數(shù)學(xué)學(xué)案第二講三直線的參數(shù)方程

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精庖丁巧解牛知識·巧學(xué)直線參數(shù)方程的形式過定點(diǎn)M0（x0,y0)、傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)),我們把這一形式稱為直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，其中t為參數(shù)。直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義:表示直線l上以定點(diǎn)M0為起點(diǎn),任意一點(diǎn)M(x,y)為終點(diǎn)的有向線段的數(shù)量M0M。聯(lián)想發(fā)散很明顯，我們也可以把參數(shù)t理解為以M0為原點(diǎn)，直線l向上的方向?yàn)檎较虻臄?shù)軸上點(diǎn)M的坐標(biāo),其長度單位與原直角坐標(biāo)系的長度單位相同.t是直線上有向線段的數(shù)量，當(dāng)α∈（0，π）時(shí)，M在M0的上方時(shí),t〉0；M在M0的下方時(shí)，t<0;M與M0重合時(shí)，t=0.當(dāng)α=90°時(shí),(t為參數(shù))可化為x=x0,因此在使用時(shí)，不必研究直線斜率不存在時(shí)的情況.特別地,若直線l的傾角α=0時(shí)，直線l的參數(shù)方程為當(dāng)t>0時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)M0的右側(cè)；當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)M0重合；當(dāng)t<0時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)M0的左側(cè).深化升華若直線的參數(shù)方程為一般形式(t為參數(shù)），可把它化為標(biāo)準(zhǔn)形式：（t′為參數(shù))，其中α是直線的傾斜角tanα=,此時(shí)參數(shù)t′才有如前所說的幾何意義.同一直線方程的參數(shù)方程有多種形式，如（t為參數(shù)）和（t為參數(shù)）表示同一條直線,但后者參數(shù)t沒有幾何意義。直線的參數(shù)方程（t為參數(shù)）只有當(dāng)a2+b2=1且b≥0時(shí),參數(shù)t才有意義。對于(t為參數(shù)），其中b≥0,若a>0,則直線的傾斜角α為銳角；若a〈0,則直線的傾斜角α為鈍角;若a=0，則直線的傾斜角α為直角.問題·探究問題1在解決某些問題時(shí)可以使用某些已知的結(jié)論或公式,正確使用這些結(jié)論可以簡化運(yùn)算，使問題的解決更快捷。那么對于直線的參數(shù)方程又有哪些常用的結(jié)論呢?探究:根據(jù)直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,設(shè)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)）,直線l上點(diǎn)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為tA、tB，則(1）A、B兩點(diǎn)之間的距離為｜AB｜=｜ta-tb|,特別地,A、B兩點(diǎn)到點(diǎn)M0的距離分別為|tA|、|tB|;（2)A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)為，若點(diǎn)M0是線段AB的中點(diǎn),則tA+tB=0，反之亦然;（3)若直線上的點(diǎn)C所對應(yīng)的參數(shù)為tC，C點(diǎn)分所成的比為λ,則tc=.問題2通過學(xué)習(xí)直線參數(shù)方程后我們了解到:直線參數(shù)方程的一般形式中的參數(shù)不具有幾何意義，只有標(biāo)準(zhǔn)形式中的參數(shù)才具有一定的幾何意義。那么直線的一般參數(shù)方程怎樣才能轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)方程呢?探究：給出直線的非標(biāo)準(zhǔn)式參數(shù)方程（t為參數(shù)）,根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)式的特點(diǎn)，參數(shù)t的系數(shù)應(yīng)分別是傾斜角的正弦和余弦值，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)知，其平方和為1，所以可以化為(t為參數(shù)）,再近一步令cosα=,sinα=,根據(jù)直線傾斜角的范圍讓α在［0，π）范圍內(nèi)取值,并且把t看成相應(yīng)的參數(shù)t,即得標(biāo)準(zhǔn)式的參數(shù)方程（t為參數(shù)).由轉(zhuǎn)化的過程可以看出，在一般參數(shù)方程(t為參數(shù))中,t具有標(biāo)準(zhǔn)式參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義。所以,有些較簡單的問題可以不必轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式而直接使用,求出相應(yīng)的t,再乘以即可繼續(xù)使用參數(shù)的幾何意義.問題3直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題是幾何中最常見的問題，對于普通方程,可以把它們的方程聯(lián)立,根據(jù)方程組解的情況來判斷交點(diǎn)情況.那么對于參數(shù)方程，又該如何判斷它們的交點(diǎn)情況呢？探究:對于直線的普通方程可以把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消去一個(gè)變量后,根據(jù)方程解的情況來判斷直線和圓錐曲線的交點(diǎn)情況,對于直線的參數(shù)方程可以把參數(shù)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)直接代入圓錐曲線方程，得到關(guān)于參數(shù)t的方程，判斷方程的解的情況即可得到直線與圓錐曲線的交點(diǎn)情況。另外，由于直線的參數(shù)方程尤其是標(biāo)準(zhǔn)式的參數(shù)方程，根據(jù)方程容易畫出相應(yīng)的直線.所以,也可以根據(jù)方程畫出相應(yīng)的圖形，采用數(shù)形結(jié)合來判斷交點(diǎn)情況。當(dāng)然有些問題也可以把直線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程來解.典題·熱題例1寫出直線2x—y+1=0的參數(shù)方程，并求直線上的點(diǎn)M(1,3）到點(diǎn)A(3,7）、B(8，6）的距離.思路分析：要寫出參數(shù)方程，首先根據(jù)直線的普通方程可以看出直線的斜率為2，設(shè)直線的傾斜角為α,則tanα=2,則sinα=,cosα=,根據(jù)后邊要求的點(diǎn)M恰好在直線上，為了后邊的運(yùn)算方便，選擇M作為直線上的定點(diǎn)。要求點(diǎn)M到A、B的距離可以根據(jù)參數(shù)方程的特點(diǎn)及幾何意義或者兩點(diǎn)之間的距離公式都可以。解：根據(jù)直線的普通方程可知斜率是2，設(shè)直線的傾斜角為α,則tanα=2,sinα=,cosα=,所以直線的參數(shù)方程是(t為參數(shù))。經(jīng)驗(yàn)證易知點(diǎn)A(3，7)恰好在直線上,所以只需由1+t=3得t=,即點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離是。而點(diǎn)B(8，6）不在直線上，所以不能使用參數(shù)t的幾何意義，可以根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式求出距離為.誤區(qū)警示本題主要考查直線參數(shù)方程的轉(zhuǎn)化和參數(shù)的幾何意義。常見錯(cuò)誤:①轉(zhuǎn)化參數(shù)方程時(shí)不注意后邊的題目內(nèi)容，隨便取一個(gè)定點(diǎn)；②把點(diǎn)B（8,6）當(dāng)成直線上的點(diǎn)很容易由1+t=8得t=。例2設(shè)直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù))，點(diǎn)P在直線上，且與點(diǎn)M0（—4,0)的距離為，如果該直線的參數(shù)方程改寫成（t為參數(shù)）,則在這個(gè)方程中點(diǎn)P對應(yīng)的t值為(）A.±1B。0C?！繢.±思路解析:由｜PM0|=，知PM0=或PM0=,即t=代入第一個(gè)參數(shù)方程，得點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為（-3，1)或(-5,-1)；再把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入第二個(gè)參數(shù)方程可得t=1或t=—1。答案:A深化升華直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式中的參數(shù)具有相應(yīng)的幾何意義,合理使用其幾何意義，可以簡化運(yùn)算，使解題過程更加簡潔.這也正是直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式的優(yōu)越性所在。例3求經(jīng)過點(diǎn)(1,1），傾斜角為135°的直線截橢圓+y2=1所得的弦長.思路分析:首先可以根據(jù)條件寫出直線的參數(shù)方程(t為參數(shù)），代入橢圓的方程可得+(1+t)2=1.這是一個(gè)關(guān)于t的二次方程,根據(jù)參數(shù)的幾何意義可知所求弦長就是方程兩根之差的絕對值。解：由條件可知直線的參數(shù)方程是(t為參數(shù)）,代入橢圓方程可得=1，即t2+t+1=0.設(shè)方程的兩實(shí)根分別為t1、t2，則由二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得則直線截橢圓的弦長是|t1－t2｜=。誤區(qū)警示本題主要使用參數(shù)方程中兩點(diǎn)的距離公式，易錯(cuò)的地方是：轉(zhuǎn)化參數(shù)方程時(shí),計(jì)算135°的正弦和余弦值時(shí)出錯(cuò),再者就是距離公式不會靈活使用,而一味地要使用參數(shù)的幾何意義。例4已知直線l過點(diǎn)P(3，2)，且與x軸和y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)。求|PA|·|PB|的值為最小時(shí)的直線l的方程。思路分析：本題可以使用直線的參數(shù)方程來解，也可以使用參數(shù)方程來解，但是使用普通方程解,運(yùn)算較為麻煩。如果設(shè)出直線的傾斜角，寫出直線的參數(shù)方程來解，就可以把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最小值問題，便于計(jì)算。解：設(shè)直線的傾斜角為α,則它的方程為（t為參數(shù))，由A、B是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)知yA=0，xB=0,∴0=2+tsinα,即｜PA|=｜t|=，0=3+tcosα，即|PB|=｜t|=。故｜PA|·｜PB｜=（)=.∵90°〈α〈180°，∴當(dāng)2α=270°,即α=135°時(shí)，｜PA｜·|PB｜有最小值?！嘀本€方程為(t為參數(shù)）,化為普通方程即x+y—5=0。拓展延伸直線的參數(shù)方程和普通方程可以進(jìn)行互化,特別是要求直線上某一定點(diǎn)到直線與曲線交點(diǎn)距離時(shí)通常要使用參數(shù)的幾何意義，宜用參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，而對于某些比較簡單的直線問題比如求直線和坐標(biāo)軸或者與某條直線交點(diǎn)時(shí)宜用直線的普通方程.例5已知點(diǎn)M（2,3)和雙曲線x2-=1，求以M為中點(diǎn)的雙曲線的弦AB所在的直線l的方程.思路分析：本題仍然可以根據(jù)直線過點(diǎn)M（2,3）設(shè)出直線的參數(shù)方程,假設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為ta,tb，則由M為弦的中點(diǎn)可知tA+tB=0。把直線的參數(shù)方程代入雙曲線方程可得關(guān)于t的二次方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系建立方程即可。解:根據(jù)條件可設(shè)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)）,代入雙曲線的方程可得(2+tcosα）2-=1。整理可得(2cos2α-sin2α)t2+(8cosα-6sinα)t-3=0。設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為ta,tb，因?yàn)镸(2，3）為弦AB中點(diǎn),所以tA+tB=0,由二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得=0，即得8cosα—6sinα=0.易得tanα=，即直線的斜率為，可得參數(shù)方程為(t為參數(shù)).則直線的普通方程為y-3=(x-2）,即4x-3y+1=0.深化升華本節(jié)內(nèi)容是直線的參數(shù)方程，要認(rèn)真理解參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,只有這樣才能切實(shí)感受到它帶給我們的方便，還要注意掌握一些重要的性質(zhì).直線和圓錐曲線的關(guān)系是解析幾何研究的主要內(nèi)容,在解決有關(guān)問題時(shí)正確地使用參數(shù)方程,可以簡化運(yùn)算過程，使過程更加簡單清晰。例6已知直線l1：x-ky+k=0，l2:kx—y—1=0，其中k為參數(shù)，求l1,l2交點(diǎn)的軌跡方程.思路分析:本題為求直線的交點(diǎn)軌跡方程問題,由直線方程的形式,既可以考慮參數(shù)方程來求解，又可以化為普通方程來求解,但在化為普通方程時(shí)需注意其等價(jià)性。解法一：求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo),即解方程組.當(dāng)k2≠1時(shí),得到（k為參數(shù))。這就是所求軌跡的參數(shù)方程,但如果要求軌跡的普通方程,需消去參數(shù)k。解法二：由kx—y—1=0,當(dāng)x≠0時(shí),可得k=，代入方