知，而線段為圓的直徑，則，因此，所以.7．（23-24高三上·江西·階段練習(xí)）如圖，在梯形中，，，.(1)若，求的長(zhǎng)；(2)若，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行求解即可；（2）利用余弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）在中，由正弦定理得，則.（2）因?yàn)?，所?由余弦定理得，則，所以.8．（23-24高三上·安徽·期末）如圖,在中,的平分線交邊于點(diǎn),點(diǎn)在邊上,,,.

(1)求的大小;(2)若,求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）因?yàn)槭堑慕瞧椒志€,所以,在中利用余弦定理求出的長(zhǎng),再次利用余弦定理即可求出的大小.（2）在中,由正弦定理求出的長(zhǎng),再根據(jù)四邊形內(nèi)角和為可得到,從而求出的值,再利用三角形面積公式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)槭堑慕瞧椒志€,所以,在中,根據(jù)余弦定理得,所以,則,因?yàn)?所以.（2）因?yàn)?所以,在中,由正弦定理得,在四邊形中,,所以,則.9．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形中，，，的角平分線與相交于點(diǎn)，且.(1)求的大?。?2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）在中利用正弦定理結(jié)合已知條件求出，即可得解；（2）依題意可得，由求出，再在中利用余弦定理計(jì)算可得.【詳解】（1）在中，由正弦定理得，所以，又，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，所?因?yàn)槠椒?，所?因?yàn)?，所以，又，，所以，解得，因?yàn)?，所以，所?10．（2024·山西晉中·三模）在中，角的對(duì)邊分別為，已知.(1)求；(2)若，在邊上（不含端點(diǎn)）存在點(diǎn)，使得，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接用余弦定理求得，進(jìn)而得到；（2）思路一：利用正弦定理三角恒等變換得，進(jìn)一步結(jié)合正弦定理得，由即可求解；思路二：設(shè)邊上的高線長(zhǎng)為，則長(zhǎng)度的取值范圍是，從而條件等價(jià)于，最后用表示和，即可求出的范圍.【詳解】（1）由余弦定理得，所以.（2）方法一：因?yàn)椋?，由?）知道，所以，所以，所以由，可得，從而（因?yàn)椋?，所以，結(jié)合是三角形內(nèi)角可知，，當(dāng)時(shí)，在三角形中，設(shè)，則，由正弦定理得，故，因?yàn)?，所以，在三角形中，由正弦定理得，故，因?yàn)?，所以的取值范圍是，所以的取值范圍?方法二：在本小問的解析中，所有“線段上”均不含端點(diǎn)和.由知角是鈍角，所以角都是銳角，這表明點(diǎn)在直線上的投影在線段上.設(shè)，則由在線段上及可知，對(duì)線段上的點(diǎn)，長(zhǎng)度的取值范圍是，所以條件等價(jià)于.而我們有，故.由于，故我們又有.所以條件等價(jià)于，即.綜上，的取值范圍是.1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）如圖，在中，已知為銳角，邊上的兩條中線相交于點(diǎn)的面積為.(1)求的長(zhǎng)度；(2)求的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）因?yàn)?，得到，由，在由余弦定理即可得到的長(zhǎng)度.（2）因?yàn)?，所以為直角?.在中，由勾股定理得，即得到，在中，由余弦定理即可得到的余弦值.【詳解】（1）由題知，，所以，又因?yàn)?，所以?因?yàn)闉殇J角，所以.在中，由余弦定理知，整理得，解得.（2）因?yàn)?，所以，，在中，由勾股定理得：，，所以在中，由余弦定理?所以的余弦值為.2．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知a，b，c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且．(1)求A；(2)若，將射線BA和CA分別繞點(diǎn)B，C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，，旋轉(zhuǎn)后相交于點(diǎn)D（如圖所示），且，求AD．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根據(jù)正弦定理邊角互化，再根據(jù)三角恒等變形，即可求解；（2）由條件確定幾何圖形中的角的值，再根據(jù)正弦定理和余弦定理求解.【詳解】（1）由正弦定理可知,又因?yàn)?，所以，且，則，即，所以，因?yàn)?，，所以，所以；?）由條件可知，，，且，所以，又，所以，，，且中，，得,中，，得，中，，.3．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面內(nèi)的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，構(gòu)成的四邊形中，，，，.(1)求面積的取值范圍；(2)若四邊形存在外接圓，求外接圓面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形的性質(zhì)，求的范圍，再根據(jù)余弦定理求的范圍，以及的范圍，最后代入面積公式，即可求解；（2）由余弦定理和有外接圓的四邊形的性質(zhì)，求和，最后代入外接圓面積公式，即可求解.【詳解】（1）由三角形的性質(zhì)可知，，即，且，即，所以，中，，所以，則，，所以面積的取值范圍是；（2）中，，中，，即因?yàn)樗倪呅未嬖谕饨訄A，所以，即，即，得，，此時(shí)，即，由，四邊形外接圓的面積.4．（2024·浙江紹興·二模）在三角形中，內(nèi)角對(duì)應(yīng)邊分別為且.(1)求的大??；(2)如圖所示，為外一點(diǎn)，，，，，求及的面積.【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用正弦定理邊化角可得，根據(jù)式子特點(diǎn)，變換，從而可以化簡(jiǎn)三角恒等式為，最后利用輔助角公式求出；（2）設(shè)，可知用表示，，利用正弦定理可得公共邊的式子，最后可得一個(gè)關(guān)于角的三角方程求解出角的大小，然后求出求出和，最后利用面積公式即可求出面積.【詳解】（1），由正弦定理邊化角得：，由三角形內(nèi)角和為可得：，即，即，又，即，又，，即.（2）設(shè)，在中，，，，，在中，，，，，即，，，又，，解得，，又由，于是.5．（2024·廣西來(lái)賓·模擬預(yù)測(cè)）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，為平分線，(1)求；(2)若，上存在點(diǎn)，使得，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角的正弦，結(jié)合三角恒等變換求解即可；（2）令，，在中，利用余弦定理可求，在中，利用正弦定理可求，再由，，即可求解.【詳解】（1）由，結(jié)合正弦定理得，，因?yàn)椋?，即，又，所以，因?yàn)?，所以，又，所以；?）由（1）知：，令，，則，，在中，，所以，則，故得：，，，，因?yàn)?，在中，，所以，可得，因?yàn)?，則，所以，又，所以.6．（2024·湖南衡陽(yáng)·三模）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a、b、c，且．(1)求A；(2)如圖所示，D為平面上一點(diǎn)，與構(gòu)成一個(gè)四邊形ABDC，且，若，求AD的最大值．【答案】(1).(2)4【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理的邊角互化進(jìn)行化簡(jiǎn)，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）方法一：根據(jù)題意，分別在與中由正弦定理化簡(jiǎn)，即可得到，從而得到結(jié)果；方法二：由余弦定理可得，再由正弦定理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，，所以，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所?（2）方法一：設(shè)，則：在中，，①，在中，，②：，所以，所以，所以AD的最大值是4解法二：在中，由余弦定理得，=，因?yàn)?，所以四邊形存在一個(gè)外接圓，所以圓的直徑為因?yàn)?，即，?dāng)AD為圓O直徑時(shí)取等號(hào)，故的最大值為4.7．（23-24高一下·河北保定·期末）阿波羅尼奧斯（Apollonius）是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，他提出的阿波羅尼奧斯定理是一個(gè)關(guān)于三角形邊長(zhǎng)與中線長(zhǎng)度關(guān)系的定理，內(nèi)容為：三角形兩邊平方的和，等于所夾中線及第三邊之半的平方和的兩倍，即如果AD是中BC邊上的中線，則.(1)若在中，，，，求此三角形BC邊上的中線長(zhǎng)；(2)請(qǐng)證明題干中的定理；(3)如圖中，若，D為BC中點(diǎn)，，，，求的值.【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）余弦定理求出，再用所給式子求出中線即可；（2）左右兩個(gè)三角形和分別使用余弦定理，得到兩個(gè)方程，結(jié)合，相加即可證明；（3），利用三角恒等變換，求得，結(jié)合，求出．在，用面積公式求出，進(jìn)而求出，再用余弦定理即可解.【詳解】（1）如圖所示，由余弦定理得，，代值計(jì)算得到，求得；由于，代值計(jì)算得，求得（2）在中，；在中，；兩式相加，且，得到，則原式得證．（3）由于則由正弦定理，得，即，去分母整理得到，即．且，則，則．由于，且，即聯(lián)立解出由于，則，解得，則（負(fù)數(shù)不滿足）.由余弦定理得到，代值計(jì)算，，則，則．8．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形中，，設(shè).(1)若，求的長(zhǎng)；(2)若，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）在中由正弦定理解出，再在中由余弦定理解出即可；（2）在中由正弦定理解出，再在中，由正弦定理解出，由相等關(guān)系得，最后解出即可.【詳解】（1）在中，由正弦定理得：，即，，因?yàn)?，所以，解得，則，在中，由余弦定理得：，所以.（2）如圖：由，則，因?yàn)?，所以在中，由正弦定理知：，，由，因?yàn)?，所以，，由，，所以在中，由正弦定理知：，由，在中，，所以，所以，又因?yàn)?，即，所以，即，所以，，所以，?9．（23-24高一下·廣東茂名·期末）如圖所示，在中，，AD平分，且.(1)若，求BC的長(zhǎng)度；(2)求k的取值范圍；(3)若，求k為何值時(shí)，BC最短.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）在和中分別利用正弦定理結(jié)合AD平分，可得，從而可求出，進(jìn)而可求出；（2）由結(jié)合三角形的面積公式及已知條件化簡(jiǎn)可得，從而可求出k的取值范圍；（3）由，結(jié)合余弦定理得，令，則當(dāng)最小值時(shí)，最短，化簡(jiǎn)后結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】（1）在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，因?yàn)锳D平分，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，，所以，得，所以；?）因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以；?）由余弦定理得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，令，則，所以（其中），所以當(dāng)時(shí)，取得最小值4，即當(dāng)時(shí)，取得最小值4，此時(shí)，所以，因?yàn)椋?，所以，由?）知，所以，即當(dāng)時(shí)，最短.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查三角形的面積公式和三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，第（3）問解題的關(guān)鍵是余弦定理結(jié)合已知條件表示出，換元后結(jié)合三角函數(shù)恒等變換公式可求得答案，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于難題.10．（23-24高一下·廣東深圳·期中）如圖，在中，已知，，，邊上的中點(diǎn)為，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），，相交于點(diǎn)．(1)求的正弦值；(2)當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，求的余弦值．(3)當(dāng)取得最小值時(shí)，設(shè)，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）解法1、先利用余弦定理求得BC，再根據(jù)與互補(bǔ)，由，求得，然后在中，利用余弦定理求解；解法2、由，求得，再利用的面積為面積的求解；解法3：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，以過點(diǎn)的垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式求解；（2）方法1、在中，利用余弦定理，求得，再由為重心，得到，，然后在中，利用余弦定理求解；解法2：由，求得，再利用向量的夾角公式求解；解法3：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，以過點(diǎn)的垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，再利用向量的夾角公式求解；（3）設(shè)，由，則即時(shí)，取最小值，得到，再由，，得到，由A，，三點(diǎn)共線求解；【詳解】（1）解法1、由余弦定理得，即，所以，所以，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，因?yàn)榕c互補(bǔ)，所以，解得，在中，由余弦定理，得，因?yàn)?，所以．解?、由題意可得，，由為邊上的中線，則，兩邊同時(shí)平方得，，故，因?yàn)闉檫呏悬c(diǎn)，則的面積為面積的，所以，即，化簡(jiǎn)得，．解法3：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，以過點(diǎn)的垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系則，，，所以，，所以，因?yàn)椋裕?））解：方法1、在中，由余弦定理，得，所以，由，分別為邊，上的中線可知為重心，可得，，在中，由余弦定理，得，又由，所以．解法2：因?yàn)闉檫吷系闹芯€，所以，，，即．所以．解法3：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，以過點(diǎn)的垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系：則，，，，所以，．所以．（3）設(shè)，，當(dāng)即時(shí)，取最小值，，，，，，，三點(diǎn)共線，.1．（北京·高考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，且，.（1）求；（2）求的長(zhǎng).【答案】（1）；（2）7.【詳解】試題分析：（I）在中，利用外角的性質(zhì)，得即可計(jì)算結(jié)果；（II）由正弦定理，計(jì)算得，在中，由余