2024年山西省初中學(xué)業(yè)水平考試·數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)試卷第頁（共頁）2024年山西省初中學(xué)業(yè)水平考試·數(shù)學(xué)全卷總分:120分考試時(shí)間:120分鐘第Ⅰ卷選擇題(共30分)一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求)1.中國空間站位于距離地面約400km的太空環(huán)境中．由于沒有大氣層保護(hù)，在太陽光線直射下，空間站表面溫度可高于零上150℃，其背陽面溫度可低于零下100℃.若零上150℃記作＋150℃，則零下100℃記作()A.

＋100

℃ B.

－100

℃ C.

＋50

℃ D.

－50

℃1.B2.1949年，伴隨著新中國的誕生，中國科學(xué)院(簡(jiǎn)稱“中科院”)成立．下列是中科院部分研究所的圖標(biāo)，其文字上方的圖案是中心對(duì)稱圖形的是()2.A3.下列運(yùn)算正確的是()A.

2m＋n＝2mn B.m6÷m2＝m3C.(－mn)2＝－m2n2 D.m2·m3＝m53.D4.斗拱是中國古典建筑上的重要部件．如圖是一種斗形構(gòu)件“三才升”的示意圖及其主視圖，則它的左視圖為()4.C5.一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力F1的方向與斜面垂直，摩擦力F2的方向與斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，則摩擦力F2與重力G方向的夾角β的度數(shù)為()A.

155° B.

125° C.

115° D.

65°5.C【解析】如解圖，作力F1的反向延長(zhǎng)線，由題意得它與重力G形成的夾角為α，且與力F2所在直線垂直，即β＝90°＋α＝90°＋25°＝115°.解圖6.已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)都在正比例函數(shù)y＝3x的圖象上，若x1＜x2，則y1與y2的大小關(guān)系是()A.y＞y B.y＜y C.y＝y(tǒng) D.y≥y6.B【解析】∵在正比例函數(shù)y＝3x中，k＝3＞0，∴y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x1＜x2時(shí)，y1＜y2.7.如圖，已知△ABC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，與AC相切于點(diǎn)A，連接OD.若∠AOD＝80°，則∠C的度數(shù)為()A.

30° B.

40° C.

45° D.

50°7.D【解析】∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∴∠AOD＝2∠B＝80°，∴∠B＝40°.∵⊙O與AC相切于點(diǎn)A，且AB為直徑，∴AB⊥AC，即∠A＝90°，∴∠C＝90°－∠B＝50°.8.一個(gè)不透明的盒子里裝有一個(gè)紅球、一個(gè)白球和一個(gè)綠球，這些球除顏色外都相同．從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后不放回，再從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，則兩次摸到的球恰好有一個(gè)紅球的概率是()A.13 B.C.49 D.8.B【解析】根據(jù)題意，列表如下：紅白綠紅—(紅，白)(紅，綠)白(白，紅)—(白，綠)綠(綠，紅)(綠，白)—共有6種等可能的結(jié)果，其中兩次摸到的球恰好有一個(gè)紅球的結(jié)果有4種，∴P(兩次摸到的球恰好有一個(gè)紅球)＝46＝29.生物學(xué)研究表明，某種蛇在一定生長(zhǎng)階段，其體長(zhǎng)y(cm)是尾長(zhǎng)x(cm)的一次函數(shù)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示，則y與x之間的關(guān)系式為()尾長(zhǎng)x(cm)6810體長(zhǎng)y(cm)45.560.575.5A.y＝7.5x＋0.5 B.y＝7.5x－0.5 C.y＝15x D.y＝15x＋45.59.A【解析】∵體長(zhǎng)y(cm)是尾長(zhǎng)x(cm)的一次函數(shù)，∴設(shè)y＝kx＋b(k≠0).將(6，45.5)和(8，60.5)代入，得6k＋b＝45.58k＋b＝60.510.在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，EG，F(xiàn)H交于點(diǎn)O.若四邊形ABCD的對(duì)角線相等，則線段EG與FH一定滿足的關(guān)系為()A.

互相垂直平分 B.

互相平分且相等C.

互相垂直且相等 D.

互相垂直平分且相等10.A【解析】∵在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，如解圖，連接EF，F(xiàn)G，GH，EH，BD，AC，∴EF＝12AC，F(xiàn)G＝12BD，GH＝12AC，EH＝12BD.∵四邊形ABCD的對(duì)角線相等，即AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝EH，∴四邊形EFGH為菱形．∴解圖第Ⅱ卷非選擇題(共90分)二、填空題(本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分)11.比較大小：6_______2(填“＞”“＜”或“＝”).11.＞【解析】∵6>4，4＝2，∴6>2.12.黃金分割是漢字結(jié)構(gòu)最基本的規(guī)律．借助如圖的正方形習(xí)字格書寫的漢字“晉”端莊穩(wěn)重、舒展美觀．已知一條分割線的端點(diǎn)A，B分別在習(xí)字格的邊MN，PQ上，且AB∥NP，“晉”字的筆畫“”的位置在AB的黃金分割點(diǎn)C處，且BCAB＝5－12.若NP＝2cm，則BC的長(zhǎng)為12.(5－1)【解析】由已知得AB＝NP＝2cm，∵BCAB＝5－12，∴BC13.機(jī)器狗是一種模擬真實(shí)犬只形態(tài)和部分行為的機(jī)器裝置，其最快移動(dòng)速度v(m/s)是載重后總質(zhì)量m(kg)的反比例函數(shù)．已知一款機(jī)器狗載重后總質(zhì)量m＝60kg時(shí)，它的最快移動(dòng)速度v＝6m/s；當(dāng)其載重后總質(zhì)量m＝90kg時(shí)，它的最快移動(dòng)速度v＝________m/s.13.4【解析】∵最快移動(dòng)速度v(m/s)是載重后總質(zhì)量m(kg)的反比例函數(shù)，∴設(shè)v＝km(k≠0).∵當(dāng)一款機(jī)器狗載重后總質(zhì)量為60kg時(shí)，它的最快移動(dòng)速度為6m/s，∴k＝60×6＝360，∴當(dāng)載重后總質(zhì)量為90kg時(shí)，v＝3609014.如圖①是小區(qū)圍墻上的花窗，其形狀是扇形的一部分，圖②是其幾何示意圖(陰影部分為花窗).通過測(cè)量得到扇形AOB的圓心角為90°，OA＝1m，點(diǎn)C，D分別為OA，OB的中點(diǎn)，則花窗的面積為__________m2.14.(π4－1【解析】∵點(diǎn)C，D分別為OA，OB的中點(diǎn)，OA＝1m，∴OC＝12OA＝12m，OD＝12OB＝12m.∴S陰影＝S扇形AOB－S△OCD＝90π·OA2360－12·OC·15.如圖，在?ABCD中，AC為對(duì)角線，AE⊥BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是AE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠ACF＝∠CAF，線段AB，CF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G.若AB＝5，AD＝4，tan

∠ABC＝2，則BG的長(zhǎng)為________．15.20【解析】∵AE⊥BC于點(diǎn)E，∴∠AEB＝90°，∵tan

∠ABC＝2，∴設(shè)AE＝2x，BE＝x，在Rt△ABE中，AB＝5，由勾股定理，得(2x)2＋x2＝(5)2，解得x＝1(負(fù)值已舍去)，∴AE＝2，BE＝1，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD＝4，∴CE＝BC－BE＝4－1＝3，設(shè)EF＝y(tǒng)，∵∠FAC＝∠FCA，∴CF＝AF＝AE＋EF＝2＋y，在Rt△EFC中，由勾股定理，得32＋y2＝(2＋y)2，解得y＝54，如解圖①，過點(diǎn)G作GH⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則∠GHB＝∠FEC＝90°，∵∠ABE＝∠GBH，∴tan

∠ABE＝tan

∠GBH＝HGHB＝2，∴設(shè)HG＝2m，則HB＝m，BG＝5m，又∵∠HCG＝∠ECF，∴△CEF∽△CHG，∴CECH＝EFHG，即34＋m＝（一題多解）如解圖②，過點(diǎn)F作FM∥AB交BC于點(diǎn)M.∵tan

∠ABC＝2，∴設(shè)AE＝2x，BE＝x，在Rt△ABE中，AB＝5，由勾股定理，得(2x)2＋x2＝(5)2，解得x＝1(負(fù)值已舍去)，∴AE＝2，BE＝1，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD＝4，∴CE＝BC－BE＝4－1＝3，設(shè)EF＝y(tǒng)，∵∠FAC＝∠FCA，∴CF＝AF＝AE＋EF＝2＋y，在Rt△CEF中，由勾股定理，得32＋y2＝(2＋y)2，解得y＝54，∴CF＝2＋54＝134，∵FM∥AB，∴EFAE＝FMAB＝EMBE，即542＝FM5＝EM1，解得FM＝558，EM＝58，∴CM＝CE－EM＝3－58＝198，（一題多解）∵tan

∠ABC＝2，∴設(shè)AE＝2x，BE＝x，在Rt△ABE中，AB＝5，由勾股定理，得(2x)2＋x2＝(5)2，解得x＝1(負(fù)值已舍去)，∴AE＝2，BE＝1，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD＝4，∴CE＝BC－BE＝4－1＝3，設(shè)EF＝y(tǒng)，∵∠FAC＝∠FCA，∴CF＝AF＝AE＋EF＝2＋y，在Rt△CEF中，由勾股定理，得32＋y2＝(2＋y)2，解得y＝54，∴CF＝2＋54＝134，如解圖③，過點(diǎn)B作BN∥CG交AF于點(diǎn)N，得∠EBN＝∠ECF，∵∠BEN＝∠CEF，∴△EBN∽△ECF，∴BNCF＝EBEC＝13，∴BN＝1312，在Rt△BEN中，由勾股定理，得EN＝512，∴AN＝AE－EN＝2－512＝1912，NF＝EF＋EN＝54＋512＝53，∵BN∥FG，∴三、解答題(本大題共8個(gè)小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)16.（1）計(jì)算：(－6)×13－(12)－2＋[(－3)＋(－（2）化簡(jiǎn)：（16.解：（1）原式＝－2－4＋(－4)＝－10；（2）原式=x＋1＋=2x（x=217.為加強(qiáng)校園消防安全，學(xué)校計(jì)劃購買某種型號(hào)的水基滅火器和干粉滅火器共50個(gè)．其中水基滅火器的單價(jià)為540元/個(gè)，干粉滅火器的單價(jià)為380元/個(gè)．若學(xué)校購買這兩種滅火器的總價(jià)不超過21

000元，則最多可購買這種型號(hào)的水基滅火器多少個(gè)？17.解：設(shè)可購買這種型號(hào)的水基滅火器x個(gè)，根據(jù)題意，得540x＋380(50－x)≤21

000，解得x≤12.5，∵x為整數(shù)，且x取最大值，∴x＝12.答：最多可購買這種型號(hào)的水基滅火器12個(gè)．18.為激發(fā)青少年崇尚科學(xué)、探索未知的熱情，學(xué)校開展“科學(xué)小博士”知識(shí)競(jìng)賽．各班以小組為單位組織初賽，規(guī)定滿分為10分，9分及以上為優(yōu)秀．?dāng)?shù)據(jù)整理：小夏將本班甲、乙兩組同學(xué)(每組8人)初賽的成績(jī)整理成如下的統(tǒng)計(jì)圖．?dāng)?shù)據(jù)分析：小夏對(duì)這兩個(gè)小組的成績(jī)進(jìn)行了如下分析：平均數(shù)(分)中位數(shù)(分)眾數(shù)(分)方差優(yōu)秀率甲組7.625a74.4837.5%乙組7.6257b0.73c請(qǐng)認(rèn)真閱讀上述信息，回答下列問題：(1)填空：a＝________，b＝________，c＝________；(2)小祺認(rèn)為甲、乙兩組成績(jī)的平均數(shù)相等，因此兩個(gè)組成績(jī)一樣好．小夏認(rèn)為小祺的觀點(diǎn)比較片面，請(qǐng)結(jié)合上表中的信息幫小夏說明理由(寫出兩條即可).18.解：(1)7.5，7，25%；【解法提示】將甲組同學(xué)的成績(jī)按照從小到大的順序排列，∵一共是8個(gè)數(shù)據(jù)，∴中位數(shù)是第4個(gè)和第5個(gè)的平均數(shù)，即a＝7＋82＝7.5；由統(tǒng)計(jì)圖，得乙組的成績(jī)出現(xiàn)次數(shù)最多的是7分，∴b＝7；∵9分及以上為優(yōu)秀，乙組中有2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)為9分，∴優(yōu)秀率為2(2)①甲組成績(jī)的優(yōu)秀率為37.5%，高于乙組成績(jī)的優(yōu)秀率25%，即從優(yōu)秀率的角度看，甲組成績(jī)比乙組好；②雖然甲、乙兩組成績(jī)的平均數(shù)相等，但甲組成績(jī)的方差為4.48，高于乙組成績(jī)的方差0.73，即從方差的角度看，乙組成績(jī)更整齊；③甲組成績(jī)的中位數(shù)為7.5分，高于乙組成績(jī)的中位數(shù)7分，即從中位數(shù)的角度看，甲組成績(jī)比乙組好等，因此不能僅從平均數(shù)的角度說明兩組成績(jī)一樣好，可見小祺的觀點(diǎn)比較片面．(答案不唯一，合理即可)19.當(dāng)下電子產(chǎn)品更新?lián)Q代速度加快，廢舊智能手機(jī)數(shù)量不斷增加．科學(xué)處理廢舊智能手機(jī)，既可減少環(huán)境污染，還可回收其中的可利用資源．據(jù)研究，從每噸廢舊智能手機(jī)中能提煉出的白銀比黃金多760克．已知從2.5噸廢舊智能手機(jī)中提煉出的黃金，與從0.6噸廢舊智能手機(jī)中提煉出的白銀克數(shù)相等．求從每噸廢舊智能手機(jī)中能提煉出黃金與白銀各多少克．19.解：設(shè)從每噸廢舊智能手機(jī)中能提煉出黃金x克，白銀y克，根據(jù)題意，得y＝解得x答：從每噸廢舊智能手機(jī)中能提煉出黃金240克，白銀1000克．20.研學(xué)實(shí)踐：為重溫解放軍東渡黃河“紅色記憶”，學(xué)校組織研學(xué)活動(dòng)．同學(xué)們來到毛主席東渡黃河紀(jì)念碑所在地，在了解相關(guān)歷史背景后，利用航模搭載的3D掃描儀采集紀(jì)念碑的相關(guān)數(shù)據(jù)．?dāng)?shù)據(jù)采集：如下圖，點(diǎn)A是紀(jì)念碑頂部一點(diǎn)，AB的長(zhǎng)表示點(diǎn)A到水平地面的距離．航模從紀(jì)念碑前水平地面的點(diǎn)M處豎直上升，飛行至距離地面20米的點(diǎn)C處時(shí)，測(cè)得點(diǎn)A的仰角∠ACD＝18.4°；然后沿CN方向繼續(xù)飛行，飛行方向與水平線的夾角∠NCD＝37°，當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)A正上方的點(diǎn)E處時(shí)，測(cè)得AE＝9米；……數(shù)據(jù)應(yīng)用：已知圖中各點(diǎn)均在同一豎直平面內(nèi)，E，A，B三點(diǎn)在同一直線上．請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，計(jì)算紀(jì)念碑頂部點(diǎn)A到地面的距離AB的長(zhǎng)(結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33).20.解：如解圖，延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)H，由題意得，四邊形CMBH為矩形．∴CM＝HB＝20.在Rt△ACH中，∠AHC＝90°，∠ACH＝18.4°，∴tan

∠ACH＝AHCH，∴CH＝AHtan在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝37°，∴tan

∠ECH＝EHCH，∴CH＝EHtan設(shè)AH＝x，∵AE＝9，∴EH＝x＋9，∴x0.33＝x解得x≈7.1.∴AB＝AH＋HB≈7.1＋20＝27.1≈27(米).答：紀(jì)念碑頂部點(diǎn)A到地面的距離AB的長(zhǎng)約為27米．解圖21.閱讀與思考下面是博學(xué)小組研究性學(xué)習(xí)報(bào)告的部分內(nèi)容，請(qǐng)認(rèn)真閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù)．關(guān)于“等邊半正多邊形”的研究報(bào)告博學(xué)小組研究對(duì)象：等邊半正多邊形研究思路：類比三角形、四邊形，按“概念—性質(zhì)—判定”的路徑，由一般到特殊進(jìn)行研究．研究方法：觀察(測(cè)量、實(shí)驗(yàn))—猜想—推理證明研究?jī)?nèi)容：【一般概念】對(duì)于一個(gè)凸多邊形(邊數(shù)為偶數(shù))，若其各邊都相等，且相間的角相等、相鄰的角不相等，我們稱這個(gè)凸多邊形為等邊半正多邊形．如圖①，我們學(xué)習(xí)過的菱形(正方形除外)就是等邊半正四邊形．類似地，還有等邊半正六邊形、等邊半正八邊形……【特例研究】根據(jù)等邊半正多邊形的定義，對(duì)等邊半正六邊形研究如下：概念理解：如圖②，如果六邊形ABCDEF是等邊半正六邊形，那么AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠C＝∠E，∠B＝∠D＝∠F，且∠A≠∠B.性質(zhì)探索：根據(jù)定義，探索等邊半正六邊形的性質(zhì)，得到如下結(jié)論：內(nèi)角：等邊半正六邊形相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和為____▲____°.對(duì)角線：……任務(wù)：(1)直接寫出研究報(bào)告中“▲”處空缺的內(nèi)容；________．(2)如圖③，六邊形ABCDEF是等邊半正六邊形．連接對(duì)角線AD，猜想∠BAD與∠FAD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖④，已知△ACE是正三角形，⊙O是它的外接圓．請(qǐng)?jiān)趫D④中作一個(gè)等邊半正六邊形ABCDEF(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法).21.解：(1)240；【解法提示】∵六邊形ABCDEF是等邊半正六邊形，∴六邊形內(nèi)角和為(6－2)×180°＝720°，∵∠A＝∠C＝∠E，∠B＝∠D＝∠F，且∠A≠∠B，∴相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和為240°.(2)∠BAD＝∠FAD，理由如下：如解圖①，連接BD，F(xiàn)D，∵六邊形ABCDEF是等邊半正六邊形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠C＝∠E，∴△BCD≌△FED，∴BD＝FD.在△ABD與△AFD中，AB∴△BAD≌△FAD，∴∠BAD＝∠FAD；解圖①(3)如解圖②，③，六邊形ABCDEF即為所求．(答案不唯一)22.綜合與實(shí)踐問題情境：如圖①，矩形MNKL是學(xué)?；▓@的示意圖，其中一個(gè)花壇的輪廓可近似看成由拋物線的一部分與線段AB組成的封閉圖形，點(diǎn)A，B在矩形的邊MN上．現(xiàn)要對(duì)該花壇內(nèi)種植區(qū)域進(jìn)行劃分，以種植不同花卉，學(xué)校面向全體同學(xué)征集設(shè)計(jì)方案．方案設(shè)計(jì)：如圖②，AB＝6米，AB的垂直平分線與拋物線交于點(diǎn)P，與AB交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是拋物線的頂點(diǎn)，且PO＝9米．欣欣設(shè)計(jì)的方案如下：第一步：在線段OP上確定點(diǎn)C，使∠ACB＝90°.用籬笆沿線段AC，BC分隔出△ABC區(qū)域，種植串串紅；第二步：在線段CP上取點(diǎn)F(不與C，P重合)，過點(diǎn)F作AB的平行線，交拋物線于點(diǎn)D，E.用籬笆沿DE，CF將線段AC，BC與拋物線圍成的區(qū)域分隔成三部分，分別種植不同花色的月季．方案實(shí)施：學(xué)校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC區(qū)域的分隔后，發(fā)現(xiàn)僅剩6米籬笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需確定DE與CF的長(zhǎng)．為此，欣欣在圖②中以AB所在直線為x軸，OP所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．請(qǐng)按照她的方法解決問題：(1)在圖②中畫出坐標(biāo)系，并求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求6米材料恰好用完時(shí)DE與CF的長(zhǎng)；(3)種植區(qū)域分隔完成后，欣欣又想用燈帶對(duì)該花壇進(jìn)行裝飾，計(jì)劃將燈帶圍成一個(gè)矩形．她嘗試借助圖②設(shè)計(jì)矩形四個(gè)頂點(diǎn)的位置，其中兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在線段AC，BC上．直接寫出符合設(shè)計(jì)要求的矩形周長(zhǎng)的最大值．22.解：(1)建立如解圖①所示的平面直角坐標(biāo)系．∵OP所在直線是AB的垂直平分線，且AB＝6，∴OA＝OB＝12AB＝12×6＝3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3∵OP＝9，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，9).∵點(diǎn)P是拋物線的頂點(diǎn)，∴設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2＋9(a≠0).∵點(diǎn)B(3，0)在拋物線y＝ax2＋9上，∴0＝9a＋9，解得a＝－1.∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x2＋9(－3≤x≤3)；解圖①(2)∵點(diǎn)D，E在拋物線y＝－x2＋9上，∴設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m，－m2＋9).∵DE∥AB交y軸于點(diǎn)F，∴DF＝EF＝m，OF＝－m2＋9，∴DE＝2m.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA＝OB，∴OC＝12AB＝12×6＝3，∴CF＝OF－OC＝－m2＋9－3＝－m2根據(jù)題意，得CF＋DE＝6，∴－m2＋6＋2m＝6，解得m1＝2，m2＝0(不符合題意，舍去)，∴m＝2，∴DE＝2m＝4，CF＝－m2＋6＝2，∴DE的長(zhǎng)為4米，CF的長(zhǎng)為2米；(3)332【解法提示】如解圖②，設(shè)燈帶圍成的矩形為MNGH，矩形MNGH關(guān)于y軸對(duì)稱，易得直線BC的表達(dá)式為y＝－x＋3.∵點(diǎn)N在拋物線上，點(diǎn)G在BC上，設(shè)N(n，－n2＋9)，則G(n，－n＋3)，∴MN＝2n，NG＝(－n2＋9)－(－n＋3)＝－n2＋n＋6，∴矩形的周長(zhǎng)為2[2n＋(－n2＋n＋6)]＝－2n2＋6n＋12＝－2(n－32)2＋332.∵－2＜0，∴當(dāng)n＝32時(shí)，矩形的周長(zhǎng)最大，最大值為解圖②23.綜合與探究問題情境：如圖①，四邊形ABCD是菱形，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F.猜想證明：

(1)判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由；深入探究：(2)將圖①中的△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△AHG，點(diǎn)E，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G，H.①如圖②，當(dāng)線段AH經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，GH所在直線分別與線段AD，CD交于點(diǎn)M，N.猜想線段CH與MD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②當(dāng)直線GH與直線CD垂直時(shí)，直線GH分別與直線AD，CD交于點(diǎn)M，N，直線AH與線段CD交于點(diǎn)Q.若AB＝5，BE＝4，直接寫出四邊形AMNQ的面積．23.解：(1)四邊形AECF是矩形，理由如下：∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°，∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，∴∠AFC＋∠ECF＝180°.∴∠ECF＝180°－∠AFC＝90°，∴四邊形AECF為矩形；(2)①CH＝MD，理由如下：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∵△ABE旋轉(zhuǎn)得到△AHG，∴AB＝AH，∠B＝∠H，∴AH＝AD，∠H＝∠D.∵∠HAM＝∠DAC，∴△HAM≌△DAC，∴AM＝AC，∴AH－AC＝AD－AM，∴CH＝MD；【一題多解】如解圖①，連接HD，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠A