數(shù)學(xué)學(xué)案：知識(shí)導(dǎo)航：圓的切線

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。2。2圓的切線自主整理1.當(dāng)直線與圓有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí),直線與圓_____________;當(dāng)直線與圓有且只有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與圓_____________,此時(shí)直線是圓的_____________，公共點(diǎn)稱為_____________；當(dāng)直線與圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，直線與圓相離.2.設(shè)⊙O的半徑為r，直線l與圓心O的距離OH為d,則d〉r直線與圓_________________；d=r直線與圓_________________；d＜r直線與圓_________________。3。切線的判定定理:過(guò)半徑外端且與這條半徑_________________的直線是圓的切線.切線的性質(zhì)定理:圓的切線_________________于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.4.切點(diǎn)與圓心的連線與圓的切線_________________，過(guò)切點(diǎn)且與圓的切線垂直的直線過(guò)_________________。5。切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線長(zhǎng)_________________。6.弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于所夾弧的度數(shù)的_________________.7。同?。ɑ虻然。┥系南仪薪莀____________，同?。ɑ虻然。┥系南仪薪桥c圓周角_____________。8。三角形的三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離，若以此交點(diǎn)為圓心,該點(diǎn)到邊的距離為半徑作圓,該圓必與三角形的三邊都____________,該圓就是三角形的____________，三角形則是圓的____________三角形，該點(diǎn)稱為三角形的____________.高手筆記1.圓的切線的性質(zhì)定理及推論（1）圓的切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.此定理強(qiáng)調(diào)半徑必須經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，否則結(jié)論不成立.由于過(guò)已知點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直,所以經(jīng)過(guò)圓心垂直于切線的直線一定過(guò)切點(diǎn);反過(guò)來(lái)，過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線一定經(jīng)過(guò)圓心，因此可以得到兩個(gè)推論：推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn);推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心.(2)分析性質(zhì)定理及兩個(gè)推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系,可得出如下結(jié)論：如果一條直線具備下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè),就可推出第三個(gè).①垂直于切線;②過(guò)切點(diǎn)；③過(guò)圓心。于是在利用切線性質(zhì)時(shí),過(guò)切點(diǎn)的半徑是常作的輔助線。(3）另外，圓的切線還有兩條性質(zhì)應(yīng)當(dāng)注意:一是切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn);二是切線和圓心的距離等于圓的半徑.在許多實(shí)際問題中，我們也利用它們來(lái)解決.2。切線的判定定理（1)切線的判定定理是經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.在定理中要分清定理的題設(shè)和結(jié)論,強(qiáng)調(diào)“經(jīng)過(guò)半徑外端”和“垂直于這條半徑”這兩個(gè)條件缺一不可，否則就不是圓的切線，如圖1。2-36的例子就不同時(shí)滿足兩個(gè)條件，所以都不是圓的切線.圖1。2-36（2）用判定定理證明一直線與圓相切時(shí)，必須滿足兩個(gè)條件：①過(guò)半徑的外端；②垂直于這條半徑.因此在解決相關(guān)問題時(shí),若已知要證的切線經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)，則需把這點(diǎn)與圓心相連，證這條直線與此半徑垂直;否則需先向這條直線作垂線,再證此垂線段是圓的半徑.3.切線長(zhǎng)定理（1）我們知道，過(guò)圓外一點(diǎn)可以引兩條直線與圓相切，在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)稱為切線長(zhǎng)。切線長(zhǎng)是一條線段的長(zhǎng)，而這條線段的兩端分別是圓外的已知點(diǎn)和切點(diǎn)。注意切線是一條直線，而切線長(zhǎng)是切線上一條線段的長(zhǎng)，屬于切線的一部分。(2）切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分這兩條切線的夾角。圖1。2-37(3）如圖1。2-37,PA、PB是⊙O外一點(diǎn)向圓作的兩條切線,切點(diǎn)分別為A和B，那么連結(jié)OA、OB、OP，因?yàn)镻A、PB與⊙O相切于A、B兩點(diǎn)，則有OA⊥AP，OB⊥BP，于是∠OAP、∠OBP都是直角.又OA=OB，OP=OP，所以Rt△AOP≌Rt△BOP,所以PA=PB，∠APO=∠BPO。(4)由切線長(zhǎng)定理，可以得到圓外切四邊形的一個(gè)重要性質(zhì)：圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊和相等。利用這一性質(zhì)可以方便地解決許多問題.4.弦切角（1）定義:頂點(diǎn)在圓上,一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角.(2)弦切角的特點(diǎn)：①頂點(diǎn)在圓周上；②一邊與圓相交；③一邊與圓相切。(3）弦切角定義中的三個(gè)條件缺一不可。圖1。2-38各圖中的角都不是弦切角。圖（1）中,缺少“頂點(diǎn)在圓上”的條件；圖（2)中,缺少“一邊和圓相交”的條件；圖(3）中，缺少“一邊和圓相切"的條件;圖（4）中，缺少“頂點(diǎn)在圓上”和“一邊和圓相切”兩個(gè)條件.圖1。2-38（4)如圖1.2—39所示，弦切角可分為三類：①圓心在角的外部；②圓心在角的一邊上；③圓心在角的內(nèi)部.圖1.2—395.弦切角定理（1）弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角.（2)定理的證明：由于弦切角可分為三類,即圖1。2—40所示的情況,所以在證明定理時(shí)分三種情況加以討論:當(dāng)弦切角一邊通過(guò)圓心時(shí)[圖1.2-40（1）］，顯然弦切角與其所夾弧所對(duì)的圓周角都是直角;當(dāng)圓心O在∠CAB外時(shí)［圖1。2—40(2）］，作⊙O的直徑AQ,連結(jié)PQ,則∠BAC=∠BAQ—∠1=∠APQ-∠2=∠APC；當(dāng)圓心O在∠CAB內(nèi)時(shí)［圖1。2—40（3）］作⊙O的直徑AQ，連結(jié)PQ,則∠BAC=∠QAB+∠1=∠QPA+∠2=∠APC.圖1.2—40（3)在證明弦切角定理的過(guò)程中，我們從特殊情況入手,通過(guò)猜想、分析、證明和歸納，從而證明了弦切角定理.通過(guò)弦切角定理的證明過(guò)程，要明確用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)觀察問題,進(jìn)而理解從一般到特殊，從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律.(4）由弦切角定理，可以直接得出一個(gè)結(jié)論:若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個(gè)弦切角也相等，我們把這一結(jié)論稱為弦切角定理的推論，它也是角的變換的依據(jù)。（5)弦切角定理也可以表述為弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。這就建立了弦切角與弧的數(shù)量之間的關(guān)系，它為直接依據(jù)弧進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換確立了基礎(chǔ)。名師解惑1。判斷一條直線是否是圓的切線,通常有哪些方法？一般如何選取合適的方法？剖析：判定切線通常有三種方法:（1)和圓有唯一一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線；(2）到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線；（3）過(guò)半徑外端且和半徑垂直的直線是圓的切線?！斑^(guò)半徑外端，垂直于這條半徑的直線是圓的切線”只是把“到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線”的定理具體化，在使用時(shí)要根據(jù)題目的具體要求選取合適的方法，如果涉及到數(shù)值計(jì)算或距離問題，通常利用(2），如果涉及到線段的位置關(guān)系等，通常選?。?）。2。到目前為止，對(duì)于圓中有關(guān)的角我們已學(xué)過(guò)圓心角、圓周角、弦切角,它們各自有定義、定理及和它所對(duì)的弧的度數(shù)關(guān)系，這三種角在證明題和計(jì)算題中經(jīng)常用到，它們是幾何綜合題中不可缺少的知識(shí)點(diǎn)。它們相互之間有哪些聯(lián)系和區(qū)別？如何把握這些聯(lián)系和區(qū)別？剖析：圓心角、圓周角、弦切角是圓中三類重要的角，準(zhǔn)確理解它們的定義、定理及與所對(duì)、所夾的弧的關(guān)系，對(duì)于我們?cè)趫A中的計(jì)算、證明，起著舉足輕重的作用,將這些知識(shí)總結(jié)對(duì)比列表如下，你可以在比較中把握其異同點(diǎn)，從而快速、準(zhǔn)確的應(yīng)用。名稱圓心角圓周角弦切角定義頂點(diǎn)在圓心的角頂點(diǎn)在圓上的;兩邊和圓相交頂點(diǎn)在圓上；一邊和圓相交；另一邊和圓相切圖形有關(guān)定理①圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)②在同圓或等圓中相等的圓心角所對(duì)弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)弦的弦心距相等同弧所對(duì)圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半弦切角等于它所夾弧所對(duì)的圓周角有關(guān)推論四者關(guān)系定理的推論圓周角定理推論弦切角定理的推論角與弧的關(guān)系∠AOB的度數(shù)=的度數(shù)∠ACB的度數(shù)=的度數(shù)∠ACB的度數(shù)=的度數(shù)講練互動(dòng)圖1.2-41【例1】如圖1.2-41所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，且AD+BC=AB，AB為⊙O的直徑.求證：⊙O與CD相切。分析：欲證⊙O與CD相切只需證明圓心O到直線CD的距離等于⊙O的半徑即可。證明:過(guò)O點(diǎn)作OE⊥CD，垂足為E,∴AD∥OE∥BC?！逴為AB的中點(diǎn)，∴E為CD的中點(diǎn)?！郞E=（AD+BC).又∵AD+BC=AB,∴OE=AB=⊙O的半徑?！唷袿與CD相切。綠色通道在不知道圓與直線是否有公共點(diǎn)的情況下通常過(guò)圓心作直線的垂線段，然后證垂線段的長(zhǎng)等于半徑，即“作垂直，證半徑”，這是證直線與圓相切的常用方法之一。變式訓(xùn)練圖1.2-421。如圖1.2-42,已知：直線AB經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB.求證:直線AB是⊙O的切線.證明:連結(jié)OC.∵OA=OB，CA=CB，∴OC是等腰三角形OAB底邊AB上的中線.∴AB⊥OC.直線AB經(jīng)過(guò)半徑OC的外端C，并且垂直于半徑OC，所以AB是⊙O的切線。圖1.2-43【例2】如圖1。2-43所示,已知AB為半圓O的直徑，直線MN切半圓于點(diǎn)C，AD⊥MN于點(diǎn)D，BE⊥MN于點(diǎn)E，BE交半圓于點(diǎn)F，AD=3cm，BE=7cm.（1）求⊙O的半徑；（2）求線段DE的長(zhǎng)。分析:（1）連結(jié)OC，證C為DE的中點(diǎn)。在解有關(guān)圓的切線問題時(shí)，常常需要作出過(guò)切點(diǎn)的半徑.對(duì)于(2）則連結(jié)AF，證四邊形ADEF為矩形，從而得到AD=EF,DE=AF，然后在Rt△ABF中運(yùn)用勾股定理,求AF的長(zhǎng)。解:(1）連結(jié)OC.∵M(jìn)N切半圓于點(diǎn)C，∴OC⊥MN?！逜D⊥MN，BE⊥MN，∴AD∥OC∥BE。∵OA=OB，∴CD=CE?！郞C=（AD+BE）=5（cm）。∴⊙O的半徑為5cm。(2）連結(jié)AF?！逜B為半圓O的直徑，∴∠AFB=90°,∴∠AFE=90°。又∠ADE=∠DEF=90°，∴四邊形ADEF為矩形?！郉E=AF,AD=EF=3（cm）。在Rt△ABF中，BF=BE-EF=4（cm)，AB=2OC=10（cm）.由勾股定理，得AF=，∴DE=（cm).綠色通道在梯形當(dāng)中,最常見的輔助線是高，通過(guò)作高，可以構(gòu)造出直角三角形，然后在直角三角形中進(jìn)行相關(guān)計(jì)算;當(dāng)題目中涉及圓的切線問題時(shí)，常常需要作出過(guò)切點(diǎn)的半徑，通過(guò)它可以構(gòu)建有用的垂直關(guān)系.變式訓(xùn)練圖1.2-442.如圖1.2—44，已知兩個(gè)同心圓O，大圓的直徑AB交小圓于C、D，大圓的弦EF切小圓于C，ED交小圓于G,若小圓的半徑為2，EF=4，試求EG的長(zhǎng).解:連結(jié)GC，則GC⊥ED?！逧F和小圓切于C，∴EF⊥CD,EC=EF=2.又CD=4,∴在Rt△ECD中，有ED=。∵EC2=EG·ED，∴EG=圖1。2-45【例3】如圖1.2—45,AD是⊙O的切線，AC是⊙O的弦，過(guò)C作AD的垂線，垂足為B，CB與⊙O相交于點(diǎn)E，AE平分∠CAB，且AE=2，求△ABC各邊的長(zhǎng)。分析：∠BAE為弦切角,于是∠BAE=∠C,再由AE平分∠CAB和△ABC是直角三角形可得∠C的度數(shù)，進(jìn)而解直角三角形即可.解：∵AD為⊙O的切線，∴∠BAE=∠C?！逜E平分∠CAB，∴∠BAC=2∠BAE。又∵∠C+∠BAC=90°,∴∠BAE=∠C=30°。則有BE=1，AB=，BC=，AC=2。綠色通道本題應(yīng)用弦切角、解直角三角形的知識(shí)，此題為基礎(chǔ)題型，求解此類題時(shí)，要注意弦切角在角的轉(zhuǎn)換中的作用，本題正是由于這一條件，溝通了角之間的數(shù)量關(guān)系。變式訓(xùn)練圖1.2-463.如圖1。2-46，AD是△ABC中∠BAC的平分線,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的⊙O與BC切于點(diǎn)D，與AB、AC分別相交于E、F。求證：EF∥BC。證明：連結(jié)DF.∵AD是∠BAC的平分線,∴∠BAD=∠DAC?！摺螮FD=∠BAD，∴∠EFD=∠DAC.∵⊙O切BC于D，∴∠FDC=∠DAC?！唷螮FD=∠FDC.∴EF∥BC。圖1.2—47【例4】如圖1.2—47,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB=AC，直線XY切⊙O于點(diǎn)C,弦BD∥XY,AC、BD相交于點(diǎn)E.(1)求證：△ABE≌△ACD；(2）若AB=6cm，BC=4cm，求AE的長(zhǎng).分析：第（1）問中的全等已經(jīng)具備了AB=AC，再利用弦切角定理與圓周角定理可以得角的相等關(guān)系;對(duì)于（2），則利用△BCE∽△ACB建立比例式，解方程獲得AE的長(zhǎng).(1）證明：∵XY是⊙O的切線，∴∠1=∠2?！連D∥XY，∴∠1=∠3?！唷?=∠3.∵∠3=∠4,∴∠2=∠4.∵∠ABD=∠ACD,又∵AB=AC,∴△ABE≌△ACD。(2)解：∵∠3=∠2,∠BCE=∠ACB,∴△BCE∽△ACB?！唷！郃C·CE=BC2，即AC·(AC—AE)=BC2?！逜B=AC=6,BC=4，∴6（6—AE）=16.∴AE=(cm）。綠色通道本題利用平行線、弦切角、圓周角等進(jìn)行了角的轉(zhuǎn)換，利用相似建立方程求線段的長(zhǎng)度，綜合應(yīng)用時(shí)，必須非常熟悉圖形中的各個(gè)量，盯準(zhǔn)要求的數(shù)值，向圖形和已知索取條件。變式訓(xùn)練4。如圖1.2—48，半徑為3cm和2cm的⊙O1和⊙O2外切于點(diǎn)P，AB是兩圓的外公切線，A、B為切點(diǎn)，兩圓的內(nèi)公切線交AB于點(diǎn)Q。求PQ的長(zhǎng)。圖1.2—48解法一:連結(jié)AP，BP，則在△APB中有QA=QP=QB,∴∠1=∠2，∠3=∠4.∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°,即2（∠1+∠4)=180°,∴∠1+∠4=90°,∴PQ是Rt△APB斜邊上的中線.過(guò)O2作O2H⊥O1A解法二:如圖所示，連結(jié)QO1，QO2.∵QP、QA分別切⊙O1于P，A∴∠1=∠2，同理∠3=∠4,∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°,即2（∠2+∠3）=180°，∴∠2+∠3=90°,∴∠O1QO2=90°。又∵QP⊥O1O2,∴∠2+∠5=90°，∴∠3=∠5，∴Rt△O1PQ∽R(shí)t△QPO2，∴PQ2=PO1·PO2=6,PQ=6（cm).【例5】如圖1.2—49所示，AB為⊙O的直徑，BC、CD為⊙O的切線，B、D為切點(diǎn)。（1)求證：AD∥OC；（2）若⊙O的半徑為1，求AD·OC的值.圖1.2-49分析：對(duì)于（1）,連結(jié)OD、BD，證AD⊥BD，OC⊥BD；對(duì)于（2)，連結(jié)BD，證△ABD∽△OCB即可。（1）證明:連結(jié)OD、BD.∵BC、CD是⊙O的切線，∴OB⊥BC，O