2024年福建省初中學業(yè)水平考試·數(shù)學

數(shù)學試卷第頁（共頁）2024年福建省初中學業(yè)水平考試·數(shù)學全卷總分:150分考試時間:120分鐘一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1.下列實數(shù)中，無理數(shù)是()A.－3

B.0

C.23 D.1.D2.據(jù)《人民日報》3月12日電，世界知識產(chǎn)權組織近日公布數(shù)據(jù)顯示，2023年，全球PCT(《專利合作條約》)國際專利申請總量為27.26萬件，中國申請量為69610件，是申請量最大的來源國．數(shù)據(jù)69610用科學記數(shù)法表示為()A.

6961×10

B.

696.1×102C.

6.961×104 D.

0.6961×1052.C【解析】69610＝6.961×104.3.如圖是由長方體和圓柱組成的幾何體，其俯視圖是()3.C4.在同一平面內(nèi)，將直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如圖方式擺放，若AB∥CD，則∠1的大小為()A.

30° B.

45° C.

60° D.

75°4.A【解析】由題可得點B處三角尺對應的角為60°，∴∠ABD＝180°－60°＝120°，∵AB∥CD，∴∠CDE＋∠1＝∠ABD＝120°，∵CD⊥DE，∴∠CDE＝90°，∴∠1＝120°－90°＝30°.5.下列運算正確的是()A.a3·a3＝a9 B.a4÷a2＝a2C.

(a3)2＝a5 D.

2a2－a2＝25.A【解析】由題可得點B處三角尺對應的角為60°，∴∠ABD＝180°－60°＝120°，∵AB∥CD，∴∠CDE＋∠1＝∠ABD＝120°，∵CD⊥DE，∴∠CDE＝90°，∴∠1＝120°－90°＝30°.6.哥德巴赫提出“每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個質(zhì)數(shù)之和”的猜想，我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．在質(zhì)數(shù)2，3，5中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和是偶數(shù)的概率是()A.14 B.C.12 D.6.B【解析】由題可得，所有情況用列表法表示如下：2352－5735－8578－由上表可得，所有等可能的結果有6種，兩數(shù)之和為偶數(shù)的結果有2種，∴所求概率是26＝17.如圖，已知點A，B在⊙O上，∠AOB＝72°，直線MN與⊙O相切，切點為C，且C為A︵的中點，則∠ACM等于(A.

18° B.

30° C.

36° D.

72°7.A【解析】∵∠AOB＝72°，C為A︵的中點，∴∠AOC＝∠BOC＝12∠AOB＝36°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝180°－∠AOC2＝72°，∵直線MN與⊙O相切，切點為C，OC為⊙O的半徑，∴OC⊥MN，∴∠OCM＝90°，∴∠ACM＝90°8.今年我國國民經(jīng)濟開局良好，市場銷售穩(wěn)定增長，社會消費增長較快，第一季度社會消費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長4.7%，求去年第一季度社會消費品零售總額．若將去年第一季度社會消費品零售總額設為x億元，則符合題意的方程是()A.(1＋4.7%)x＝120327

B.(1－4.7%)x＝120327C.x1＋D.x1－8.A9.小明用兩個全等的等腰三角形設計了一個“蝴蝶”的平面圖案，如圖．其中△OAB與△ODC都是等腰三角形，且它們關于直線l對稱，點E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD

的中點，OE⊥OF.下列推斷錯誤的是()A.OB⊥ODB.∠BOC＝∠AOBC.OE＝OFD.∠BOC＋∠AOD＝180°9.B【解析】∵△OAB與△ODC是兩個全等的等腰三角形，∴∠AOB＝∠DOC，∵點E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，∴OE＝OF，∠AOE＝∠BOE＝∠COF＝∠DOF，∴∠BOE＋∠COF＝∠COD，∴∠BOE＋∠BOC＋∠COF＝∠BOC＋∠COD，又∵OE⊥OF，∴OB⊥OD，A，C正確；由A可得，∠BOC＋∠COD＝90°，∴∠BOC＋∠AOD＝2(∠BOC＋∠COD)＝180°，D正確；由已有條件無法證明∠BOC＝∠AOB，B錯誤．10.已知二次函數(shù)y＝x2－2ax＋a(a≠0)的圖象經(jīng)過A(a2，y1)，B(3a，y2)兩點，則下列判斷正確的是(A.

可以找到一個實數(shù)a，使得y1>aB.

無論實數(shù)a取什么值，都有y1>aC.

可以找到一個實數(shù)a，使得y2<0

D.

無論實數(shù)a取什么值，都有y2<010.C【解析】由題可得，y1＝(a2)2－2a·a2＋a＝－3a24＋a，∵a≠0，∴a2>0，∴－3a24<0，∴根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，－3a24＋a<a，∴y1<a，即對于任意的實數(shù)a，始終都有y1<a，A，B錯誤；y2＝(3a)2－2a·3a＋a＝3a2＋a＝3(a＋16)2－112，當a＝－16時，y2＝－112<0，C正確；當a＝16時，y2＝3×(1二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．11.因式分解：x2＋x＝

．11.x(x＋1)

12.不等式3x－2<1的解集是

．12.x<1【解析】由題得，3x<3，解得x<1.13.學校為了解學生的安全防范意識，隨機抽取了12名學生進行相關知識測試，將測試成績整理得到如圖所示的條形統(tǒng)計圖，則這12名學生測試成績的中位數(shù)是

．(單位：分)將抽取12名學生的測試成績按從小到大排列，排在中間的兩個成績分別為90，90，即其中位數(shù)是90＋9014.如圖，正方形ABCD的面積為4，點E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，AD的中點，則四邊形EFGH的面積為

．14.2【解析】∵正方形ABCD的面積為4，∴其邊長為2，即AB＝BC＝2，∵點E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點，∴BE＝BF＝1，∴S△BEF＝12BE·BF＝12，同理S△AEH＝S△DGH＝S△CFG＝12，∴S四邊形EFGH＝S正方形ABCD－4S△15.如圖，在平面直角坐標系xOy中，反比例函數(shù)y＝kx的圖象與⊙O交于A，B兩點，且點A，B都在第一象限．若A(1，2)，則點B的坐標為

15.(2，1)

【解析】∵反比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過A(1，2)，∴根據(jù)對稱性可得點B的坐標為(2，1)16.無動力帆船是借助風力前行的．下圖是帆船借助風力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風向所在直線的夾角∠PDA為70°，帆與航行方向的夾角∠PDQ為30°，風對帆的作用力F為400N．根據(jù)物理知識，F(xiàn)可以分解為兩個力F1與F2，其中與帆平行的力F1不起作用，與帆垂直的力F2又可以分解為兩個力f1與f2，f1與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2與航行方向一致，是真正推動帆船前行的動力．在物理學上常用線段的長度表示力的大小，據(jù)此，建立數(shù)學模型：F＝AD＝400，則f2＝CD＝

.

(單位：N)(參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77)16.128【解析】∵∠PDA＝70°，∠PDQ＝30°，∴∠QDA＝70°－30°＝40°，∵帆平行于力F1，∴∠DAB＝∠QDA＝40°，∴F2＝BD＝AD·sin∠DAB≈400×0.64＝256，∵帆垂直于力F2，∴∠BDC＝90°－30°＝60°，∴f2＝CD＝BD·cos∠BDC＝256×12＝三、解答題：本題共9小題，共86分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算：(－1)0＋|－5|－4.17.解：原式＝1＋5－2＝418.如圖，在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC和CD上，且∠AEB＝∠AFD.求證：BE＝DF.18.證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D.在△ABE和△ADF中，∠∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴BE＝DF.19.解方程：3x＋2＋1＝19.解：方程兩邊都乘(x＋2)(x－2)，得3(x－2)＋(x＋2)(x－2)＝x(x＋2)．解得x＝10.經(jīng)檢驗，x＝10是原方程的根．20.已知A，B兩地都只有甲、乙兩類普通高中學校．在一次普通高中學業(yè)水平考試中，A地甲類學校有考生3000人，數(shù)學平均分為90分；乙類學校有考生2000人，數(shù)學平均分為80分．(1)求A地考生的數(shù)學平均分；(2)若B地甲類學校數(shù)學平均分為94分，乙類學校數(shù)學平均分為82分，據(jù)此，能否判斷B地考生數(shù)學平均分一定比A地考生數(shù)學平均分高？若能，請給予證明；若不能，請舉例說明．20.解：(1)由題意，得A地考生的數(shù)學平均分為15000(90×3000＋80×2000)＝86(分)(2)不能．舉例如下：如B地甲類學校有考生1000人，乙類學校有考生3000人，則B地考生的數(shù)學平均分為14000(94×1000＋82×3000)＝85(分)因為85<86，所以不能判斷B地考生數(shù)學平均分一定比A地考生數(shù)學平均分高．(答案不唯一，合理即可)21.如圖，已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其中A(－2，0)，C(0，－2)．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)若P是二次函數(shù)圖象上的一點，且點P在第二象限，線段PC交x軸于點D，△PDB的面積是△CDB的面積的2倍，求點P的坐標．21.解：(1)將A(－2，0)，C(0，－2)代入y＝x2＋bx＋c中，得4－2b∴二次函數(shù)的表達式為y＝x2＋x－2；(2)設P(m，n)，∵點P在第二象限，∴m＜0，n＞0.依題意，得S△PDBS△CDB＝2，即1由已知，得CO＝2，∴n＝2CO＝4.∵P是二次函數(shù)圖象上的一點，∴m2＋m－2＝n，即m2＋m－2＝4，解得m1＝－3，m2＝2(舍去)，∴點P的坐標為(－3，4)．22.如圖，已知直線l1∥l2.(1)在l1，l2所在的平面內(nèi)求作直線l，使得l∥l1∥l2,

且l與l1間的距離恰好等于l與l2間的距離；(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)(2)在(1)的條件下，若l1與l2間的距離為2，點A，B，C分別在l，l1，l2上，且△ABC為等腰直角三角形，求△ABC的面積．22.解：(1)如解圖①，直線l就是所求作的直線；解圖①(2)①當∠BAC＝90°，AB＝AC時，如解圖②，∵l∥l1∥l2，直線l1與l2間的距離為2，且l與l1間的距離等于l與l2間的距離，根據(jù)圖形的對稱性可知：BC＝2，∴AB＝AC＝2，∴S△ABC＝12AB·AC＝1②當∠ABC＝90°，BA＝BC時

，如解圖③，分別過點A，C作直線l1的垂線，垂足分別為M，N，∴∠AMB＝∠BNC＝90°.∵l∥l1∥l2，直線l1與l2間的距離為2，且l與l1間的距離等于l與l2間的距離，∴CN＝2，AM＝1.∵∠MAB＋∠ABM＝90°，∠NBC＋∠ABM＝90°，∴∠MAB＝∠NBC，∴△AMB≌△BNC(AAS)，∴BM＝CN＝2.在Rt△ABM中，由勾股定理得AB2＝AM2＋BM2，∴AB＝BC＝5.∴S△ABC＝12AB·BC＝5③當∠ACB＝90°，CA＝CB時，如解圖④，同理可得，S△ABC＝52綜上所述，△ABC的面積為1或5223.已知實數(shù)a，b，c，m，n滿足3m＋n＝ba，mn＝c(1)求證：b2－12ac為非負數(shù)；(2)若a，b，c均為奇數(shù)，m，n是否可以都為整數(shù)？說明你的理由．23.(1)證明：∵3m＋n＝ba，mn＝ca，∴b＝a(3m＋n)，c＝則b2－12ac＝[a(3m＋n)]2－12a2mn＝a2(9m2＋6mn＋n2)－12a2mn＝a2(9m2－6mn＋n2)＝a2(3m－n)2.∵a，m，n是實數(shù)，∴a2(3m－n)2≥0，∴b2－12ac為非負數(shù)；(一題多解)

設3m＋n＝ba①，mn＝ca給等式②兩邊同時乘3，得3mn＝3ca由①③可得，3m，n為方程ax2－bx＋3c＝0的兩個根，∵方程ax2－bx＋3c＝0有兩個根，∴(－b)2－4a·3c≥0，∴b2－12ac≥0，即b2－12ac為非負數(shù)；(2)解：m，n不可能都為整數(shù)．理由如下：若m，n都為整數(shù)，其可能情況有：①m，n都為奇數(shù)；②m，n為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)．①當m，n都為奇數(shù)時，則3m＋n必為偶數(shù)．又∵3m＋n＝ba，∴b＝a(3m＋n)∵a為奇數(shù)，∴a(3m＋n)必為偶數(shù)，這與b為奇數(shù)矛盾；②當m，n為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)時，則mn必為偶數(shù)．又∵mn＝ca，∴c＝amn∵a為奇數(shù)，∴amn必為偶數(shù)，這與c為奇數(shù)矛盾．綜上所述，m，n不可能都為整數(shù)．24.在手工制作課上，老師提供了如圖①所示的矩形卡紙ABCD,

要求大家利用它制作一個底面為正方形的禮品盒．小明按照圖②的方式裁剪(其中AE＝FB)，恰好得到紙盒的展開圖，并利用該展開圖折成一個禮品盒，如圖③所示．(1)直接寫出ADAB(2)如果要求折成的禮品盒的兩個相對的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖④所示，那么應選擇的紙盒展開圖圖樣是()(3)今有三種不同型號的矩形卡紙，其規(guī)格、單價如下表所示：卡紙型號型號Ⅰ型號Ⅱ型號Ⅲ規(guī)格(單位：cm)30×4020×8080×80單價(單位：元)3520現(xiàn)以小明設計的紙盒展開圖(圖②)為基本樣式，適當調(diào)整AE，EF的比例，制作棱長為10cm的正方體禮品盒．如果要制作27個這樣的禮品盒，請你合理選擇上述卡紙(包括卡紙的型號及相應型號卡紙的張數(shù))，并在卡紙上畫出設計示意圖(包括一張卡紙可制作幾個禮品盒，其展開圖在卡紙上的分布情況)，給出所用卡紙的總費用．(要求：①同一型號的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設計方案；②沒有用到的卡紙，不要在該型號的卡紙上作任何設計；③所用卡紙的數(shù)量及總費用直接填在答題卡的表格上；④本題將綜合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費用”給分，總費用最低的才能得滿分；⑤試卷上的卡紙僅供作草稿用)24.解：(1)2；(2)C；(3)如解圖所示，卡紙型號型號Ⅰ型號Ⅱ型號Ⅲ所需卡紙的數(shù)量(單位：張)132所用卡紙總費用(單位：元)58解圖25.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，AE⊥OC,

垂足為E，BE的延長線交A︵于