專題08 圓的對稱性壓軸題六種模型全攻略（原卷版）

專題08圓的對稱性壓軸題六種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一利用垂徑定理求值】 1【考點二利用垂徑定理求平行弦問題】 4【考點三利用垂徑定理求同心圓問題】 7【考點四利用垂徑定理求解其他問題】 10【考點五垂徑定理的推論】 13【考點六垂徑定理的實際應(yīng)用】 15【過關(guān)檢測】 18【典型例題】【考點一利用垂徑定理求值】例題：（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，弦，垂足為，連接，若，，則弦的長為．

【變式訓練】1．（2023秋·廣東惠州·九年級?？茧A段練習）已知的半徑為，弦的長為，則圓心到的距離為．2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問：徑幾何？”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在的數(shù)學語言就是：如圖，是的直徑，弦，垂足為E，寸，寸．則直徑的長為寸．

【考點二利用垂徑定理求平行弦問題】例題：（2023秋·天津和平·九年級?？计谀┌霃綖?，弦，，，則與間的距離為（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【變式訓練】1．（2023·全國·九年級專題練習）在半徑為10的中，弦，弦，且，則與之間的距離是．2．（2023春·甘肅武威·九年級校聯(lián)考階段練習）的半徑為13cm，AB、CD是的兩條弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之間的距離．【考點三利用垂徑定理求同心圓問題】例題：如圖，已知的兩條弦、分別與的同心圓交于點E、F、X、Y，，，，則的長度為．

【變式訓練】1．如圖，一人口的弧形臺階，從上往下看是一組同心圓被一條直線所截得的一組圓弧．已知每個臺階寬度為32cm（即相鄰兩弧半徑相差32cm），測得AB=200cm，AC=BD=40cm，則弧AB所在的圓的半徑為cm2．如圖，在兩個同心圓中，大圓的弦與小圓相交于C，D兩點．(1)求證：．(2)若，大圓的半徑，求小圓的半徑r．【考點四利用垂徑定理求解其他問題】例題：如圖所示，一圓弧過方格的格點，試在方格中建立平面直角坐標系，使點的坐標為，則該圓弧所在圓的圓心坐標是（）

A． B． C． D．【變式訓練】1．如圖是一破損了的圓形零件的設(shè)計圖，請你根據(jù)所學的有關(guān)知識將設(shè)計圖恢復(fù)完整．

2．已知：如圖，是的直徑，點C在上，請用無刻度直尺畫圖（保留作圖痕跡，不寫畫法）．

(1)如圖①，若M是半圓的中點，且與C點在同側(cè)，畫出的平分線．并說明理由；(2)如圖②，若，畫出的平分線．【考點五垂徑定理的推論】例題：（2023·新疆喀什·統(tǒng)考二模）某公路隧道的截面為圓弧形，設(shè)圓弧所在圓的圓心為O，測得其同一水平線上A、B兩點之間的距離為12米，拱高為4米，則的半徑為米．【變式訓練】1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖是一位同學從照片上前切下來的海上日出時的畫面，“圖上”太陽與海平線交于A，B兩點，他測得“圖上”圓的半徑為10厘米，厘米．則“圖上”太陽從目前所處位置到完全跳出海平面，升起厘米．2．（2023春·江蘇無錫·九年級校聯(lián)考期末）《九章算術(shù)》中卷九勾股篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺．問徑幾何？轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言：如圖，為的半徑，弦，垂足為，寸，尺尺寸，則此圓材的直徑長是寸．【考點六垂徑定理的實際應(yīng)用】例題：（2023春·安徽亳州·九年級專題練習）如圖，的直徑與弦交于點E，，則下列說法錯誤的是（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023春·九年級單元測試）下列說法正確的是（）①平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦②平分弦的直徑平分弦所對的弧③垂直于弦的直線必過圓心④垂直于弦的直徑平分弦所對的弧A．②③ B．①③ C．②④ D．①④2．已知一座圓弧形拱橋，圓心為點O，橋下水面寬度為，過O作于點D，．

(1)求該圓弧形拱橋的半徑；(2)現(xiàn)有一艘寬，船艙頂部高出水面的貨船要經(jīng)過這座拱橋（船艙截面為長方形），請問，該貨船能順利通過嗎？【過關(guān)檢測】一、單選題1．如圖，的半徑為5，于點C，若，則弦的長為（

）

A．2 B．4 C．6 D．82．為了測量一個鐵球的直徑，將該鐵球放入工件槽（相鄰兩邊互相垂直）內(nèi)，測得的有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示（單位：），則該鐵球的直徑為（

）A． B． C． D．3．已知的半徑，弦、的長分別是、，則的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或4．如圖，是的弦，半徑于點，連接并延長，交于點，連接，．若，，則的面積為（）A． B． C． D．5．已知圓中兩條平行的弦之間距離為，其中一弦長為，若半徑為，則另一弦長為（

）A．或 B．或 C．或 D．或二、填空題6．如圖，已知的弦，半徑于，，則的半徑為．

7．如圖，將半徑為4的折疊，弧恰好經(jīng)過與垂直的半徑的中點，則折痕的長．

8．《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶?、深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用幾何語言表達為：如圖，是的直徑，弦于點E，寸，寸，則直徑長為寸．9．如圖，在中，弦，點C在上移動，連接，過點C作交于點D、E，則的最大值為．10．圖1是車載手機支架實物圖，圖2是其正面示意圖，其中，，為伸縮桿，其中，支架最大寬度，支架的高為，則外接圓O的半徑為，當一部寬為的手機置于支架中，如圖3，此時手機夾臂收縮，手機托下移，手機伸縮桿的移動距離相同（），形成的外接圓的圓心為點P，若，則為cm．

三、解答題11．如圖，割線與交于點A，B，割線過圓心O，且，若弦，的半徑，求的長．

12．如圖，的直徑垂直于弦，垂足為E，，．

(1)求的半徑長；(2)連接，作于點F，求的長．13．將圖中破損的輪子復(fù)原，已知點，，在弧上．(1)尺規(guī)作圖：作出該輪子的圓心（不寫作法，用黑色筆將作圖痕跡加黑）；(2)連接，若點是弧的中點，，點到的距離是，求輪子的半徑．14．某地有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度為，拱頂高出水面（即），，

(1)求出該圓弧形拱橋所在圓的半徑；(2)現(xiàn)有一艘寬，船艙高出水面的貨船要經(jīng)過這里，此貨船能順利通過這座橋嗎？15．在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦交小圓于C、D兩點．

(1)與相等嗎？為什么？(2)若大圓、小圓的半徑分別為13和7，，求的長．16．我們在學習了《浙教版數(shù)學九年級上冊》探究活動，“已知：如圖為一座拱橋的示意圖，當水面寬為時，橋洞頂部離水面已知橋洞的拱形是拋物線”，現(xiàn)以水平方向為軸，若小明同學以為頂點求出了函數(shù)表達式是；探究一：(1)若小紅