數(shù)學學案：知識導(dǎo)航空間直角坐標系空間兩點的距離公式

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2.4空間直角坐標系2。4。1空間直角坐標系2.4.2空間兩點的距離公式知識梳理1?？臻g直角坐標系的建立為了確定空間點的位置,在平面直角坐標系xOy中,通過原點O，再作一條數(shù)軸z，使它與x軸、y軸都垂直，這樣任意兩條數(shù)軸都互相垂直。軸的方向這樣規(guī)定：從z軸的正方向看，x軸的正半軸沿逆時針方向轉(zhuǎn)90°后與y軸的正半軸重合，這樣就在空間建立了一個空間直角坐標系O—xyz，O叫做坐標原點。由兩條坐標軸確定的面叫坐標平面，三個坐標平面把空間分成八個卦限〔如圖2—4-（1，2）—1〕.圖2-4—(1，2)—1xOy平面:由x軸及y軸確定的坐標面;xOz平面:由x軸及z軸確定的坐標面;yOz平面：由y軸及z軸確定的坐標面.2.點在空間直角坐標系中的坐標取定了空間直角坐標系后，就可以建立起空間的點與有序數(shù)組之間的對應(yīng)關(guān)系。點M為空間一已知點,在空間直角坐標系中,過這點作兩條軸所確定平面的平行平面，交另一條軸于一點，交點在這條軸上的坐標就是M點相應(yīng)的一個坐標。設(shè)點M在x軸、y軸、z軸的坐標依次為x、y、z。于是空間的點M就唯一的確定了一個有序數(shù)組x、y、z。這組數(shù)x、y、z就叫做點M的坐標，記為（x,y，z)，并依次稱x、y和z為點M的x坐標,y坐標和z坐標。反之,設(shè)(x，y，z）為一個三元有序數(shù)組,過x軸上坐標為y的點,y軸上坐標為z的點,z軸上坐標為x的點，分別作x軸、y軸、z軸的垂直平面,這三個平面的交點M便是三元有序數(shù)組(x,y，z)唯一確定的點。所以，通過空間直角坐標系，我們就建立了空間的點M和有序數(shù)組(x，y，z）之間的一一對應(yīng)關(guān)系。八個卦限中的點的坐標符號也有一定的特點：Ⅰ:(+，+,+）；Ⅱ：(-,+，+）；Ⅲ：(—，-，+)；Ⅳ：（+,-，+）；Ⅴ：(+,+,—)；Ⅵ：(—，+，-)；Ⅶ:(-，—，-)；Ⅷ：（+,—，-).坐標面和坐標軸上的點有下列特點：坐標面xOyyOzzOx特征z=0x=0y=0坐標軸OxOyOz特征y=z=0x=z=0x=y=03.空間兩點的距離公式空間兩點間的距離公式可以看作平面內(nèi)兩點間距離公式的推廣,如圖2-4-（1,2)—2.M1(x1,y1,z1)，P（x2,y1，z1），M2(x2，y2，z2),N(x2,y2，z1），|M1P｜=|x2-x1|，｜PN｜=|y2—y1|，｜M2N｜=｜z2-z1｜，｜M1N|2=｜M1P｜2+|PN｜2=（x2—x1）2+（y2-y1)2，|M1M2｜2=|M1N｜2+|NM2｜2=(x2—x1）2+(y2-y1)2+（z2-z1）圖2—4-(1，2）-2∴點M1與M2間的距離為d=。應(yīng)用兩點間的距離公式時，注意是三組對應(yīng)坐標之差的平方和開方。知識導(dǎo)學畫好空間直角坐標系也要強調(diào)“三要素”——原點、坐標軸方向和單位長度。也就是說，z軸、x軸和y軸的原點相同、單位長度相同（特殊情況除外)，坐標軸方向滿足右手系——有兩種解釋：在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，中指指向z軸的正方向，則稱這樣建立的直角坐標系為右手直角坐標系；還可以解釋成,先把大拇指指向z軸的正方向，把其余的4指指向x軸正方向，然后握成拳頭，這時4指掃過原平面直角坐標系的第一象限從x軸正方向到y(tǒng)軸正方向.這和物理中的右手定則相同。在平面上畫空間直角坐標系O—xyz時，一般使∠xOy=135°，∠yOz=90°,即用斜二測方法畫立體圖。這里顯然要注意在y軸、z軸上的長度都取原來的單位長度，而在x軸上的長度取原來單位長度的一半。不要把x軸上的長度取成實際的長度，因為不符合斜二測方法作圖的約定，直觀性差。在給出點寫出坐標、給出坐標找點的過程中，我們可以感受到如下規(guī)律：xOy平面上的點的豎坐標都是零，yOz平面上的點的橫坐標都是零，xOz平面上的點的縱坐標都是零.把平面直角坐標系中兩點P1（x1，y1)，P2(x2，y2）之間的距離公式|P1P2|=推廣到空間直角坐標系中兩點P1(x1，y1,z1），P2（x1，y2,z2）之間的距離公式｜P1P2｜=，形式上相同，其不同點是僅僅多了一項，即與豎坐標有關(guān)的一項.疑難突破1.如何求空間一點A（x，y,z)關(guān)于坐標軸、坐標原點、坐標平面的對稱點的坐標?你能總結(jié)出規(guī)律來嗎?剖析：數(shù)學中的對稱問題，把握兩點：中點和垂直.對稱點坐標問題，無非就是中點與垂直問題;空間點關(guān)于已知點的對稱點,與平面內(nèi)點關(guān)于點的對稱點定義一樣,已知點與其對稱點，連線段的中點即為對稱中心.根據(jù)這個理論我們可以得到：A（x，y，z）關(guān)于坐標平面xOy對稱A1（x，y,-z）;A(x,y,z）關(guān)于坐標平面yOz對稱A2(—x,y,z）；A（x,y,z)關(guān)于坐標平面xOz對稱A3（x,—y,z）；A(x,y,z）關(guān)于x軸對稱A4(x，-y，-z);A（x，y,z）關(guān)于y軸對稱A5（—x,y，-z）；A(x，y,z)關(guān)于z軸對稱A6（—x,—y，z）;A(x,y,z)關(guān)于原點對稱A7（—x，—y,—z）.通過解答我們可以總結(jié)出如下規(guī)律：某面對稱某不變，如A（x，y,z)關(guān)于坐標平面xOy對稱A1(x，y,—z）;這里x、y的符號不變；某軸對稱某不變，如A(x，y，z）關(guān)于y軸對稱A5（—x，y，-z）;這里y的符號不變；原點對稱起造“反”，如A(x,y,z）關(guān)于原點對稱A7(-x，—y，-z）.這里x、y、z的符號都變?yōu)槠湎喾磾?shù).2。建立空間直角坐標系時，如何選擇原點和坐標軸？剖析：選擇怎樣的坐標原點和坐標軸，不會影響結(jié)論的正確性，但是卻會影響解決問題的復(fù)雜性.因此，在建立坐標系時,要充分利用已知條件中的有關(guān)對稱性、垂直、平行等性質(zhì)，使得已知條件處在特殊的坐標系位置上，這樣再寫點的坐標、直線方程等時會方便很多。在建立空間直角坐